Diese wenigen Bemerkungen müssen genügen, um auf Betrachtungen hinzuweisen, deren Verfolg mir interessant scheint.
§. 19. Ueber die Moduln algebraischer Gleichungen.
Es gibt einen wichtigen Punct, in welchem die Riemann’sche Theorie der algebraischen Functionen nicht nur der Methode sondern auch dem Resultate nach über die sonst üblichen Darstellungen dieser Theorie hinausgreift. Sie besagt nämlich _dass zu jeder über der __z__-Ebene ausgebreiteten, graphisch gegebenen mehrblättrigen Fläche zugehörige algebraische Functionen construirt werden können_,—wobei man beachten mag, dass diese Functionen, sofern sie überhaupt existiren, in hohem Maasse willkürlich sind, da [formula] im Allgemeinen gerade so verzweigt ist, wiew.—Der genannte Satz ist um so merkwürdiger, als er eine Angabe über eine interessante Gleichung höheren Grades implicirt. Sind nämlich die Verzweigungspuncte einerm-blättrigen Fläche gegeben, so existiren noch eine endliche Zahl von wesentlich verschiedenen Möglichkeiten, dieselben in diem-Blätter einzuordnen: man wird diese Zahl durch Betrachtungen auffinden können, die der reinen Analysis situs angehören(36). Aber dieselbe Zahl hat unserem Satze zufolge ihre algebraische Bedeutung. Man bezeichne, wie es Riemann thut, alle solche algebraischen Functionen vonzals derselben Classe angehörig, die sich, unter Benutzung vonz, rational durch einander ausdrücken lassen.Dann ist unsere(37)_ Zahl die Anzahl der verschiedenen__ Classen algebraischer Functionen, welche in Bezug auf __z__ die gegebenen Verzweigungswerthe besitzen._
Ich wünsche im gegenwärtigen und im folgenden Paragraphen verschiedene Folgerungen zu ziehen, die sich aus dem vorausgeschickten Satze gewinnen lassen, und zwar mag zunächst die Frage nach denModulnder algebraischen Functionen behandelt werden, d. h. die Frage nach denjenigen Constanten, welche bei eindeutiger Transformation der Gleichungen [formula] die Rolle der Invarianten spielen.
Sei zu diesem Zwecke [formula] eine zunächst unbekannte Zahl, welche angibt, wie vielfach unendlich oft eine Fläche sich eindeutig in sich transformiren, d. h. conform auf sich selber abbilden lässt. Sodann erinnere man sich an die Anzahl der Constanten in den eindeutigen Functionen auf gegebener Fläche (§. 13). Es gab im Allgemeinen [formula] eindeutige Functionen mitmUnendlichkeitspuncten, und diese Zahl war jedenfalls genau richtig (wie ohne Beweis angegeben wurde), wenn [formula] war. Nun bildet jede dieser Functionen die gegebene Fläche auf einem-blättrige Fläche über der Ebene eindeutig ab. _Daher ist die Gesammtheit der __m__-blättrigen Flächen, auf welche man eine gegebene Fläche conform eindeutig beziehen kann, und also auch der __m__-blättrigen Flächen, die man einer Gleichung[formula]durch eindeutige Transformation zuordnen kann,[formula]fach._ Denn jedesmal [formula] Abbildungen ergeben dieselbem-blättrige Fläche, weil jede Fläche der Voraussetzung nach [formula] mal auf sich selber abgebildet werden kann.
Nun gibt es aber überhaupt [formula]m-blättrige Flächen, unterwdie Zahl der Verzweigungspuncte, d. h. [formula] verstanden. Denn durch die Verzweigungspuncte wird die Fläche, wie oben bemerkt, endlich-deutig bestimmt, und Verzweigungspunkte höherer Multiplicität entstehen durch Zusammenrücken einfacher Verzweigungspuncte, wie dieses betreffs der entsprechenden Kreuzungspuncte bereits in §. 1 erläutert wurde (vergl. Figur (2) und (3) daselbst). Zu jeder dieser Flächen gehören, wie wir wissen, algebraische Functionen.Die Anzahl der Moduln ist daher[formula].
Bemerken wir hierzu, dass die Gesammtheit derm-blättrigen Flächen mitwVerzweigungspuncten einContinuumbildet(38), wie das Entsprechende betreffs der auf gegebener Fläche existirenden eindeutigen Functionen mitmUnendlichkeitspuncten bereits in §. 13 hervorgehoben wurde. Wir schliessen dann, _dass die algebraischen Gleichungen eines gegebenen __p__ ebenfalls eine einzige zusammenhängende Mannigfaltigkeit constituiren_ (wobei wir alle Gleichungen, die aus einander durch eindeutige Transformation hervorgehen, als ein Individuum erachten). Hierdurch erst gewinnt die angegebene Zahl der Moduln ihre präcise Bedeutung:sie ist die Zahl der Dimensionen dieser zusammenhängenden Mannigfaltigkeit.
Es kommt jetzt noch darauf an, die Zahl [formula] zu bestimmen. Diess geschieht durch folgende Sätze:
1.Jede Gleichung[formula]kann[formula]mal eindeutig in sich, selbst transformirt werden. Denn auf der zugehörigen Riemann’schen Fläche existiren eindeutige Functionen mit nur je einem Unendlichkeitspunct in dreifach unendlicher Zahl (§. 13), von denen man, um eine eindeutige Transformation der Fläche in sich zu haben, nur irgend zwei entsprechend zu setzen hat.—Des Näheren stellt sich die Sache so. Heisst eine der genannten Functionenz, so sind alle anderen (nach §. 16) algebraische eindeutige, d. h. rationale Functionen vonz, und, da das Verhältniss umkehrbar sein muss,lineareFunctionen vonz. Umgekehrt ist auch jede lineare Function vonzeine eindeutige Function des Ortes in unserer Fläche, mit nur einem Unendlichkeitspuncte. Daher wird man die allgemeinste eindeutige Transformation der Gleichung in sich bekommen, wenn man jedem Punctezder Riemann’schen Fläche einen anderen durch die Formel zuordnet:
[formula]
unter [formula] beliebige Constante verstanden.
2)Jede Gleichung[formula]kann einfach unendlich oft eindeutig in sich transformirt werden. Zum Beweise betrachte man das zugehörige überall endliche IntegralWund insbesondere die Abbildung, welche von der zweckmässig zerschnittenen Riemann’schen Fläche in der EbeneWentworfen wird. Wir haben dies in einem besonderen Falle bereits gethan (§. 15, Figur (38)); eine genaue Ausführung im allgemeinen Falle wird um so weniger nöthig sein, als es sich um Betrachtungen handelt, die in der Theorie der elliptischen Functionen ausführlich entwickelt zu werden pflegen. Das Resultat ist, dass zu jedem Werthe vonWeinPunct und nur ein Punct der betreffenden Riemann’schen Fläche gehört, während sich die unendlich vielen Werthe vonW, die demselben Punkte der Riemann’schen Fläche entsprechen, aus einem derselben in der Form zusammensetzen: [formula], unter [formula], [formula] beliebige ganze Zahlen, unter [formula], [formula] die beiden Perioden des Integrals verstanden. Bei eindeutiger Umformung wird jedem PuncteWein Punct [formula] in der Weise zugeordnet werden müssen, dass jeder Vermehrung vonWum Perioden eine solche von [formula] entspricht, und umgekehrt. Diess gelingt in der That, aber im Allgemeinen nur in der Weise, dass man
[formula]
setzt. Nur im besonderen Falle (wenn das Periodenverhältniss [formula] bestimmte zahlentheoretische Eigenschaften hat) kann [formula] auch gleich [formula], oder [formula] gesetzt werden (unter [formula] eine dritte Einheitswurzel verstanden)(39). Wie dem auch sei, wir haben in jedem Falle in den Transformationsformeln nur eine willkürliche Constante und also den wechselnden Werthen derselben entsprechend in der That einfach unendlich viele Transformationen, wie behauptet wurde.
3)Gleichungen[formula]können niemals unendlich oft eindeutig in sich transformirt werden.(40)
Ich verweise, was den analytischen Beweis dieser Behauptung angeht, auf die Darstellungen vonSchwarz(Borchardt’s Journal Bd. 87) undHettner(Göttinger Nachrichten, 1880, p. 386). Auf anschauungsmässigem Wege kann man sich die Richtigkeit der Behauptung folgendermassen verständlich machen. Sollte es unendlich viele eindeutige Transformationen der Gleichung in sich geben, so müsste es möglich sein, die zugehörige Riemann’sche Fläche derart continuirlich über sich hin zuverschieben, dass jede kleinste Figur mit sich selbst ähnlich bleibt. Die Curven, längs deren eine solche Verschiebung vor sich ginge, müssten die Fläche jedenfalls vollständig und zugleich einfach überdecken. EinKreuzungspunctdürfte in diesem Curvensysteme offenbar nicht vorhanden sein. Man müsste einen solchen Punct nämlich, damit keine Vieldeutigkeit der Transformation eintritt, als festbleibenden Punct betrachten und also die Geschwindigkeit der Verschiebung in ihm gleich Null setzen. Dann aber würde eine kleine Figur, welche bei der Verschiebung auf den Kreuzungspunct zu rückt, im Sinne der Bewegung nothwendig zusammengedrückt, senkrecht dazu auseinandergezogen werden; sie könnte also nicht mit sich selbst ähnlich bleiben, wie es doch durch den Begriff der conformen Abbildung verlangt wird.—Andererseits müssen aber in jedem Curvensysteme, das eine Fläche [formula] vollständig und einfach überdeckt, nothwendig Kreuzungspuncte vorhanden sein. Diess ist derselbe Satz, den wir, in etwas weniger allgemeiner Form, in §. 11 aufgestellt haben.—Die ganze Verschiebung der Fläche in sich ist also unmöglich, was zu beweisen war.
Nach diesen Sätzen ist [formula] für [formula], gleich 1 für [formula], und gleich Null für alle grösserenp.Die Zahl der Moduln ist also für[formula]gleich Null, für[formula]_ gleich Eins, für grössere __p__ gleich _[formula].
Es wird gut sein, noch folgende Bemerkungen hinzuzufügen. Um den Punct eines Raumes von [formula] Dimensionen zu bestimmen, wird man im Allgemeinen mit [formula] Grössen nicht ausreichen: man wird mehr Grössen benöthigen, zwischen denen dann algebraische (oder auch transcendente) Relationen bestehen. Ausserdem mag es aber auch sein, dass man zweckmässigerweise Bestimmungsstücke einführt, von denen jedesmal verschiedene Serien denselben Punct der Mannigfaltigkeit bezeichnen. Welche Verhältnisse bei den [formula] Moduln, die bei [formula] existiren müssen, in dieser Hinsicht vorliegen, ist nur erst wenig erforscht. Dagegen ist der Fall [formula] aus der Theorie der elliptischen Functionen genau bekannt. Ich erwähne die auf ihn bezüglichen Resultate, um mich im Folgenden bei aller Kürze doch präcise ausdrücken zu können. Sei vor allen Dingen hervorgehoben, dass für [formula] das algebraische Individuum (um diesen oben gebrauchten Ausdruck noch einmal zu verwenden) in der That durch eine (und nur eine) Grösse charakterisirt werden kann:die absolute Invariante[formula](41). Wenn im Folgenden gesagt wird, dass zur Ueberführbarkeit zweier Gleichungen [formula] in einander die Gleichheit des Moduls nicht nur hinreichend, sondern auch erforderlich sei, so ist stets an die InvarianteJgedacht. Statt ihrer verwendet man, wie bekannt, gewöhnlich dasLegendre’sche [formula], welches bei gegebenemJsechswerthig ist, so dass bei der Formulirung allgemeiner Sätze eine gewisse Schwerfälligkeit unvermeidbar scheint. In noch höherem Maasse ist dies der Fall, wenn man das Periodenverhältniss [formula] des elliptischen Integrals erster Gattung, wie dies in anderer Beziehung vielfach zweckmässig ist, als Modul einführt. Jedesmal unendlich viele Werthe des Moduls bezeichnen dann dasselbe algebraische Individuum.
§. 20. Conforme Abbildung geschlossener Flächen auf sich selbst.
In den nun noch folgenden Paragraphen mögen die entwickelten Principien, wie in Aussicht gestellt, nach der geometrischen Seite verfolgt werden, um wenigstens die Grundzüge für eine Theorieder conformen Abbildungvon Flächen auf einander zu gewinnen(42) und so den Andeutungen zu entsprechen, mit denen Riemann, wie bereits in der Vorrede bemerkt, seine Dissertation abschloss. Ich werde mich dabei, was die Fälle [formula] und [formula] angeht, um nicht zu weitläufig zu werden, vielfach auf eine blosse Angabe der Resultate oder eine Andeutung ihres Beweises beschränken müssen.
Indem wir uns zuvörderst nach conformen Abbildungen einer geschlossenen Fläche auf sich selbst fragen, haben wir eine Unterscheidung einzuführen, von der bislang noch nicht die Rede war:die Abbildung kann ohne Umlegung der Winkel geschehen oder mit Umlegung derselben. Wir haben eine Abbildung der einen Art, wenn wir eine Kugel durch Drehung um den Mittelpunct mit sich selbst zur Deckung bringen; wir bekommen die zweite Art, wenn wir zu demselben Zwecke eine Spiegelung an einer Diametralebene verwenden. Die analytische Behandlung, wie wir sie bisher benutzten, entspricht nur den Abbildungen der ersten Art. Sind [formula] und [formula] zwei complexe Functionen des Ortes auf derselben Fläche, so liefert [formula], [formula] die allgemeinste Abbildung erster Art (vergl. §. 6). Aber es ist leicht zu sehen, wie man die Erweiterung zu treffen hat, um auch Abbildungen zweiter Art zu umfassen.Man hat einfach[formula],[formula]zu setzen, um eine Abbildung zweiter Art zu haben.
Entnehmen wir zunächst den Entwickelungen des vorigen Paragraphen, was sich auf Abbildung der ersten Art bezieht. Indem wir uns möglichst geometrischer Ausdrucksweise bedienen, formuliren wir die folgenden Theoreme:
Flächen[formula]oder[formula]können immer, Flächen[formula]niemals unendlich oft durch Abbildung der ersten Art in sich übergeführt werden.
Bei den Flächen[formula]ist die einzelne Abbildung der ersten Art bestimmt, wenn man drei beliebige Puncte der Fläche drei beliebigen Puncten derselben zugeordnet hat.
Ist[formula], so darf man einen beliebigen Punct der Fläche einem zweiten nach Willkür zuweisen, und hat dann noch zur Bestimmung der Abbildung erster Art im Allgemeinen eine zweifache, im besonderen Falle eine vierfache oder sechsfache Möglichkeit.
Mit diesen Sätzen ist natürlich nicht ausgeschlossen, dass besondere Flächen [formula] durchgetrennteTransformationen der ersten Art in sich übergehen mögen. Tritt diess ein, so bildet es eine bei beliebiger conformen Umänderung der Fläche invariante Eigenschaft, nach deren Vorhandensein und Modalität besonders interessante Flächenclassen aus der Gesammtheit der übrigen herausgehoben werden können.(43) Doch verfolgen wir hier diesen Gesichtspunct nicht weiter.
Betreffs der Transformationen zweiter Art mögen wir voranstellen,dass jede Transformation der zweiten Art in Verbindung mit einer solchen der ersten Art eine neue Transformation der zweiten Art ergibt. Nun kennen wir bei den Flächen [formula] und [formula] die Transformationen erster Art auf Grund der angegebenen Sätze vollständig. Es wird bei ihnen also genügen, zu untersuchen, ob überhaupteineTransformation der zweiten Art existirt.Bei den Flächen[formula]ist diess sofort zu bejahen. Denn es genügt, eine beliebige der eindeutigen Functionen des Ortes mit nur einem Unendlichkeitspuncte, [formula], herauszugreifen, und dann [formula], [formula] zu setzen. Bei den Flächen [formula] ist die Sache anders.Man findet, dass im Allgemeinen keine Transformation der zweiten Art existirt. Zum Beweise ist es am einfachsten, die Werthe in Betracht zu ziehen, welche das überall endliche IntegralWauf der Fläche [formula] annimmt. Man denke sich in der EbeneWdie Puncte [formula] markirt, unter [formula] wie oben beliebige positive oder negative ganze Zahlen verstanden. Man zeigt dann leicht, dass eine Transformation der zweiten Art der Fläche [formula] in sich nur dann möglich ist, wenn dieses Punctsystem eine Symmetrieaxe besitzt. Es ist diess geradederFall, in welchem die oben definirte absolute InvarianteJeinenreellenWerth aufweist. Je nachdem dabei [formula] oder [formula], können jene Puncte in derW-Ebene als die Ecken einesrhombischenoder einesrechteckigenSystems betrachtet werden.
Sei nun [formula]. Wenn für eine solche Fläche eine Transformation der zweiten Art existirt, so wird dieselbe im Allgemeinen von keiner weiteren Transformation derselben Art begleitet sein(44). Denn sonst würde die Wiederholung oder Combination dieser Transformationen eine von der Identität verschiedene Transformation der ersten Art liefern. Die Transformation muss daher nothwendig einesymmetrischesein, d. h. eine solche, welche die Puncte der Flächepaarweisezusammenordnet. Ich will dementsprechend die Fläche selbst einesymmetrischenennen.
Uebrigens mögen hinterher unter diesem Namen überhaupt alle Flächen mit einbegriffen sein, welche Transformationen zweiter Art in sich zulassen, die zweimal angewandt zur Identität zurückführen. Es gehören dahin, wie man sofort sieht, die Flächen [formula], sowie auch sämmtliche Flächen [formula] mit reeller Invariante.
§. 21. Besondere Betrachtung der symmetrischen Flächen.
Für die symmetrischen Flächen, auf die wir hier unser besonderes Augenmerk richten wollen, ergibt sich sofort eine Eintheilung nach der Zahl und Art der auf ihr befindlichenUebergangscurven, d. h. derjenigen Curven, deren Puncte bei der in Betracht kommenden symmetrischen Umformung ungeändert bleiben.
Die Zahl dieser Curven kann jedenfalls nicht grösser sein, als[formula]. Denn wenn man eine Fläche längs aller ihrer Uebergangscurven mit Ausnahme einer einzigen zerschneidet, so bildet sie, indem ihre symmetrischen Hälften noch immer in der einen Uebergangscurve zusammenhängen, nach wie vor ein ungetrenntes Ganze. Es würden sich also, wenn mehr als [formula] Uebergangscurven vorhanden wären, auf der Fläche mehr alspnicht zerstückende Rückkehrschnitte ausführen lassen, was ein Widerspruch gegen die Definition der Zahlpist.
Dagegen ist unterhalb dieser Gränze jede Zahl von Uebergangscurven möglich. Es mag hier genügen, in diesem Sinne die Fälle [formula] und [formula] zu discutiren; für die höherenpergeben sich dann von selbst naheliegen de Beispiele.
1) Wenn wir eine Kugel durch Spiegelung an einer Diametralebene mit sich zur Deckung bringen, so bildet der grösste Kreis, in welchem sie von der Diametralebene geschnitten wird, eine Uebergangscurve. Wir erhalten eine Zuordnung der anderen Art indem wir je zwei solche Puncte der Kugel entsprechend setzen, welche die Endpuncte eines Durchmessers bilden. Beide Beispiele sind leicht zu generalisiren. Die analytische Darstellung ist diese. Wenn eine Uebergangscurve existirt, so gibt es eindeutige Functionen des Ortes mit nur einem Unendlichkeitspuncte, die auf der Uebergangscurve reelle Werthe annehmen. Heisst eine derselben [formula], so ist die Umformung, wie oben schon als Beispiel angegeben, durch [formula], [formula] gegeben.—Im zweiten Falle kann man eine Function [formula] so wählen, dass ihre Werthe [formula] und0, sowie [formula] und [formula] zusammengeordnete Puncte vorstellen. Dann ist
[formula]
die analytische Formel der betreffenden Umänderung.
2) Im Falle [formula] müssen wir die InvarianteJ, wie wir wissen, jedenfalls reell nehmen. Sei dieselbe zunächst [formula]. Dann können wir das zugehörige überall endliche IntegralW(durch Zufügung eines geigneten constanten Factors) so normiren, dass die eine Periodereell, gleicha, die andererein imaginär, gleich [formula], wird. Setzen wir dann (für [formula]):
[formula]
so haben wir eine symmetrische Umformung der Fläche [formula] mit denzweiUebergangscurven:
[formula]
schreiben wir dagegen:
[formula]
was wieder eine symmetrische Umformung unserer Fläche ist, so haben wir den Fall, in welchemkeineUebergangscurve entsteht.—Der Fall mit nureinerUebergangscurve tritt ein, wenn wir [formula] nehmen. Wir können dannWso wählen, dass seine beiden Perioden conjugirt complex werden. Wir schreiben dann wieder
[formula]
und haben eine symmetrische Umformung mit der einen Uebergangscurve [formula].
Neben die hiermit erläuterte erste Unterscheidung der symmetrischen Flächen nach derZahlder Uebergangscurven stellt sich aber noch eine zweite. Ich will die Fälle von0oder [formula] Uebergangscurven einen Augenblick ausschliessen. Dann bietet sich von vorneherein eine doppelte Möglichkeit.Eine Zerschneidung der Fläche längs sämmtlicher Uebergangscurven mag nämlich entweder ein Zerfallen der Fläche herbeiführen, oder nicht.Es sei [formula] die Zahl der Uebergangscurven. Man zeigt dann leicht, dass [formula] ungerade sein muss, wenn ein Zerfallen eintreten soll. Eine weitere Beschränkung existirt nicht, wie man an Beispielen beweist. Wir wollen dementsprechend symmetrische Flächender einen und der andern Artunterscheiden und den ersteren (den zerfallenden) Flächen die Fläche mit [formula] Uebergangscurven, den letzteren die Fläche ohne Uebergangscurve zurechnen.
Diese Sätze besitzen eine gewisse Analogie mit den Resultaten, welche in der analytischen Geometrie die gestaltliche Untersuchung der Curven von gegebenenperzielt hat.(45) Und in der That zeigt sich, dass diese Analogie eine begründete ist. Die analytische Geometrie beschäftigt sich bei jenen Untersuchungen (zunächst) nur mit solchen Gleichungen
[formula]
welche reelle Coefficienten besitzen. Beachten wir zunächst, dass jede solche Gleichung über derz-Ebene in der That eine symmetrische Riemann’sche Fläche bestimmt, insofern ja die Gleichung und also auch die Fläche ungeändert bestehen bleibt, wenn manwundzgleichzeitig durch ihre conjugirten Werthe ersetzt—und dass die Uebergangscurven auf dieser Fläche denreellenWerthereihen vonwundzentsprechen, welche [formula] befriedigen, d. h. genau den verschiedenen Zügen, welche die Curve [formula] im Sinne der analytischen Geometrie aufweist.
Aber auch der Rückschluss ist leicht zu machen. Sei eine symmetrische Fläche und auf ihr eine beliebige complexe Function des Ortes, [formula], gegeben. Bei der symmetrischen Umformung erfährt unsere Flächeeine Umlegung der Winkel. Wenn man also jedem Puncte der Fläche solche Werthe [formula], [formula] beilegt, wie sie, unter der Benennungu,v, sein symmetrischer Punct aufweist, so wird [formula] eine neue complexe Function des Ortes sein. Man bilde nun:
[formula]
so hat man einen Ausdruck, der im allgemeinen nicht identisch verschwindet; es genügt zu dem Zwecke, die Unendlichkeitspuncte von [formula] in unsymmetrischer Weise anzunehmen.Man hat also eine complexe Function des Ortes, welche in symmetrisch gelegenen Puncten gleiche reelle aber entgegengesetzt gleiche imaginäre Werthe aufweist.—Solcher [formula] mögen nun irgend zwei:WundZ, die überdiesseindeutigeFunctionen des Ortes sein sollen, herausgegriffen werden. Die zwischen diesen bestehende algebraische Gleichung hat dann die Eigenschaft, ungeändert zu bleiben, wenn manWundZgleichzeitig durch ihre conjugirten Werthe ersetzt.Sie ist also eine Gleichung mit reellen Coefficienten,womit der geforderte Beweis in der That erbracht ist.
Ich knüpfe an diese Ueberlegungen noch Bemerkungen üher diereelleneindeutigen TransformationenreellerGleichungen [formula] in sich, oder, was dasselbe ist, über solche conforme Abbildungen erster Art symmetrischer Flächen auf sich selbst, bei denen symmetrische Puncte wieder in symmetrische Puncte übergehen. In unendlicher Zahl können solche Transformationen nach dem allgemeinen Satze des §. 19 nur für [formula] und [formula] auftreten; wir beschränken uns also auf diese Fälle. Nehmen wir zuvörderst [formula]. Dann sehen wir sofort, dass unter den früher aufgestellten Transformationen nur noch diejenigen
[formula]
in Betracht kommen,bei denenCeine reelle Constante bedeutet.Analog in dem ersten Falle [formula]. Die Beziehung [formula] bleibt ungeändert, wenn man [formula] und [formula] gleichzeitig derselben linearen Transformation:
[formula]
unterwirft,wo die Verhältnissgrössen[formula]reell sind. In dem zweiten Falle [formula] ist die Sache etwas complicirter.Auch bei ihm sind lineare Transformationen mit drei reellen Parametern möglich.Dieselben nehmen aber für das oben eingeführtezdie folgende Gestalt an:
[formula]
wo [formula] die drei reellen Parameter vorstellen. Dieses Resultat ist implicite in den Untersuchungen enthalten, die sich auf die analytische Repräsentation der Drehungen der [formula]-Kugel um ihren Mittelpunct beziehen.(46)
§ 22. Conforme Abbildung verschiedener Flächen auf einander.
Wenn es sich jetzt darum handelt, verschiedene geschlossene Flächen auf einander abzubilden, so liefern die vorausgeschickten Untersuchungen über die conforme Abbildung geschlossener Flächen auf sich selbst die nöthigen Nebenbestimmungen, welche angeben, wie oft sich eine solche Abbildung gestaltet, sofern eine solche überhaupt möglich ist. Flächen, welche sich conform aufeinander abbilden lassen, besitzen jedenfalls (wie schon hervorgehoben) übereinstimmende Transformationen in sich selbst. Man erhält also alle Abbildungen der einen Fläche auf die zweite, wenn man eine beliebige Abbildung mit allen solchen verbindet, welcheeineder beiden Flächen in sich selbst überführen. Ich werde hierauf nicht weiter zurückkommen.
Betrachten wir nun zuvörderst allgemeine, d. h. nicht symmetrische Flächen. Dann treten die Abzählungen des §. 19 betreffs der Moduln algebraischer Gleichungen unmittelbar in Geltung. Wir haben zunächst:
Flächen[formula]lassen sich immer conform auf einander abbilden;und finden übrigens, dass die Flächen [formula]einen, die Flächen [formula] [formula] bei conformer Abbildung unzerstörbare Moduln besitzen. Jeder solche Modul ist im Allgemeinen einecomplexeConstante. Dem Umstande entsprechend, dass bei symmetrischen Flächen reelle Parameter in Betracht gezogen werden müssen, wollen wir ihn in seinen reellen und seinen imaginären Bestandtheil zerlegt denken. Dann haben wir:
Sollen zwei Flächen[formula]auf einander abbildbar sein, so sind im Falle[formula]zwei, im Falle[formula][formula]Gleichungen zwischen den reellen Constanten der Flächen zu erfüllen.
Indem wir uns jetzt zu densymmetrischenFlächen wenden, haben wir noch eine kleine Zwischenbetrachtung zu machen. Zunächst ist ersichtlich, dass zwei solche Flächen nur dann "symmetrisch’’ auf einander bezogen werden können, wenn sie neben dem gleichenpdieselbe Zahl [formula] der Uebergangscurven darbieten und überdiess beide entweder der ersten oder der zweiten Art angehören. Im Uebrigen wiederhole man speciell für die symmetrischen Flächen die Abzählungen des §. 13 betreffs der Zahl der in eindeutigen Functionen enthaltenen Constanten unter der Bedingung, dass nur solche Functionen in Betracht gezogen werden, welche an symmetrischen Stellen conjugirt imaginäre Werthe aufweisen. Hiermit combinire man sodann nach dem Muster des §. 19 die Zahl solcher über derZ-Ebene construirbarer mehrblättriger Flächen, welche in Bezug auf die Axe der reellen Zahlen symmetrisch sind. Ich will dabei, um das Auftreten unendlich vieler Transformationen in sich zu vermeiden, zuvörderst annehmen, dass [formula] sei. Die Sache ist dann so einfach, dass ich sie nicht speciell durchzuführen brauche. Der Unterschied ist nur, dass die in Betracht kommenden, früher unbeschränkten Constanten nunmehr gezwungen sind, entwedereinzeln reelloderpaarweise conjugirt complexzu sein. In Folge dessen reduciren sich alle Willkürlichkeiten auf die Hälfte. Wir mögen folgendermassen sagen:
Zur Abbildbarkeit zweier symmetrischer Flächen[formula]auf einander ist neben der Uebereinstimmung in den Attributen das Bestehen von[formula]Gleichungen zwischen den reellen Constanten der Fläche erforderlich.
Die Fälle [formula] und [formula], welche hierbei ausgeschlossen wurden, sind implicite bereits im vorigen Paragraphen erledigt. Selbstverständlich müssen zwei symmetrische Flächen [formula], die sich auf einander sollen abbilden lassen, die gleiche InvarianteJbesitzen, waseineBedingung für die Constanten der Flächen abgibt, insofernJjedenfalls reell ist. Im Uebrigen aber findet man sofort, dass die Abbildung sich allemal ermöglicht, sobald die symmetrischen Flächen, wie dies selbstverständlich verlangt werden muss,in der Zahl der Uebergangscurvenübereinstimmen.
§. 23. Berandete Flächen und Doppelflächen.
Auf Grund der nunmehr gewonnenen Resultate können wir den bisherigen Untersuchungen über die AbbildunggeschlossenerFlächen eine scheinbar bedeutende Verallgemeinerung zu Theil werden lassen, und habe ich eben desshalb die symmetrischen Flächen so ausführlich betrachtet. Wir können jetzt nämlichberandeteFlächen undDoppelflächenin Betracht ziehen (mögen nun letztere berandet sein, oder nicht) und mit einem Schlage die auf sie bezüglichen Fragen erledigen. Hierzu gehört, was die Einführung der Randcurven angeht, dass wir uns von einer gewissen Beschränkung befreien, welche wir bisher, allerdings nur implicite, vorausgesetzt haben. Wir dachten uns die Flächen, auf denen wir operirten, bislang durchweg als stetig gekrümmt, oder doch nur in einzelnen Puncten (den Verzweigungspuncten) mit Unstetigkeiten behaftet. Aber nichts hindert uns, jetzt hinterher auch andere Unstetigkeiten zuzulassen. Wir werden uns z. B. vorstellen dürfen, dass unsere Fläche aus einer endlichen Anzahl verschiedener (im Allgemeinen selbst gekrümmter) Stücke, welche unter endlichen Winkeln zusammenstossen, polyederartig zusammengesetzt sei. Können wir uns doch auf einer solchen Fläche ebensogut elektrische Ströme verlaufend denken, wie auf einer stetig gekrümmten! Unter diese Flächen nun lassen sich die berandeten Flächen subsumiren.(47)Man fasse nämlich die beiden Seiten der berandeten Fläche als Polyederflächen auf, welche längs der Randcurve (also durchweg unter einem Winkel von 360 Grad) zusammenstossen und behandele nunmehr statt der ursprünglichen berandeten Fläche die aus beiden Seiten zusammengesetzte Gesammtfläche.(48) Diese Gesammtfläche ist dann in der That eine geschlossene Fläche. Sie ist aber überdiess einesymmetrischeFläche. Denn wenn man die übereinanderliegenden Puncte der beiden Flächenseiten vertauscht, so erfährt die Gesammtfläche eine conforme Abbildung auf sich selbst mit Umlegung der Winkel. Die Randcurven sind dabei die Uebergangscurven.Zugleich aber gewinnt unsere Eintheilung der symmetrischen Flächen in zweierlei Arten eine wichtige und durchschlagende Bedeutung.Die gewöhnlichen berandeten Flächen, bei denen man zwei Flächenseiten unterscheiden kann, entsprechen offenbar der ersten Art. Der zweiten Art aber correspondiren dieDoppelflächen, bei denen man von einer Flächenseite durch continuirliches Fortschreiten über die Fläche hin zur anderen gelangen kann. Auch der Fall ist nicht auszuschliessen (wie bereits angedeutet), dass die Doppelfläche überhaupt keine Randcurve besitzen mag.Wir haben dann eine symmetrische Fläche ohne Uebergangscurve vor uns.
Ich betrachte nunmehr der Reihe nach die verschiedenen auseinanderzuhaltenden Fälle.
1)Sei zuvörderst eine einfach berandete, einfach zusammenhängende Fläche gegeben.Eine solche Fläche erscheint für uns als eine geschlossene Fläche [formula], welche unter Auftreten einer Uebergangscurve symmetrisch auf sich selbst bezogen ist. Wir finden also, _dass zwei solche Flächen sich allemal durch Abbildung der einen oder der anderen Art conform__ auf einander beziehen lassen, und dass man dabei in jedem der beiden Fälle noch drei reelle Constanten zur willkürlichen Verfügung hat._ Wir können die letzteren insbesondere dazu benutzen, um einen beliebigen inneren Punct der einen Fläche einem entsprechend gelegenen Puncte der anderen Fläche zuzuweisen und überdiess einen beliebigen Randpunct der einen Fläche einem beliebigen Randpuncte der anderen. Diese Bestimmungsweise entspricht dem bekannten Satze, den Riemann betreffs der conformen Abbildung einer einfach berandeten, einfach zusammenhängenden,ebenenFläche auf die Fläche eines Kreises gegeben und in Nro. 21 seiner Dissertation als Beispiel für die Anwendung seiner Theorie auf Probleme der conformen Abbildung ausführlich erläutert hat.
2)Wir betrachten ferner Doppelflächen[formula](ohne Randcurven).Aus §§. 21, 22 folgt sofort, dass zwei solche Flächen allemal conform auf einander bezogen werden können, und man dabei, den Schlussformeln des §. 21 entsprechend, noch drei reelle Constanten zu beliebiger Verfügung hat.
3)Die verschiedenen hier in Betracht kommenden Fälle, welche eine Gesammtfläche[formula]ergeben, betrachten wir gemeinsam.Es gehören dahin zunächst diezweifach berandeten, zweifach zusammenhängendenFlächen, also Flächen, die wir uns im einfachsten Falle als geschlosseneBändervorstellen dürfen. Es gehören dahin fernerdie bekannten Doppelflächen mit nur einer Randcurve, die man erhält, wenn man die beiden schmalen Seiten eines rechteckigen Papierstreifens zusammenbiegt, nachdem man den Streifen um 180 Grad tordirt hat. Es gehören endlich dahingewisse unberandete Doppelflächen. Man kann sich von denselben ein Bild machen, indem man etwa ein Stück eines Kautschukschlauches umstülpt und nun so sich selbst durchdringen lässt, dass bei Zusammenbiegung der Enden die Aussenseite mit der Innenseite zusammenkommt. Bezüglich aller dieser Flächen besagen die früheren Sätze, dass die Abbildbarkeit der einzelnen Fläche auf eine zweite derselben Art das Besteheneineraber nur einer Gleichung zwischen den reellen Constanten der Flächen voraussetzt, dass aber die Abbildung, wenn überhaupt, in unendlich vielen Weisen geschehen kann, indem man ein doppeltes Vorzeichen und eine reelle Constante zu beliebiger Verfügung hat.
4)Wir nehmen nunmehr den allgemeinen Fall einer zweiseitigen Fläche.Die Fläche soll [formula] Randkurven besitzen und überdiess [formula] nicht zerstückende Rückkehrschnitte zulassen, wobei entweder [formula] sein muss oder [formula]. Dann wird die aus Vorder- und Rückseite gebildete Gesammtfläche [formula] nicht zerstückende Rückkehrschnitte zulassen. Denn man kann erstens die [formula] nach Voraussetzung auf der einfachen Flächenseite möglichen Rückkehrschnitte jetzt doppelt benutzen (sowohl auf der Vorderseite, als der Rückseite), man kann ferner noch längs [formula] der vorhandenen Randcurven Schnitte anbringen, ohne dass die Gesammtfläche aufhörte, ein einziges zusammenhängendes Flächenstück zu bilden. Wir werden also in den Sätzen des vorigen Paragraphen [formula] setzen und haben:
Zwei Flächen der betrachteten Art lassen sich, wenn überhaupt, nur auf eine endliche Anzahl von Weisen auf einander abbilden. Die Abbildbarkeit hängt von[formula]Gleichungen zwischen den reellen Constanten der Flächen ab.
5)Wir haben endlich den allgemeinen Fall der Doppelflächemit [formula] Randcurven undPauf der doppelt gedachten Fläche neben den Randcurven möglichen Rückkehrschnitten. Indem wir die drei unter 2) und 3) betrachteten Möglichkeiten ([formula], [formula] oder1, und [formula], [formula]) bei Seite lassen, erhalten wir denselben Satz, wie unter 4), nur dass überall statt [formula] die Summe [formula] zu schreiben ist, woPnach Belieben eine gerade oder ungerade Zahl sein kann.Insbesondere beträgt die Zahl der reellen Constanten einer Doppelfläche, die bei beliebiger conformer Abbildung ungeändert bleiben,[formula].—
Unter die hiermit gewonnenen Resultate subsumiren sich die allgemeinen Theoreme und Entwickelungen, welche HerrSchottkyin seiner wiederholt citirten Abhandlung gegeben hat, als specielle Fälle.
§. 24. Schlussbemerkung.
Die Entwickelungen des nunmehr zu Ende geführten letzten Abschnitt’s dieser Schrift sollten, wie wiederholt gesagt, den Andeutungen entsprechen, mit denen Riemann seine Dissertation abschloss. Allerdings haben wir uns aufeindeutigeBeziehung zweier Flächen durch conforme Abbildung beschränkt. Riemann hat, wie er ausspricht, ebensowohl an mehrdeutige Beziehung gedacht. Man würde sich dementsprechend jede der beiden in Vergleich kommenden Flächen mit mehreren Blättern überdeckt vorstellen müssen und erst die so entstehenden mehrblättrigen Flächen conform eindeutig zu beziehen haben. Die Verzweigungspuncte, welche diese mehrblättrigen Flächen besitzen mögen, würden ebensoviele neue, zur Disposition stehende complexe Constante abgeben.—Hierzu ist zu bemerken, dass wir wenigstenseinenFall einer solchen Beziehung bereits ausführlich in Betracht gezogen haben. Indem wir eine beliebige Fläche mehrblättrig über die Ebene ausbreiteten (§. 15), haben wir zwischen Fläche und Ebene eine Beziehung hergestellt, die von der einen Seite mehrdeutig ist. Es ist dann weiter hervorzuheben, dass eben dieser specielle Fall auch zwei beliebige Flächen mehrdeutig auf einander beziehen lässt. Denn sind erst die beiden Flächen auf die Ebene abgebildet, so sind sie, durch Vermittelung der Ebene, auch auf einander bezogen.—Mit diesen Bemerkungen ist die Frage nach der mehrdeutigen Abbildung natürlich keineswegs erschöpft. Aber es ist doch eine Grundlage zu ihrer Behandlung gewonnen, indem gezeigt ist, wie sie sich in die übrigen functionentheoretischen Speculationen Riemann’s, von denen wir hier Rechenschaft zu geben hatten, einfügt.
1 Sei insbesondere auf die Darstellung verwiesen, welche Maxwell in seinem Treatise on Electricity and Magnetisme (Cambridge 1873) gegeben hat. Dieselbe entspricht, was anschauungsmässige Behandlung angeht, genau den Gesichtspuncten, die auch ich im Texte verfolge.
2 Man vergl. den grundlegenden Aufsatz von Kirchhoff im 64. Bande von Poggendorff’s Annalen: Ueber den Durchgang eines elektrischen Stromes durch eine Ebene (1845).
3 Die Behauptungen des Textes hängen, wie man weiss, auf das Engste mit der Theorie der sogenannten Doppelbelegungen zusammen, wegen deren man Helmholtz in Poggendorffs Annalen Bd. 89, p. 224 ff. (Ueber einige Gesetze der Vertheilung elektrischer Ströme in körperlichen Leitern, 1853) sowie C. Neumann in dessen Buche: Untersuchungen über das Logarithmische und Newton’sche Potential (Leipzig, Teubner, 1877) vergleichen mag.
4 Nach dem Vorgänge von C. Neumann, Vorlesungen über Riemann’s Theorie der Abel’schen Integrale, Leipzig, 1865.—Die Einführung der Kugelfläche läuft sozusagen der Ersetzung vonzdurch das Verhältniss [formula]zweierVariabler parallel, wodurch, wie man weiss, die Behandlung unendlich grosser Werthe vonzauchformalunter die der endlichen Werthe subsumirt wird.
5 Unter [formula], [formula], [formula] rechtwinklige Coordinaten verstanden, sei die Gleichung der Kugel [formula]. Projectionspunct sei [formula], [formula], [formula], Projectionsebene ([formula]-Ebene) die gegenüberliegende Tangentialebene (die [formula]-Ebene). Dann folgt:
[formula]
Bezeichnet man mit [formula] das Bogenelement der Ebene, mit [formula] das entsprechende Bogenelement der Kugel, so kommt:
[formula]
eine Formel, welche für das Folgende insofern besonders wichtig ist, als sie die Abbildung als eineconformecharakterisirt.
6 Man vergleiche hierzu und zu den folgenden Entwickelungen: Beltrami,Delle variabili complesse sopra una superficie qualunque; Annali diMatematica, ser. 2, t. I, p. 329 ff.—Die besondere Bemerkung, dassOberflächenpotentiale bei conformer Abbildung ebensolche bleiben,findet sich in den in der Vorrede citirten Schriften von C. Neumann,Kirchhoff und Töpler, dann auch z. B. bei Haton de la Goupillière:Méthodes de transformation en Géométrie et en Physique Mathématique,Journal de l’Ecole Polytechnique, t. XXV, 1867 (p. 169 ff.).
7 Es ist übrigens nicht schwer, sich auch ohne alle Formel von derRichtigkeit jener Behauptung Rechenschaft zu geben; man sehe diewiederholt citirten Arbeiten von C. Neumann und Töpler.
8 Ein besonders übersichtliches Beispiel von doch nicht zu elementaremCharakter gibt dieIkosaedergleichwng(siehe MathematischeAnnalen, Bd. XII, p. 502 ff.). Dieselbe lautet, wie man weiss:
[formula]
ist also (fürz) eine Gleichung vom sechszigsten Grade. Die Unendlichkeitspunkte vonwfallen zu je 5 in 12 Punkte zusammen, welche die Ecken eines Ikosaeders sind, das der Kugel, auf welcher wirzdeuten, einbeschrieben ist. Den 20 Seitenflächen dieses Ikosaeders entsprechend zerlegt sich die Kugel in 20 gleichseitige sphärische Dreiecke. Die Mittelpunkte dieser Dreiecke sind durch [formula] gegeben und stellen ebensoviele Kreuzungspuncte von der Multiplicität Zwei für die Functionwdar. Hiernach kennt man (unter Einrechnung der Unendlichkeitspuncte) von den [formula] Kreuzungspuncten bereits [formula]. Die 30 noch fehlenden werden durch die Halbirungspuncte der 30 Kanten, die jenen 20 sphärischen Dreiecken angehören, geliefert.
[Illustration: Fig. 13.]
Fig. 13.
Die beistehende Figur repräsentirt in schematischer Weise eines jener 20 Dreiecke und auf ihm den Verlauf der Strömungscurven; auf den 19 übrigen Dreiecken ist die Sache genau ebenso.
9 Die in diesem Paragraphen gegebene Darstellung weicht von der durch Riemann selbst gegebenen zumal dadurch ab, dass Flächen mit Randcurven vorab überhaupt nicht in Betracht gezogen werden und also statt der Querschnitte, die von einem Randpuncte zu einem zweiten laufen, sogenannteRückkehrschnittezur Verwendung gelangen (vgl. C. Neumann, Vorlesungen über Riemann’s Theorie der Abel’schen Integrale, p. 291 ff.).
10 Es ist immer nur an Umformung durchstetigeFunctionen gedacht. Ueberdies sollen bei den willkürlichen Flächen des Textes bis auf Weiteres gewisse besondere Vorkommnisse ausgeschlossen sein. Es ist am Besten, sich dieselben ohne alle singuläre Puncte zu denken; erst später kommen Verzweigungspuncte und damit Selbstdurchsetzungen der Fläche in Betracht (§. 13). Die Flächen dürfen jedenfalls keineDoppelflächensein, bei denen man von einer Flächenseite durch continuirliches Fortschreiten auf der Fläche zur anderen Flächenseite gelangen kann; man vergleiche indess §. 23. Ueberdiess wird vorausgesetzt—wie man es immer thut, wenn man sich eine geschlossene Fläche alsfertiggegeben denkt—dass die Fläche durch eineendlicheZahl von Schnitten in einfach zusammenhängende Theile zerlegt werden kann.
11 Damit soll keineswegs gesagt sein, dass diese Art geometrischer Evidenz nicht noch der näheren Untersuchung bedürftig sei. Man vergleiche die Erläuterungen von G. Cantor in Borchardt’s Journal, Bd. 84, p. 242 ff. Es bleiben inzwischen diese Untersuchungen von den Darlegungen des Textes ausgeschlossen, da es für letztere Princip ist, auf anschauungsmässige Verhältnisse als letzte Begründung zu recurriren.
12 Man sehe C. Jordan: Sur la déformation des surfaces in Liouville’sJournal, ser. 2, Bd. 11 (1866). Einige Puncte, die mir besondererAufklärung zu bedürfen schienen, sind in den mathematischen Annalen,Bd. VII, p. 529, und Bd. IX, p. 476, besprochen.
13 Die Definition dieser Unendlichkeitspuncte bezog sich zunächst nur auf die Ebene, bez. die Kugel. Aber es ist wohl klar, wie dieselbe auf beliebige krumme Flächen zu übertragen ist: die Verallgemeinerung ist so zu treffen, dass wir auf die alten Unendlichkeitspuncte zurückkommen, wenn wir die Fläche und die stationären Strömungen auf ihr durch conforme Abbildung auf die Ebene übertragen.—In dieser Beschränkung hinsichtlich der Art der Unendlichkeitspuncte liegt auch, wie ich hier nicht ausführen kann, dass nur eineendlicheZahl von Unendlichkeitspuncten bei unseren Strömungen möglich ist. Desgleichen folgt aus unseren Prämissen, wie beiläufig hervorgehoben sei, dass von Kreuzungspuncten bei unseren Strömungen jedenfalls auch nur eine endliche Zahl auftritt.
14 Ueber die Periodicität des imaginären Theil’s der Function soll hiermit keinerlei Verfügung getroffen sein. In der That istvbei gegebenemudurch die Differentialgleichungen (1) der pag. 1 bis auf eine additive Constante vollständig bestimmt und es unterliegen also die Periodicitätsmoduln, welchevan den Querschnitten [formula], [formula] besitzen mag, keinerlei willkürlicher Festsetzung.
15 Einen anderen Beweis siehe bei C. Jordan: Des contours tracés sur les surfaces, in Liouville’s Journal, ser. 2, Bd. 11 (1866).
16 Wegen dieses Satzes siehe Beltrami, 1. c. p. 354.
17 Ich will übrigens daran erinnern, dass man auch den Green’schen Satz anschauungsmässig begründen kann. Vgl. Tait, On Green’s and allied other theorems, Edinburgh Transactions, 1869—70, p. 69 ff.
18 Eine solche Orientirung ist vermuthlich auch für den praktischen Physiker von hohem Werthe.
19 Derartige Zeichnungen gab ich bereits in dem Aufsatze:Ueber den Verlauf der Abel’schen Integrale bei den Curven vierten Grades, Mathematische Annalen, Bd. X. Allerdings haben die Riemann’schen Flächen daselbst eine etwas andere Bedeutung, so dass bei ihnen nur in übertragenem Sinne von einer Flüssigkeitsbewegung die Rede sein kann; vergl. die Erläuterungen, welche darüber in §. 17 des Nachfolgenden gegeben werden.
20 Zu einem solchen Beweise scheint vor allen Dingen nothwendig, sich über die verschiedenen Möglichkeiten klar zu werden, die betreffs der Ueberführung einer gegebenen Fläche in die Normalfläche des §. 8 vorliegen.
21 Sind sie es nicht, so ist die nächste Folge, dass die Zahl der inmPuncten unendlich werdenden eindeutigen Functionengrösserwird als die im Texte angegebene. Man kennt die Untersuchungen, welche zumal Roch über diese Möglichkeit angestellt hat (Borchardt’s Journal Bd. 64; vergl. auch, was die algebraische Formulirung betrifft:BrillundNöther, über die algebraischen Functionen und ihre Verwendung in der Geometrie, Mathematische Annalen, Bd. 7). Ich kann diesen Untersuchungen im Texte nicht folgen, obgleich sie sich mit Leichtigkeit an die Darstellung desAbel’schen Theorems anschliessen lassen, wie sie Riemann in Nr. 14 der Abel’schen Functionen giebt,—und will nur, mit Rücksicht auf spätere Entwickelungen des Textes (cf. §. 19), darauf hinweisen,dass eine lineare Abhängigkeit zwischen den[formula]_ Gleichungen jedenfalls nicht eintritt, wenn __m__ die Gränse[formula]überschreitet._
22 Ich spreche im Folgenden durchweg von der Ebene, statt von derKugel, um mich möglichst an die gewöhnliche Auffassungsweiseanzuschliessen.
23 Man vergleiche hierzu, was Riemann in Nr. 12 seiner Abel’schenFunctionen über die Abbildung durch überall endliche Functionensagt.
24 Wir haben oben (§. 11) ohne ausgeführten Beweis angegeben, dass die Zahl der Kreuzungspuncte von [formula] beträgt. Wie man jetzt sieht, ist diese Behauptung eine einfache Umsetzung der bekannten Relation, welche die Zahl der Verzweigungspuncte (oder vielmehr die Gesammtmultiplicität derselben) mit der Blätterzahlmund dempeiner mehrblättrigen Fläche verknüpft [unterpdie Maximahlzahl der Rückkehrschnitte verstanden, die man auf dieser mehrblättrigen Fläche ziehen kann, ohne sie zu zerstücken].
25 Wegen der expliciten Formulirung dieser Relationen vergleiche man die gewöhnlichen Lehrbücher, sodann insbesondere die Schrift von C. Neumann: Das Dirichlet’sche Princip in seiner Anwendung auf die Riemann’schen Flächen, Leipzig 1865.
26 Es entsteht hier die interessante Frage, ob es immer möglich ist, mehrblättrige Flächen mit beliebigen Verzweigungspuncten conform in solche zu verwandeln, die durchaus keine singuläre Stelle besitzen Diese Frage greift über die im Texte zu behandelnden Gegenstände hinaus, aber ich habe sie immerhin anführen wollen. Gelingt es im einzelnen Falle nicht, so haben die vorgängigen Betrachtungen des Textes doch noch die Bedeutung, dass sie am einfachsten Beispiele die allgemeinen Ideen haben entstehen lassen und dadurch die Behandlung auch der complicirteren Vorkommnisse ermöglicht haben.
27 Vergl. Kirchhoff; Monatsberichte der Berliner Akademie von 1875, l.c. (wo übrigens explicite nur die Beziehung zwischen Ringfläche undebenem Rechtecke besprochen wird).
28 Diese geometrische Umsetzung ist natürlich keineswegs nothwendig;wir erreichen durch dieselbe nur den Anschluss an die gewöhnlicheingehaltene Darstellungsweise.
29 Im Besonderen kann diess anders sein. Wenn manwundzals Parallel-Coordinaten, die zwischen ihnen bestehende Gleichung durch eine Curve deutet, so sind es, wie man weiss, dieDoppelpunctedieser Curve, welche jenen besonderen Vorkommnissen entsprechen.
30 Vergl. die eingehende Beweisführung bei Prym, Borchardt’s Journal, Bd. 83, p. 251 ff.: Beweis eines Riemann’schen Satzes.
31 Vergl. die betreffenden Bemerkungen der Vorrede.
32 Vergl. meine Arbeiten über elliptische Modulfunctionen in den Bänden 14, 15, 17 der mathematischen Annalen.
33 Man sehe insbesondere die dem 14. Annalenbande beigegebene Tafel ("Zur Transformation siebenter Ordnung der elliptischen Functionen’’) sowie die später noch zu nennende Arbeit von Dyck im 17. Bande daselbst.
34 "Ueber eine neue Art von Riemann’schen Flächen’’, mathematische Annalen Bd. 7 und 10.
35 Siehe: Harnack (Ueber die Verwerthung der elliptischen Functionen für die Geometrie der Curven dritten Grades) im 9. Bande der mathematischen Annalen, siehe ferner meinen schon oben genannten Aufsatz: "Ueber den Verlauf der Abel’schen Integrale bei den Curven vierten Grades’’ im 10. Bande daselbst.
36 Solche Bestimmungen machte z. B. Hr. Kasten in seiner Inauguraldissertation: Zur Theorie der dreiblättrigen Riemann’schen Fläche. Bremen 1876.
37 Wenn es hier wieder gestattet ist auf eigene Arbeiten zu verweisen, so geschehe diess zunächst mit Bezug auf eine Stelle im 12. Bande der mathematischen Annalen (p. 173), wo der Schluss begründet wird, dass gewisse rationale Functionen durch die Zahl ihrer Verzweigungen völlig bestimmt sind, sodann in Bezug auf Bd. 15, p. 533 ebenda, wo eine ausführliche Betrachtung lehrt, dass es zehn rationale Functionen elften Grades gibt, die gewisse Verzweigungsstellen besitzen.
38 Es folgt diese z. B. aus den Sätzen von Lüroth und Clebsch, die manin den Bänden 4 und 6 der mathematischen Annalen abgeleitet findet.
39 Ich führe dieses Resultat, welches aus der Theorie der elliptischenFunctionen wohlbekannt ist, im Texte ohne Beweis an.
40 Es ist bei diesem Satze an einecontinuirlicheSchaar von Transformationen, also an Transformationen mit willkürlich veränderlichen Parametern gedacht. Ob eine Fläche [formula] unter Umständen nicht durch unendlich vielediscreteTransformationen in sich übergehen kann, bleibt im Texte unerörtert; doch scheint diess bei endlichempin der That auch unmöglich.
41 Vergl. die Darstellung im 14. Bande der mathematischen Annalen, p. 112 ff.
42 Die im Texte aufzustellenden Sätze finden sich explicite grösstentheils in der Literatur nicht vor. Wegen der Flächen [formula] vergleiche man den bereits citirten Aufsatz von Schwarz (Berliner Monatsberichte 1870). Man sehe ferner eine Arbeit von Schottky:Ueber die conforme Abbildung mehrfach zusammenhängender Flächen}, die als Berliner Inaugural-Dissertation 1875 erschien und später (1877) in umgearbeiteter Form in Borchardts Journal Bd. 83 abgedruckt wurde. Es handelt sich in derselben um solchep-fach zusammenhängende ebene Bereiche, welche von [formula] Randcurven begränzt werden.
43 Solchen Flächen entsprechen algebraische Gleichungen mit einerGruppe eindeutiger Transformationen in sich. Die Bemerkungen desTextes zielen also auf solche Untersuchungen ab, wie sie in neuererZeit von Hrn. Dyck verfolgt worden sind (cf. die bereits citirteArbeit im 17. Bande der Mathematischen Annalen: Aufstellung undUntersuchung von Gruppe und Irrationalität regulärer Riemann’scherFlächen).
44 Es gibt natürlich wieder Flächen, welche neben einer Anzahl von Transformationen erster Art eine gleiche Anzahl von Transformationen zweiter Art zulassen; dieselben entsprechen denregulär-symmetrischenFlächen der Dyck’schen Arbeit.
45 Vergl. Harnack: Ueber die Vieltheiligkeit der ebenen algebraischen Curven, in Bd. 10 der Mathematischen Annalen, p. 189 ff.; vergleiche ferner p. 415, 416 daselbst, wo ich die Eintheilung jener Curven in zweierlei Arten gegeben habe. Vielleicht ist es zweckmässig, bei diesen Untersuchungen die Lehre von den symmetrischen Flächen und die Riemann’sche Theorie, so wie beide hier im Texte dargestellt werden, geradezu als Ausgangspunct zu wählen.
46 Siehe zumal: Cayley, on the correspondence between homographies and rotations, Mathematische Annalen, Bd. 15, p. 238-240.
47 Ich verdanke diese Auffassung einer gelegentlichen Unterredung mit Hrn. Schwarz (Ostern 1881). Man vergl. p. 320 ff. der bereits genannten Arbeit von Schottky im 83. Bande von Borchardt’s Journal, sowie die Originaluntersuchungen von Schwarz über die Abbildung geschlossener Polyederflächen auf die Kugel (Berliner Monatsberichte 1865 p. 150 ff., Borchardt’s Journal Bd. 70, p. 121—136, Bd. 75, p. 330.)
48 Ich drücke mich im Texte der Kürze halber so aus, als wenn die ursprüngliche Fläche eine zweiseitige Fläche gewesen wäre, während doch nicht ausgeschlossen sein soll, dass sie eine Doppelfläche ist.