§ 1.Eine gerade Linie istsenkrecht, wenn sie die durch das Lot oder Senkblei angegebene Richtung hat,wagrecht, wenn ihre beiden Endpunkte (und somit alle Punkte derselben) in gleicher Höhe liegen,schräg, wenn sie nach irgend einer Richtung hin steigt oder fällt. Dies gilt sowohl von den wirklichen Linien im Raume, als von den Linien einer Zeichnung, wenn wir uns leztere senkrecht stehend denken.
Linien, welche dieselbe Richtung haben, so dass der Abstand zwischen ihnen, soweit man sie verlängern mag, überall gleich gross ist, heissenParallellinien, vgl.A BundC D,E FundG HFig. 1. Zieht man zwischen 2 parallelen Linien Verbindungslinien, welche unter sich gleichfalls parallel sind, so sind leztere gleich lang, vgl. die Liniena,b,c,d,e,fFig. 1.
Fig. 1Fig. 1.
Fig. 1.
§ 2.Linien, welche nicht parallel sind, stehen in einemWinkelzu einander. Treffen sie in einem Punkte zusammen, wie inFig. 2b cundc dincodera bundb cinb, so heisst dieser Punkt dieSpizedes Winkels; die beiden den Winkel bildenden Linien heissen seineSchenkel. Wenn man von der Grösse eines Winkels spricht, so ist damit der Grad gemeint,in welchem beide Schenkel desselben gegen einander geneigt sind; der Winkel beicist z. B. kleiner, als der Winkel beib; die Länge der Schenkel kommt hiebei nicht in Betracht.
Fig. 2Fig. 2.
Fig. 2.
Eine senkrechte und eine wagrechte Linie, oder 2 schräge Linien, welche in demselben Grade gegen einander geneigt sind, wie eine senkrechte und eine wagrechte, bilden einenrechten Winkel, vgl.Fig. 2A BundA C,e fundc d. Werden die Schenkel eines rechten Winkels über die Spize hinaus verlängert, so entstehen 4 rechte Winkel (z. B. beiA). Zwei Linien, welcheweniger gegen einander geneigt sind, als die Schenkel eines rechten Winkels, bilden einenstumpfensolche, die stärker gegen einander geneigt sind, einenspizenWinkel. Ein stumpfer Winkel (a bundc b,Fig. 2) ist also grösser, ein spizer Winkel (b cundc d) ist kleiner, als ein rechter.
Fig. 3Fig. 3.
Fig. 3.
§ 3.A,B,C,D,EFig. 3sind verschiedene Arten von Dreiecken:A, eingleichseitigesDreieck, hat 3 gleich lange Seiten, welche in den Ecken 3 gleich grosse spize Winkel bilden;B,CundEsindgleichschenkligeDreiecke, in welchen 2 Seiten gleich lang sind, während die dritte entweder länger oder kürzer ist, als jene beiden; leztere heisst dieGrundlinie.DundEsindrechtwinkligeDreiecke, d. h. einer der 3 Winkel ist ein rechter;Eist also ein gleichschenkliges rechtwinkliges Dreieck: der Winkel beiaist ein rechter,a bunda csind gleich lang; die Winkel beibundcsind halberechte Winkel; durch eine Linie vonanachd, der Mitte vonb c, entstehen 2 rechtwinklige gleichschenklige Dreiecke:a d cunda d b.
§ 4.Fig. 4ist einQuadrat, d. h. ein Viereck mit 4 gleich langen Seiten, welche in den Ecken 4 rechte Winkel bilden; in einemRechteckoder Oblongum (Fig. 5) stossen die Seiten gleichfalls in rechten Winkeln zusammen, aber das eine Seitenpaar ist länger, als das andere.Fig. 6ist eineRauteoder ein Rhombus: die 4 Seiten sind gleich lang und die gegenüberliegenden sind parallel, wie im Quadrat, aber sie bilden in den Ecken nicht rechte, sondern 2 spize und 2 stumpfe Winkel.
Fig. 4Fig. 4.
Fig. 4Fig. 4.
Fig. 4.
Fig. 5Fig. 5.
Fig. 5Fig. 5.
Fig. 5.
Vierecke, in welchen die gegenüberliegenden Seiten parallel sind, also Quadrat, Rechteck und Raute, heissenParallelogramme. Die Liniena cundb dinFig. 4,5und6, welche die gegenüberliegenden Ecken eines Parallelogrammes verbinden, heissenDiagonalen. Die beiden Diagonalen eines Parallelogramms sind gleich lang, und schneiden sich im Mittelpunkt desselben. Zieht man durch den Punkte, in welchem sie sichschneiden, Linien, welche mit den Seiten parallel sind, so werden leztere halbiert. Im Quadrat werden die rechten Winkel der Ecken durch die Diagonalen halbiert. Diese stehen zu einander in einem rechten, zu den Seiten des Quadrats in einem halben rechten Winkel.e a b,e b c,e c dunde d aFig. 4sind 4 rechtwinklige, gleichschenklige Dreiecke, welche durch die Liniene f,e g,e hunde iwieder in je 2 solche Dreiecke geteilt werden.
Fig. 6Fig. 6.
Fig. 6Fig. 6.
Fig. 6.
Fig. 7Fig. 7.
Fig. 7Fig. 7.
Fig. 7.
Ein Viereck, in welchem 2 Seiten parallel, die beiden andern nicht parallel sind, heisstTrapez(Fig. 7.)
§ 5.DerKreis(Fig. 8) ist eine gebogene Linie, welche überall gleich weit von einem Punkte, ihrem Mittelpunkt, entfernt ist.Durchmesserdes Kreises heisst eine gerade Linie, welche von einem beliebigen Punkte der Kreislinie durch den Mittelpunkt hindurch nach dem entgegengesezten Punkt derselben gezogen wird, wiea b; eine gerade Linie vom Mittelpunkt nach einem beliebigen Punkt der Kreislinie, z. B.c a,c b,c d,c e, welche somit die Hälfte eines Durchmessers bildet, heisstHalbmesseroderRadius. Alle Radien eines Kreisessind gleich lang.ConcentrischeKreise sind Kreise, welche denselben Mittelpunkt haben.
Fig. 8Fig. 8.
Fig. 8.
Als Hilfsmittel sind zum perspectivischen Zeichnen erforderlich: ein grösseres Reissbrett, ein Zirkel, ein rechter Winkel (Fig. 9) und eine Reissschiene (Fig. 10); durch leztere erhält man, indem der kurze Teil an den Rand des Reissbretts angelegt wird, auf bequeme Weise die senkrechten und wagrechten Linien.
Fig. 9Fig. 9.
Fig. 9Fig. 9.
Fig. 9.
Fig. 10Fig. 10.
Fig. 10Fig. 10.
Fig. 10.
§ 6.Einen Gegenstand perspectivisch zeichnen heisst ihn so zeichnen, wie er dem Auge erscheint, wenn wir ihn von einem bestimmten Standpunkte aus betrachten. Dieses scheinbare oderperspectivische Bildder Dinge ist vielfach verschieden von der Form, welche sie in Wirklichkeit haben, d. h. ihrergeometrischen Form; während leztere unverändert bleibt, ändert sich die perspectivische Form eines Gegenstands mit jeder Veränderung unseres Standpunkts oder mit jeder Veränderung in der Stellung des betreffenden Gegenstandes.
Die geometrische Form eines Würfels (cubus) ist z. B. die eines Körpers, welcher von 6 gleich grossen quadratischen, rechtwinklig aneinanderstossenden Flächen begrenzt wird. Die Umrisslinien dieser Flächen sind geometrisch gleich lang, ihre geometrische Richtung ist, wenn wir den Würfel auf eine wagrechte Fläche stellen, teils senkrecht, teils wagrecht, sie stehen geometrisch teils parallel, teils rechtwinklig zu einander. Stellen wir aber mehrere in Wirklichkeit gleich grosse Würfel in verschiedener Stellung und Entfernung vor uns, oder betrachten wir denselben Würfel von verschiedenen Standpunkten aus, so erhalten wir sehr verschiedene Bilder, wieFig. 11zeigt: während einige Linien, wiea b,b c,c dinA, ihre geometrische Richtung und Länge behalten, erscheint ein Teil der geometrisch wagrechten Linien schräg, wiec einA,a b,a g,c d,c e,d funde finB, zuweilen auch senkrecht, wied finA; geometrisch parallele Linien erscheinen nicht mehr parallel, wiec eundd finA, von den geometrisch gleich grossen Linien und Flächen erscheint bald die eine, bald die andere grösser oder kleiner u. s. w. Und während in Wirklichkeit die Gegenstände und ihre einzelnen Teile und Linien nicht nur neben und über einander, sondern auch in den verschiedensten Entfernungen vor und hinter einander liegen, sehen wir sie perspectivisch so, als ob sie in einer senkrechten Fläche sämtlich neben und über einander lägen, weshalb wir denn auch auf der Fläche des Papiers, der Leinwand u. s. w. das naturgetreue Bild eines Gegenstandes wiedergeben können. Die deutlichsteAnschauung hievon gibt das fotografische Abbild oder das Spiegelbild. Wenn wir einen Gegenstand, ohne unser Auge von der Stelle zu bewegen, so wie wir ihn in einem Spiegel oder durch eine Fensterscheibe sehen, auf der Fläche des Glases nachzeichnen, so erhalten wir sein genaues perspectivisches Bild.
Fig. 11Fig. 11.
Fig. 11.
§ 7.Es ist die Erfahrung und Übung des Auges, welche bewirkt, dass wir die perspectivische Form, in der wir die Dinge sehen, nicht mit ihrer wirklichen oder geometrischen Form verwechseln, sondern uns auch da, wo die erstere von der lezteren abweicht, eine allerdings nicht immer genaue Vorstellung von der wirklichen Form des betreffenden Gegenstands machen können; dass wir z. B. bei Betrachtung von mehreren, wieA,B,C,D,E,F,GFig. 11sich darstellenden Würfeln uns ihrer verschiedenen Entfernung von unserem Standpunkt, der geometrisch wagrechten und parallelen Richtung der Linienc e,d fu. s. w. inA, der geometrisch gleichen Länge sämtlicher Umrisslinien der Würfel bewusst sind.
Ja, diese auf der Erfahrung unseres Auges beruhende Kenntnis der geometrischen Form bildet ein nicht unwesentliches Hindernis für die richtige Auffassung des perspectivischen Bildes.2Unbewusst halten wir in dem häufigen und mannigfachen Wechsel der perspectivischen Erscheinung die Vorstellung der geometrischen Form fest und der ungeübte Zeichner ist deshalb stets geneigt, auch wo das seinem Auge sich darbietende Bild eines Gegenstands von dessen wirklicher Form erheblich abweicht, die leztere an Stelle des ersteren zu sezen, oder wenigstens mehr als richtig ist, der geometrischen Form nahe zu bleiben. Er wird z. B. Flächen oder Linien, welche von dem angenommenen Standpunkt aus im Verhältnis zu andern kleiner erscheinen, als sie in Wirklichkeit sind, fast immer zu gross, inFig. 12z. B.a bstatti g(das linke Bild als dasrichtige angenommen), geometrisch rechtwinklige Linien, welche perspectivisch einen stumpfen oder spizen Winkel bilden, meist so zeichnen, dass sie wenigstens annähernd rechtwinklig zu einander stehen, vgl.c,d,e,fstattm,n,o,p; erscheint eine geometrisch wagrechte Linie perspectivisch schräg, so wird er sie zu wenig von der wagrechten Richtung abweichen lassen, vgl.a bu. s. w.
Fig. 12Fig. 12.
Fig. 12.
§ 8.Jede Berechnung einer perspectivischen Form muss zunächst ausgehen von der geometrischen Form des betreffenden Gegenstands: um zu berechnen, welche Richtung und welche Länge eine bestimmte Linie unseres Bildes haben soll, müssen wir die wirkliche Richtung und Länge der betreffenden Linie kennen und nur soweit, als wir diese genau anzugeben vermögen, ist ein genaues Resultat unserer Berechnung möglich.
Aber, wie bereits angedeutet, ist unsere Beurteilung der geometrischen Form nicht eine unbedingt sichere und genaue, wenn wir (siehe Vorwort) voraussezen, dass wir ohne Hilfe von Messungen am Gegenstand die wirkliche Form desselbennur auf Grund unserer Anschauung und Erfahrung uns klar zu machen haben.
Auch ein geübtes Auge vermag die geometrische Form der Dinge nur dann mit vollkommener Bestimmtheit und Genauigkeit zu erkennen, wenn dieselbe eine regelmässige, durch die Natur des Gegenstands notwendig bedingte und dem Auge aus Erfahrung bekannte, nicht aber, wenn sie unregelmässig, zufällig und willkürlich ist. Unsere Berechnung wird sich daher nur auf Formen der ersteren Art erstrecken.
Teils aus diesem Grunde, teils weil wir bei Ausführung einer perspectivischen Berechnung auf das Lineal angewiesen sind, haben wir es zunächst nur mit geraden Linien zu thun. Doch ist damit die Anwendung der perspectivischen Regeln auf Formen, welche nicht geradlinige Umrisse haben, nicht ausgeschlossen, indem wir mittels gerader Linien die Lage einzelner wichtiger Punkte ihres perspectivischen Bildes berechnen können, von welchen aus das Übrige sich leicht aus freier Hand ergänzen lässt, wie dies z. B. bei der Darstellung eines von der Seite gesehenen Kreises geschieht, vgl.Fig. 93und94.
§ 9.Welche Linienrichtungen und Grössenverhältnisse sind nun als regelmässig und notwendig, welche als willkürlich anzusehen?
Bei aufmerksamer Betrachtung von Gegenständen der verschiedensten Art werden wir finden, dass es meist durch die Natur des betreffenden Gegenstandes bedingt und, auch wenn das perspectivische Bild von der geometrischen Form abweicht, deutlich wahrnehmbar ist, ob eine Linie geometrisch senkrecht, wagrecht, oder schräg ist, welche Linien geometrisch parallel, welche rechtwinklig zu einander stehen. Dasselbe gilt von den symmetrischen Grössenverhältnissen. (Da die Entfernung zweier Punkte von einander nach der Länge einer zwischen ihnen gezogenen geraden Linie bemessen wird, so bezieht sich das Gesagte auch auf die perspectivischen Entfernungen).
Wo dagegen Linien in einem spizen oder stumpfen Winkel zu einander stehen, ist die geometrische Größe dieses Winkels meist zufällig und willkürlich. (Eine Ausnahme bilden die Winkel, in welchen die Linien mancher geometrischen Figuren zu einander stehen, z. B. die Diagonalen eines Quadrats zu dessen Seiten, die Seiten eines gleichseitigen Dreiecks, eines Sechsecks, Achtecks u. s. w. zu einander). Alle Grössenverhältnisse, mit Ausnahme der symmetrischen, sind mehr oder weniger willkürlich.
§ 10.Nehmen wir z. B. an, dass das HausFig. 13und das ZimmerFig. 14so, wie sie hier gezeichnet sind, in Wirklichkeit vor uns stehen und dass die geometrische Richtung und Länge der verschiedenen Linien angegeben werden soll.
Fig. 13Fig. 13.
Fig. 13.
Leicht erkennbar sind überall die senkrechten Linien, da ihre Richtung stets unverändert dieselbe ist. Beispiele geometrisch wagrechter Linien sind in beiden Figuren die mita,b,c,d,e,f,g,hbezeichneten Linien, geometrisch schräg sind inFig. 13i,h,k,m,n,o. Geometrisch parallel sind inFig. 13die Wagrechtena aundb, sodann die mitcund die mite, ferner die mitfbezeichneten Linien und die schrägen Linieni i, sowieo o. InFig. 14sind geometrisch parallel die mite, sodann die mitfbezeichneten Linien; ebensoaundb,cundd,gundh. Geometrisch rechtwinklig stehen zu einander in beiden Figuren die Linienaundbzucundd, ferner die Linienezuf.
Fig. 14Fig. 14.
Fig. 14.
InFig. 13haben die 5 Fenster des ersten Stockwerks in Wirklichkeit gleiche Höhe, und Breite, die Entfernungen der Fenster von einander und von den Ecken sind je auf einer Seite geometrisch gleich gross, die Giebellinieniundksind geometrisch gleich lang, ebenso inFig. 14die 4 Tischbeine, die 2 senkrechten Linien der Thüre (zwischengundh) u. s. w.
Die rasche und sichere Auffassung solcher geometrischen Linienrichtungen und Grössenverhältnisse erfordert immerhin einige Übung. Dass die geometrisch schräge LiniemFig. 13(oder die geometrisch wagrechtea bFig. 29) mit einer Senkrechtenverwechselt werde, ist kaum zu befürchten; leichter geschieht es, dass der Anfänger die geometrisch parallele oder rechtwinklige Stellung von Linien übersieht, welche nicht in Einer Fläche liegen oder wegen ihrer geringen Länge wenig in's Auge fallen (z. B. dass die Linieb,Fig. 13geometrisch parallel ist mita a). Bei einiger Aufmerksamkeit gewöhnt sich jedoch das Auge bald an eine richtige Unterscheidung der angeführten Linienrichtungen und Grössenverhältnisse.
Aber weder unser Auge noch unsere Erfahrung sagen uns genau, wie gross in Wirklichkeit der Winkel ist, in welchem die LinieniundkFig. 13zu der darunter liegenden Wagrechtenc, oder inFig. 14die Linienaundb,cunddodergundhzue estehen, wie breit in Wirklichkeit die linke Seite des HausesFig. 13im Verhältnis zur rechten, das FensterFig. 14im Verhältnis zur vorderen, dieser zum anstossenden Tischrand ist; denn alle diese Winkelstellungen und Grössenverhältnisse ergeben sich nicht aus der Natur des Gegenstandes; sie sind zufälliger Art.
§ 11.Da die zufälligen und willkürlichen Linienrichtungen, Winkelstellungen und Grössenverhältnisse, deren Darstellung wir dem Auge und der Übung des Zeichners überlassen, überall häufig vorkommen, in der landschaftlichen Natur sogar weit vorherrschen über das Regelmässige und Notwendige der Form, so könnte es scheinen, als ob die Anwendung und der Nuzen perspectivischer Geseze und Studien sehr beschränkt sei. Aber es ist klar, dass die Genauigkeit der Zeichnung eine um so grössere sein muss, die Kenntnis und Anwendung bestimmter Regeln daher um so notwendiger ist, je bekannter und regelmässiger die darzustellenden Formen sind, während unregelmässige und willkürliche Formen der Darstellung eine grössere Freiheit gestatten. Hievon abgesehen beruht der Wert perspectivischer Studien nicht allein darin, dass sie uns in Stand sezen, das perspectivische Bild eines Gegenstands mathematisch zu berechnen, sondern wir lernen durch dieselben überhauptdie Eindrücke des Auges mit richtigerem und klarerem Verständnis aufzufassen und infolge dessen auch da, wo keine genauere Berechnung stattfindet, richtiger wiederzugeben.
§ 12.Nächst der geometrischen Richtung und Länge der Linien ist es ihre Stellung zu unserem Auge, oder, was dasselbe ist, unseres Auges zu ihnen, d. h.unser Standpunkt, wovon das perspectivische Bild abhängt. Gewöhnlich versteht man unter Standpunkt die Stelle, auf welcher wir stehen oder sizen; im Sinne der genauen perspectivischen Berechnung jedoch verstehen wir darunterden Punkt, wo unser Auge sich befindet. Der Unterschied zwischen rechtem und linkem Auge kommt dabei nicht in Betracht wegen der als notwendig vorausgesetzten Entfernung unseres Standpunkts von dem zu zeichnenden Gegenstand.
Fig. 15Fig. 15.
Fig. 15.
Da wir nach allen Richtungen gleich viel übersehen, so bildet der Umfang dessen, was wir mit Einem Blick erfassen können, einen – selbstverständlich nicht bestimmt abgegrenzten – Kreis, unsernSehkreis, vgl.Fig. 15. Der Mittelpunkt desselben,P, ist der Punkt, welcher dem Auge gerade gegenüber liegt und heisst derAugpunkt. Durch den Augpunkt denke man sich eine wagrechte den Sehkreis in der Mitte durchschneidende und nach beiden Seiten über denselben hinaus beliebig sich fortsezende Linie (H H) gezogen; dies ist der perspectivischeHorizont. Die perspectivische Berechnung geht von der Voraussezung aus, dass der Blick des Zeichners bei aufrechter Haltung des Kopfes geradeaus gerichtet sei, so dass beide Augen in einer wagrechten Linie liegen, welche wir unsereAugenlinienennen. Mit dieser Linie parallel-laufend und in gleicher Höhe mit ihr haben wir uns den Horizont zu denken.Eine von unserem Auge nach dem Augpunkt gezogene Linie würde demnach rechtwinklig zu unsererAugenlinie und zum Horizont stehenwieD PzuH HinFig. 15. Man denke sich die Zeichnung senkrecht stehend undD Pals wagrechte rechtwinklig zuH Hstehende Linie, vgl.Fig. 16.
Fig. 16Fig. 16.
Fig. 16.
Im gewöhnlichen Sprachgebrauch bedeutet Horizont die Linie, welche die sichtbaren Gegenstände gegen den Himmel abgrenzt, es sei dies eine Berglinie, oder der obere Umriss von Gebäuden u. s. w. Dieser sogenannte scheinbare Horizont ist zugleich unser perspectivischer, wenn wir eine wagrechte, soweit das Auge reicht vor uns ausgedehnte Fläche überblicken. Eine solche Fläche erscheint gegen den Himmel begrenzt durch eine wagrechte in gleicher Höhe mit unserem Auge liegende Linie, wie uns am deutlichsten die Meeresfläche zeigt: je tiefer wir stehen, desto schmaler, je höher wir stehen, desto breiter erscheint uns dieselbe, mit unserem Standpunkt scheint auch die Grenzlinie des Meeres höher oder tiefer zu rücken,3vgl.Fig. 17 und 18.
Fig. 17 und 18Fig. 17 und 18.
Fig. 17 und 18.
§ 13.Indem wir Augpunkt und Horizont auf unserer Zeichnung angeben (was in sämtlichen Figuren durch die BuchstabenPundH Hgeschehen ist), bezeichnen wir damit dieHöheund dieRichtung, aus welcher wir den betreffenden Gegenstand sehen und zeichnen. InFig. 15haben wir uns demnach den Zeichner in der Fortsezung der Liniee fstehend oder sizend zu denken, so dass sein Auge dem PunktePgerade gegenüber und in gleicher Höhe mit diesem und mit der LinieH Hsich befände, vgl.Fig. 16.
Um beim Zeichnen nach der Natur Augpunkt und Horizont an der richtigen Stelle anzugeben, muss man zuvor, so gut dies ohne Berechnung möglich, eine Skizze der Hauptlinien desBildes nach ihren ungefähren Verhältnissen entworfen haben. Hält man hierauf einen Bleistift, den Rand des Zeichenblattes oder dgl. wagrecht in gleicher Höhe mit dem Auge vor sich, so ist es nicht schwer, die Höhe zu ersehen, in welcher der Gegenstand von der Horizontlinie durchschnitten wird und auf derselben die dem Auge gerade gegenüberliegende Stelle zu bestimmen.
Gewöhnlich wird übrigens nicht der ganze Umfang des Sehkreises als Bild verwendet. Wir pflegen vielmehr der Zeichnung die Form eines Rechtecks zu geben, welches in der Regel so abgegrenzt wird, dass Horizont und Augpunkt nicht in der Mitte, aber auch nicht zu nahe am Rande desselben liegen, vgl.Fig. 17 und 18.
§ 14.Unter derEntfernung unseres Standpunktsoder derDistanzist zu verstehenunsere Entfernung von den uns zunächst liegenden Teilen des zu zeichnenden Gegenstands. Häufig liegt der nächste Vordergrund in der wagrechten Fortsezung der Fläche, auf welcher wir unsern Standpunkt genommen haben und bildet so den untern Rand der Zeichnung, wie inFig. 13–15. Ziehen wir in solchem Fall eine Linie von unserem Fuss nach dem gerade gegenüber liegenden Punkt der Vordergrundlinie, dem sog.Fusspunkt, so bezeichnet die Länge dieser Linie (F fFig. 16) die genaue Grösse unserer Distanz.
Denken wir uns, dass anstossend an den Teil unseres Gegenstands, welcher unserem Auge am nächsten liegt, z. B. inFig. 15und16auf der Liniea b, eine grosse unser ganzes Bild umfassende Glastafel stehe und dass Augpunkt, Horizont und Fusspunkt in der senkrechten Fläche dieser Tafel (der sogenannten Bildfläche) liegen, so wäre eine Linie vom Auge nach dem Augpunkt eben so lang, als eine Linie von unserem Fusse nach dem Fusspunkt (vgl.D PundF fFig. 16) undkönnte ebenso als Mass der Distanz gebraucht werden. In diesem Sinne ist es zu verstehen, wenn gesagt wird, die Distanz bedeute die Entfernung unseres Auges vom Augpunkt, und so oft von dieser die Rede ist, muss man sich das zu zeichnende Bild in der angeführten Weise als eine senkrechte Fläche vorstellen, wie wir es im Spiegelbilde sehen.
§ 15.Die Entfernung des Standpunkts muss wenigstens so gross sein, dass der Zeichner gerade aus in der Richtung des Augpunkts blickend und ohne das Auge nach der Seite, nach oben oder unten zu wenden, alles, was er in sein Bild aufnehmen will, deutlich übersehen kann.
Denn da bei jeder Veränderung des Standpunkts das perspectivische Bild des Gegenstands ein anderes wird, so ist die erste Bedingung einer perspectivisch richtigen Zeichnung, dass das Ganze von ein und demselben Standpunkt aus, d. h. aus derselben Höhe, Richtung und Entfernung gezeichnet, die einmal angenommene Lage von Horizont und Augpunkt, sowie die Grösse der Distanz unverändert beibehalten werde. Sobald wir aber die Richtung unseres Blickes verändern, so ändert sich die Lage unseres Augpunkts und somit unser Standpunkt.
Die Grösse der Distanz muss demgemäss in einem gewissen Verhältnis zum Umfang des zu zeichnenden Gegenstandes stehen: je grösser derselbe sein soll, desto grösser muss auch die Distanz sein.
§ 16.Man nimmt an, dass das Auge eine ihm senkrecht gegenüberstehende kreisrunde oder quadratische Fläche vollständig in der angeführten Weise übersehen kann, wenn seine Entfernung vom Mittelpunkt dieser Fläche wenigstens so gross ist, als ein Durchmesser oder eine Diagonale derselben. Dabei ist vorausgesezt, dass sich das Auge dem Mittelpunkt der Fläche gegenüber befinde.
Wenn wir uns z. B. das Quadrata b c dFig. 15als eine senkrecht vor uns stehende Glastafel denken, deren Mittelpunktunser Augpunkt und deren Diagonale (a coderb d) 4½ Meter lang wäre, so müsste unser Auge von dem Mittelpunkt dieser Tafel wenigstens 4½ Meter entfernt sein, um ohne Veränderung des Standpunkts den ganzen Umfang derselben übersehen zu können. Oder wenn inFig. 16PAugpunkt des inFstehenden Beschauers unda b c deine quadratische Glastafel ist, so müssen die LinienD PundF fwenigstens so lang sein wiea cundb d, damit das Auge vonDaus die ganze Tafel und alles, was durch dieselbe sichtbar ist, übersehen kann.
Befindet sich das Auge nicht dem Mittelpunkt der Bildfläche gegenüber, so ist die Diagonale derselben noch kein hinreichendes Mass der Distanz. Wenn wir z. B. dem Bildea b c dFig. 15so gegenüberstehen, dassmunser Augpunkt ist, so muss, um den von dem Vierecka b c dumschlossenen Raum übersehen zu können, die Distanz wenigstens doppelt so gross sein, als eine Linie vonmnachboder nachc, d. h. eben so gross als für ein Rechteckg b c kerforderlich wäre, dessen Mittelpunktmist oder für einen vonmaus durchcundbbeschriebenen Kreis.
Dagegen kann die Distanz nach Belieben grösser angenommen werden.
§ 17.Natürlich ist das Gesagte nicht so aufzufassen, als ob innerhalb eines bestimmten Umkreises alle Gegenstände gleich deutlich, jenseits desselben undeutlich oder gar nicht mehr sichtbar wären, vielmehr nimmt die Deutlichkeit derselben allmälig ab, je weiter sie sich vom Augpunkt entfernen. Es ist aber für die perspectivische Berechnung notwendig, eine Grenzlinie festzusezen, innerhalb deren eine hinreichende Deutlichkeit des Bildes anzunehmen ist. Dieses Mass der kleinsten Distanz ist in den perspectivischen Lehrbüchern verschieden angegeben, wie auch der Umfang dessen, was mit Einem Blick zu übersehen ist, nicht für jedes Auge gleich gross ist. Jedoch kann ohne Gefahr für eine perspectivisch richtige Wirkung nicht wohl ein niedrigeres Mass angenommen werden, als oben geschehen ist.
Ist es dem Zeichner durch die Raumverhältnisse unmöglich gemacht, seinen Standpunkt in hinreichender Entfernung zu nehmen, so muss mittels perspectivischer Berechnung das Ganze so gezeichnet werden, wie es sich, in richtiger Entfernung gesehen, dem Auge darstellen würde.4
§ 18.Die Grösse der für eine Zeichnung angenommenen Distanz wird ausgedrückt durch dieDistanzpunkte. Ein Distanzpunkt ist ein senkrecht über oder unter dem Augpunkt oder seitwärts von diesem in der Horizontlinie angegebener Punkt, dessen Entfernung vom Augpunkt (im Verhältnis der Zeichnung) der Entfernung unseres Auges vom Augpunkt oder unseres Fusses vom Fusspunkt entspricht. Ist z. B. inFig. 15die Liniea b3 Meter lang und ist die vom Zeichner für das Bilda b c dangenommene Distanz eine solche, dass sein Fuss vonf, sein Auge von dem (senkrecht überfgedachten) AugpunktP4½ Meter entfernt sich befindet, so sindDundDgDistanzpunkte, indem eine Linie von einem dieser 2 Punkte bisP1½ mal so gross ist, alsa b.
Zur Unterscheidung werden wir die seitwärts vom Augpunkt liegenden DistanzpunkteDiagonalpunktenennen (DgundDp). Von den beiden andern ist stets der unterhalb des Augpunkts liegende verwendet und als Distanzpunkt (D) bezeichnet.
Aus§ 16folgt, dass ein Distanzpunkt oder Diagonalpunkt nie innerhalb der Zeichnung liegen kann, daseine Entfernung vom Augpunkt wenigstens so gross sein muss, als eine Diagonale derselben, wenn der Augpunkt in der Mitte des Bildes liegt, oder, wenn dies nicht der Fall ist, doppelt so gross als eine Linievom Augpunkt nach dem von ihm entferntesten Punkte der Zeichnung.
§ 19.Ein genaues Abmessen der Distanz ist natürlich in den meisten Fällen nicht ausführbar und ist auch behufs Angabe der Distanzpunkte nicht notwendig.Die Hauptsache ist, dass eine zu kleine Distanz vermieden wird.Um sich beim Zeichnen nach der Natur zu versichern, dass die angenommene Entfernung des Standpunkts eine für den beabsichtigten Umfang des Bildes hinreichende sei, kann man sich eines aus starker Pappe gefertigten Rahmens bedienen, dessen innerer Rand ein Rechteck von 48 : 36 Centimeter bildet. Die Diagonale eines Rechtecks von dieser Grösse entspricht ungefähr der durchschnittlichen Länge des Arms; die Distanz ist also hinreichend gross, wenn der Rahmen, auf Armeslänge vor das Auge gehalten, während der Blick auf den Augpunkt gerichtet ist, den ganzen Gegenstand, welcher gezeichnet werden soll, umschliesst, vgl.Fig. 16. Hiebei wird man sich leicht überzeugen, dass der Umfang des innerhalb des Rahmens sichtbaren Bildes kleiner oder grösser wird, je nachdem man, denselben vor sich haltend, dem Gegenstande näher tritt oder sich von demselben entfernt.
§ 20.Wenn von der Entfernung einzelner Teile des Bildes von unserem Standpunkt die Rede ist, so kommt dabei nicht in Betracht, ob dieselben mehr in der Mitte oder nach dem Rande desselben liegen, da dies bei richtiger Grösse der Distanz keinen für die perspectivische Berechnung wesentlichen Unterschied macht, sondern es ist damit nur die Entfernung in der Richtung vom Vordergrund nach dem Hintergrund zu gemeint. Um die Entfernung eines Punktes oder einer Linie vom Auge in diesem Sinne zu bezeichnen, gebraucht man häufig den Ausdruck »Tiefe«. Man kann z. B. sagen:aundbFig. 15liegen in gleicher Tiefe,aundein verschiedener Tiefe.
§ 21.Das wichtigste und am meisten in die Augen fallende Gesez der Perspective ist,dass alle Gegenstände kleiner zu werden scheinen, je weiter sie sich von unserem Standpunkt entfernen. Alle perspectivischen Formveränderungen lassen sich auf dieses Gesez zurückführen, dessen Begründung wir im Bau unseres Auges und der hiedurch bedingten Art, wie sich in demselben die Gegenstände spiegeln, zu suchen haben.
Fig. 19Fig. 19.
Fig. 19.
Aus jenem Gesez folgt zunächst, dass nur eine Fläche, welche ganz gerade vor uns steht, d. h. senkrecht und parallel mit unserer Augenlinie, wie die FlächeAFig. 19, dem Auge genau so erscheinen kann, wie sie in Wirklichkeit ist, mit andern Worten so, dass die perspectivische Richtung und das perspectivische Grössenverhältnis ihrer Umrisse und aller in ihr liegenden Linien mit deren geometrischer Richtung und Länge übereinstimmt. Denn in diesem Fall befinden sich sämtliche Teile der Fläche in gleicher Entfernung vom Auge (in gleicher Tiefe). Sobald wir die TafelA, während unser Standpunkt derselbe bleibt, nach irgend einer Seite wenden, so liegen einzelne Teile derselben in ungleicher Tiefe; die ferneren Teile erscheinen infolge dessen verhältnismässig kleiner, als die näheren und die perspectivische Form der ganzen Tafel wird hiedurch eine von ihrer geometrischen Form verschiedene. InBist z. B. die Linieb cferner alsa d, jene erscheint daher kürzer als diese, folglich können die geometrisch parallelen Liniena bundd cnicht mehr parallel und sie können nicht mehr beide rechtwinklig zua dundb cerscheinen. Wird die TafelBin mehrere gleich grosse senkrechte Streifen geteilt, so erscheinen diese nach der Linieb chin allmälig kleinerzu werden, die ganze Fläche erscheint daher schmaler als bei der StellungA, vgl.Fig. 11.
§ 22.Wenn eine Fläche oder Linie eine solche Stellung zum Auge hat (unser Standpunkt zu ihr ein solcher ist), dass sämtliche Teile derselben in gleicher Tiefe liegen, wie inFig. 19Aund die anAbefindlichen Linien, so nennt man dies dieunverkürzte Stellung; eine Fläche oder Linie ist dagegenverkürzt, wenn einzelne Teile derselben dem Auge näher, andere ferner liegen. Unverkürzt sind also inFig. 19die FlächenAundG, sämtliche senkrechte Linien, die wagrechten Liniena bundc dinAundD,a einG, die schrägen Liniena cundb dinA,a dundb cinE. Alle übrigen Flächen und Linien sind verkürzt. (Man bemerke, dass zwar die schrägeFlächeEverkürzt ist, dab cferner liegt alsa d, die schrägenLiniena dundb caber inEunverkürzt sind, indem ihre beiden Endpunkte in gleicher Tiefe liegen).
Die senkrechten Linien haben immer unverkürzte Stellung, da ihre beiden Endpunkte immer in gleicher Tiefe liegen. Eine senkrechteFlächedagegen kann sowohl verkürzt sein wieB, als unverkürzt wieA.
Die unverkürzten wagrechten Linien eines Bildes sind parallel mit unserer Augenlinie und mit dem Horizont, folglich auch parallel unter sich.Wagrechte und schrägeFlächensind stets verkürzt.
§ 23.Für Anfänger ist es zweckmässig, einen Bleistift, ein Lineal oder dergl. in der für die Zeichnung angenommenen Richtung der Augenlinie und des Horizonts vor sich zu legen, um mit dieser Normallinie die verschiedenen wagrechten Linien des Gegenstands vergleichen und leichter unterscheiden zu können, ob sie unverkürzt oder verkürzt sind.
Sollte man in Betreff einer schrägen Linie im Zweifel sein, ob sie unverkürzt oder verkürzt ist, so denke man sich dieselbe mit einer senkrechten und einer wagrechten Linie zu einem Dreieck verbunden, wie inGdie schräge Liniea dmita eunde doder inFdie Linieb cmitb eunde c. Man nennt dies dasMassdreieckeiner schrägen Linie. Ist die wagrechte Linie dieses Dreiecks unverkürzt, wiea einG, so ist es auch die schräge; ist erstere verkürzt, wieb einF, so ist auch die schräge Linie verkürzt.
§ 24.Unverkürzte Linien, welche in gleicher Tiefe(in Einer unverkürzten senkrechten Fläche)liegen, wie sämtliche Linien der FlächeAFig. 19,behalten ihre geometrische Richtung und ihr geometrisches Grössenverhältnis; sie erscheinen und werden gezeichnet wie sie in Wirklichkeit sind;unverkürzte Linien in ungleicher Tiefe, wiea dundb cinB,b cunda dinE,behalten ihre geometrische Richtung, nicht aber ihr geometrisches Grössenverhältnis(indem die ferneren kleiner erscheinen);die perspectivische Länge der verkürzten Linien ist immer, ihre perspectivische Richtung in den meisten Fällen verschieden von ihrer geometrischen Richtung und Länge.
Wo die geometrische Richtung oder Länge einer Linie unverändert bleibt, muss dieselbe entweder nach dem Augenmass oder mit Hilfe von Lineal und Zirkel bestimmt werden. Wir bedürfen für solche Fälle keiner perspectivischen Regel und Berechnung.
§ 25.Wenn 2 parallele Linien durch eine Anzahl von Linien verbunden werden, welche unter sich gleichfalls parallel sind, so sind nach§ 1,Fig. 1diese Verbindungslinien gleich lang. Haben wir nun parallele Linien in verkürzter Stellung vor uns, wie die Eisenbahnschienen inFig. 20, so befinden sich die Verbindungslinien, hier die Schwellen, in verschiedener Entfernung vom Auge, sie scheinen daher nach der Ferne hin immer kleiner zu werden, d. h. der Abstand zwischen den beiden verkürzten Parallellinien scheint sich zu verkleinern, sie scheinen näher zusammenzurücken je weiter sie sich von unserem Auge entfernen und wenn sie sich auf sehr weite Entfernung fortsezen, so müssen sie schliesslich in Einem Punkte, wie hier in dem PunkteP, zusammentreffen, in welchem sie aufhören sichtbar zu sein.