APPENDIX I.

APPENDIX I.[From a MS. of the 14th Century.]To alle suche even nombrys the most have cifrys as to ten. twenty. thirtty. an hundred. an thousand and suche other. but ye schal vnderstonde that a cifre tokeneth nothinge but he maketh other the more significatyf that comith after hym. Also ye schal vnderstonde that in nombrys composyt and in alle other nombrys that ben of diverse figurys ye schal begynne in the ritht syde and to rekene backwarde and so he schal be wryte as thus—1000. the sifre in the ritht side was first wryte and yit he tokeneth nothinge to the secunde no the thridde but thei maken that figure of 1 the more signyficatyf that comith after hem by as moche as he born oute of his first place where he schuld yf he stode ther tokene but one. And there he stondith nowe in theferyeplace he tokeneth a thousand as by this rewle. In the first place he tokeneth but hymself. In the secunde place he tokeneth ten times hymself. In the thridde place he tokeneth an hundred tymes himself. In the ferye he tokeneth a thousand tymes himself. In thefyftyeplace he tokeneth ten thousand tymes himself. In the sexte place he tokeneth an hundred thousand tymes hymself. In the seveth place he tokeneth ten hundred thousand tymes hymself, &c. And ye schal vnderstond that this worde nombre is partyd into thre partyes. Somme is callyd nombre of digitys for alle ben digitys that ben withine ten as ix, viii, vii, vi, v, iv, iii, ii, i. Articules ben alle thei that mow be devyded into nombrys of ten as xx, xxx, xl, and suche other. Composittys be alle nombrys that ben componyd of a digyt and of an articule as fourtene fyftene thrittene and suche other. Fourtene is componyd of four that is a digytand of ten that is an articule. Fyftene is componyd of fyve that is a digyt and of ten that is an articule and so of others . . . . . . But as to this rewle. In the firste place he tokeneth but himself that is to say he tokeneth but that and no more. If that he stonde in the secunde place he tokeneth ten tymes himself as this figure 2 here 21. this is oon and twenty. This figure 2 stondith in the secunde place and therfor he tokeneth ten tymes himself and ten tymes 2 is twenty and soforyeof every figure and he stonde after another toward thelestsyde he schal tokene ten tymes as moche more as he schuld token and he stode in that place ther that the figure afore him stondeth: lo an example as thus 9634. This figure of foure that hath this schape 4 tokeneth but himself for he stondeth in the first place. The figure of thre that hath this schape 3 tokeneth ten tyme himself for he stondeth in the secunde place and that is thritti. The figure of sexe that hath this schape 6 tokeneth ten tyme more than he schuld and he stode in the place yer the figure of thre stondeth for ther he schuld tokene but sexty. And now he tokeneth ten tymes that is sexe hundrid. The figure of nyne that hath this schape 9 tokeneth ten tymes more than he schulde and he stode in the place ther the figure of 6 stondeth inne for thanne he schuld tokene but nyne hundryd. And in the place that he stondeth inne nowe he tokeneth nine thousand. Alle the hole nombre of these foure figurys. Nine thousand sexe hundrid and foure and thritti.APPENDIX II.[From a B.M. MS.,8C.iv., with additions from12E.1& Eg.2622.]Hec algorismus ars presens dicitur1; in quaTalibus Indorum2fruimur his quinque figuris.0. 9. 8. 7. 6. 5. 4. 3. 2. 1.Prima significat unum: duo vero secunda:4Tercia significat tria: sic procede sinistreDonec ad extremam venies, qua cifra vocatur;3[Que nil significat; dat significare sequenti.]Quelibet illarum si primo limite ponas,8Simpliciter se significat: si vero secundo,Se decies: sursum procedas multiplicando.4[Namque figura sequens quevis signat decies plus,12Ipsa locata loco quam significet pereunte:Nam precedentes plus ultima significabit.]5Post predicta scias quod tres breuiter numerorumDistincte species sunt; nam quidam digiti sunt;16Articuli quidam; quidam quoque compositi sunt.[Sunt digiti numeri qui citra denarium sunt;Articuli decupli degitorum; compositi suntIlli qui constant ex articulis digitisque.]20Ergo, proposito numero tibi scribere, primoRespicias quis sit numerus; quia si digitus sit,5[Una figura satis sibi; sed si compositus sit,]Primo scribe loco digitum post articulum fac24Articulus si sit, cifram post articulum sit,[Articulum vero reliquenti in scribe figure.]Quolibet in numero, si par sit prima figura,Par erit et totum, quicquid sibi continetur;28Impar si fuerit, totum sibi fiet et impar.Septem6sunt partes, non plures, istius artis;Addere, subtrahere, duplare, dimidiare;Sexta est diuidere, set quinta est multiplicare;32Radicem extrahere pars septima dicitur esse.Subtrahis aut addis a dextris vel mediabis;A leua dupla, diuide, multiplicaque;Extrahe radicem semper sub parte sinistra.36Addition.Addere si numero numerum vis, ordine taliIncipe; scribe duas primo series numerorumPrima sub prima recte ponendo figuram,Et sic de reliquis facias, si sint tibi plures.40Inde duas adde primas hac condicione;Si digitus crescat ex addicione priorum,Primo scribe loco digitum, quicunque sit ille;Si sit compositus, in limite scribe sequenti44Articulum, primo digitum; quia sic iubet ordo.Articulus si sit, in primo limite cifram,Articulum vero reliquis inscribe figuris;Vel per se scribas si nulla figura sequatur.48Si tibi cifra superueniens occurrerit, illamDeme suppositam; post illic scribe figuram:Postea procedas reliquas addendo figuras.Subtraction.A numero numerum si sit tibi demere cura,52Scribe figurarum series, vt in addicione;Maiori numero numerum suppone minorem,Siue pari numero supponatur numerus par.Postea si possis a prima subtrahe primam,56Scribens quod remanet, cifram si nil remanebit.Set si non possis a prima demere primam;Procedens, vnum de limite deme sequenti;Et demptum pro denario reputabis ab illo,60Subtrahe totaliter numerum quem proposuisti.Quo facto, scribe supra quicquit remanebit,Facque novenarios de cifris, cum remanebis,Occurrant si forte cifre, dum demseris vnum;64Postea procedas reliquas demendo figuras.Proof.7[Si subtracio sit bene facta probare valebis,Quas subtraxisti primas addendo figuras.Nam, subtractio si bene sit, primas retinebis,68Et subtractio facta tibi probat additionem.]Duplation.Si vis duplare numerum, sic incipe; solamScribe figurarum seriem, quamcumque voles quePostea procedas primam duplando figuram;72Inde quod excrescet, scribens, vbi iusserit ordo,Juxta precepta que dantur in addicione.Nam si sit digitus, in primo limite scribe;Articulus si sit, in primo limite cifram,76Articulum vero reliquis inscribe figuris;Vel per se scribas, si nulla figura sequatur:Compositus si sit, in limite scribe sequentiArticulum primo, digitum; quia sic jubet ordo:80Et sic de reliquis facias, si sint tibi plures.8[Si super extremam nota sit, monadem dat eidem,Quod tibi contingit, si primo dimidiabis.]Mediation.Incipe sic, si vis aliquem numerum mediare:84Scribe figurarum seriem solam, velud ante;Postea procedens medias, et prima figuraSi par aut impar videas; quia si fuerit par,Dimidiabis eam, scribens quicquit remanebit;88Impar si fuerit, vnum demas, mediare,Nonne presumas, sed quod superest mediabis;Inde super tractum, fac demptum quod notat unum;Si monos, dele; sit ibi cifra post nota supra.92Postea procedas hac condicione secunda:9Impar10si fuerit hic vnum deme priori,Inscribens quinque, nam denos significabitMonos prædictam: si vero secunda dat vnam,96Illa deleta, scribatur cifra; prioriTradendo quinque pro denario mediato;Nec cifra scribatur, nisi inde figura sequatur:Posteaprocedasreliquas mediando figuras,100Quin supra docui, si sint tibi mille figure.11[Si mediatio sit bene facta probare valebis,Duplando numerum quem primo dimidiasti.]Multiplication.Si tu per numerum numerum vis multiplicare,104Scribe duas, quascunque volis, series numerorum;Ordo tamen seruetur vt vltima multiplicandiPonatur super anteriorem multiplicantis;12[A leua relique sint scripte multiplicantes.]108In digitum cures digitum si ducere, majorPer quantes distat a denis respice, debesNamque suo decuplo tociens delere minorem;Sicque tibi numerus veniens exinde patebit.112Postea procedas postremam multiplicando,Juste multiplicans per cunctas inferiores,Condicione tamen tali; quod multiplicantisScribas in capite, quicquid processerit inde;116Set postquam fuerit hec multiplicata, figureAnteriorentur seriei multiplicantis;Et sic multiplica, velut istam multiplicasti,Qui sequitur numerum scriptum quicunque figuris.120Set cum multiplicas, primo sic est operandum,Si dabit articulum tibi multiplicacio solum;Proposita cifra, summam transferre memento.Sin autem digitus excrescerit articulusque,124Articulus supraposito digito salit ultra;Si digitus tamen, ponas illum super ipsam,Subdita multiplicans hanc que super incidit illiDelet eam penitus, scribens quod provenit inde;128Sed si multiplices illam posite super ipsam,Adiungens numerum quem prebet ductus earum;Si supraimpositam cifra debet multiplicare,Prorsus eam delet, scribi que loco cifra debet,13212[Si cifra multiplicat aliam positam super ipsam,Sitque locus supra vacuus super hanc cifra fiet;]Si supra fuerit cifra semper pretereunda est;Si dubites, an sit bene multiplicando secunda,136Diuide totalem numerum per multiplicantem,Et reddet numerus emergens inde priorem.Mental Multiplication.13[Per numerum si vis numerum quoque multiplicareTantum per normas subtiles absque figuris140Has normas poteris per versus scire sequentes.Si tu per digitum digitum quilibet multiplicabisRegula precedens dat qualiter est operandumArticulum si per reliquum vis multiplicare144In proprium digitum debebit uterque resolviArticulus digitos post per se multiplicantesEx digitis quociens teneret multiplicatumArticuli faciunt tot centum multiplicati.148Articulum digito si multiplicamus oportetArticulum digitum sumi quo multiplicareDebemus reliquum quod multiplicaris ab illisPer reliquo decuplum sic omne latere nequibit152In numerum mixtum digitum si ducere curesArticulus mixti sumatur deinde resolvasIn digitum post hec fac ita de digitis necArticulusque docet excrescens in detinendo156In digitum mixti post ducas multiplicantemDe digitis ut norma docet sit juncta secundoMultiplica summam et postea summa patebitJunctus in articulum purum articulumque16014[Articulum purum comittes articulum que]Mixti pro digitis post fiat et articulus vtNorma jubet retinendo quod egreditur ab illisArticuli digitum postindigitum mixti duc164Regula de digitis ut percipit articulusqueEx quibus excrescens summe tu junge prioriSic manifesta cito fiet tibi summa petita.Compositum numerum mixto sic multiplicabis168Vndecies tredecem sic est ex hiis operandumIn reliquum primum demum duc post in eundemUnum post deinde duc in tercia deinde per unumMultiplices tercia demum tunc omnia multiplicata172In summa duces quam que fuerit te dicesHic ut hic mixtus intentus est operandumMultiplicandorum de normis sufficiunt hec.]Division.Si vis dividere numerum, sic incipe primo;176Scribe duas, quascunque voles, series numerorum;Majori numero numerum suppone minorem,15[Nam docet ut major teneat bis terve minorem;]Et sub supprima supprimam pone figuram,180Sic reliquis reliquas a dextra parte locabis;Postea de prima primam sub parte sinistraSubtrahe, si possis, quociens potes adminus istud,Scribens quod remanet sub tali conditione;184Ut totiens demas demendas a remanente,Que serie recte ponentur in anteriori,Unica si, tantum sit ibi decet operari;Set si non possis a prima demere primam,188Procedas, et eam numero suppone sequenti;Hanc uno retrahendo gradu quo comites retrahantur,Et, quotiens poteris, ab eadem deme priorem,Ut totiens demas demendas a remanenti,192Nec plus quam novies quicquam tibi demere debes,Nascitur hinc numerus quociens supraque sequentemHunc primo scribas, retrahas exinde figuras,Dum fuerit major supra positus inferiori,196Et rursum fiat divisio more priori;Et numerum quotiens supra scribas pereunti,Si fiat saliens retrahendo, cifra locetur,Et pereat numero quotiens, proponas eidem200Cifram, ne numerum pereat vis, dum locus illicRestat, et expletis divisio non valet ultra:Dum fuerit numerus numerorum inferiore seorsumIllum servabis; hinc multiplicando probabis,Proof.204Si bene fecisti, divisor multipliceturPer numerum quotiens; cum multiplicaveris, addeTotali summæ, quod servatum fuit ante,Reddeturque tibi numerus quem proposuisti;208Et si nil remanet, hunc multiplicando reddet,Square Numbers.Cum ducis numerum per se, qui provenit indeSit tibi quadratus, ductus radix erit hujus,Nec numeros omnes quadratos dicere debes,212Est autem omnis numerus radix alicujus.Quando voles numeri radicem querere, scribiDebet; inde notes si sit locus ulterius impar,Estque figura loco talis scribenda sub illo,216Que, per se dicta, numerum tibi destruat illum,Vel quantum poterit ex inde delebis eandem;Vel retrahendo duples retrahens duplando sub istaQue primo sequitur, duplicatur per duplacationem,220Post per se minuens pro posse quod est minuendum.16Post his propones digitum, qui, more prioriPer precedentes, post per se multiplicatus,Destruat in quantum poterit numerum remanentem,224Et sic procedens retrahens duplando figuram,Preponendo novam donec totum peragatur,Subdupla propriis servare docetque duplatis;Si det compositum numerum duplacio, debet228Inscribi digitus a parte dextra parte propinqua,Articulusque loco quo non duplicata resessit;Si dabit articulum, sit cifra loco pereunteArticulusque locum tenet unum, de duplicata resessit;232Si donet digitum, sub prima pone sequente,Si supraposita fuerit duplicata figuraMajor proponi debet tantummodo cifra,Has retrahens solito propones more figuram,236Usque sub extrema ita fac retrahendo figuras,Si totum deles numerum quem proposuisti,Quadratus fuerit, de dupla quod duplicasti,Sicque tibi radix illius certa patebit,240Si de duplatis fit juncta supprima figura;Radicem per se multiplices habeasquePrimo propositum, bene te fecisse probasti;Non est quadratus, si quis restat, sed habentur244Radix quadrati qui stat major sub eadem;Vel quicquid remanet tabula servare memento;Hoc casu radix per se quoque multiplicetur,Vel sic quadratus sub primo major habetur,248Hinc addas remanens, et prius debes haberi;Si locus extremus fuerit par, scribe figuramSub pereunte loco per quam debes operari,Que quantum poterit supprimas destruat ambas,252Vel penitus legem teneas operando priorem,Si suppositum digitus suo fine repertus,Omnino delet illic scribi cifra debet,A leva si qua sit ei sociata figura;256Si cifre remanent in fine pares decet harumRadices, numero mediam proponere partem,Tali quesita radix patet arte reperta.Per numerum recte si nosti multiplicare260Ejus quadratum, numerus qui pervenit indeDicetur cubicus; primus radix erit ejus;Nec numeros omnes cubicatos dicere debes,Est autem omnis numerus radix alicujus;Cube Root.264Si curas cubici radicem quærere, primoInscriptum numerum distinguere per loca debes;Que tibi mille notant a mille notante supremaInitiam, summa operandi parte sinistra,268Illic sub scribas digitum, qui multiplicatusIn semet cubice suprapositum sibi perdat,Et si quid fuerit adjunctum parte sinistraSi non omnino, quantum poteris minuendo,272Hinc triplans retrahe saltum, faciendo sub illaQue manet a digito deleto terna, figuramIlli propones quo sub triplo asocietur,Ut cum subtriplo per eam tripla multiplicatur;276Hinc per eam solam productum multiplicabis,Postea totalem numerum, qui provenit indeA suprapositis respectu tolle triplateAddita supprimo cubice tunc multiplicetur,280Respectu cujus, numerus qui progredieturEx cubito ductu, supra omnes adimetur;Tunc ipsam delens triples saltum faciendo,Semper sub ternas, retrahens alias triplicatas284Ex hinc triplatis aliam propone figuram,Que per triplatas ducatur more priori;Primo sub triplis sibi junctis, postea per se,In numerum ducta, productum de triplicatis:288Utque prius dixi numerus qui provenit indeA suprapositis has respiciendo trahatur,Huic cubice ductum sub primo multiplicabis,Respectumque sui, removebis de remanenti,292Et sic procedas retrahendo triplando figuram.Et proponendo nonam, donec totum peragatur,Subtripla sub propriis servare decet triplicatis;Si nil in fine remanet, numerus datus ante296Est cubicus; cubicam radicem sub tripla prebent,Cum digito juncto quem supprimo posuisti,Hec cubice ducta, numerum reddant tibi primum.Si quid erit remanens non est cubicus, sed habetur300Major sub primo qui stat radix cubicam,Servari debet quicquid radice remansit,Extracto numero, decet hec addi cubicato.Quo facto, numerus reddi debet tibi primus.304Nam debes per se radicem multiplicareEx hinc in numerum duces, qui provenit indeSub primo cubicus major sic invenietur;Illi jungatur remanens, et primus habetur,308Si per triplatum numerum nequeas operari;Cifram propones, nil vero per hanc operareSet retrahens illam cum saltu deinde triplata,Propones illi digitum sub lege priori,312Cumque cifram retrahas saliendo, non triplicabis,Namque nihil cifre triplacio dicitur esse;At tu cum cifram protraxeris aut triplicata,Hanc cum subtriplo semper servare memento:316Si det compositum, digiti triplacio debetIllius scribi, digitus saliendo sub ipsam;Digito deleto, que terna dicitur esse;Jungitur articulus cum triplata pereunte,320Set facit hunc scribi per se triplacio prima,Que si det digitum per se scribi facit illum;Consumpto numero, si sole fuit tibi cifreTriplato, propone cifram saltum faciendo,324Cumque cifram retrahe triplam, scribendo figuram,Preponas cifre, sic procedens operare,Si tres vel duo serie in sint, pone sub yma,A dextris digitum servando prius documentum.328Si sit continua progressio terminus nuperPer majus medium totalem multiplicato;Si par, per medium tunc multiplicato sequentem.Set si continua non sit progressio finis:332Impar, tunc majus medium si multiplicabis,333Si par per medium sibi multiplicato propinquum.1.“Hec præsens ars dicitur algorismus ab Algore rege ejus inventore, vel dicitur abalgosquod est ars, etrodosquod est numerus; quæ est ars numerorum vel numerandi, ad quam artem bene sciendum inveniebantur apud Indos bis quinque (id est decem) figuræ.” —Comment. Thomæ de Novo-Mercatu.MS. Bib. Reg. Mus. Brit. 12 E. 1.2.“Hæ necessariæ figuræ sunt Indorum characteros.”MS. de numeratione.Bib. Sloan. Mus. Brit. 513, fol. 58. “Cum vidissem Yndos constituisseIXliteras in universo numero suo propter dispositionem suam quam posuerunt, volui patefacere de opere quod sit per eas aliquidque esset levius discentibus, si Deus voluerit. Si autem Indi hoc voluerunt et intentio illorum nihil novem literis fuit, causa que mihi potuit. Deus direxit me ad hoc. Si vero alia dicam preter eam quam ego exposui, hoc fecerunt per hoc quod ego exposui, eadem tam certissime et absque ulla dubitatione poterit inveniri. Levitasque patebit aspicientibus et discentibus.” MS. U.L.C., Ii. vi. 5, f. 102.3.From Eg. 2622.4.8 C. iv. inserts Nullum cipa significat: dat significare sequenti.5.From 12 E. 1.6.En argorisme devon prendreVii especes . . . .Adision subtracionDoubloison mediacionMonteploie et divisionEt de radix eustracionA chez vii especes savoirDoit chascun en memoire avoirLetres qui figures sont ditesEt qui excellens sont ecrites.—MS.Seld. Arch.B. 26.7.From 12 E. 1.8.From 12 E. 1.9.8 C. iv. inserts Atque figura prior nuper fuerit mediando.10.I.e.figura secundo loco posita.11.So 12 E. 1; 8 C. iv. inserts—Si super extremam nota sit monades dat eidemQuod contingat cum primo dimiabisAtque figura prior nuper fuerit mediando.12.12 E. 1 inserts.13.12 E. 1 inserts to l. 174.14.12 E. 1 omits, Eg. 2622 inserts.15.12 E. 1 inserts.16.8 C. iv. inserts—Hinc illam dele duplans sub ei psalliendoQue sequitur retrahens quicquid fuerit duplicatum.

[From a MS. of the 14th Century.]

To alle suche even nombrys the most have cifrys as to ten. twenty. thirtty. an hundred. an thousand and suche other. but ye schal vnderstonde that a cifre tokeneth nothinge but he maketh other the more significatyf that comith after hym. Also ye schal vnderstonde that in nombrys composyt and in alle other nombrys that ben of diverse figurys ye schal begynne in the ritht syde and to rekene backwarde and so he schal be wryte as thus—1000. the sifre in the ritht side was first wryte and yit he tokeneth nothinge to the secunde no the thridde but thei maken that figure of 1 the more signyficatyf that comith after hem by as moche as he born oute of his first place where he schuld yf he stode ther tokene but one. And there he stondith nowe in theferyeplace he tokeneth a thousand as by this rewle. In the first place he tokeneth but hymself. In the secunde place he tokeneth ten times hymself. In the thridde place he tokeneth an hundred tymes himself. In the ferye he tokeneth a thousand tymes himself. In thefyftyeplace he tokeneth ten thousand tymes himself. In the sexte place he tokeneth an hundred thousand tymes hymself. In the seveth place he tokeneth ten hundred thousand tymes hymself, &c. And ye schal vnderstond that this worde nombre is partyd into thre partyes. Somme is callyd nombre of digitys for alle ben digitys that ben withine ten as ix, viii, vii, vi, v, iv, iii, ii, i. Articules ben alle thei that mow be devyded into nombrys of ten as xx, xxx, xl, and suche other. Composittys be alle nombrys that ben componyd of a digyt and of an articule as fourtene fyftene thrittene and suche other. Fourtene is componyd of four that is a digytand of ten that is an articule. Fyftene is componyd of fyve that is a digyt and of ten that is an articule and so of others . . . . . . But as to this rewle. In the firste place he tokeneth but himself that is to say he tokeneth but that and no more. If that he stonde in the secunde place he tokeneth ten tymes himself as this figure 2 here 21. this is oon and twenty. This figure 2 stondith in the secunde place and therfor he tokeneth ten tymes himself and ten tymes 2 is twenty and soforyeof every figure and he stonde after another toward thelestsyde he schal tokene ten tymes as moche more as he schuld token and he stode in that place ther that the figure afore him stondeth: lo an example as thus 9634. This figure of foure that hath this schape 4 tokeneth but himself for he stondeth in the first place. The figure of thre that hath this schape 3 tokeneth ten tyme himself for he stondeth in the secunde place and that is thritti. The figure of sexe that hath this schape 6 tokeneth ten tyme more than he schuld and he stode in the place yer the figure of thre stondeth for ther he schuld tokene but sexty. And now he tokeneth ten tymes that is sexe hundrid. The figure of nyne that hath this schape 9 tokeneth ten tymes more than he schulde and he stode in the place ther the figure of 6 stondeth inne for thanne he schuld tokene but nyne hundryd. And in the place that he stondeth inne nowe he tokeneth nine thousand. Alle the hole nombre of these foure figurys. Nine thousand sexe hundrid and foure and thritti.

[From a B.M. MS.,8C.iv., with additions from12E.1& Eg.2622.]

Hec algorismus ars presens dicitur1; in quaTalibus Indorum2fruimur his quinque figuris.0. 9. 8. 7. 6. 5. 4. 3. 2. 1.Prima significat unum: duo vero secunda:4Tercia significat tria: sic procede sinistreDonec ad extremam venies, qua cifra vocatur;3[Que nil significat; dat significare sequenti.]Quelibet illarum si primo limite ponas,8Simpliciter se significat: si vero secundo,Se decies: sursum procedas multiplicando.4[Namque figura sequens quevis signat decies plus,12Ipsa locata loco quam significet pereunte:Nam precedentes plus ultima significabit.]5Post predicta scias quod tres breuiter numerorumDistincte species sunt; nam quidam digiti sunt;16Articuli quidam; quidam quoque compositi sunt.[Sunt digiti numeri qui citra denarium sunt;Articuli decupli degitorum; compositi suntIlli qui constant ex articulis digitisque.]20Ergo, proposito numero tibi scribere, primoRespicias quis sit numerus; quia si digitus sit,5[Una figura satis sibi; sed si compositus sit,]Primo scribe loco digitum post articulum fac24Articulus si sit, cifram post articulum sit,[Articulum vero reliquenti in scribe figure.]Quolibet in numero, si par sit prima figura,Par erit et totum, quicquid sibi continetur;28Impar si fuerit, totum sibi fiet et impar.Septem6sunt partes, non plures, istius artis;Addere, subtrahere, duplare, dimidiare;Sexta est diuidere, set quinta est multiplicare;32Radicem extrahere pars septima dicitur esse.Subtrahis aut addis a dextris vel mediabis;A leua dupla, diuide, multiplicaque;Extrahe radicem semper sub parte sinistra.36Addition.Addere si numero numerum vis, ordine taliIncipe; scribe duas primo series numerorumPrima sub prima recte ponendo figuram,Et sic de reliquis facias, si sint tibi plures.40Inde duas adde primas hac condicione;Si digitus crescat ex addicione priorum,Primo scribe loco digitum, quicunque sit ille;Si sit compositus, in limite scribe sequenti44Articulum, primo digitum; quia sic iubet ordo.Articulus si sit, in primo limite cifram,Articulum vero reliquis inscribe figuris;Vel per se scribas si nulla figura sequatur.48Si tibi cifra superueniens occurrerit, illamDeme suppositam; post illic scribe figuram:Postea procedas reliquas addendo figuras.Subtraction.A numero numerum si sit tibi demere cura,52Scribe figurarum series, vt in addicione;Maiori numero numerum suppone minorem,Siue pari numero supponatur numerus par.Postea si possis a prima subtrahe primam,56Scribens quod remanet, cifram si nil remanebit.Set si non possis a prima demere primam;Procedens, vnum de limite deme sequenti;Et demptum pro denario reputabis ab illo,60Subtrahe totaliter numerum quem proposuisti.Quo facto, scribe supra quicquit remanebit,Facque novenarios de cifris, cum remanebis,Occurrant si forte cifre, dum demseris vnum;64Postea procedas reliquas demendo figuras.Proof.7[Si subtracio sit bene facta probare valebis,Quas subtraxisti primas addendo figuras.Nam, subtractio si bene sit, primas retinebis,68Et subtractio facta tibi probat additionem.]Duplation.Si vis duplare numerum, sic incipe; solamScribe figurarum seriem, quamcumque voles quePostea procedas primam duplando figuram;72Inde quod excrescet, scribens, vbi iusserit ordo,Juxta precepta que dantur in addicione.Nam si sit digitus, in primo limite scribe;Articulus si sit, in primo limite cifram,76Articulum vero reliquis inscribe figuris;Vel per se scribas, si nulla figura sequatur:Compositus si sit, in limite scribe sequentiArticulum primo, digitum; quia sic jubet ordo:80Et sic de reliquis facias, si sint tibi plures.8[Si super extremam nota sit, monadem dat eidem,Quod tibi contingit, si primo dimidiabis.]Mediation.Incipe sic, si vis aliquem numerum mediare:84Scribe figurarum seriem solam, velud ante;Postea procedens medias, et prima figuraSi par aut impar videas; quia si fuerit par,Dimidiabis eam, scribens quicquit remanebit;88Impar si fuerit, vnum demas, mediare,Nonne presumas, sed quod superest mediabis;Inde super tractum, fac demptum quod notat unum;Si monos, dele; sit ibi cifra post nota supra.92Postea procedas hac condicione secunda:9Impar10si fuerit hic vnum deme priori,Inscribens quinque, nam denos significabitMonos prædictam: si vero secunda dat vnam,96Illa deleta, scribatur cifra; prioriTradendo quinque pro denario mediato;Nec cifra scribatur, nisi inde figura sequatur:Posteaprocedasreliquas mediando figuras,100Quin supra docui, si sint tibi mille figure.11[Si mediatio sit bene facta probare valebis,Duplando numerum quem primo dimidiasti.]Multiplication.Si tu per numerum numerum vis multiplicare,104Scribe duas, quascunque volis, series numerorum;Ordo tamen seruetur vt vltima multiplicandiPonatur super anteriorem multiplicantis;12[A leua relique sint scripte multiplicantes.]108In digitum cures digitum si ducere, majorPer quantes distat a denis respice, debesNamque suo decuplo tociens delere minorem;Sicque tibi numerus veniens exinde patebit.112Postea procedas postremam multiplicando,Juste multiplicans per cunctas inferiores,Condicione tamen tali; quod multiplicantisScribas in capite, quicquid processerit inde;116Set postquam fuerit hec multiplicata, figureAnteriorentur seriei multiplicantis;Et sic multiplica, velut istam multiplicasti,Qui sequitur numerum scriptum quicunque figuris.120Set cum multiplicas, primo sic est operandum,Si dabit articulum tibi multiplicacio solum;Proposita cifra, summam transferre memento.Sin autem digitus excrescerit articulusque,124Articulus supraposito digito salit ultra;Si digitus tamen, ponas illum super ipsam,Subdita multiplicans hanc que super incidit illiDelet eam penitus, scribens quod provenit inde;128Sed si multiplices illam posite super ipsam,Adiungens numerum quem prebet ductus earum;Si supraimpositam cifra debet multiplicare,Prorsus eam delet, scribi que loco cifra debet,13212[Si cifra multiplicat aliam positam super ipsam,Sitque locus supra vacuus super hanc cifra fiet;]Si supra fuerit cifra semper pretereunda est;Si dubites, an sit bene multiplicando secunda,136Diuide totalem numerum per multiplicantem,Et reddet numerus emergens inde priorem.Mental Multiplication.13[Per numerum si vis numerum quoque multiplicareTantum per normas subtiles absque figuris140Has normas poteris per versus scire sequentes.Si tu per digitum digitum quilibet multiplicabisRegula precedens dat qualiter est operandumArticulum si per reliquum vis multiplicare144In proprium digitum debebit uterque resolviArticulus digitos post per se multiplicantesEx digitis quociens teneret multiplicatumArticuli faciunt tot centum multiplicati.148Articulum digito si multiplicamus oportetArticulum digitum sumi quo multiplicareDebemus reliquum quod multiplicaris ab illisPer reliquo decuplum sic omne latere nequibit152In numerum mixtum digitum si ducere curesArticulus mixti sumatur deinde resolvasIn digitum post hec fac ita de digitis necArticulusque docet excrescens in detinendo156In digitum mixti post ducas multiplicantemDe digitis ut norma docet sit juncta secundoMultiplica summam et postea summa patebitJunctus in articulum purum articulumque16014[Articulum purum comittes articulum que]Mixti pro digitis post fiat et articulus vtNorma jubet retinendo quod egreditur ab illisArticuli digitum postindigitum mixti duc164Regula de digitis ut percipit articulusqueEx quibus excrescens summe tu junge prioriSic manifesta cito fiet tibi summa petita.Compositum numerum mixto sic multiplicabis168Vndecies tredecem sic est ex hiis operandumIn reliquum primum demum duc post in eundemUnum post deinde duc in tercia deinde per unumMultiplices tercia demum tunc omnia multiplicata172In summa duces quam que fuerit te dicesHic ut hic mixtus intentus est operandumMultiplicandorum de normis sufficiunt hec.]Division.Si vis dividere numerum, sic incipe primo;176Scribe duas, quascunque voles, series numerorum;Majori numero numerum suppone minorem,15[Nam docet ut major teneat bis terve minorem;]Et sub supprima supprimam pone figuram,180Sic reliquis reliquas a dextra parte locabis;Postea de prima primam sub parte sinistraSubtrahe, si possis, quociens potes adminus istud,Scribens quod remanet sub tali conditione;184Ut totiens demas demendas a remanente,Que serie recte ponentur in anteriori,Unica si, tantum sit ibi decet operari;Set si non possis a prima demere primam,188Procedas, et eam numero suppone sequenti;Hanc uno retrahendo gradu quo comites retrahantur,Et, quotiens poteris, ab eadem deme priorem,Ut totiens demas demendas a remanenti,192Nec plus quam novies quicquam tibi demere debes,Nascitur hinc numerus quociens supraque sequentemHunc primo scribas, retrahas exinde figuras,Dum fuerit major supra positus inferiori,196Et rursum fiat divisio more priori;Et numerum quotiens supra scribas pereunti,Si fiat saliens retrahendo, cifra locetur,Et pereat numero quotiens, proponas eidem200Cifram, ne numerum pereat vis, dum locus illicRestat, et expletis divisio non valet ultra:Dum fuerit numerus numerorum inferiore seorsumIllum servabis; hinc multiplicando probabis,Proof.204Si bene fecisti, divisor multipliceturPer numerum quotiens; cum multiplicaveris, addeTotali summæ, quod servatum fuit ante,Reddeturque tibi numerus quem proposuisti;208Et si nil remanet, hunc multiplicando reddet,Square Numbers.Cum ducis numerum per se, qui provenit indeSit tibi quadratus, ductus radix erit hujus,Nec numeros omnes quadratos dicere debes,212Est autem omnis numerus radix alicujus.Quando voles numeri radicem querere, scribiDebet; inde notes si sit locus ulterius impar,Estque figura loco talis scribenda sub illo,216Que, per se dicta, numerum tibi destruat illum,Vel quantum poterit ex inde delebis eandem;Vel retrahendo duples retrahens duplando sub istaQue primo sequitur, duplicatur per duplacationem,220Post per se minuens pro posse quod est minuendum.16Post his propones digitum, qui, more prioriPer precedentes, post per se multiplicatus,Destruat in quantum poterit numerum remanentem,224Et sic procedens retrahens duplando figuram,Preponendo novam donec totum peragatur,Subdupla propriis servare docetque duplatis;Si det compositum numerum duplacio, debet228Inscribi digitus a parte dextra parte propinqua,Articulusque loco quo non duplicata resessit;Si dabit articulum, sit cifra loco pereunteArticulusque locum tenet unum, de duplicata resessit;232Si donet digitum, sub prima pone sequente,Si supraposita fuerit duplicata figuraMajor proponi debet tantummodo cifra,Has retrahens solito propones more figuram,236Usque sub extrema ita fac retrahendo figuras,Si totum deles numerum quem proposuisti,Quadratus fuerit, de dupla quod duplicasti,Sicque tibi radix illius certa patebit,240Si de duplatis fit juncta supprima figura;Radicem per se multiplices habeasquePrimo propositum, bene te fecisse probasti;Non est quadratus, si quis restat, sed habentur244Radix quadrati qui stat major sub eadem;Vel quicquid remanet tabula servare memento;Hoc casu radix per se quoque multiplicetur,Vel sic quadratus sub primo major habetur,248Hinc addas remanens, et prius debes haberi;Si locus extremus fuerit par, scribe figuramSub pereunte loco per quam debes operari,Que quantum poterit supprimas destruat ambas,252Vel penitus legem teneas operando priorem,Si suppositum digitus suo fine repertus,Omnino delet illic scribi cifra debet,A leva si qua sit ei sociata figura;256Si cifre remanent in fine pares decet harumRadices, numero mediam proponere partem,Tali quesita radix patet arte reperta.Per numerum recte si nosti multiplicare260Ejus quadratum, numerus qui pervenit indeDicetur cubicus; primus radix erit ejus;Nec numeros omnes cubicatos dicere debes,Est autem omnis numerus radix alicujus;Cube Root.264Si curas cubici radicem quærere, primoInscriptum numerum distinguere per loca debes;Que tibi mille notant a mille notante supremaInitiam, summa operandi parte sinistra,268Illic sub scribas digitum, qui multiplicatusIn semet cubice suprapositum sibi perdat,Et si quid fuerit adjunctum parte sinistraSi non omnino, quantum poteris minuendo,272Hinc triplans retrahe saltum, faciendo sub illaQue manet a digito deleto terna, figuramIlli propones quo sub triplo asocietur,Ut cum subtriplo per eam tripla multiplicatur;276Hinc per eam solam productum multiplicabis,Postea totalem numerum, qui provenit indeA suprapositis respectu tolle triplateAddita supprimo cubice tunc multiplicetur,280Respectu cujus, numerus qui progredieturEx cubito ductu, supra omnes adimetur;Tunc ipsam delens triples saltum faciendo,Semper sub ternas, retrahens alias triplicatas284Ex hinc triplatis aliam propone figuram,Que per triplatas ducatur more priori;Primo sub triplis sibi junctis, postea per se,In numerum ducta, productum de triplicatis:288Utque prius dixi numerus qui provenit indeA suprapositis has respiciendo trahatur,Huic cubice ductum sub primo multiplicabis,Respectumque sui, removebis de remanenti,292Et sic procedas retrahendo triplando figuram.Et proponendo nonam, donec totum peragatur,Subtripla sub propriis servare decet triplicatis;Si nil in fine remanet, numerus datus ante296Est cubicus; cubicam radicem sub tripla prebent,Cum digito juncto quem supprimo posuisti,Hec cubice ducta, numerum reddant tibi primum.Si quid erit remanens non est cubicus, sed habetur300Major sub primo qui stat radix cubicam,Servari debet quicquid radice remansit,Extracto numero, decet hec addi cubicato.Quo facto, numerus reddi debet tibi primus.304Nam debes per se radicem multiplicareEx hinc in numerum duces, qui provenit indeSub primo cubicus major sic invenietur;Illi jungatur remanens, et primus habetur,308Si per triplatum numerum nequeas operari;Cifram propones, nil vero per hanc operareSet retrahens illam cum saltu deinde triplata,Propones illi digitum sub lege priori,312Cumque cifram retrahas saliendo, non triplicabis,Namque nihil cifre triplacio dicitur esse;At tu cum cifram protraxeris aut triplicata,Hanc cum subtriplo semper servare memento:316Si det compositum, digiti triplacio debetIllius scribi, digitus saliendo sub ipsam;Digito deleto, que terna dicitur esse;Jungitur articulus cum triplata pereunte,320Set facit hunc scribi per se triplacio prima,Que si det digitum per se scribi facit illum;Consumpto numero, si sole fuit tibi cifreTriplato, propone cifram saltum faciendo,324Cumque cifram retrahe triplam, scribendo figuram,Preponas cifre, sic procedens operare,Si tres vel duo serie in sint, pone sub yma,A dextris digitum servando prius documentum.328Si sit continua progressio terminus nuperPer majus medium totalem multiplicato;Si par, per medium tunc multiplicato sequentem.Set si continua non sit progressio finis:332Impar, tunc majus medium si multiplicabis,333Si par per medium sibi multiplicato propinquum.

Hec algorismus ars presens dicitur1; in qua

Talibus Indorum2fruimur his quinque figuris.

0. 9. 8. 7. 6. 5. 4. 3. 2. 1.

Prima significat unum: duo vero secunda:

Tercia significat tria: sic procede sinistre

Donec ad extremam venies, qua cifra vocatur;

3[Que nil significat; dat significare sequenti.]

Quelibet illarum si primo limite ponas,

Simpliciter se significat: si vero secundo,

Se decies: sursum procedas multiplicando.4

[Namque figura sequens quevis signat decies plus,

Ipsa locata loco quam significet pereunte:

Nam precedentes plus ultima significabit.]

5Post predicta scias quod tres breuiter numerorum

Distincte species sunt; nam quidam digiti sunt;

Articuli quidam; quidam quoque compositi sunt.

[Sunt digiti numeri qui citra denarium sunt;

Articuli decupli degitorum; compositi sunt

Illi qui constant ex articulis digitisque.]

Ergo, proposito numero tibi scribere, primo

Respicias quis sit numerus; quia si digitus sit,

5[Una figura satis sibi; sed si compositus sit,]

Primo scribe loco digitum post articulum fac

Articulus si sit, cifram post articulum sit,

[Articulum vero reliquenti in scribe figure.]

Quolibet in numero, si par sit prima figura,

Par erit et totum, quicquid sibi continetur;

Impar si fuerit, totum sibi fiet et impar.

Septem6sunt partes, non plures, istius artis;

Addere, subtrahere, duplare, dimidiare;

Sexta est diuidere, set quinta est multiplicare;

Radicem extrahere pars septima dicitur esse.

Subtrahis aut addis a dextris vel mediabis;

A leua dupla, diuide, multiplicaque;

Extrahe radicem semper sub parte sinistra.

Addition.Addere si numero numerum vis, ordine tali

Incipe; scribe duas primo series numerorum

Prima sub prima recte ponendo figuram,

Et sic de reliquis facias, si sint tibi plures.

Inde duas adde primas hac condicione;

Si digitus crescat ex addicione priorum,

Primo scribe loco digitum, quicunque sit ille;

Si sit compositus, in limite scribe sequenti

Articulum, primo digitum; quia sic iubet ordo.

Articulus si sit, in primo limite cifram,

Articulum vero reliquis inscribe figuris;

Vel per se scribas si nulla figura sequatur.

Si tibi cifra superueniens occurrerit, illam

Deme suppositam; post illic scribe figuram:

Postea procedas reliquas addendo figuras.

Subtraction.A numero numerum si sit tibi demere cura,

Scribe figurarum series, vt in addicione;

Maiori numero numerum suppone minorem,

Siue pari numero supponatur numerus par.

Postea si possis a prima subtrahe primam,

Scribens quod remanet, cifram si nil remanebit.

Set si non possis a prima demere primam;

Procedens, vnum de limite deme sequenti;

Et demptum pro denario reputabis ab illo,

Subtrahe totaliter numerum quem proposuisti.

Quo facto, scribe supra quicquit remanebit,

Facque novenarios de cifris, cum remanebis,

Occurrant si forte cifre, dum demseris vnum;

Postea procedas reliquas demendo figuras.

Proof.7[Si subtracio sit bene facta probare valebis,

Quas subtraxisti primas addendo figuras.

Nam, subtractio si bene sit, primas retinebis,

Et subtractio facta tibi probat additionem.]

Duplation.Si vis duplare numerum, sic incipe; solam

Scribe figurarum seriem, quamcumque voles que

Postea procedas primam duplando figuram;

Inde quod excrescet, scribens, vbi iusserit ordo,

Juxta precepta que dantur in addicione.

Nam si sit digitus, in primo limite scribe;

Articulus si sit, in primo limite cifram,

Articulum vero reliquis inscribe figuris;

Vel per se scribas, si nulla figura sequatur:

Compositus si sit, in limite scribe sequenti

Articulum primo, digitum; quia sic jubet ordo:

Et sic de reliquis facias, si sint tibi plures.

8[Si super extremam nota sit, monadem dat eidem,

Quod tibi contingit, si primo dimidiabis.]

Mediation.Incipe sic, si vis aliquem numerum mediare:

Scribe figurarum seriem solam, velud ante;

Postea procedens medias, et prima figura

Si par aut impar videas; quia si fuerit par,

Dimidiabis eam, scribens quicquit remanebit;

Impar si fuerit, vnum demas, mediare,

Nonne presumas, sed quod superest mediabis;

Inde super tractum, fac demptum quod notat unum;

Si monos, dele; sit ibi cifra post nota supra.

Postea procedas hac condicione secunda:9

Impar10si fuerit hic vnum deme priori,

Inscribens quinque, nam denos significabit

Monos prædictam: si vero secunda dat vnam,

Illa deleta, scribatur cifra; priori

Tradendo quinque pro denario mediato;

Nec cifra scribatur, nisi inde figura sequatur:

Posteaprocedasreliquas mediando figuras,

Quin supra docui, si sint tibi mille figure.

11[Si mediatio sit bene facta probare valebis,

Duplando numerum quem primo dimidiasti.]

Multiplication.Si tu per numerum numerum vis multiplicare,

Scribe duas, quascunque volis, series numerorum;

Ordo tamen seruetur vt vltima multiplicandi

Ponatur super anteriorem multiplicantis;

12[A leua relique sint scripte multiplicantes.]

In digitum cures digitum si ducere, major

Per quantes distat a denis respice, debes

Namque suo decuplo tociens delere minorem;

Sicque tibi numerus veniens exinde patebit.

Postea procedas postremam multiplicando,

Juste multiplicans per cunctas inferiores,

Condicione tamen tali; quod multiplicantis

Scribas in capite, quicquid processerit inde;

Set postquam fuerit hec multiplicata, figure

Anteriorentur seriei multiplicantis;

Et sic multiplica, velut istam multiplicasti,

Qui sequitur numerum scriptum quicunque figuris.

Set cum multiplicas, primo sic est operandum,

Si dabit articulum tibi multiplicacio solum;

Proposita cifra, summam transferre memento.

Sin autem digitus excrescerit articulusque,

Articulus supraposito digito salit ultra;

Si digitus tamen, ponas illum super ipsam,

Subdita multiplicans hanc que super incidit illi

Delet eam penitus, scribens quod provenit inde;

Sed si multiplices illam posite super ipsam,

Adiungens numerum quem prebet ductus earum;

Si supraimpositam cifra debet multiplicare,

Prorsus eam delet, scribi que loco cifra debet,

12[Si cifra multiplicat aliam positam super ipsam,

Sitque locus supra vacuus super hanc cifra fiet;]

Si supra fuerit cifra semper pretereunda est;

Si dubites, an sit bene multiplicando secunda,

Diuide totalem numerum per multiplicantem,

Et reddet numerus emergens inde priorem.

13[Per numerum si vis numerum quoque multiplicare

Tantum per normas subtiles absque figuris

Has normas poteris per versus scire sequentes.

Si tu per digitum digitum quilibet multiplicabis

Regula precedens dat qualiter est operandum

Articulum si per reliquum vis multiplicare

In proprium digitum debebit uterque resolvi

Articulus digitos post per se multiplicantes

Ex digitis quociens teneret multiplicatum

Articuli faciunt tot centum multiplicati.

Articulum digito si multiplicamus oportet

Articulum digitum sumi quo multiplicare

Debemus reliquum quod multiplicaris ab illis

Per reliquo decuplum sic omne latere nequibit

In numerum mixtum digitum si ducere cures

Articulus mixti sumatur deinde resolvas

In digitum post hec fac ita de digitis nec

Articulusque docet excrescens in detinendo

In digitum mixti post ducas multiplicantem

De digitis ut norma docet sit juncta secundo

Multiplica summam et postea summa patebit

Junctus in articulum purum articulumque

14[Articulum purum comittes articulum que]

Mixti pro digitis post fiat et articulus vt

Norma jubet retinendo quod egreditur ab illis

Articuli digitum postindigitum mixti duc

Regula de digitis ut percipit articulusque

Ex quibus excrescens summe tu junge priori

Sic manifesta cito fiet tibi summa petita.

Compositum numerum mixto sic multiplicabis

Vndecies tredecem sic est ex hiis operandum

In reliquum primum demum duc post in eundem

Unum post deinde duc in tercia deinde per unum

Multiplices tercia demum tunc omnia multiplicata

In summa duces quam que fuerit te dices

Hic ut hic mixtus intentus est operandum

Multiplicandorum de normis sufficiunt hec.]

Si vis dividere numerum, sic incipe primo;

Scribe duas, quascunque voles, series numerorum;

Majori numero numerum suppone minorem,

15[Nam docet ut major teneat bis terve minorem;]

Et sub supprima supprimam pone figuram,

Sic reliquis reliquas a dextra parte locabis;

Postea de prima primam sub parte sinistra

Subtrahe, si possis, quociens potes adminus istud,

Scribens quod remanet sub tali conditione;

Ut totiens demas demendas a remanente,

Que serie recte ponentur in anteriori,

Unica si, tantum sit ibi decet operari;

Set si non possis a prima demere primam,

Procedas, et eam numero suppone sequenti;

Hanc uno retrahendo gradu quo comites retrahantur,

Et, quotiens poteris, ab eadem deme priorem,

Ut totiens demas demendas a remanenti,

Nec plus quam novies quicquam tibi demere debes,

Nascitur hinc numerus quociens supraque sequentem

Hunc primo scribas, retrahas exinde figuras,

Dum fuerit major supra positus inferiori,

Et rursum fiat divisio more priori;

Et numerum quotiens supra scribas pereunti,

Si fiat saliens retrahendo, cifra locetur,

Et pereat numero quotiens, proponas eidem

Cifram, ne numerum pereat vis, dum locus illic

Restat, et expletis divisio non valet ultra:

Dum fuerit numerus numerorum inferiore seorsum

Illum servabis; hinc multiplicando probabis,

Si bene fecisti, divisor multiplicetur

Per numerum quotiens; cum multiplicaveris, adde

Totali summæ, quod servatum fuit ante,

Reddeturque tibi numerus quem proposuisti;

Et si nil remanet, hunc multiplicando reddet,

Cum ducis numerum per se, qui provenit inde

Sit tibi quadratus, ductus radix erit hujus,

Nec numeros omnes quadratos dicere debes,

Est autem omnis numerus radix alicujus.

Quando voles numeri radicem querere, scribi

Debet; inde notes si sit locus ulterius impar,

Estque figura loco talis scribenda sub illo,

Que, per se dicta, numerum tibi destruat illum,

Vel quantum poterit ex inde delebis eandem;

Vel retrahendo duples retrahens duplando sub ista

Que primo sequitur, duplicatur per duplacationem,

Post per se minuens pro posse quod est minuendum.

16Post his propones digitum, qui, more priori

Per precedentes, post per se multiplicatus,

Destruat in quantum poterit numerum remanentem,

Et sic procedens retrahens duplando figuram,

Preponendo novam donec totum peragatur,

Subdupla propriis servare docetque duplatis;

Si det compositum numerum duplacio, debet

Inscribi digitus a parte dextra parte propinqua,

Articulusque loco quo non duplicata resessit;

Si dabit articulum, sit cifra loco pereunte

Articulusque locum tenet unum, de duplicata resessit;

Si donet digitum, sub prima pone sequente,

Si supraposita fuerit duplicata figura

Major proponi debet tantummodo cifra,

Has retrahens solito propones more figuram,

Usque sub extrema ita fac retrahendo figuras,

Si totum deles numerum quem proposuisti,

Quadratus fuerit, de dupla quod duplicasti,

Sicque tibi radix illius certa patebit,

Si de duplatis fit juncta supprima figura;

Radicem per se multiplices habeasque

Primo propositum, bene te fecisse probasti;

Non est quadratus, si quis restat, sed habentur

Radix quadrati qui stat major sub eadem;

Vel quicquid remanet tabula servare memento;

Hoc casu radix per se quoque multiplicetur,

Vel sic quadratus sub primo major habetur,

Hinc addas remanens, et prius debes haberi;

Si locus extremus fuerit par, scribe figuram

Sub pereunte loco per quam debes operari,

Que quantum poterit supprimas destruat ambas,

Vel penitus legem teneas operando priorem,

Si suppositum digitus suo fine repertus,

Omnino delet illic scribi cifra debet,

A leva si qua sit ei sociata figura;

Si cifre remanent in fine pares decet harum

Radices, numero mediam proponere partem,

Tali quesita radix patet arte reperta.

Per numerum recte si nosti multiplicare

Ejus quadratum, numerus qui pervenit inde

Dicetur cubicus; primus radix erit ejus;

Nec numeros omnes cubicatos dicere debes,

Est autem omnis numerus radix alicujus;

Si curas cubici radicem quærere, primo

Inscriptum numerum distinguere per loca debes;

Que tibi mille notant a mille notante suprema

Initiam, summa operandi parte sinistra,

Illic sub scribas digitum, qui multiplicatus

In semet cubice suprapositum sibi perdat,

Et si quid fuerit adjunctum parte sinistra

Si non omnino, quantum poteris minuendo,

Hinc triplans retrahe saltum, faciendo sub illa

Que manet a digito deleto terna, figuram

Illi propones quo sub triplo asocietur,

Ut cum subtriplo per eam tripla multiplicatur;

Hinc per eam solam productum multiplicabis,

Postea totalem numerum, qui provenit inde

A suprapositis respectu tolle triplate

Addita supprimo cubice tunc multiplicetur,

Respectu cujus, numerus qui progredietur

Ex cubito ductu, supra omnes adimetur;

Tunc ipsam delens triples saltum faciendo,

Semper sub ternas, retrahens alias triplicatas

Ex hinc triplatis aliam propone figuram,

Que per triplatas ducatur more priori;

Primo sub triplis sibi junctis, postea per se,

In numerum ducta, productum de triplicatis:

Utque prius dixi numerus qui provenit inde

A suprapositis has respiciendo trahatur,

Huic cubice ductum sub primo multiplicabis,

Respectumque sui, removebis de remanenti,

Et sic procedas retrahendo triplando figuram.

Et proponendo nonam, donec totum peragatur,

Subtripla sub propriis servare decet triplicatis;

Si nil in fine remanet, numerus datus ante

Est cubicus; cubicam radicem sub tripla prebent,

Cum digito juncto quem supprimo posuisti,

Hec cubice ducta, numerum reddant tibi primum.

Si quid erit remanens non est cubicus, sed habetur

Major sub primo qui stat radix cubicam,

Servari debet quicquid radice remansit,

Extracto numero, decet hec addi cubicato.

Quo facto, numerus reddi debet tibi primus.

Nam debes per se radicem multiplicare

Ex hinc in numerum duces, qui provenit inde

Sub primo cubicus major sic invenietur;

Illi jungatur remanens, et primus habetur,

Si per triplatum numerum nequeas operari;

Cifram propones, nil vero per hanc operare

Set retrahens illam cum saltu deinde triplata,

Propones illi digitum sub lege priori,

Cumque cifram retrahas saliendo, non triplicabis,

Namque nihil cifre triplacio dicitur esse;

At tu cum cifram protraxeris aut triplicata,

Hanc cum subtriplo semper servare memento:

Si det compositum, digiti triplacio debet

Illius scribi, digitus saliendo sub ipsam;

Digito deleto, que terna dicitur esse;

Jungitur articulus cum triplata pereunte,

Set facit hunc scribi per se triplacio prima,

Que si det digitum per se scribi facit illum;

Consumpto numero, si sole fuit tibi cifre

Triplato, propone cifram saltum faciendo,

Cumque cifram retrahe triplam, scribendo figuram,

Preponas cifre, sic procedens operare,

Si tres vel duo serie in sint, pone sub yma,

A dextris digitum servando prius documentum.

Si sit continua progressio terminus nuper

Per majus medium totalem multiplicato;

Si par, per medium tunc multiplicato sequentem.

Set si continua non sit progressio finis:

Impar, tunc majus medium si multiplicabis,

Si par per medium sibi multiplicato propinquum.

1.“Hec præsens ars dicitur algorismus ab Algore rege ejus inventore, vel dicitur abalgosquod est ars, etrodosquod est numerus; quæ est ars numerorum vel numerandi, ad quam artem bene sciendum inveniebantur apud Indos bis quinque (id est decem) figuræ.” —Comment. Thomæ de Novo-Mercatu.MS. Bib. Reg. Mus. Brit. 12 E. 1.2.“Hæ necessariæ figuræ sunt Indorum characteros.”MS. de numeratione.Bib. Sloan. Mus. Brit. 513, fol. 58. “Cum vidissem Yndos constituisseIXliteras in universo numero suo propter dispositionem suam quam posuerunt, volui patefacere de opere quod sit per eas aliquidque esset levius discentibus, si Deus voluerit. Si autem Indi hoc voluerunt et intentio illorum nihil novem literis fuit, causa que mihi potuit. Deus direxit me ad hoc. Si vero alia dicam preter eam quam ego exposui, hoc fecerunt per hoc quod ego exposui, eadem tam certissime et absque ulla dubitatione poterit inveniri. Levitasque patebit aspicientibus et discentibus.” MS. U.L.C., Ii. vi. 5, f. 102.3.From Eg. 2622.4.8 C. iv. inserts Nullum cipa significat: dat significare sequenti.5.From 12 E. 1.6.En argorisme devon prendreVii especes . . . .Adision subtracionDoubloison mediacionMonteploie et divisionEt de radix eustracionA chez vii especes savoirDoit chascun en memoire avoirLetres qui figures sont ditesEt qui excellens sont ecrites.—MS.Seld. Arch.B. 26.7.From 12 E. 1.8.From 12 E. 1.9.8 C. iv. inserts Atque figura prior nuper fuerit mediando.10.I.e.figura secundo loco posita.11.So 12 E. 1; 8 C. iv. inserts—Si super extremam nota sit monades dat eidemQuod contingat cum primo dimiabisAtque figura prior nuper fuerit mediando.12.12 E. 1 inserts.13.12 E. 1 inserts to l. 174.14.12 E. 1 omits, Eg. 2622 inserts.15.12 E. 1 inserts.16.8 C. iv. inserts—Hinc illam dele duplans sub ei psalliendoQue sequitur retrahens quicquid fuerit duplicatum.

2.“Hæ necessariæ figuræ sunt Indorum characteros.”MS. de numeratione.Bib. Sloan. Mus. Brit. 513, fol. 58. “Cum vidissem Yndos constituisseIXliteras in universo numero suo propter dispositionem suam quam posuerunt, volui patefacere de opere quod sit per eas aliquidque esset levius discentibus, si Deus voluerit. Si autem Indi hoc voluerunt et intentio illorum nihil novem literis fuit, causa que mihi potuit. Deus direxit me ad hoc. Si vero alia dicam preter eam quam ego exposui, hoc fecerunt per hoc quod ego exposui, eadem tam certissime et absque ulla dubitatione poterit inveniri. Levitasque patebit aspicientibus et discentibus.” MS. U.L.C., Ii. vi. 5, f. 102.

3.From Eg. 2622.

4.8 C. iv. inserts Nullum cipa significat: dat significare sequenti.

5.From 12 E. 1.

En argorisme devon prendreVii especes . . . .Adision subtracionDoubloison mediacionMonteploie et divisionEt de radix eustracionA chez vii especes savoirDoit chascun en memoire avoirLetres qui figures sont ditesEt qui excellens sont ecrites.—MS.Seld. Arch.B. 26.

En argorisme devon prendre

Vii especes . . . .

Adision subtracion

Doubloison mediacion

Monteploie et division

Et de radix eustracion

A chez vii especes savoir

Doit chascun en memoire avoir

Letres qui figures sont dites

Et qui excellens sont ecrites.—MS.Seld. Arch.B. 26.

7.From 12 E. 1.

8.From 12 E. 1.

9.8 C. iv. inserts Atque figura prior nuper fuerit mediando.

10.I.e.figura secundo loco posita.

11.So 12 E. 1; 8 C. iv. inserts—

Si super extremam nota sit monades dat eidemQuod contingat cum primo dimiabisAtque figura prior nuper fuerit mediando.

Si super extremam nota sit monades dat eidem

Quod contingat cum primo dimiabis

Atque figura prior nuper fuerit mediando.

12.12 E. 1 inserts.

13.12 E. 1 inserts to l. 174.

14.12 E. 1 omits, Eg. 2622 inserts.

15.12 E. 1 inserts.

16.8 C. iv. inserts—

Hinc illam dele duplans sub ei psalliendoQue sequitur retrahens quicquid fuerit duplicatum.

Hinc illam dele duplans sub ei psalliendo

Que sequitur retrahens quicquid fuerit duplicatum.

Back to Index Next