Chapter 27

F=4π2R MT2, undf=4π2RT2.

Bei gleicher Umlaufszeit ist die Zentrifugalkraft dem Radius proportional, und bei gleichem Radius dem Quadrat der Umlaufszeit umgekehrt proportional.Ist die Masse eines Körpers bekannt, so kann man die Zentripetalkraft angeben, die notwendig ist, damit er um einen Mittelpunkt in gegebenem Abstand in gegebener Zeit rotiert.

Wenn bei gleichen Umlaufszeiten zwei verschiedene Massenm1undm2sich in solchen Entfernungen vom Mittelpunkte befinden, daß diese AbständeR1undR2sich verhalten wie umgekehrt die Massen, also daßR1:R2=m2:m1, oder daßm1R1=m2R2, so sind die Zentrifugalkräfte gleich. Bringt man beim früheren Versuch die zwei durch eine Schnur verbundenen Kugeln so an, daß bei gespannter Schnur sich die Gewichte verhalten wie umgekehrt ihre Abstände vom Drehungsmittelpunkt, so daß also der Drehpunkt der Schwerpunkt beider Massen ist, so bleiben bei jeder Rotationsgeschwindigkeit beide Kugeln in Ruhe, weil sie gleiche Zentrifugalkräfte bekommen.

Befindet sich ein Körper (etwa von der Masseneinheit) auf der Erdoberfläche, so bekommt er eine Beschleunigung =g= 9,809m. Befindet er sich aber in einer Entfernung gleich der des Mondes, und läuft er in dieser Entfernung um die Erde kreisförmig, wie es ja der Mond nahezu wirklich tut, so braucht er dazu die Zeit von 27 Tg. 7 Std. 43' 11" (siderischer Monat). Die Zentralbeschleunigung, die hiezu erforderlich ist, berechnet sich ausf=4π2·RT2, wobeiT= 2 360 501" undR= 382 000 000msetzen. Es ist dannf=4 · 3,142· 382 000 0002 360 5002= 0,00274m.

Vergleicht man diese Zentralbeschleunigung mit der Beschleunigungg, welche der Körper auf der Erdoberfläche bekommt, also mitg= 9,809m, so findet man, daß sie nahezu 3600 = (602)mal so klein ist, und da die Entfernung des Mondes von der Erde 60 mal so groß ist, wie der Erdradius, so schließt man: Die Kraft, die den Mond zwingt, kreisförmig um die Erde zu laufen in der Zeit von 27 Tg. 4 Std. u. s. w. ist dieselbe Kraft, welche den Körper auf der Erdoberfläche zum Fallen bringt, nur nimmt diese Kraft ab, wie das Quadrat der Entfernung zunimmt. Durch solche Betrachtungen kam Newton zur Entdeckung des nach ihm benanntenNewtonschen Gravitationsgesetzes(1666), welches heißt:Die Anziehungskraft, Attraktion, der Erdewirkt nicht bloß auf der Erdoberfläche, sondern auch in beliebiger Entfernung, und die Kraftnimmt ab, wie das Quadrat der Entfernung zunimmt.

Indem dann Newton das Gesetz auch auf die Bewegung anderer Himmelskörper anwandte, auf die Bewegung der Planeten um die Sonne, der Monde um die Planeten, erkannte er, daß es ganz allgemein gültig sei, und daßdie Anziehung auch demProdukt der beiden sich anziehenden Massen proportional ist. Also:Die gegenseitige Anziehung zweier Himmelskörper ist proportional dem Produkte beider Massen und umgekehrt proportional dem Quadrat ihres Abstandes.

232.Ein Körper von 50kgGewicht bewegt sich mit der Geschwindigkeit von 6mim Kreise von 10mRadius. Welche Zentrifugalkraft bringt er hervor und wie groß ist die Zentralbeschleunigung?

233.Welche Zentrifugalkraft bringt die Masse von 7,2kghervor, wenn sie den Kreis von 10mRadius in 8 Sekunden durchläuft?

234.Wie schnell muß ein Körper sich auf einem vertikalen Kreise mit dem Radiusr= 0,8, 1,4mbewegen, wenn die Schwerkraft durch die Zentrifugalkraft aufgehoben werden soll?

235.Mit welcher Umlaufszeit muß sich die Masse von 12kgim Kreise von 6mRadius bewegen, um 2kgKraft hervorzubringen?

236.Wie groß ist die Zentrifugalbeschleunigung am Rande eines rotierenden Zubers von 110cmDurchmesser bei 340 Touren in der Minute (Sirupschleuder)?

237.Wie groß ist die Zentrifugalkraft und die Zentrifugalbeschleunigung bei einem Waggon von 250 Zentner Gewicht, wenn er auf einer Kurve von 170mRadius mit 7mGeschwindigkeit sich bewegt; um welchen Winkel wird dadurch die Schwerkraft abgelenkt; mit welcher Geschwindigkeit dürfte der Zug sich bewegen, wenn die Zentrifugalkraft höchstens 2% vom Gewicht betragen sollte?

238.Wie rasch müßte die Erde sich drehen, damit am Äquator die Schwerkraft durch die Zentrifugalbeschleunigung der Erde gerade aufgehoben wird?

239.Auf eine frei bewegliche Masse von 300kgGewicht und 4mGeschwindigkeit soll senkrecht zur Richtung der Geschwindigkeit eine Kraft angebracht werden, so daß die Masse sich im Kreis von 40mRadius bewegt. Wie groß muß diese Kraft sein, und wie lange dauert ein Umlauf?

240.Auf eine frei bewegliche Masse von 60kgund 1,5mGeschwindigkeit wirkt senkrecht zur Richtung der Geschwindigkeit eine Kraft von 2kg. Welchen Krümmungsradius hat ihre Kreisbahn und wie groß ist die Umlaufszeit?

241.Auf eine frei bewegliche Masse von 70kgGewicht und 3mGeschwindigkeit soll senkrecht zur Richtung der Geschwindigkeit eine Kraft wirken, so daß die Masse eine Umlaufszeit von 12" bekommt. Wie groß ist die Kraft und der Radius der Krümmung?

Aus dem Gesetz der allgemeinen Massenanziehung oder derUniversalgravitationlassen sich die Bewegungen der Himmelskörper erklären und berechnen; aus ihm folgen auch die Keplerschen Gesetze.

PlanetenbewegungFig. 359.

Fig. 359.

Es seiSdie Sonne, inAder Planet, undABdessen Geschwindigkeit. Ist die Anziehung der Sonne kleiner, als sie sein müßte, um eine kreisförmige Bahn zu veranlassen, so kommt der Planet nachA′außerhalb des Kreises.A′findet man, indem man aus der EigenbewegungABund aus dem WegAC, den er infolge der Anziehung der Sonne machen würde, das Wegparallelogramm konstruiert.

AA′stellt zugleich die Geschwindigkeit des Planeten während dieser Zeit annähernd dar. Im nächsten Zeitteil würde der Planet demnach den WegA′B′=AA′zurücklegen; zugleich würde ihn die Sonne nachAC′bewegen, er kommt deshalb nachA′′. Fährt man so fort, indem man für jeden folgenden Zeitteil die Bahn des Planeten bestimmt, so bekommt man annähernd die Bahn des Planeten.

Eine mathematische Ableitung der Bahn wie etwa beim schiefen Wurf kann auf elementarem Wege nicht gegeben werden.

Die Form der Bahn ist eineEllipse. Die Sonne steht in dem einenBrennpunkt. (1. Kepler’sches Gesetz.) Die Anziehung ist amstärksten, wenn der Planet sich am nächsten an der Sonne befindet, imPeriheliumA, jedoch ist sie dort kleiner, als sie sein müßte, um eine Kreisbewegung umSzu veranlassen, da die Geschwindigkeit des Planeten inAverhältnismäßig groß ist; der Planet entfernt sich demnach von der Sonne. Die Anziehung ist amschwächsten, wenn sich der Planet imApheliumbefindet. Doch ist die Anziehung dort größer, als sie sein müßte, um eine Kreisbewegung umSzu veranlassen, da die Geschwindigkeitdes Planeten inXverhältnismäßig klein ist; der Planet nähert sich demnach jetzt der Sonne.

Die Geschwindigkeit ist inAam größten und nimmt immer mehr ab, je mehr sich der Planet von der Sonne entfernt; sie ist im Aphelium am kleinsten und wächst dann wieder mit der Annäherung an die Sonne. Die Geschwindigkeiten richten sich dabei nach dem 2. Kepler’schen Gesetz. Der RadiusvektorSAbestreicht in gleichen Zeiten gleiche Sektoren. Es ist also etwa der SektorSAA′an Fläche gleich dem SektorSA′A′′u. s. w. gleich dem SektorSDD′.

Die Planetenbahnen sind tatsächlich alle sehr schwach gedrückte Ellipsen von geringer Exzentrizität, nahezu kreisförmig.

Betrachten wir die Planetenbahnen als kreisförmig, so berechnet sich die Umlaufszeit eines Planeten ausf=4π2RT2alsT=√(4π2Rf). Die UmlaufszeitT′eines anderen Planeten, der in der EntfernungR′die Zentralbeschleunigungf′bekommt, ist ebenso:

T′=√(4π2R′f′).

Durch Division beider Gleichungen hat man:

T2T′2=Rf′R′f.

Nach dem Newton’schen Attraktionsgesetz ist aberf:f′=R′2:R2, oderf′f=R2R′2; dies eingesetzt gibt:T2T′2; =R3R′3; das ist das dritte Kepler’sche Gesetz, demzufolge die Quadrate der Umlaufszeiten zweier Planeten sich verhalten wie die dritten Potenzen ihrer mittleren Abstände von der Sonne. Man bemerke, daß die Umlaufszeiten der Planeten nicht abhängig sind von ihrer Masse.

Hängt man einen schweren Körper an einem Faden auf, so bleibt er in Ruhe, wenn der Faden vertikal ist. Wird der Körper etwas seitwärts gerückt um den Winkelα(Elongation), so zerlegt sich die auf den Körper wirkende Schwerkraft in die zwei KomponentenP=Q sin α, undS=Q cos α. Die zweite,S, spannt den Faden und bringt keine Bewegung hervor, da sie durch den Gegenzug des Fadens aufgehoben wird; die erste,P, wirkt in der Richtung, in der sich der Körper bewegen kann; sie erteilt also dem Körper eine Geschwindigkeit, und er bewegt sich gegen die Mitte zu. Da hiebei der Winkelαimmer kleiner wird, so wird die KomponenteP, welche die Bewegung hervorbringt, immer kleiner und ist = 0 geworden, wenn der Punkt in der MitteDangekommen ist. Die Bewegung des Punktes ist also keine gleichförmig beschleunigte Bewegung, da die Kraft beständig ihre Größe und Richtung ändert, und kann mit den Hilfsmitteln der Elementarmathematik allein nicht abgeleitet werden. InDangekommen hat der Körper seine größte Geschwindigkeit und bewegt sich deshalb überDhinaus nach der anderen Seite. Durch die nun eintretende Zerlegung der Schwerkraft kommt aber eine KomponenteP′zum Vorschein, welche der Bewegung entgegenwirkt; deshalb wird die Bewegung nun ebenso verzögert, wie sie vorher beschleunigt wurde. Der Körper erreicht eine Entfernung, Elongation, welche so groß ist, als die Elongation auf der anderen Seite war. Die Bewegung vonEnachE′nennt man eineSchwingung. Dieser folgt eine eben solche Schwingung vonE′nachEund so fort.

Einen solchen schwingenden Körper nennt man ein Pendel und zwar einmathematisches Pendel, wenn der schwere Körper bloß ein Punkt und der Faden gewichtlos ist. (Bleikugel an einem möglichst dünnen Faden.)

Man fand folgende Gesetze (Galilei):Die Schwingungsdauer ist unabhängig von der Elongation, so lange letztere selbst nur ziemlich klein ist.Die Schwingungsdauer ist proportional der Quadratwurzel aus der Pendellänge;t1:t2= √l1: √l2. Ein 2 mal (4 mal) längeres Pendel braucht also zu einer Schwingung √2, (2) mal mehr Zeit.

DieAnzahl der Schwingungen, welche ein Pendel in einer gewissen Zeit, etwa einer Minute, ausführt, ist aber offenbar umgekehrt proportional der Dauer einer Schwingungt1:t2=n2:n1.Demnach sind die Schwingungszahlen zweier Pendel den Quadratwurzeln aus den Pendellängen umgekehrtproportional, alsot1:t2=n2:n1= √l1: √l2.

Macht man also ein Pendel 2 mal (4 mal) länger, so macht es in derselben Zeit √2mal (2 mal) weniger Schwingungen (Galilei).

Die Dauer einer Pendelschwingung wird dargestellt durch die Formelt=π√(lg). Die Schwingungsdauer hängt demnach auch von der Größe der auf den Körper wirkenden Kraft, und der durch sie hervorgebrachten Beschleunigunggab. Wird die KraftQgrößer, so wird auch die KomponentePgrößer, also die Bewegung rascher und somit die Schwingungsdauer kürzer. Die Schwingungsdauer ist umgekehrt proportional der Quadratwurzel aus der Kraft resp. der Beschleunigung.

Einphysisches Pendelist jeder Körper, der in einem Punkte so aufgehängt ist, daß sein Schwerpunkt vertikal unter dem Aufhängepunkte liegt und nun etwas aus dieser Lage gebracht wird. Die gewöhnlich bei Uhren verwendeten Pendel bestehen aus einer am oberen Endpunkte drehbar befestigten Stange und einem am unteren Ende befestigten schweren Körper von Kugel- oder Linsenform. Unter der Pendellänge eines solchen Pendels ist zu verstehen die Länge eines mathematischen Pendels, das eben so rasch schwingt wie das physische Pendel.

UnterSekundenpendelversteht man ein Pendel, das in einer Sekunde eine Schwingung macht, setzt mant= 1, so ist 1 =π√lg; alsol=gπ2ist die Länge des Sekundenpendels. Diese Länge ist bloß von der Beschleunigunggder Schwere abhängig, man kann also eine Größe durch die andere bestimmen. Mißt man die Länge des Sekundenpendels, so kann man darausgberechnen, und es ist dies die genaueste Methode zur Bestimmung vong. Nun ist aber die Schwerkraft am Äquator kleiner als bei uns, einerseits weil wegen der Abplattung der Erde die Punkte am Äquator weiter vom Erdmittelpunkte entfernt sind, andererseits weil die Zentrifugalkraft, die durch die Achsendrehung der Erde hervorgebracht wird, auch am Äquator größer ist und die Schwerkraft um mehr vermindert. Gegen die Pole nimmt die Schwerkraft noch weiter zu und die Zentrifugalkraft nimmt ab. Deshalb ist sowohl die Länge des Sekundenpendels als die Größe vongabhängig von der geographischen Breite.

Man fand:

Auch bei der Erhebung über die Meeresoberfläche ändert sich die Länge des Sekundenpendels und der Wert vongaus denselben Gründen; beide nehmen ab.

242.Wie lang muß ein Pendel sein, das in der Sekunde 2, 3, 4, 10 Schwingungen, das in der Minute 15, 10, 5 Schwingungen macht? (g= 9,81.)

243.Eine Pendeluhr geht täglich um 3 Minuten vor (stündlich um 7" nach). In welchem Verhältnis (um wie viel %) muß das Pendel verändert werden, damit die Uhr richtig geht?

244.Ein Sekundenpendel, das an einem Ort mit der Beschleunigungg= 9,8088 richtig geht, macht am Äquator täglich 126 Schwingungen zu wenig, an einem andern Ort täglich 44 Schwingungen zu viel. Wie groß ist dort die Erdbeschleunigung?

245.Wie groß ist die Erdbeschleunigung, wenn ein Pendel von 0,9926mLänge genau in Sekunden schwingt? Wie groß ist die Erdbeschleunigung, wenn ein Pendel von 0,99mLänge in der Stunde um 14 Schwingungen mehr macht als das Sekundenpendel?

246.Eine Uhr, deren Pendel eine Länge von 0,682mhat, geht in der Stunde um 1' 16" nach; um wieviel muß man die Pendellänge verändern, damit sie recht geht?

247.Um wieviel wird eine Uhr im Tage falsch gehen, wenn man ihr Pendel um1⁄2% verlängert?

248.Zwei Turmuhren haben eiserne Pendel von verschiedener Länge. Wenn nun beide Pendel um gleich viel Grad erwärmt werden, gehen dann beide Uhren um gleichviel falsch?

Wenn von einem KörperAeine Kraft ausgeht, welche auf einen KörperBwirkt, so unterliegt auchAselbst dem Einflusse einer vonBaus zurückwirkenden gleich großen Kraft; wirdBdurch die Kraft nach der einen Richtung bewegt, so wirdAnach der anderen Richtung bewegt,WirkungundGegenwirkung. Ist z. B. eine elastische Feder zwischen zwei KugelnAundBgespannt und man läßt beide zugleich los, so bewegen sich beide nach entgegengesetzten Richtungen.

Wirken die Kräfte dabei auf gleiche, frei bewegliche Massen, so erhalten diese dieselbe Geschwindigkeit; wirken sie auf verschiedene Massen, so erhalten sie verschiedene Geschwindigkeiten, welche sich verhalten umgekehrt wie die Massen; denn die gleichen Kräfte bringen Beschleunigungen hervor, welche sich umgekehrt wie die Massen verhalten,

m1:m2=g2:g1;

die erlangten Geschwindigkeiten sind aber den Beschleunigungen proportional,

g2:g1=v2:v1; also folgt

m1:m2=v2:v1; d. h.die in derselben Zeit erlangten Geschwindigkeiten sind den Massen umgekehrt proportional.

Solche Wirkungen entstehen beim Stoße, d. h. beim Zusammentreffen zweier in Bewegung befindlicher Massen. Sind die Massen unelastisch, so tritt beim Zusammentreffen eine Geschwindigkeitsänderung und eine bleibende Formveränderung ein, bis beide Massen dieselbe Geschwindigkeit haben. Es seien die Massenm1undm2, ihre Geschwindigkeitenv1undv2, beide nach derselben Seite gerichtet, undv2>v1, so daß das folgendem2das vorangehendem1einholt, es sei dannvdie schließliche gemeinschaftliche Geschwindigkeit so, bekommtm1einen Geschwindigkeitszuwachs =v-v1undm2einen Geschwindigkeitsverlust =v2-v, beide verhalten sich umgekehrt wie die Massen, also (v-v1) : (v2-v) =m2:m1; hieraus ist:

v=v1m1+v2m2m1+m2.

Laufen die Massen einander entgegen, so ist eine Geschwindigkeit, etwav2negativ zu nehmen, also ist

v=v1m1-v2m2m1+m2.

Sind die Massen einander gleich, so ist im ersten Fallev=1⁄2(v1+v2), im zweiten Fallev=1⁄2(v1-v2), ist hiebeiv1=v2, so istv= 0, d. h. treffen gleiche unelastische Massen mit gleichen Geschwindigkeiten aufeinander, so heben sich ihre Bewegungen auf, sie sind nach dem Stoße beide in Ruhe.

Wenn zweielastischeMassen aufeinander stoßen, so tritt zuerst auch eine Zusammendrückung der getroffenen Stellen ein und eine Geschwindigkeitsänderung bis beide Körper dieselbe Geschwindigkeit haben; aber dann kehren die einwärts gedrückten Stellen in die ursprüngliche Lage zurück und bringen einen gegenseitigen Druck hervor, welcher den Massen wieder eine Geschwindigkeitsänderung erteilt, welche ebenso groß ist wie die beim Zusammendrücken erhaltene.

Es seien die Massenm1undm2, ihre Geschwindigkeitenv1undv2, so ist die Geschwindigkeitsänderung beim Zusammendrücken wie vorherv-v1beim ersten undv2-vbeim zweiten, wobeiv=v1m1+v2m2m1+m2.

Beim Ausdehnen erhält jeder Körper dieselbe Geschwindigkeitsänderung; deshalb hatm1die schließliche Geschwindigkeit

c1=v1+ 2(v1m1+v2m2m1+m2-v1)also

c1=v1(m1-m2) + 2v2m2m1+m2;

ebenso hatm2die schließliche Geschwindigkeit

c2=v2- 2(v2-v1m1+v2m2m1+m2)also

c2=v2(m2-m1) + 2v1m1m1+m2.

Bewegen sich die Körper gegeneinander, so ist eine Geschwindigkeit, etwav2, als negativ zu nehmen, dann ist:

c1=v1(m1-m2) - 2v2m2m1+m2und

c2=v2(m1-m2) + 2v1m1m1+m2.

Sind beide Massen einander gleich, so ist im ersten Fallec1=v2undc2=v1d. h. die Massen gehen mit vertauschten Geschwindigkeiten weiter; im zweiten Falle istc1=-v2,c2=v1d. h. die Massen gehen mit vertauschten Geschwindigkeiten und nach entgegengesetzten Richtungen auseinander. Ist hiebei ein Körper zuerst in Ruhe, also im ersten Fallev1= 0, so istc1=v2,c2= 0, d. h. es kommt der zweite, stoßende Körper in Ruhe, und der erste geht mit dessen Geschwindigkeit fort.

Stößt ein Körper gegen eine feste Wand, so kann man deren Masse als unendlich groß ansehen, also etwa im ersten Fallm1=∞,v1= 0 setzen; um die Werte vonc1undc2zu finden, dividiere man Zähler und Nenner mitm1, setze dannm1=∞, also1m1= 0, so wirdc1= 0,c2=-v; der Körperm2geht also von der Wand mit derselben Geschwindigkeit wieder zurück.

Sind die Massen nicht vollständig elastisch, so geschieht die Ausbiegung der getroffenen Stellen nicht vollständig und nicht mit derselben Kraft wie die Einbiegung, es sind also auch die Geschwindigkeitsänderungen während des Ausbiegens kleiner als die beim Einbiegen.

Wenn eine Kraft vonPkgdurch eine Strecke vonsMeter auf einen frei beweglichen Körper gewirkt hat, so hat sie eineArbeitgeleistet =P·s. Der Erfolg besteht darin, daßeine gewisse Masse(M),auf welche die Kraft gewirkt hat, eine gewisse Geschwindigkeit(v)erhalten hat.

Nun istv= √2φ s; aberφ=PM, sonachv=√(2PM·s).

Diese Gleichung bringen wir in die Form

P s=1⁄2M v2.

In dieser Form zeigt die Gleichung, wie dieUrsache, daß nämlich die KraftPlängs des Wegesswirkt, zusammenhängt mit der Wirkung, daß nämlich eine MasseMeine Geschwindigkeitverhalten hat.

Ebenso kannMaus dieser Gleichung berechnet werden, wenn die anderen Größen bekannt sind.

Wenn die KraftPlängs des Wegessgewirkt hat, so ist dieseEnergie(P s) nicht mehr vorhanden; sie ist aber nicht aus der Natur verschwunden, sondern als Ersatz derselben ist eine Geschwindigkeitvvorhanden, welche eine MasseMerhalten hat.Die mit der Geschwindigkeitvbehaftete MasseMstellt das Äquivalent für die verschwundene EnergieP sdar.Diese MasseMbehält nun nach dem Trägheitsgesetz ihre Geschwindigkeit unverändert und immerfort bei, in ihrlebtgleichsam (daher der Ausdruck lebendige Kraft) die vorher inruhender Formvorhanden gewesene EnergieP s.

Stellt sich der MasseMauf ihrer Bahn früher oder später ein Hindernis in den Weg, zu dessen Überwindung sie eine gewisse KraftPbraucht, so kann sie dies Hindernis überwinden auf die Wegstreckeshin, welche sich berechnet auss=α22φ, wobeiα=v,φ=PM, also

s=v2·M2P, oder in anderer Form

1⁄2M v2=P s.

Dies ist dieselbe Gleichung wie vorher, und sie gibt an, wie nun die Ursache, nämlich daß eine Masse eine Geschwindigkeit hat, zusammenhängt mit der Wirkung, daß nämlich eine Kraft längs eines Weges ausgeübt wird.

Eine mit der Geschwindigkeitvbehaftete MasseMbesitzt also Arbeitsfähigkeit, und stellt also eineEnergiedar, ihre Größe ist ausgedrückt durch1⁄2M v2; d. h.die Energie eines in Bewegung befindlichen Körpers ist proportional der Masse und proportional dem Geschwindigkeitsquadrate. Diese Energie einer in Bewegung befindlichen Masse nennt man dielebendige Kraftdieser Masse. (Leibnitz, 1646.)

249.Wie lange muß eine konstante Kraft von 20kgauf einen frei beweglichen 840kgschweren Körper wirken, bis er eine Geschwindigkeit von 4merlangt hat; welche Strecke hat er dabei durchlaufen und welche Arbeit wurde aufgewendet?

250.Welche Geschwindigkeit bekommt ein Körper von 700kgGewicht, wenn auf ihn eine Kraft von 30kglängs eines Wegesvon 65mwirkt; welche Beschleunigung erhält er und wie lange braucht er dazu?

251.Welcher Masse kann eine Kraft von 60kg, welche längs eines Weges von 2mwirkt, eine Geschwindigkeit von 100merteilen?

252.Welche Kraft übt eine Masse von 400kgund 31⁄2mGeschwindigkeit aus, wenn sie 1220mweit läuft, bis sie stehen bleibt; welche Verzögerung hat sie und wie lange braucht sie?

253.Auf welche Länge kann eine Masse von 750kgbei 40mGeschwindigkeit eine konstante Kraft von 9kghervorbringen; wie groß ist die Verzögerung und wie lange bewegt sich der Körper?

254.Ein Geschoß von 7,7kgGewicht verläßt das 1,4mlange Rohr mit 440mGeschwindigkeit, wie groß ist der Druck der Pulvergase, welche Beschleunigung erfährt das Geschoß und wie lange braucht es, um das Rohr zu durchlaufen?

Mechanische Arbeit kann in Wärme verwandelt werden; wenn man mit einem Hammer oft auf ein Stück Blei schlägt, so wird es warm; es verschwindet dabei Energie, nämlich die lebendige Kraft des Hammers, da er beim Aufschlagen seine Bewegung verliert; als Ersatz kommt Wärme zum Vorschein. Es hat sich die mechanische Energie (P s) zuerst in Bewegungsenergie1⁄2M v2(des Hammers) verwandelt, unddiese Bewegungsenergie verwandelt sich in Wärme. Ähnlich: ein Bohrer, eine Säge erhitzen sich. JedeReibung erzeugt Wärme. Graf Rumford fand in der Geschützgießerei in München, daß ein stumpfer Kanonenbohrer sich stark erhitzt, und daß dazugegossenes Wasser ins Kochen kommt und weiter kocht, so lange gebohrt wird. Er schloß daraus nicht nur, daß Reibung Wärme erzeugt, sondern auch,daß Wärme nicht ein Stoffsein könne, da er sonst nicht in beliebiger Menge aus einem Stoffe (Bohrer) herausgenommen werden könne, sondern daßWärme selbst eine Art Bewegungsein müsse, da sie aus Bewegung entsteht.

R. Mayer, Arzt in Heilbronn, und der Engländer Joule untersuchten,welche Quantitäten mechanischer Energie und Wärme sich entsprechen, also insbesondere, wie vielekgmaufgewendet werden müssen, um 1 Kalorie zu erzeugen. Dies fand R. Mayer, dem man die wichtigsten Aufklärungen über die Verwandlung von Energien verdankt, auf folgende Art (1842). Man wußte schon längere Zeit, daßLuft verschiedene Wärmekapazitäthat, je nachdem man sie inoffenem oder verschlossenem Gefäßeerwärmt. Um Luft inverschlossenemGefäße von 0° auf 100° zu erwärmen, sind für jedeskgLuft 16,86 Kal. erforderlich; um sie aber inoffenemGefäße zu erwärmen,wobei sie sich ausdehnt, sind für 1kg23,77 Kal. erforderlich; R. Mayer sagte nun: Hiebei sind 16,86 Kal. erforderlich, um die Luft zu erwärmen, der Überschuß von 6,91 Kal. kommt aber nicht als Wärme zum Vorschein, sondern ist dazu verwendet worden, um Arbeit zu leisten; denn wenn die Luft sich ausdehnt, so muß der auf ihr liegende Luftdruck überwunden (die Luftsäule gehoben) werden. Die Größe dieser Arbeit ist aber leicht zu berechnen. 1kgLuft hat bei 0° ein Volumen von 775l; wenn es sich in einem Raume befindet, der 1qmGrundfläche hat, so hat es eine Höhe von 7,75dm. Erwärmt man diese Luft, so dehnt sie sich aus, der Höhe nach um 7,75 · 0,366 = 2,84dm= 0,284m. Dabei muß sie den Luftdruck von 10 000 · 1,033 = 10 330kgüberwinden, leistet also eine Arbeit von 10 330 · 0,284kgm= 2934kgm. Zu dieser Arbeit sind 6,91 Kal. verwendet worden, also treffen auf 1 Kal. 424kgm.

Joulemachte viele Versuche, um durch Reibung und Stoß Wärme zu erzeugen, und fand (später) die Richtigkeit des von R. Mayer errechneten Wärmeäquivalents auch für die umgekehrte Verwandlung von Arbeit in Wärme bestätigt.Helmholtzverallgemeinerte und begründete die Lehre von der Umwandlung und Erhaltung der Kraft (Arbeit, Energie) 1847.

Diese Zahl, 425kgm(wie man jetzt annimmt), nennt mandas mechanische Äquivalent der Wärme; sie gibt an, wie viele Einheiten der mechanischen Energie gleichwertig oder äquivalent sind einer Wärmeeinheit, einer Einheit der kalorischen Energie. Ebenso ist1⁄425Kalorie das Wärmeäquivalent von 1kgm.

Besonders gut läßt sich die Verwandlung von Arbeit in Wärme und deren Umkehrung bei Gasen verfolgen. Wenn man Luft komprimiert, so muß man, um die Expansivkraft der Luft zu überwinden, Arbeit aufwenden, indem man etwa den Kolben der Kompressionspumpe niederdrückt. Die Folge istnicht bloß eine Drucksteigerung, sondern auch eine sehr beträchtliche Erwärmung. Die Berechnung derselben kann nicht auf elementarem Weg erfolgen; doch ersieht man aus folgender Tabelle, wenn man 1cbmLuft von 0° und 1 Atm. Druck (760mm) bis auf 2, 3 . . . . Atmosphären zusammendrückt, welche Arbeit hiezu erforderlich ist, welche Temperatur die Luft dann hat (vorausgesetzt, daß sie keine Wärme an die Gefäßwände abgibt), und welches Volumen sie dann hat.

Kompression von 1cbmLuft von 0° und 1 Atm.

Dehnt sich die Luft sofort wieder aus, bevor sie etwas von ihrer Wärme abgegeben hat, so kehrt sie vollständig in ihren Anfangszustand zurück; sie leistet aber dabei eine Arbeit, denn sie übt einen ihrer jeweiligen Expansivkraft entsprechenden Druck längs des Ausdehnungsweges aus; dies geschieht aber auf Kosten der Wärme, denn sie kühlt sich dabei von selbst wieder auf 0° ab; es hat sich die Wärme (ein Teil ihres Wärmeinhaltes) in mechanische Arbeit verwandelt, und zwar leistet sie genau ebensoviel Arbeit als vorher zu ihrer Kompression aufgewendet wurde.

Läßt man jedoch die vorher komprimierte Luft zuerst abkühlen bis 0°, wobei man dafür sorgt, daß sie ihre Spannkraft beibehält, und läßt sie nun sich vermöge ihrer Spannkraft ausdehnen, so leistet sie Arbeit, aber wieder auf Kosten der Wärme, und es zeigt sich, daß sie sich beträchtlich abkühlt. Aus folgender Tabelle ist die hiebei wiedergewinnbare Arbeit und die Temperaturerniedrigung zu ersehen, wenn man die komprimierte Luft zuerst auf 0° abkühlt und dann erst sich bis zu einer Atm. Spannkraft ausdehnen läßt.

Wir sahen, daß 1kgSteinkohle beim Verbrennen zka. 7500 Kalorien liefert; könnte man diese ganze Wärmemenge in Arbeit verwandeln, so würde das 7500 · 425kgm= 3 187 500kgmliefern. Würde diese Arbeit während einer Stunde verrichtet, so würden zka. 12 Pferdekräfte geleistet werden. 1kgSteinkohle müßte also hinreichen, um 1 Stunde lang zwölf Pferdekräfte zu liefern. Tatsächlich liefern unsere Dampfmaschinen kaum 10%, die besten nur 12-15%. Von diesem Gesichtspunkte aus betrachtet sind also die Dampfmaschinen sehr unvollkommene Maschinen, sie arbeiten nicht sparsam, sie verwandeln bei weitem nicht alle Wärme in Arbeit, die meiste Wärme geht durch den Schornstein und durch den Abdampf verloren.

Wenn man eine Dynamomaschine umtreibt, so wendet man außer der Reibung noch eine gewisse ArbeitP sauf; diese wird verwandelt inelektrische Energie, indemeine entsprechende Quantität Elektrizität von gewissem Potenzialunterschiedhervorgebracht wird. Wenn sich dann der Potenzialunterschied durch das Fließen im Stromkreise wieder ausgleicht, verschwindet die elektrische Energie; aber dafür kommen dann andere Energien zum Vorschein.Man mißt die elektrische Energie durch das Produkt aus Stromstärke mal Potenzialdifferenz; wird in jeder Sekunde 1kgmaufgewendet, so kann man einen Strom erhalten von zka. 10Amp. Volt., also etwa einen Strom von 5Amp.Quantität (Stärke) bei einer Potenzialdifferenz an den Erregungsstellen von 2Volt.oder von 2Amp.bei 5Volt.oder entsprechend. Eine durch eine Pferdekraft getriebene Dynamomaschine sollte also einen konstanten Strom von 735Amp. Volt.geben; in Wirklichkeit ist die Leistung nicht ganz so groß; aber bei guten, insbesondere großen Dynamomaschinen geht nur wenig (5-10%) verloren, so daß die Dynamomaschinen als vorzügliche, keiner wesentlichen Verbesserung fähige Maschinen anzusehen sind.Die elektrische Energie liefert dadurch, daß sie im Stromkreis wieder verschwindet, wieder andere Energie: entweder kalorische Energie durch Erwärmung des durchlaufenen Leiters, und zwar 1 Kal. pro 425kgmoder pro 4227Amp. Volt.; oder es wird selbst wieder mechanische Energie erzeugt; denn wenn der Strom durch eine zweite Dynamomaschine geleitet wird, so liefert diese Arbeit unter Verbrauch der elektrischen Energie und zwar liefern auch wieder zka. 10Amp. Volt.1kgmper Sekunde oder 735Amp. Volt.eine Pferdekraft. Auch hiebei geht ein Teil verloren, doch liefern gute Maschinen bis 90% Nutzeffekt, die besten bis 97%. Nur wenn der Abstand beider Maschinen groß, also auch der Leitungswiderstand zwischen ihnen groß ist, so verlegt sich ein großer Teil des Gefälles in die Leitung selbst, ein großer Teil der elektrischen Energie wird in der Leitung in kalorische Energie verwandeltund geht für uns verloren, so daß der wirklich übertragene Betrag mechanischer Arbeit verhältnismäßig klein ist, 50%, oder bloß 25% zka.

Energie ist ein Zustand der Materie, demzufolge eine Kraft Gelegenheit und Fähigkeit hat, längs eines gewissen Weges zu wirken, also eine Arbeit zu leisten.Jede solche Energie heißt eineEnergie der Lageoder einepotenzielle Energie.

Hieher gehört dieEnergie der SchwerkraftoderGravitationsenergie: sie ist vorhanden, wenn ein schwerer Körper einen Abstand von einem ihn anziehenden Körper hat; ferner dieEnergie der Elastizität; sie ist vorhanden, wenn ein elastischer Körper eine Formveränderung erlitten hat (eine Feder zusammengedrückt ist) und nun in die ursprüngliche Gestalt zurückkehren will; ferner dieEnergie eines Gases(oder Dampfes), die Energie des Magnetes, die Energie der statischen Elektrizität und die Energie der elektrodynamischen Anziehung eines Stromteiles.

Die potenzielle Energie wird gemessen durch das Produkt aus Kraft und Weg=P·s. Ein Stein von 5kgGewicht, welcher von der Erde 6mentfernt ist, hat oder repräsentiert eine Energie von 5 · 6kgm. In manchen Fällen ändert sich die Kraft wesentlich, während der Weg zurückgelegt wird; z. B. die elastische Kraft der Feder nimmt ab, wenn die Feder in die ursprüngliche Gestalt zurückkehrt; auch die Spannkraft des Gases oder Dampfes nimmt bei der Ausdehnung ab. Um die Größe der Energie zu berechnen, muß man den ganzen Weg in sehr viele kleine Strecken zerlegen und berechnen, wie groß die Kraft am Anfang jeder Strecke ist; dann kann man, ohne einen großen Fehler zu begehen, annehmen, daß die Kraft längs der kleinen Strecke konstant bleibt, demnach jede Kraft mit der zugehörigen Strecke multiplizieren und sämtliche Produkte addieren.

Die Energie, welche ein in Bewegung befindlicher Körper besitzt, heißtdie Bewegungsenergie, kinetische Energie oder lebendige Kraft; auch ein solcher Körper befindet sich in einem Zustand, demzufolge er die Fähigkeit besitzt, eine Kraft längs eines Weges auszuüben. Wir haben gesehen, daß eine MasseM, welche die Geschwindigkeitvbesitzt, eine KraftPlängs des Wegessausüben kann, so daß1⁄2M v2=P s. Es kann also auch die Energie einer bewegten Masse ausgedrückt werden durchkgm, und sie wird gemessen durch das Produkt1⁄2M v2.

Auch die Wärme ist eine Energie, da sie ein Zustand ist, vermöge dessen ein Körper eine Kraft längs eines Weges ausüben kann. Eine Kal. liefert 425kgm. Nach der mechanischen Gastheoriehat ein Gas seine Spannkraft nur dadurch, daß die Gasmoleküle eine gewisse Geschwindigkeit haben; da nun bei gleichem Volumen die Spannkraft von der Wärme abhängig ist, so schließt man, daß mit zunehmender Temperatur die Geschwindigkeit der Gasmoleküle wächst. Demgemäß kann man dieWärme als kinetische Energie, als lebendige Kraft der Moleküle ansehen. Nimmt man ferner an, daß auch in festen und flüssigen Körpern die Moleküle nicht ruhig neben einander liegen, sondern schwingende Bewegungen um ihre Gleichgewichtslage machen und daß die Größe dieser Bewegungen mit steigender Temperatur wachse, so kann man auch die Wärme eines festen oder flüssigen Körpers als kinetische Energie, als lebendige Kraft der schwingenden Moleküle auffassen.

Da beim Schmelzen und Sieden Wärme verbraucht wird (latente Wärme), so kann man sich vorstellen, daß hiebei die Wärme nicht dazu verwendet wird, um die schon vorhandene Bewegung der Moleküle zu vergrößern, sondern um ihnen eine ganz neue Art von Bewegungen zu erteilen, etwa um ihnen eine fortschreitende Bewegung zu erteilen beim Verdampfen. So kann auch die latente Wärme als kinetische Energie aufgefaßt werden.

Dieelektrische Energie: eine elektrische Menge, welche eine gewisse Spannkraft hat, hat eine Energie; denn sie kann dadurch, daß sie ihre Spannkraft vermindert (etwa zur Erde abfließt), eine Arbeit leisten. Im galvanischen Strome findet ein beständiges Fließen der Elektrizität und damit ein beständiges Herabsinken von Elektrizität von höherer Spannung auf niedrigere Spannung statt. Die freien Mengen ± Elektrizität, welche an den Polen (Erregungsstellen) auftreten, stellen infolge ihres Spannungsunterschiedes eine Energie vor. Die Energie wird gemessen durch das Produkt aus ihrer Menge mal ihrer Spannungsdifferenz. Im galvanischen Strome verschwindetpro1" eine gewisse Menge Energie, die durch das Produkt aus Menge (Stromstärke,Amp.) mal Spannungsdifferenz (Volt) gemessen wird. Im galvanischen Strome findet also ein beständiges Verwandeln einer elektrischen Energie in eine andere (mechanische, kalorische etc.) Energie statt.

Chemische Energie. Wenn zwei chemisch miteinander verwandte Körper, z. B. Kohle und Sauerstoff sich verbinden, entwickeln sie Wärme, bringen also eine andere Energie hervor. Man mißt die chemische Energie durch den Betrag, der bei der chemischen Verbindung zum Vorschein kommenden Wärmemenge, also durch Kalorien und kann sie, da 1 Kal. = 425kgmist, auch durchkgmmessen. Da etwa 1kgWasserstoff, wenn es sich mit der entsprechenden Menge (8kg) Sauerstoff verbindet, 34 197 Kal. erzeugt, diese aber 34 179 · 425kgm= 14 526 000kgmäquivalentsind, so repräsentiert das SystemH2| Oeine chemische Energie von 14 526 000kgmfür 1kgWasserstoff. Will man umgekehrt 9kgWasser wieder inH2undOzerlegen, also die chemische Energie herstellen, so ist hiezu ein Aufwand von 14 526 000kgmEnergie notwendig. Allgemein:Jede chemische Änderung ist mit Energieänderung verbunden, meistens thermischer, oft auch elektrischer Art.

Die Energie derstrahlenden Wärme, etwa der Sonnenwärme. In den Licht- und Wärmestrahlen überträgt sich die Wärmeenergie der Sonne zu uns. Die Sonne strahlt Wärme aus (jedesqmSonnenoberfläche zka. 20 000 Kal.pro1 Sek.) und verliert dadurch Wärme; treffen die Sonnenstrahlen auf die Erdoberfläche, so wird die Wärme wieder frei, zka. 4 kl. Kal pro 1qcmin 1 Min.

Wir haben schon vielfach erkannt, daßsich Energien ineinander umwandeln lassen; die Physik enthält die Lehre von der Umwandlung der Energien. Energie der Lage, z. B. Gravitationsenergie, verwandelt sich in Bewegungsenergie, wenn ein Körper zur Erde fällt. Umgekehrt, wenn der Körper aufwärts geworfen wird, so verwandelt sich seine Bewegungsenergie1⁄2M v2wieder in Gravitationsenergie,P·s. Wärme bringt eine Spannungsenergie, die Energie des Dampfes, diese wieder Bewegungsenergie hervor, Bewegungsenergie kann sich in Wärme verwandeln (Reibung). Besonders die elektrische Energie kann durch die verschiedenartigsten Ursachen hervorgebracht werden; denn sie entsteht durch mechanische Energie (Reibung, Aufheben des Elektrophordeckels), chemische Energie (galvanisches Element), Wärme (Thermoelement), magnetische oder elektrische Energie (Induktion), Bewegungsenergie (dynamoelektrische Maschine). Umgekehrt kann sich elektrische Energie wieder in die verschiedensten Energien verwandeln; im galvanischen Strome entsteht Wärme (in jedem Leiter), chemische Energie (bei der Elektrolyse), mechanische Energie oder Energie der Lage (Elektromagnet, elektrodynamische Anziehung), Bewegungsenergie (elektrodynamische Maschine). Durch chemische Energie entsteht Wärme; aber auch strahlende Wärme kann sich in chemische Energie verwandeln; denn in den lebenden Pflanzen, wenn sie vom Sonnenlicht (oder elektrischen Licht) getroffen werden, wird die von den Pflanzen eingeatmete Kohlensäure zerlegt in Kohle und Sauerstoff und zwar wird diese Zerlegung nur dadurch hervorgebracht, daß ein Teil der Energie der Sonnenstrahlen verschwindet, also nicht als freie Wärme zum Vorschein kommt.

Viele Energien lassen sich ineinander verwandeln, jede mindestens in eine andere.

Aufgespeicherte Energie. Eine Energiemenge, welche man einem Massensystem gegeben hat, und welche ihm durch Verwandlungen und Übertragungen wieder entzogen werden kann, nennen wir eine aufgespeicherte. Die Uhr wird in Gang erhalten durch die aufgespeicherte Energie des gehobenen Gewichtes oder der gespannten, aufgezogenen Feder. Bei denelektrischen Akkumulatorenwird elektrische Energie in chemische verwandelt, aufbewahrt und wieder in elektrische verwandelt.

Wenn ein gewisser Betrag einer Energie verschwindet, so ist stets die Summe der Beträge derjenigen Energien, welche dadurch zum Vorschein kommen, dem verschwundenen Betrag gleich.(R. Mayer.) Eine in der Natur vorhandene Energie kann also nicht zu nichts werden, sondern kann sich nur in eine oder mehrere andere Energien verwandeln derart, daß beide Beträge einander gleich sind. Die Energie verschwindet nicht, sondern verwandelt sich nur in andere Energien, wobei die Größe der vorhandenen Energie ungeändert bleibt:Satz von der Erhaltung der Energie.

Dieser Satz spricht zugleich aus, daßeine Energie nicht aus nichts entstehen kann, daß durch Aufwand einer Energie nicht eine dem Betrag nach größere Energie hervorgebracht werden kann, daß also die Gesamtsumme der in der Natur vorhandenen Energien weder vergrößert noch verkleinert werden kann. Es ist dieser Satz der allgemeinste, oberste und alle Vorgänge der Natur beherrschende Satz, der sich würdig und ebenbürtig dem durch die Wissenschaft der Chemie gefundenen Satz anschließt, daß derStoff sich erhält, daß die Menge des in der Natur vorhandenen Stoffes weder verringert noch vermehrt werden kann.

Beispiele. Bei den einfachen Maschinen (Hebel, Rolle, Wellrad, schiefe Ebene, Schraube), sowie bei allen zusammengesetzten Maschinen (Kran, Räderwerk etc.) giltdie goldene Regel, daß die Kräfte sich verhalten wie umgekehrt die Wege, oder daß die Arbeit der Kraft gleich ist der Arbeit der Last. Diesen Satz, dessen Richtigkeit und Wichtigkeit man schon früher erkannte, nannte man den Satz von derErhaltung der Kraftoder derErhaltung der Arbeit. Bei all diesen Maschinen verschwindet eine Energie, da eine Kraft längs eines Weges wirkt, dafür kommt eine andere Energie zum Vorschein, z. B. eine Gravitationsenergie.Bei allen mechanischen von Stoß und Reibung freien Vorgängen ist immer die Summe der vorhandenen lebendigen und Spann-Kräfte konstant(Helmholtz).

In Wirklichkeit zeigt sich stets ein Verlust an gewonnener Energie: ein Teil der aufgewendeten Energie scheintverlorengegangenzu sein. Dieser Teil hat sich durch die Reibung in eine andere Energie, etwa Wärme, verwandelt, er hat sichzerstreut.

Wenn im galvanischen Elemente Zink verbraucht wird, so wird dadurch eine gewisse Menge chemischer Energie verbraucht, indem sichZnmitOverbindet. Dafür entstehen nun andere Energien; es wird Wasserstoff frei, der selbst noch eine chemische Energie (Verwandtschaft zuO) hat; dann wird Wärme im Elemente frei; ferner entsteht elektrische Energie, die aber im galvanischen Strome sofort wieder verschwindet und dadurch Wärme (im Draht), Energie der Lage oder Bewegung (Umtreiben einer elektrischen Maschine, Treiben einer elektrischen Klingel) vielleicht auch noch chemische Energie (Ausscheiden vonCuausSO4Cubei unlöslicher Anode) hervorbringt. Wenn man all diese Energien der Größe nach mißt und addiert, so ist ihr Gesamtbetrag genau gleich der aufgewendeten chemischen Energie, nämlich der chemischen Verwandtschaft desZnzuO.

Wenn wir verbrennliche Speisestoffe (Mehl, Zucker, Fett etc.) in uns aufnehmen, und dieselben durch die Verdauung ins Blut kommen, so verbinden sie sich dort mit dem durch die Lungen aufgenommenen Sauerstoff, d. h. sie verbrennen, ihre chemische Energie verschwindet. Dafür entsteht Wärme, wovon ein Erwachsener täglich zka. 2700 Kal. nach außen abgibt; ferner entsteht die Kraft unserer Muskeln, mittels deren wir andere Energien hervorbringen, z. B. Bewegungsenergien; ein arbeitender Mensch leistet täglich zka. 50 000kgmbloß durch die willkürlichen Muskelbewegungen; noch größere Arbeit leisten gewöhnlich die unwillkürlichen. Die Summe der Beträge beider Energien ist gleich dem Betrage der aufgewendeten chemischen Energie, also gleich dem Betrag der durch die wirkliche Verbrennung der Speisestoffe entwickelten Wärme. Die Speisestoffe, z. B. Fett, entwickeln gleich viel Wärmemenge (gleich viel Kalorien), ob sie direkt in der Luft verbrennen, oder ob sie sich im Körper mit Sauerstoff verbinden, wenn nur in beiden Fällen die Verbrennung eine gleich vollständige ist.

In all diesen Fällen findet also stets der Vorgang statt, daß eine Energie verschwindet und dafür eine oder mehrere Energien zum Vorschein kommen, daß sich also eine Energie in eine oder mehrere andere Energien umwandelt und bei jedem solchen Vorgang gilt derSatz von der Erhaltung der Energie als der allgemeinste und oberste Grundsatz der Physik.

Diesem Grundsatz gemäß ist die Energie des Weltalls ein der Größe nach unveränderliches Ganzes.

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