——————————————————————————————————————-
Pi**exp(1) to 2000 digits.
22.459157718361045473427152204543735027589315133996692249203002554066926040399 117912318519752727143031531450073148896372716654162727200036841245878483825780 197399927516270911185238671352940834892162337692496730536751662599601668725547 775888060873742920118171661161372246197209044896331314599273279140914840576764 889753784885344102006492593490357594763469165286294007847395407755298019829026 131224029511379990688652442931146335939285716073329541491532530137722767555183 068793043622842319088286797578297967264718164000704357181058364260641458021223 969069744749885161613318405106216364559561084133094289928312637557836158743046 929164246018335319342336420036127263824523624703549571835049073419630023545342 564129097921194303116908001292522770494403698852612861911839515968731591698101 911513070221704547646617959225224684510983208759621594421483998747447264175934 025693668265035580476642374237061708505644664324457496738884193688683115925200 555602645705059320117009362760553595826641201998120042761370192174862031910519 905506816571425870811340528853808629975276085614460926314249761823361686869406 515266685962413229106796479209792454561359400328316215872353548736449613197898 651307023062935703537082846360598423157484945238146522934841939651220934032766 631221216839837299037626473546428923658982018887142263051892244637286989688952 629932221082170328499564646586884098400854477924636623980341662609379906902596 890092791699406503118363879200217974924860319354120458999797010669295391213233 516672591218324888062076891463762345298253525351404898329971337436517350003961 883125449684954203283005442012232052307716980668470945979870907851778445856606 483290848480861820758755919609039050305827913278716879189191452266911950355455 869776770198226974316621958022717872653726612167154548315173292985803868104995 405043526449458038171403377697461873928491691112281324245397651802020663132788 881315151831992999654261917159535830028527474699812892854833574079721772874399 120441167663005232606009645213664966955702763587607
——————————————————————————————————————-
Pi^2 to 10000 digits.
9.8696044010893586188344909998761511353136994072407906264133493762200448224192 052430017734037185522318240259137740231440777723481220300467276106176779851976 609903998562065756305715060412328403287808693527693421649396665715190445387352 617794138202582605816934125155920483098188732700330762666711043589508715041003 257885365952763577528379226833187450864045463541250269737295669583342278581500 063652270954724908597560726692647527790052853364522066698082641589687710573278 892917469015455100692544324570364496561725379286076060081459725892292324142400 442959813618144137067777781947396583031708566327895707534079917145231589263721 144638282644328528037928503480952338995039685746094853460090177429322057990359 173578204657580419316868230021961468992704206142969634660057998403516421365430 499845337217365572404636768488762615122990270599380102994468861817162609801308 765300370601583691986762860050799364683226697315683671755589711987529752963949 163155394491954838770687211307898665755909865363656307636308806115008353739182 611017808879024933772955782165794152474429338040786774075917093911979674301710 197011933994782022551476370229160802356358689156949579810351725151158286387293 277492004738462303294161944944950482112274446835725813185686259164943537639200 245003154821872041892476434436456337341364878452945127591637200743026136518682 117133046089777848572443256426333072365045231672315616051773692148498509071244 808367251079619884021248924514013965314763445957717647448759069546304375317353 067681435847515688509468429655050941311966099761993928593528770616690680969158 020553597781851324066690861770052217484091351102484588263306531907440319802006 689728609754185245016232046990294306437167133128246527441455128482197747519442 522936754874415353118001181393254334638307722867084758425378966015720137099654 767906621280174009756998567044437250552077804965634117081429051429437956774749 247521494382427232511802876279805621393263109127872561635360942478452947871754 251615265191330283407473028263587424337973810856876863949300992557237204901226 980769528397502168128621385708117824179109883401397518132046411884555584811300 206496819201030573698664416231870521502551644845016434425822921150995221122676 823169859477070880760028354214951270260667879890831705251698037149755032075546 739353790664991275286270904351343457716507473168210816011762804948451576594635 941758812614520495389456565236901499040341581369495434370994611114770114180337 050875014299446011339694109996842858347703643457588349286012312250872202731757 514199334733626583889229748495856193888834239544151667502218841230922834931531 503775433323872764004739676719079165248824115121900359781976053423694171525906 351893263258110365757154987316965790422671497821821284531161080960760023664011 827060294290645986837706910492665967709726606634015487578207063844618783057522 774798544124848269691600014288030197114786935973447885997415639814201684668181 882453828142845515271665634338154613488269646125634010584242331806504888119459 980651714678470201077451172779441620203150356378529272583772670625627052800726 116946586284541156754927922407382178743899639944159298538349243240264821879440 597603535529046967850494820470624984189963921518775371814632179244111897323352 839886048258467496260696262848480117741453428149333135564153426050193665392112 384051703068106821484250914035428865434001067320722503552390254325516377456702 947138170075412331140584055904531054235091647701437495157641156469104116895519 221992591244125063537949157434477187976072985039892995607262182578151496011546 909949578789545156511095639499194568048477769601461169809150924199241906522025 339701857041320060709228676570693818249464327191041456120875394184172772414392 110267801128456003123905634312916802334461082596817610850472185984702471200309 971671192940623139270921696035930280269549671539347265684386338695994645240994 471804698508079695777259521677282120192269861787653812010897171876028968343668 025142519223060489946243443954825503928003122061817520882009392142310894621512 211423807480575296276217095800659572136159922884813095433558008409125472476132 290881205397015024091803245154148016132534541725485713796739568584903674764429 535993311300473635976666216084381171675628270488139893315400869323564627133406 930743416199955760250917711645599956551079791124389790050154383508353503409012 653757497459442025015614536124068511932237930722224390121306235462149331535250 806742359498690027774683108247136713900862616838832025913804292479525424185038 598737935675632047911580061446327106945653496434004629296041565703410921150180 388713090151481484456257860298433768511545289245512381421908647636226357819661 260013256717832904035501212429188810223443306144790831047437322174168533405671 749501512322346857491187209961786713844922691096325621722834656032811535771833 253505872662653011477320420032510948036958841218791538139868571441163362660042 019634508563519704433212502577110522585551558587825701537326327953694001760140 392522666190496071808022741631843306990214649060274520397675040135563194555278 775565944348404810311717493335976206894434123008582716918937188582150761698735 854801584605757588122686593591270603979782687256675034141898862749859661309026 781052599007356287636651833150395757814863130606929676042251310159297301685410 893621915794385043460099031725894642379951900071193600960700189047527767130723 855875587594980435537140931558314891144168752979659924605268664286476331829258 848992194100932372812701269103132192322533579777118184154690422226025485662242 642594901587020729350928495181373695709237647044325946794269231525191684594551 568990337797540830358361016409940805482161595594298673822704933204143535957901 090020222129003677967699896364043293980926913358336989329718916743077667797680 410377730715003105378193079556031226371741931595349576932598162176270747640947 455833218359905261184491284194296679690596362983718269880776678011530918098146 217543091543352017427952306834517444813423217623555885825270426898634151203252 331908819795579460339196043017991086746005861096866493000934332624191392832643 922255530499205354191313235845300818669478029806126392202530272431058224244860 709165972161313820278169580753101510085738642173313142007746836222132310677030 168052025322957847600863375424540193077116839169556469220616336216867972857749 208617582790814920657902305527938111963666671857886255954946278286075154753041 262781743279613674991134362608644791777699304312242980064473459896580467724159 963586748722844213040907517668770551924273526221983098292641175818137693773764 400674411776739196946345386398335031018712273945550681968588924594926402073694 116117931135228569415135542368508111542298684547669171806693292123069086089544 985978263750717485668458407718537841810503168698812392372532335935832192065550 437741667556818583136219098274096743656398552671710855861413443447722468810524 734170336494079049424010692543996380818678491502361782954524767478143593895381 808766230716183766845428565243266806297269062637897717695366732052527175938383 912650823794375977365073928564585603050109079601158738614860701382431415267692 774218651718647063080895712849599805325468580261808680812235865761576147195665 908236576594455276365825013464807100629837136533610059255977577712359171893300 426220696882053354979437676184846342379482668816672878082887827672491680706425 638359990485336743555195895057377299026105027262168350606230744351237149165761 418422876475885687387617066744495596056760002934390299725665069339665063650367 659535178388869210715798225289233530602862034069794578375621193301968034844930 968494598682396040747419807100557700359990785042645939820294135402706632794640 528609463900020393569546564092360817372837219399394658720878896059728151605838 238676541669512380743569758358701858377371117259888780536957895421806929878196 991123260704012747968888503858935881847399437111883577118797335213663519006363 356336125505919740919820037511002378906574695952324863553936871927846576208586 659175511594471580765089597051217652603550309904868454249557969037813956563594 482997493334897293282633417267926516663109973557959402873171439643843894266101 751268487927216306390042424669277974465714476788026712039482962173280070047308 974243669764635657817636051997502458648819197813655943095237185243708701150925 610336416014224978861669080856275475946113601937783054747912989907442756546070 783913011885888210156954343664032303812052220928325612326849381275792340760255 561787352596337566427966665968131741929910022208359169435684336368930565778945 156969476036071760433712670283717373191319728575044618098510831085917410929491 361006316306318037199798426917940818267874624258234546696489522670407596570606 074754839461201167427814970723460982831541234941429656565121067056600254878783 589237565130410781059911782769167059138430437519791960874541928055005869289049 291711556603993189126847523121546044523719971012837695087188160206756547228936 005765563250153700224626372601737813818519283311322944958977254117270525467715 366914234154445476128923480244820684772189434024072170529882335814557261465276 850628492831415315034847076740387368315795950051529411191540069193790282274974 554746032136668642137987537954572644155142175814395255351744600789503877148525 901463839595437596225083991287076356810294267674644597758070825982365915676008 864631501415090090222950956132949315171627373349722803781005530107769116745640 844361556397634129833196411910842900824162283699981680258860575114760215441640 134678237039170365961310870366156461120962501261417426042415389452011622574832 257443295821554286346941411897838223641951632621469937958300218207427481975486 367007243424715627715638444890091326426839557457280383877985268576286970497755 875267571231273572469185254307162096355144039737539258545864701731623345381553 702609774600372866228706286479026267328365967355621390701142715285968765440480 413999519423326295528747110104881861313937258368711586199138423542005340917940 029029608428514521398919508640364199254963336863203248008422891547180641933006 809271563435528027313370857776489971194369981939115604037133620154489683868865 89931759486282677
——————————————————————————————————————-
The Smallest Pisot-Vijayaraghavan number.
1.324717957244746025960908854478097340734404056901733364534015050 3028278512455475940546993479817872803299109209947422074251089026 3904589779559431475709672347175416683903886741875173693158425354 9908246622354533727350458987990956815062774550980248621301216989 4157524574548625075626524610368938904839932269952074975962828868 5569081507045136961098533525772815860334411419278282737652960329 9358467423102848324169523900610854333821850839810180895735387047 3931343967313767646021031652768893963935325943992483103109583953 7751942602887740927186203389282016152555321827094706130567612398 8920463730657196297771688630876153324800111768073116684532277431 5662899607266383572210363470709838371598022337102130982468490863 1296936634439244500715415042900081903067058984533905346887287406 6195775626167061764288919391230837918311716229603886147635880730 6315097483767582459270289013195095515560122800385957615401784215 1761874421595586099669924711478012082373365413973711912926405796 2484832322634420095923073636101515091300390033271919208565844628
——————————————————————————————————————-
arctan(1/2)/Pi, to 1024 digits.
0.1475836176504332741754010762247405259511345238869178945999223128 6271147678602633673171429894778980400728170225841282815020514562 1521257493949857822174541459994018799541759109327949871559160403 1349271099342015425615134736832575251590871914549016863000485145 0655748506991483594199692099780283990946970320377371042160788150 0515580090470643113961197326187224085791750089161218300305450802 0736904639543575260558948426244398071837799927125671333584571034 6725722237801422969315704088646303590972236098731619147633079382 5469232528467804542055856389692426230479993325789292960386625904 2429298823134246665023844512493698971815322280687865131446724736 2358152669150209742367008522568183250062234492658383966328619506 9626204974008292187552899967087920922016160309839732183814608938 5342288815877356876363720519379780946756702578438637088625279626 1519018681561216852475138834954270945514499387170085692896342697 6347308117732513304560528686378658169845690944192418796963769141 9540758225444374125323403758176172251088269388603393288997880015
——————————————————————————————————————-
product(1+1/n**3,n=1..infinity); this number is also
1/2cosh(1/2 3 Pi)————————-Pito 2000 digits it is…
2.4281897920988703287360414361791463581183629447833904976327499747264447341208 683681238055015720590438813806801377705872956847589966936033836187324105300392 865808669244394657890892491651371066377104252323673607675147979646688639836904 850393739332252145805640347256592540290028830867001979398074213872522790089323 154228502236515521885815194297560892363347908641995792622259984250909040378684 263470763030768385636842185608142679764460596043796303811421041621275844292057 700163007280916980100703596621893466128982343192673735582936526960268252695827 969447527973522788556399884636296118681899499078622248798356109363043725581948 681540712668089039110046272735513927716078337416320928815428889994397208487845 323415270800430803554866401575762091559108205822661443142552172670570426310007 280323994887051306540159374175370062983819312615469974069317481395354238438130 325673813846292110990298812971632204025757373026637787021404782680466464668362 246757474415547510332404401129732859289172057826361202415591341320691414286355 066207235839140402947798916145909194748511067491857528988108472600419916917960 275893578887621848777804200666414640094066666366659061695962487433212942135659 098862138218072682527574354007044692378416377618789192673645148831322767020796 403995170593560502621672218884712643146275368343297780459511975061235555673521 375875748035778776659777816235811663079155556113809261875545662039223374633395 136872880693684118840597415337352831152304828824841286248567801036556995482649 553616364949385709861118707654681305841219015174685662159709787730991016345808 078455565925980891003288634435743709825026053099020264256367104788436657955995 570619349714104886667745264632292843536272232451933428675315001115884283005963 548074076280385891472617273743006391427828655498922164766406576688662750419251 884672348578621105429233053556502012952422035910770779156223960943510643593924 861383856922056804894136302733137543295955164256954576711200844560050492902481 435945529529155148304619158429612546849411015726741
——————————————————————————————————————-
exp(Pi*sqrt(163)), the Ramanujan number,
to a precision of 2000 digits.
262537412640768743.99999999999925007259719818568887935385633733699086270753741 037821064791011860731295118134618606450419308388794975386404490572871447719681 485232243203911647829148864228272013117831706501045222687801444841770346969463 355707681723887681000923706539519386506362757657888558223948114276912100830886 651107284710623465811298183012459132836100064982665923651726178830863710786452 195528154274665109611001472502097904639381778712575009803657792230643121651131 087380599298242335584945612399567699978435964864096003266482443521306491599303 270530753256568618388265483309802846696242873884751844436838530734115044469478 840059464469131682120592946054542163754891890060150356872862933140063632268146 351612163764864131429342351600214180513528287731960179813917884407150662994919 093496277396207234135302557578180281180210206340974993923837290330361739816633 600322612620886664117180538328558970002735722645233287010649586367726698687384 859165698266261741988551156844303327351231032433075727331649536152620482684798 306053981003157759802511144595774183596489094220203477196778483082245007019118 206108478776225735878584402319091953216420763414005680399431546526673794350216 992134747713261128519133178491606658068403489787814431322679410839519360265028 960726537291276226938242717551278279653750700784001190019241713358327134701518 756952318950577522896149682821650782166855605218622283761511045290704651981350 624064015699555055607723527235898359267993820905324184058912744801439474570950 647586555194756066347107978366612927647920909687903131865554282732062606593248 413261523705890098275370715373630772580812755826920872591581902005039751192726 281420515295848284628604840714806749933756897548169897911661250320738399632947 197475066080743912282251610298715312153928673289056455168511094510850241868813 357753938319988751316257344799941108118740096770682577450950592795177900534229 227625135157671393352553508698193649538153388239870759679764768250913442427211 537562946093572780028074511889735844312259940735819
——————————————————————————————————————-
The Robbins constant.
ref: D. Robbins, Average distance between two points in a box, Amer. Mathematical Monthly, 85.4 1978 p.278
0.6617071822671762351558311332484135817464001357909536048089442294 7958464613859763130665248076810712015170977531075941097247868058 1643721687453324207229824442327640922920607860008648053326693895 1526942028215425692085403456100394606163834472771107263924054689 7434592322069695104571767853038748238911194887130919810475594295 3120545589150326753940164393320790294473473479010132900154516660 0642731445463113650395856252896443964373900626507351434749911653 3540376378675705958829699270063500978386289740462915842777306955 7430187885803716470017544601967121335982623876512065551505953382 8281442492815931568016481658129911912468681742538796067114408338 5962036245968755328720698995275209149543768315871982607183656932 7991821337185639447759795860031495377302353537591681976432088663 8761213723743456544539160466691236289725645485547899749367949903 6787454198087305903903975046429880243733984398127096523272663805 7779297187173093916715126325857845393789259694776116795702854531 2570851202124609101739182422265676598386800760949577826879652854
4/105+17/105*2^(1/2)-2/35*3^(1/2)+1/5*ln(1+2^(1/2))+2/5*ln(2+3^(1/2))-1/15*Pi;
——————————————————————————————————————-
Salem Constant
ref : D.H. Lehmer , factorization of certain cyclotomic functions, Annals of Math, Serie 2, vol 34, 1933, pp. 461-479.
David Boyd, Small Salem numbers, Duke Math Journal, vol 44, 1977, pp. 315-328 this number is an algebraic number of the 10th degree.
1.176280818259917506544070338474035050693415806564695259830106347 0296883765485499620968301155818153946592071813793476817656271429 9390469080189480252316007759657054606241887504896232590717733457 1567548096997559812677289401128791972456983735177677402547018406 6278603009315383369626077626819915970468346466323231071265612414 2230084750982757531788114948316855868535248394324346506941148983 5604855670999941131248924651646199928894650701513975703312904628 5965316234036730870359350603811812061902043009241085523839830214 9953872876195952056739715886750661129345807575743980651247047412 2134188106798291251486337803701296891625290465195911765657939458 5147548608924166974891816070204188007795273821303291763399098187 4464693191554220975967586181179145555664298356496556596386045043 4719067256426322958012208664666341022433004123110637753690615489 2804267030782226373027706825877145786773674445329003975537521344 3969594529828030667432608207317189943453247528925058415973944040 8254461851691378006656323698981137666295496727278749361016763363
——————————————————————————————————————-
sin(1) to 1024 digits.
0.8414709848078965066525023216302989996225630607983710656727517099 9191040439123966894863974354305269585434903790792067429325911892 0991898881193410327729212409480791955826766606999907764011978408 7827325663474848028702986561570179624553948935729246701270864862 8105338203056137721820386844966776167426623901338275339795676425 5565477963989764824328690275696429120630058303651523031278255289 8532648513981934521359709559620621721148144417810576010756741366 4805500891672660580414007806239307037187795626128880463608173452 4656391420252404187763420749206952007713347809814279021452682556 6320823352154416091644209058929870224733844604489723713979912740 8192472504885548731193103506819081515326074573929111833196282150 8973486881142145283822986512570166738407445519237561432212906059 2482739703681801585630905432667846431075312638121732567019856011 0683602890189501942151616655191791451720046686595971691072197805 8854064600199401370140530958085520528052531711332305461638363601 8169947971500485150793983830395678167948161221402208916987109743
——————————————————————————————————————-
2**(1/4) to 1024 places.
1.1892071150027210667174999705604759152929720924638174130190022247194666682269 171598707813445381376737160373947747692131860637263617898477567853608625380177 750701515114035570922731623428688899241754460719087105038499725591050098371044 920154845735674580904839940930900034977959080384896588430050411987170093790798 209846252353739812817408181137808285520148422100609589324124459310350575191963 029413832634742802798244080228008217292720586153666393704002382073085456530674 477148598887334576271867838116547045872761271112699886784349301758614249701700 541314551438919987437667621785161783177987307048236318734734842180537156986842 636482761056228477995862896332939281687874758656034737919964594007561544437157 418903039869712943062486253517341291535975311215446746159086477606517445957055 930979119465756398917686972170262497475333629918606531157083493680769804948170 607437684746785586528255014184649792489099515633782998595087643532396621477896 547910454186934661861396145218563917026341604354229856108549326870868151717454 04554548532
——————————————————————————————————————-
sqrt(3)/2 to 5000 digits.
.86602540378443864676372317075293618347140262690519031402790348972596650845440 001854057309337862428783781307070770335151498497254749947623940582775604718682 426404661595115279103398741005054233746163250765617163345166144332533612733446 091898561352356583018393079400952499326868992969473382517375328802537830917406 480305047380109359516254157291476197991649889491225414435723191645867361208199 229392769883397903190917683305542158689044718915805104415276245083501176035557 214434799547818289854358424903644974664824214151039320430199436934876879115865 891569799649150391935143852695668478165605185363200962455338411559964418782057 071100837137605118649713541552994922973799383214444889807391897919511442742645 178801692640403219098617233052984486143643263207691133234921001059774207763922 059064326725351759582500834464720774042303563857199988146341731478871918094755 506357431937348827299122589427548768950694033248095598111147855527762146186159 609886913128081573442101642685834146932480595852486941819774796907287883592668 681656295544982771231241739359880261799888459616178511015265142019295770748553 621477960335310125476008798159293638317998764183171554007533292685532366426931 296113029111025520184013514875239936403973082905020852634097000954786673108797 194683512466021134551718490623186005559263054213445514986015560105003175358818 729120260192377759863996689880745305394749277211166300200942565181578057244342 364079464408162259363253332269243879958128832143605562042103400838175855005147 159035775759548082123045351970406460845175874648068200206983521552062681616351 546128866398014618829887276854773455787107021211539099616380870095321225622743 875843134805266684710810680269730212282707006426650390681672492836820335198867 111490598052146276725080070297023977357726727420363586882813118327458332011650 300663287203505391842923422615658023387724025020112031995598518110930146011943 357535550858470014843437983175002044765810711671261397841703350673509295101418 035838107387174672478179790404106522129323473426130545413167650437830630173033 609770202799206445648799740500038602872011502383662940004575718574473772243957 859564732954178543698075776889882013103418542402303648469135979284487987981305 207957632878889539116749028392001145076602606946768688776828321352341343714498 172069787183303687222279154323894660649265107409869767073908525830747627588164 599684978287226131955625954677069349468340871546911321236846310103649548391557 706597324218895772995796196414385734757463701320460682282702082229074510097287 470965263450130698632304053253571980160303875529709389914239699309762498208260 656985764679971094870832353759361789431473305428008521443480289919702645320371 540591669433894078131793357800419838012267461497196943352987715772147171547862 923549410773155563038338703393228578903032372374987517727227965664327459492466 828637381314870736911784345741891568168064181395191242008190333580358992436427 792146567461304662028297877682556837732219391714165673332227709019541094949164 731317250808556100846480973008466031051651987243311582800178339090672155044828 435337148282908872278634250781579720625368059903173644323312066359683471335647 572519875946415674309642065162759421558450733571189718736416717232624102189802 986643530813745547079843131265127944488423520875100157013114234552402349201621 895330336887481355125635530103043133142183302509644544691916000304561434594091 842118084695176156346518430689840576347349894596331764219496350825991275112646 178968314081728405445653705633918909972488638272414746021940065089177324960678 701639578875389300114821175213799849881345936920742369738692578177604561048165 791951728359470764717852032653804264508712488409275144263817247478872455521125 122686157803180905175243587957901639589918375503356805003310878302478688338855 646264365123996336007949820946888100805705914494984147795125582819571118249753 142501534840648675362586395929915055763877114942594265588179739300156153186304 918492515415542607279787417977785786967831684043241053939562352551581578479080 217437441480744707729267778098749964843897754964276371179512590516188343080479 627627215997745371033986957853630712266447521404867551898386833006795876131353 061615629472534881740658887722803330178811024150345211269474743386476066285988 462296383533038290827914933752828644732943045951482219064252892987971875320122 303106072804280427262462568416437742171936686010084615581521635282403006879396 842836076754390842203901164603231158190564588614887636276553758069184106730228 889992731281104098031581800960316548425810811583034173443155831075066192714369 565224756157760818281064759373776548828531997751494021282367027889259567476651 994432153571589252600399312123424069148817040108814852822860658109915341468231 434111113996190820817658629913660653985709633814345784059091998325755015350541 335156433200795915635980201946177034129575229788245918427630740173255464494827 998091485820424906785146136481107013187529775997375080905292723700988248579688 317119428485099110702270510482145419412443049360943824740041797224596723946566 554038885
——————————————————————————————————————-
sum(1/binomial(2*n,n),n=1..infinity) to 1024 digits.
0.7363998587187150779097951683649234960631258329094979056821966523 0847181802807864081869444182490225974582720321801478346017690055 4229868477732944895880680415915142979334394163998909738083425408 1520029546146727664979554751571056972458855740951911198864857982 9433328581834861487045790649324680582119729407417116198674601654 4485479889543142786974292724928598532747380156659130512545236749 4154597773449101860414448973793322220865507304585980050655111918 9338017331890327068185957293937796352569292021414362805981608876 3091647656764089200563681690417652792652154091682197250552326447 7646813159383043809989583900078755611335395490521438524130346215 3457599854790211802421898533425927038158436578567901788663851909 9589847649578146455045212664074436825052408587935995452420291968 6774100311819740383505356065846433687090253752952485814436801506 6642240052190351749758439051568244234310796570611672868391753708 6438175031998334537917178650178729583132166807457526236785528510 1696922360975795282761033968077326069723073543573616136752770598
——————————————————————————————————————-
sum(1/(n*binomial(2*n,n)),,n=1..infinity); to 1024 digits.
0.6045997880780726168646927525473852440946887493642468585232949784 6270772704211796122804166273735338961874080482702217519026535083 1344802716599417343821020623872714469001591245998364607125138112 2280044319220091497469332127356585458688283611427866798297286974 4149992872752292230568685973987020873179594111125674298011902481 6728219834314714180461439087392897799121070234988695768817855124 1231896660173652790621673460689983331298260956878970075982667878 4007025997835490602278935940906694528853938032121544208972413314 4637471485146133800845522535626479188978231137523295875828489671 6470219739074565714984375850118133417003093235782157786195519323 0186399782185317703632847800138890557237654867851852682995777864 9384771474367219682567818996111655237578612881903993178630437953 0161150467729610575258034098769650530635380629428728721655202259 9963360078285527624637658577352366351466194855917509302587630562 9657262547997501806875767975268094374698250211186289355178292765 2545383541463692924141550952115989104584610315360424205129155898
——————————————————————————————————————-
sum(1/n^n,n=1..infinity); to 1024 places.
1.291285997062663540407282590595600541498619368274522317310002445 1369445387652344555588170411294297089849950709248154305484104874 1928486419757916355594791369649697415687802079972917794827300902 5649230550720966638128467012053685745978703001277894129288253551 7702223833753193457492599677796483008495491110669649755010519757 4291162109702156166953289768924278900580939081478809403679930558 9535200633716110465094638606808864998606531021853412479159737305 2710686824652246770336860469870234201965831431339687388172956893 5536851798521420666264165438061224569940966356043885239969381304 4840101532338556989547899226146597068180753342912289091004995136 4103584723741679660994037428872280908239472403012423375069665874 3147683502983470096596930198071220594154742391888495488920431478 4037389693592832744937301860181757952468190913559650620576842700 8907326547137233834847185623248044173423385652705113744822086069 8381169706447896315548031108686846807807010570342300009547766282 9927022264266182213029160934485049255679995121281765081062180734
——————————————————————————————————————-
The Traveling Salesman Constant, conjectured to be is equal to 4/153*(1+2*sqrt(2))*sqrt(51) to 1000 digits.
.71478270079129427201898487962108409673134559709443031939645700411546117738335\ 879706770213413096294533561547227555717895434127457058654186783324525211448435\ 423370160734747472156550615029635220251467885538763575736849440141040232425552\ 364704664879061099570515393895856312208463669793487083110116620844381148478166\ 953397235099760820248716126335472464734965931893615249427223312525010786175723\ 903850094286618856777573472030439593602004416562703436281430743460123517870481\ 605658651710683396096658326275655282564938079930443149087689479702230621110332\ 425071472991466740480185001283536160284031917506648494911514005453049419741227\ 682161417117934301981301137112382110439175900888848785626934265741110708345544\ 731999904108101036079296059394893034776038533840976912765053467151339515952296\ 425034733122079333744376059531233173573812633038639781766805813536012423214277\ 007401299039458343003042376467569131088941308597225474822014342730622766746260\ 22472480156659330677754354367566446245619515011589704068286465445
——————————————————————————————————————-
The Tribonacci constant, is such that 1/(1-x-x^2-x^3) once expanded into a series will give coefficients proportional to approx. c**n and c = (to 1000 digits).
1.8392867552141611325518525646532866004241787460975922467787586394042032220819\ 664257384354194283070141419798268592409741641784507465074369438315458204995137\ 962496555396446136661215402779726781189410412116092232821559560718167121823659\ 866522733785378156969892521173957914132287210618789840852549569311453491349853\ 459576175035965221323814247272722417358187700069790551025490449657107425265477\ 228110065989375556363093330528262357538519719942991453008254663977472900587005\ 974481391931672825848839626332970700687236831127837750250557122275153259578946\ 560570686422283918659698294691356239220443192476147068811451726766712743964146\ 212571843342662340390218352494591033227231061513286997030808036302223324997105\ 243107472354231399744381826565607351940357874911762680524537079221110849710806\ 876410050156541475662235008885665949715821834184868714802901255436993480513679\ 165025853053878276666126224317766358200942985505387325991651787730184472388604\ 26222324857820792721049160181783725613203439814302274533997621231
/ 19 1/2\1/3 4|—— + 1/9 33 | + ———————————- + 1/3\ 27 / / 19 1/2\1/39 |—— + 1/9 33 |\ 27 /
in fact the n'th Tribonacci number is given by this EXACT formula. ——————————————————————————————————-
See : http://www.labri.u-bordeaux.fr/~loeb/book/92pl.html
Comment calculer le nieme nombre de Tribonacci
Resume of a conference given in 1993 (Universite Bordeaux I, LaBRI).
1/2 1/3 1/2 1/3 n 1/2 1/3(1/3 (19 + 3 33 ) + 1/3 (19 - 3 33 ) + 1/3) (586 + 102 33 )3 —————————————————————————————————————-1/2 2/3 1/2 1/3(586 + 102 33 ) + 4 - 2 (586 + 102 33 )
To get the actual n'th Tribonacci number just round the result to the nearest integer.
Here is the formula 'lprinted'…
3*(1/3*(19+3*33^(1/2))^(1/3)+1/3*(19-3*33^(1/2))^(1/3)+1/3)^n/((586+102*33^(1 /2))^(2/3)+4-2*(586+102*33^(1/2))^(1/3))*(586+102*33^(1/2))^(1/3);
This formula has 2 parts, first the numerator is the root of (x^3-x^2-x-1) no surprise here, but the denominator was obtained using LLL (Pari-Gp) algorithm. The thing is, if you try to get a closed formula by doing the Z-transform or anything classical, it won't work very well since the actual symbolic expression will be huge and won't simplify.
The numerical values of Tribonacci numbers are c**n essentially and the c here is one of the roots of (x^3-x^2-x-1), then there is another constant c2. So the exact formula is c**n/c2.
Another way of doing 'exact formulas' are given by using [ ] function the n'th term of the series expansion of 1/(1+x+x**2) is
1 - 2 floor(1/3 n + 2/3) + floor(1/3 n + 1/3) + floor(1/3 n)
——————————————————————————————————————-
The twin primes constant.
0.660161815846869573927812110014555778432623
——————————————————————————————————————-
The Varga constant, also known to be the 1/(one-ninth constant).
9.2890254919208189187554494359517450610317
One-ninth constant is 0.1076539192264845766153234450909471905879765038
——————————————————————————————————————-
0.4749493799879206503325046363279829685595493732172029822833310248 6455792917488386027427564125050214441890378494262395464775250455 2099778523950882780814821592082565202912193041770281959987798787 6404342380353179170625016170252803841553681975679189489592083858
to 256 digits is also this closed expression.
2**(5/4)*sqrt(Pi)*exp(Pi/8)*GAMMA(1/4)**(-2);
——————————————————————————————————————-
-Zeta(1,1/2).
is also equal to -Zeta(1/2)*(1/2*gamma+1/2*ln(8*Pi)+1/4*Pi).
3.922646139209151727471531446714599513730323971506505209568298485 2547208031503382848806505231041456914038034379886764996843321856 0187370796648866325531877003002927708284792679262934379740474743 4560678349258709176744625306684542186046544092107149397014020908
——————————————————————————————————————-
-Zeta(-1/2) to 256 digits.
0.2078862249773545660173067253970493022262685312876725376101135571 0614729193229234048754326694073321564310997561412868956566132691 4694458311965705623294109531061640017807007041375078320755666248 7877869206615046914282912338325693716136777293836109459387888090
——————————————————————————————————————-
Zeta(2) or Pi**2/6 to 10000 places.
1.6449340668482264364724151666460251892189499012067984377355582293700074704032 008738336289006197587053040043189623371906796287246870050077879351029463308662 768317333093677626050952510068721400547968115587948903608232777619198407564558 769632356367097100969489020859320080516364788783388460444451840598251452506833 876314227658793929588063204472197908477340910590208378289549278263890379763583 343942045159120818099593454448774587965008808894087011116347106931614618428879 815486244835909183448757387428394082760287563214346010013576620982048720690400 073826635603024022844629630324566097171951427721315951255679986190871931543953 524106380440721421339654750580158723165839947624349142243348362904887009665059 862263034109596736552811371670326911498784034357161605776676333067252736894238 416640889536227595400772794748127102520498378433230017165744810302860434966884 794216728433597281997793810008466560780537782885947278625931618664588292160658 193859232415325806461781201884649777625984977560609384606051467685834725623197 101836301479837488962159297027632358745738223006797795679319515651996612383618 366168655665797003758579395038193467059393114859491596635058620858526381064548 879582000789743717215693657490825080352045741139287635530947709860823922939866 707500525803645340315412739072742722890227479742157521265272866790504356086447 019522174348296308095407209404388845394174205278719269341962282024749751511874 134727875179936647336874820752335660885793907659619607908126511591050729219558 844613572641252614751578071609175156885327683293665654765588128436115113494859 670092266296975220677781810295008702914015225183747431377217755317906719967001 114954768292364207502705341165049051072861188854707754573575854747032957919907 087156125812402558853000196898875722439717953811180793070896494335953356183275 794651103546695668292833094507406208425346300827605686180238175238239659462458 207920249063737872085300479379967603565543851521312093605893490413075491311959 041935877531888380567912171377264570722995635142812810658216832092872867483537 830128254732917028021436897618019637363184980566899586355341068647425930801883 367749469866838428949777402705311753583758607474169405737637153525165870187112 803861643246178480126671392369158545043444646648471950875283006191625838679257 789892298444165212547711817391890576286084578861368469335293800824741929432439 323626468769086749231576094206150249840056930228249239061832435185795019030056 175145835716574335223282351666140476391283940576264724881002052041812033788626 252366555788937763981538291415976032314805706590691944583703140205153805821921 917295905553978794000789946119846527541470685853650059963662675570615695254317 725315543876351727626192497886160965070445249636970214088526846826793337277335 304510049048440997806284485082110994618287767772335914596367843974103130509587 129133090687474711615266669048005032852464489328907980999569273302366947444696 980408971357140919211944272389692435581378274354272335097373721967750814686576 663441952446411700179575195463240270033858392729754878763962111770937842133454 352824431047423526125821320401230363123983273324026549756391540540044136979906 766267255921507827975082470078437497364993986919795895302438696540685316220558 806647674709744582710116043808080019623575571358222189260692237675032277565352 064008617178017803580708485672571477572333511220120417258731709054252729576117 157856361679235388523430675984088509039181941283572915859606859411517352815919 870332098540687510589658192905746197996012164173315499267877030429691916001924 484991596464924192751849273249865761341412961600243528301525154033206984420337 556616976173553343451538112761782303041577387865173576020145899030695462069065 351711300188076000520650939052152800389076847099469601808412030997450411866718 328611865490103856545153616005988380044924945256557877614064389782665774206832 411967449751346615962876586946213686698711643631275635335149528646004828057278 004190419870510081657707240659137583988000520343636253480334898690385149103585 368570634580095882712702849300109928689359987147468849238926334734854245412688 715146867566169170681967207525691336022089090287580952299456594764150612460738 255998885216745605996111036014063528612604711748023315552566811553927437855567 821790569366659293375152951940933326091846631854064965008359063918058917234835 442292916243240337502602422687344751988706321787037398353551039243691555255875 134457059916448337962447184707856118983477102806472004318967382079920904030839 766456322612605341318596676907721184490942249405667438216006927617235153525030 064785515025246914076042976716405628085257548207585396903651441272704392969943 543335542786305484005916868738198135037240551024131805174572887029028088900945 291583585387057809581864534993631118974153781849387603620472442672135255961972 208917645443775501912886736672085158006159806869798589689978095240193893776673 669939084760586617405535417096185087097591926431304283589554387992282333626690 065420444365082678634670456938640551165035774843379086732945840022593865759213 129260990724734135051952915555996034482405687168097119486489531430358460283122 642466930767626264687114432265211767329963781209445839023649810458309943551504 463508766501226047939441972191732626302477188434488279340375218359882883614235 148936985965730840576683171954315773729991983345198933493450031507921294521787 309312597932496739256190155259719148524028125496609987434211444047746055304876 474832032350155395468783544850522032053755596629519697359115070371004247610373 773765816931170121558488082530228949284872941174054324465711538587531947432425 261498389632923471726393502734990134247026932599049778970450822200690589326316 848336703688167279661283316060673882330154485559722831554953152790512944632946 735062955119167184229698846592671871061956988599224929488766360362711791273491 242638869726650876864081880699049446615099393830619711646796113001921819683024 369590515257225336237992051139086240802237202937259314304211737816439025200542 055318136632596576723199340502998514457667643516144415500155722104031898805440 653709255083200892365218872640883469778246338301021065367088378738509704040810 118194328693552303379694930125516918347623107028885523667957806037022051779505 028008670887159641266810562570756698846186139861592744870102722702811328809624 868102930465135820109650384254656351993944445309647709325824379714345859125506 877130290546602279165189060434774131962949884052040496677412243316096744620693 327264458120474035506817919611461758654045587703663849715440195969689615628960 733445735296123199491057564399722505169785378990925113661431487432487733678949 019352988522538094902522590394751351923716447424611528634448882020511514348257 497663043958452914278076401286422973635083861449802065395422055989305365344258 406290277926136430522703183045682790609399758778618475976902240574620411468420 789028389415679841570668448757332730136446415250393630492420794579690598982563 634794371786030627807571427540544467716211510439649619615894455342087862656397 318775137299062662894178988094097600508351513266859789769143450230405235877948 795703108619774510513482618808266634220911430043634780135372644293596024532610 984706096099075879394304168910801183438306189422268343209329596285393195315550 071036782813675559163239612697474390396580444802778813013814637945415280117737 606393331747556123925865982509562883171017504543694725101038457391872858194293 569737146079314281231269511124082599342793333822398383287610844889944177275061 276589196398144868452633037548205588433810339011632429729270198883661339140821 828082433113732673457903301183426283393331797507107656636715689233784438799106 754768243983336732261591094015393469562139536566565776453479816009954691934306 373112756944918730123928293059783643062895186209981463422826315903634488313032 831853876784002124661481417309822646974566572851980596186466222535610586501060 559389354250986623486636672918500396484429115992054143925656145321307762701431 109862585265745263460848266175202942100591718317478075708259661506302326093932 413832915555816215547105569544654419443851662259659900478861906607307315711016 958544747987869384398340404111546329077619079464671118673247160362213345007884 829040611627439276302939341999583743108136532968942657182539530873951450191820 935056069335704163143611513476045912657685600322963842457985498317907126091011 797318835314314701692825723944005383968675370154720935387808230212632056793375 926964558766056261071327777661355290321651670368059861572614056061488427629824 192828246006011960072285445047286228865219954762507436349751805180986235154915 226834386051053006199966404486323469711312437376372424449414920445067932761767 679125806576866861237969161787243497138590205823571609427520177842766709146463 931539594188401796843318630461527843189738406253298660145756988009167644881508 215285259433998864854474587186924340753953328502139615847864693367792757871489 334294260541692283370771062100289635636419880551887157493162875686211754244619 227819039025740912688153913374136780795364905670678695088313722635759543577546 141771415471902552505807846123397894719299325008588235198590011532298380379162 425791005356111440356331256325762107359190362635732542558624100131583979524754 316910639932572932704180665214512726135049044612440766293011804330394319279334 810771916902515015037158492688824885861937895558287133963500921684628186124273 474060259399605688305532735318473816804027047283330280043143429185793369240273 355779706173195060993551811727692743520160416876902904340402564908668603762472 042907215970259047724490235316306370606991938770244989659716703034571246995914 394501207237452604619273074148348554404473259576213397312997544762714495082959 312544595205212262078197542384527016059190673289589876424310783621937224230258 950434962433395477704784381079837711221394327892603565116857119214328127573413 402333253237221049254791185017480310218989543061451931033189737257000890152990 004838268071419086899819918106727366542493889477200541334737148591196773655501 134878593905921337885561809629414995199061663656519267339522270025748280644810 98321959914380446
——————————————————————————————————————-
Zeta(3) or Apery constant to 2000 places.
1.2020569031595942853997381615114499907649862923404988817922715553418382057863 130901864558736093352581461991577952607194184919959986732832137763968372079001 614539417829493600667191915755222424942439615639096641032911590957809655146512 799184051057152559880154371097811020398275325667876035223369849416618110570147 157786394997375237852779370309560257018531827900030765471075630488433208697115 737423807934450316076253177145354444118311781822497185263570918244899879620350 833575617202260339378587032813126780799005417734869115253706562370574409662217 129026273207323614922429130405285553723410330775777980642420243048828152100091 460265382206962715520208227433500101529480119869011762595167636699817183557523 488070371955574234729408359520886166620257285375581307928258648728217370556619 689895266201877681062920081779233813587682842641243243148028217367450672069350 762689530434593937503296636377575062473323992348288310773390527680200757984356 793711505090050273660471140085335034364672248565315181177661810922279191022488 396800266606568705190627597387735357444478775379164142738132256957319602018748 847471046993365661400806930325618537188600727185359482884788624504185554640857 155630071250902713863468937416826654665772926111718246036305660465300475221703 265136391058698857884245041340007617472791371842774108750867905018896539635695 864308196137299023274934970241622645433923929267278367865571555817773966377191 281418224664126866345281105514013167325366841827929537266050341518527048802890 268315833479592038755984988617867005963731015727172000114334767351541882552524 663262972025386614259375933490112495445188844587988365323760500686216425928461 880113716666635035656010025131275200124346538178852251664505673955057386315263 765954302814622423017747501167684457149670488034402130730241278731540290425115 091994087834862014280140407162144654788748177582604206667340250532107702583018 381329938669733199458406232903960570319092726406838808560840747389568335052094 151491733048363304771434582553921221820451656004278
——————————————————————————————————————-
Zeta(4) or Pi**4/90 to 10000 places.
1.0823232337111381915160036965411679027747509519187269076829762154441206161869 688465569096359416999172329908139080427424145840715745700453492820035147162192 070877834809108370293261887348261752736042355062193737506171117453492968677507 330760668693411890586283379527951203344958904688626269482208350329836321490205 321239557248466462255011566604558826867876535044954351371974951488631328974725 885751455324761892324749088343183216559962899648054020498855660906710813145472 438251775250469502552514132207698095596477686277529297400362468833633531227758 668098332337740208149807142410957545732327968829227632494222596768214873164210 130083383048578880296049867785925835977212171325665188800281027638581269931387 545523778137133635462656850510299889287023951692086070339616088259169901546588 829589456014838452545931150701738279902071569195340951585273588301542879433793 746390084034611646372042627028266824368992792302461651111441102686560899069254 234916963890635275530295265490294558420276762570241101886780740855794520052537 619233699975159280962799577357881560429246227564596438489387074199902375906750 607371161632214547578450995034633065293054464210084330411049428823987182779472 210717957162013973497506273354919182726537315801429070644112238984462888749346 123621785684422095337765665063123393418309331590366489436671353950052108795316 627967870123212606511753317383291994351943063709445458703075841875966315880470 976209778331910566278373749222678619336932243629212937680214776276988227275161 168195674581326992671514767615743996645318562807522634712756683205732676873043 690872655267444910730887471434771768813238590527416830613773207408761753459968 131671551610024798988217912278432609940552842489853554822285939017206671602845 270243345579339355738139745080825577027485254916354927551049265465602698556315 339949578895606778338186500146965223230533534669952369976343379670422876496446 956754049652503997706078434631929556382871737860047504977021567642914163208355 134805792566068258029946197161166626296206873985365333182877235965645025559136 257276543969869988263262252546952360187873782368673354821387004235792861595706 529762634076158431188855993259791932713520010274020791811758790707479416547489 106183607617773678547349113072916281762908896372877205362179853486880174699470 107383795934201535381924332932601995742371149445554137644649833874733600917286 939054275258964969221373438159681513527365152368160859347449314348075900345248 022371248340709893964541153866142119927965830143459708005575640219601213663806 527389078736847155824812085033248336785809277461345965241697530456781539113888 521821359486098822884971197488419528446391075495066353252263979396256780568023 412994361020882530460315369615010615907640388449002875649111956761004893444788 262667636891482868798355412860868083881677258693652904007497955167213959088437 014275117694129854270050771940027704855368527442476609058963047355537726975352 606857483276704063949198474837601584854183457622643688691068255182852613072480 280116483639755956169869839328933485751218575154980335069046376361009455721878 935484849344137476171947848917049046209355129479618398660809902190592737601620 169040890810646508898460380317543721534054169065012444317105131721986309172378 537608940683232656099437288581269590045631303620508424266923250471846659288150 681335483184307726970195422317477929132443869159416282481643778054583836828018 127995153507811603759817449284836263090201220997756637752944272923039050840588 526655478542632456194649397920321886086276148959318204123715442572261905064051 748829412167006730489244277871224198449924807997912473097994195519502920052843 575035251296805230980217455834950259915190120471703736893969162481741729962970 670053192448016331645644501333390769048925825620404903143689985910667455231442 887398142474022114676678064465714785776073328090060077734808126840056071518617 356668107821035230382280947820153398762704481691191400260576150041157413347576 742879641915584829784627645250575918482908054004437109628179124887284065326411 054627384875022666544898574091494201280709248084335891061347290176511364024513 441423900902897372088502949293584365924754300090827093088621890103369743277336 769064588923034773421546535544407594434329898141722985633954282052510164526233 913719661570085582247239392544908888300091769494179793676834579998974491241613 469362079826316698854209890820308211234488011997987527096062316655884478678345 562907661212199923383118292350529211189664912273995319676683701427948310475897 577153839228003557654505766139993562625901573533844672016287860983673445659563 909289685025191059262276701583611665557106040610390094656438320903099187970507 379881452327258878189833383204525240037165905438076399538113828388453955777580 515494214492670669082127457130974283485983092914088726492118497432266371226824 875948389614981716856752378501606845324359404776151498977944763288087490189431 567980871984467577345685128211910689436861931973467442977900191686105709960704 247139640024918766861671955618581917473309178753765735212385607298227106480106 537149722093254436283421847474576282179725315520039011067876317406749486747639 347982896766183337576896202860401071552989371016008309060190992412809088614441 646654105893505762407387440923795927678677314054708985208520611435535408016654 229067285430682554469717607581231080604156967903901761908112936876560748896341 920294370713216767793388638761930280085425060461906222473604145351687985760903 215643034996835766181131997746531597187699717610564527952652882093884115991577 451698549942629678093993472726354309939190357942645720968543107431197468809980 627437570862144295710924616576802276874075744221432380876748250155470605742281 378287902640822542634919080798704990776680130020788878239540901626695762220205 937426713516690116748889182776348228040546300641164787404406846000410779257654 566066199341299327168946834456817887776921829442716946532432872451403061272891 309864365066980489383509916286022409613910077568526109009803801697563225410881 950459510228002933350489023164173650662870691434106648948761237364686556492267 838944877415623554815992549230522653604466802762074124648518031631580208556771 023187378297340776463563573833082175333630258288793190155782640058468749652457 996150129530418758305161376339184708678280858577350937785605379534065498551497 866972412114339340547123309156099235223158976599543868646554283116896055533026 588884424173206255489058108345076191975111853834936211623838845586846324355871 323198354712042834149285939765092379690107996960029174023107490552191156034580 023577266313786111862027439018455578840193761925743604084791535372635361671233 705765231285599621878967773929195780141337502382328586041449205853926138699511 458137888925786064551305863378072686216164952071092952231512001980819891830651 371894098521725499101593176294117316758576093583284981504936288147974143797550 245657411539099817339013176215794226154818161277415926854913299575201061876642 862121797806780983628315682131365868377374828850129965203712962056795825599709 646981304892530503728127191808151672132660546730813201527177759365397356048516 828894770528471817758009006338903221582017792829474029923652019778993738914921 117470039490882761095481772320518445627150665366862783244999904054017729572390 732538607432181489933039851528943669643773528976332474171608630941090859597363 114783188312239778609992972517596337788985112084623349508280843281200428058607 718811414621972965504794766101978529681596048441475728869508540567316768114348 889138961520300788934642309259598715273033783291534465746894737449532079599303 618266368031324230774053892443623086218378228126439958968424445897200361459364 463623172532572596661183895027638353423444389643114391115334388645902941449500 732571763151162628164649829973364651802997793189287950022681105360372194839533 016176403858484554564108507065133121480345105324438099040318190955849197497061 904745526328509255928560324798988508452008254659458580751965574079575664172151 429283457530334433832247339205550340081934271407875523588239038928688231031116 685774070902353399406220553935353359705991585294396065635832205296490274719954 954545635571104827608342293449851043206010425769596017548513029751046669457729 911002771224625850764192851256486039760777545031797863829805430625454242197192 650845549179102957624514082855678903328840344325001075325771190441903524679102 916635927653682510365850466208370557558260830505848475444490942055517025514061 236295517217126857903003771312835776356693150237134797866633953858174574710649 136579953232455487107124841923945710055281481281172026560468060409693818161392 120593310600816179615501558311898550270948482669262547402586210264886603224423 444239787177354946164616170997318446945587112298937701381742794064800317168436 849421744820503433814670428017724395345703671119167117585728943065604163190547 839533264443118121740628530720157344406090463915631451724267831928308834119239 736248383292471178282470624518063900179921030228782015138996734766295351374675 554673622002323542920078983611532099684121749186225665063965240769129740102540 785260559694885346373325632780322499928187657550733044222657648029891583042976 473511950585855477705357784614191197986186803349909050399051684277447168462645 827309613058038524324779844038106483284405352269783143279061442328225443426863 267646966313161361597434286041079509870675820652906643205446812078165087198608 410452351966497715341000213896226639542237898664203168559646819644328848841845 270367785915074494145826117421318834712891456565891957492382282189903366592406 972810028353566198885128802997885995081975922287980943864508926875597853178261 854102911427737034499520706208814113273004255217324799402676464990116279901559 293602974751606325065922379687952954853542015714664761686279842547745463992391 558076861160339246996760129883338283079538922436438622983346118907620620672087 053503624129784260426616778509719545312833367099778911819532601228794907920967 614092904418446876172334172096949688116212054509841294897097252924033729833667 006043967308172363020394063078521448894823418466897974356016880504076300639363 41762674388635891
——————————————————————————————————————-
Zeta(5), the sum(1/n**5,n=1..infinity) to 512 digits.
1.036927755143369926331365486457034168057080919501912811974192677 9038035897862814845600431065571333363796203414665566090428009617 7915597084183511072180087644866286337180353598363962365128888981 3352767752398275032022436845766444665958115993917977745039244643 9196666159664016205325205021519226713512567859748692860197447984 3200672681297530919900774656558601526573730037561532683149897971 9350398378581319922884886425335104251602510849904346402941172432 7576341508162332245618649927144272264614113007580868316916497918
——————————————————————————————————————-
Zeta(7) to 512 places : sum(1/n**7,n=1..infinity);
1.008349277381922826839797549849796759599863560565238706417283136 5716014783173557353460969689138513239689614536514910748872867774 1984033544031579830103398456212106946358524390658335396467699756 7696691427804314333947495215378902800259045551979353108370084210 7329399046107085641235605890622599776098694754076320000481632951 2586769250630734413632555601360305007373302413187037951026624779 3954650225467042015510405582224239250510868837727077426002177100 0195455778989836046745406121952650765461161356548679150080858554
——————————————————————————————————————-
Zeta(9) or sum(1/n**9,n=1..infinity);
1.002008392826082214417852769232412060485605851394888756548596615 9097850533902583989503930691271695861574086047658470602614253739 7072243015306913249876425109092948687676545396979415407826022964 1544836250668629056707364521601531424421326337598815558052591454 0848901539527747456133451028740613274660692763390016294270864220 1123162209241265753326205462293215454665179945038662778223564776 1660330281492364570399301119383985017167926002064923069795850945 8457966548540026945118759481561430375776154443343398399851419383
——————————————————————————————————————-
This number, the Product[Cos[Pi/n], {n,3,infinity}]
is the limit of an interesting figure in geometry.: If we take a circle, inscribe a triangle, then incribe another circle inside the triangle, then inscribe a square inside the inner circle, then inscribe another circle inside the square, then inscribe a pentagon…
The radius of this figure (the number of sides of the polygon increase with every step:triangle 3, square 4, pentagon 5, …) approaches a limit: Product[Cos[Pi/n], {n,3,infinity}] Is there any way to get an analytic solution to this? Like this would be the square root of Pi or some combination of radicals and irrational numbers? Anyway, Thanks, Mounitra Chatterji mounitra@seas.ucla.edu
mentioned in december 1995. By Mounitra Chatterji
.1149420448532962007010401574695987428307953372008635168440233965;
maple routine —> product(cos(Pi/n),n=3..infinity);evalf(",64);
—————————————————————————————————
The request was sent by achim flammenkamp on Tue Feb 27 09:05:13 PST 1996The email address is: achim@mathematik.uni-jena.deThe number is 1.60140224354988761393325 (to 24 digits of precision).
-int(sqrt(x)/log(1-x),x=0..1);
—————————————————————————————————-
.283265121310307732587685540450858868452123075913479495609303244760289207466703551200728343246718266 1721794706326872389237418265273196389116929121819750888062495294277256191719424273967384545908106616 5124702322513598413388920213387535350692362866707758376138858482266928332718882186473891252470626193 1134162075403008037881499615240658150936661712754874529120769279078826146925069339158824377250780006 81691683658433538480533518043146405030754456294577975558177142447872562829157
There is a pattern in the binary expansion of this number.
The request was sent by B.J. Mares on Sun Dec 3 15:20:18 PST 1995The email address is: bjmares@teleport.com
———————————————————————————-
The request was sent by Joe Keane on Sun Sep 10 05:02:26 PDT 1995The email address is: jgk@netcom.com
The number to be tested is: 1.38432969165678691636600070469187275993602894672280031682863878069088210808356345
The number of correct digits in the number: 79
The hints given by the user:
It's log((3+sqrt(7))/sqrt(2)) or 1/2*arccosh(8).
————————————————————————————
The request was sent by (Mr.) B.J. Mares on Sat Dec 9 19:10:27 PST 1995The email address is: bjmares@teleport.com
The number to be tested is:
.86224012586805457155779028324939457856576474276829909451607121455730674059051645804203844143861813$ 451257229030330958513908111490904372705631904836799517334609935566864203581911199877725969528883243$
Another binary pattern.
————————————————————————————-
The request was sent by Jon Borwein on Sun Nov 5 06:09:28 GMT 1995The email address is: jborwein@cecm.sfu.ca
The number to be tested is: .01118680003287710787004681
The number of correct digits in the number: 20
The test(s) to be performed on the number: algebraic
————————————————————————————
1.456791031046907
The number of correct digits in the number: 16
The test(s) to be performed on the number: algebraic gamma_multiplicative gamma_additve zeta_multiplicative zeta_additive psi_digamma linear_dependence_salvage
The hints given by the user:
p(0)=1 q(0)=2
p(i+1)=sqrt(p(i)*q(i)) i = 0,1,2,.. q(i+1)=(p(i) + q(i))/2 i = 0,1,2,..
x = lim p(i) = lim q(i) i->+inf i->+inf
————————————————————————————
The request was sent by Olivier Gerard on Mon Jan 29 18:48:42 PST 1996The email address is: quadrature@onco.techlink.fr
The number to be tested is: 1.062550805496255938
This number arises in the study of generalized Zeta functions on non associative sets.
————————————————————————————
The request was sent by Michael Mossinghoff on Fri Feb 9 14:40:28 PST 1996The email address is: mjm@math.appstate.edu
The number to be tested is: 1.296210659593309 (see below for 2500 digits of it).
As I mentioned in the original note, it would be interesting to see if this number satisfies a simple polynomial of degree > 34. The simplest polynomial I know of that it satisfies is
x^38-x^36-x^34-x^29+x^28-x^24-x^14+x^10-x^9-x^4-x^2+1
I found this during a search for polynomials with height 1, degree 38, andMahler measure < 1.3.
I also have a second new Salem number that would be interesting to try.
Thanks for running this!
Best regards,
Mike Mossinghoff mjm@math.appstate.edu
1.2962106595933092168517831791253754042307237363926176836463419715400357507663\ 555372700460810162259842255138960885075885472138523375229647035948031308222869\ 213377761985420998401465270339786283142588526265385851765349326219909024384324\ 298668143261669279113959085262729367911041451897621484638159134108808507417558\ 371227480609429111967509190900525542468572422201267290352457473788303514632978\ 531591219560940258062757424400763572149784569551257493407108061275808255266204\ 988526404732083078237046586577078037338486088388181584983281574252897177808263\ 147692481736785688370028996889741999268557158363474402864561998038209817582814\ 010732290535268946721928114002527443568020359790313185377702725896115435126307\ 841519785171242185997657977732689357703555840184684554577244752237497568339160\ 938205575175811976414747122955198011255949965359970687280700475477368518212756\ 924749820065045209604606889253335548989681523027453599219856774850675170030081\ 340461412329460883636590018878175768282781839837697211776636498168350816554156\ 904601023147786817236407289883278093415918634119620218433047846657184261144649\ 040715513536648841284787099601551612909626813632800691067564404454541790010887\ 679088108728482285977923782153457884089162309486388513634809308430291906873755\ 353865787785568433558148544650806363798445573460997103012214477139122206697676\ 151378710063572151250547043624062114013563819037462333697027524356258777528864\ 271328965733484293667236211401267719087175146826163754038706366216877272628132\ 296182344392845125506127123945469182368918766036231606918375224969603018840277\ 778903237698826183111400261578682603995590568903906955569848314084496482503972\ 906016618276547328327517227379822958377122743985938689837061722495995392321936\ 345285971817821600170724492417762482659737742843585759061520292400466743607983\ 593438732628413114256276767063139352552076489085606199932942061150333621663624\ 667294211959583161911171198313494502505440901133068426838051637173543721800267\ 607050254597479936347302850855318828765200608121163125879643065717811879123723\ 939826702878343201235748915166745912187493987556824139288848294746007488299743\ 663817162198495190194616103659925459932420514340386336983265209362290719538034\ 616103846861918706369114431911997889483119661422295458652413962075819025018423\ 406629086461013112957825351840936858715307617702746177132615020866202346765384\ 189199689332174745118809280247719860161398327812075021357273956644275172873038\ 687900608249173662145494837168975704911668609774430992557238265593517876057742\ 2513