The Project Gutenberg eBook ofUeber Riemann's Theorie der Algebraischen FunctionenThis ebook is for the use of anyone anywhere in the United States and most other parts of the world at no cost and with almost no restrictions whatsoever. You may copy it, give it away or re-use it under the terms of the Project Gutenberg License included with this ebook or online atwww.gutenberg.org. If you are not located in the United States, you will have to check the laws of the country where you are located before using this eBook.Title: Ueber Riemann's Theorie der Algebraischen FunctionenAuthor: Felix KleinRelease date: January 8, 2007 [eBook #20313]Most recently updated: June 20, 2020Language: German*** START OF THE PROJECT GUTENBERG EBOOK UEBER RIEMANN'S THEORIE DER ALGEBRAISCHEN FUNCTIONEN ***
This ebook is for the use of anyone anywhere in the United States and most other parts of the world at no cost and with almost no restrictions whatsoever. You may copy it, give it away or re-use it under the terms of the Project Gutenberg License included with this ebook or online atwww.gutenberg.org. If you are not located in the United States, you will have to check the laws of the country where you are located before using this eBook.
Title: Ueber Riemann's Theorie der Algebraischen FunctionenAuthor: Felix KleinRelease date: January 8, 2007 [eBook #20313]Most recently updated: June 20, 2020Language: German
Title: Ueber Riemann's Theorie der Algebraischen Functionen
Author: Felix Klein
Author: Felix Klein
Release date: January 8, 2007 [eBook #20313]Most recently updated: June 20, 2020
Language: German
*** START OF THE PROJECT GUTENBERG EBOOK UEBER RIEMANN'S THEORIE DER ALGEBRAISCHEN FUNCTIONEN ***
Ueber Riemann’s Theorie der Algebraischen Functionen
by Felix Klein
Edition 1, (January 8, 2007)
Abschnitt I. - Einleitende Betrachtungen.§. 1. Stationäre Strömungen in der Ebene als Deutung der Functionen vonx + iy.§. 2. Berücksichtigung der Unendlichkeitspuncte von w = f(z).§. 3. Rationale Functionen und ihre Integrale. Entstehung höhererUnendlichkeitspuncte aus niederen.§. 4. Realisation der betrachteten Strömungen auf experimentellem Wege.§. 5. Uebergang zur Kugelfläche, Strömungen auf beliebigen krummenFlächen.§. 6. Zusammenhang der entwickelten Theorie mit den Functionen einescomplexen Argumentes.§. 7. Noch einmal die Strömungen auf der Kugel. Riemann’s allgemeineFragestellung.Abschnitt II. - Exposition der Riemann’schen Theorie.§. 8. Classification geschlossener Flächen nach der Zahlp.§. 9. Vorläufige Bestimmung stationärer Strömungen auf beliebigenFlächen.§. 10. Die allgemeinste stationäre Strömung. Beweis für dieUnmöglichkeit anderweitiger Strömungen.§. 11. Erläuterung der Strömungen an Beispielen.§. 12. Ueber die Zusammensetzung der allgemeinsten complexen Functiondes Ortes aus einzelnen Summanden.§. 13. Ueber die Vieldeutigkeit unserer Functionen. BesondereBetrachtung eindeutiger Functionen.§. 14. Die gewöhnlichen Riemann’schen Flächen über der x + iy-Ebene.§. 15. Der Ring p = 1 und die zweiblättrige Fläche mit vierVerzweigungspuncten über der Ebene.§. 16. Functionen von [formula], welche den untersuchten Strömungenentsprechen.§. 17. Tragweite und Bedeutung unserer Betrachtungen.§. 18. Weiterbildung der Theorie.Abschnitt III. - Folgerungen.§. 19. Ueber die Moduln algebraischer Gleichungen.§. 20. Conforme Abbildung geschlossener Flächen auf sich selbst.§. 21. Besondere Betrachtung der symmetrischen Flächen.§ 22. Conforme Abbildung verschiedener Flächen auf einander.§. 23. Berandete Flächen und Doppelflächen.§. 24. Schlussbemerkung.
§. 1. Stationäre Strömungen in der Ebene als Deutung der Functionen von x + iy.
Die physikalische Deutung der Functionen von [formula], mit welcher wir im Folgenden zu arbeiten haben, ist in ihren Grundlagen wohlbekannt(1), nur der Vollständigkeit halber müssen letztere kurz zur Sprache gebracht werden.
Sei [formula], [formula], [formula]. Dann hat man vor allen Dingen:
[formula]
und hieraus:
[formula]
sowie fürv:
[formula]
Hier wird man nunualsGeschwindigkeitspotentialdeuten, so dass [formula] [formula] die Componenten der Geschwindigkeit sind, mit der eine Flüssigkeit parallel zur [formula]-Ebene strömt. Wir mögen uns diese Flüssigkeit zwischen zwei Ebenen eingeschlossen denken, die parallel zur [formula]-Ebene verlaufen, oder auch uns vorstellen, dass die Flüssigkeit als unendlich dünne, übrigens gleichförmige Membran über der [formula]-Ebene ausgebreitet sei. Dann sagt die Gleichung (2)—und dies ist der Kern unserer physikalischen Deutung—, dass unsere Strömung einestationäreist. Die Curven [formula] Const. heissen dieNiveaucurven, während die Curven [formula] Const., die vermöge (1) den ersteren überall rechtwinkelig begegnen, dieStrömungscurvenabgeben.
Bei dieser Vorstellungsweise ist es zunächst natürlich völlig gleichgültig, wie beschaffen wir uns die strömende Flüssigkeit denken wollen. Inzwischen wird es in der Folge vielfach zweckmässig sein, dieselbe mit demelektrischen Fluidumzu identificiren. Es wird dann nämlichumit dem elektrostatischen Potential, welches die Strömung hervorruft, proportional, und die experimentelle Physik gibt uns mannigfache Mittel an die Hand, um zahlreiche Strömungszustände, die uns interessiren, thatsächlich zu realisiren.
Die Strömung selbst wird übrigens ungeändert bleiben, wenn wirudurchweg um eine Constante vermehren: es sind nur die Differentialquotienten [formula], welche unmittelbar in Evidenz treten. Das Analoge gilt vonv; so dass die Function [formula], welche wir physikalisch deuten, durch diese Deutung nur bis auf eine additive Constante bestimmt ist, was im Folgenden wohl zu beachten ist.
Sodann bemerke man noch, dass die Gleichungen (1)-(3) ungeändert bestehen bleiben, wenn manudurchv,vdurch [formula] ersetzt. Dementsprechend erhalten wir einen zweiten Strömungszustand, bei welchemvdas Geschwindigkeitspotential abgibt und die Curven [formula] Const. die Strömungscurven sind. Derselbe repräsentirt in dem oben erläuterten Sinne die Function [formula]. Es ist häufig zweckmässig, diese neue Strömung neben der ursprünglichen zu betrachten, bei welcherudas Geschwindigkeitspotential war; wir wollen dann der Kürze halber vonconjugirtenStrömungen sprechen. Die Benennung ist zwar etwas ungenau, weil sichuzuvverhält, wievzu [formula]; sie wird aber für später ausreichen.
Diese ganze Erläuterung bezieht sich, gleich den Differentialgleichungen (1)-(3), zuvörderst nur auf einen solchen (übrigens beliebigen)Theilder Ebene, in welchem [formula] eindeutig ist und weder [formula], noch einer seiner Differentialquotienten unendlich wird. Um den entsprechenden physikalischen Vorgang deutlich zu übersehen, hat man sich also vorab einen solchen Bereich abzugränzen und durch geeignete Vorrichtungen an der Gränze dafür zu sorgen, dass der im Inneren des Gebietes eingeleitete stationäre Bewegungszustand ungehindert fortdauern kann.
In einem so umgränzten Gebiete werden diejenigen Puncte [formula] unsere besondere Aufmerksamkeit auf sich ziehen, für welche der Differentialquotient [formula] verschwindet. Ich will der Allgemeinheit wegen gleich annehmen, dass auch [formula], [formula], [formula] bis hin zu [formula] gleich Null sein mögen. Um über den Verlauf der Niveaucurven, oder auch der Strömungscurven, in der Nähe eines solchen Punctes Aufschluss zu erhalten, entwickele manwin eine nach Potenzen von [formula] fortschreitende Reihe. Dieselbe bringt hinter dem constanten Gliede unmittelbar ein Glied mit [formula]. Durch Einführung von Polarcoordinaten schliesst man hieraus:dass sich im Puncte[formula][formula]Curven[formula]Const. unter resp. gleichen Winkeln kreuzen, während ebensoviel Curven[formula]Const. als Halbirungslinien der genannten Winkel auftreten. Ich werde einen solchen Punct dementsprechend einenKreuzungspunctnennen, und zwar einenKreuzungspunct von der Multiplicität[formula].
Die folgende (selbstverständlich nur schematische) Figur mag dieses Vorkommniss für [formula] erläutern und namentlich verständlich machen, wie sich ein Kreuzungspunct in das Orthogonalsystem einfügt, welches übrigens von den Curven [formula] Const., [formula] Const. gebildet wird:
[Illustration: Figur 1.]
Figur 1.
Die Strömungscurven [formula] Const. erscheinen in der Figur ausgezogen und die Strömungsrichtungen auf ihnen durch beigesetzte Pfeilspitzen angegeben; die Niveaucurven sind durch Punctirung angedeutet. Man sieht, wie die Flüssigkeit von drei Seiten auf den Kreuzungspunct zuströmt, um ebenfalls nach drei Seiten von demselben abzuströmen. Diess wird nur dadurch möglich, dass die Geschwindigkeit der Strömung im Kreuzungspunkte gleich Null wird (dass sich die Flüssigkeit in demselben staut, wie man nach Analogie bekannter Vorkommnisse sagen könnte). In der That ist ja die Geschwindigkeit durch [formula] gegeben.
Es ist weiterhin vortheilhaft, den Kreuzungspunkt von der Multiplicität [formula]als Gränzfall von[formula]einfachen Kreuzungspunctenaufzufassen. Dass diess zulässig ist, zeigt die analytische Behandlung. Denn im [formula]-fachen Kreuzungspunkte hat die Gleichung [formula] eine [formula]-fache Wurzel, und eine solche entsteht, wie man weiss, durch Zusammenrücken von [formula] einfachen Wurzeln. Im Uebrigen mögen folgende Figuren diese Auffassung erläutern:
[Illustration: Figur 2.]
Figur 2.
[Illustration: Figur 3.]
Figur 3.
Ich habe in denselben der Einfachheit halber nur die Strömungscurven angegeben. Linker Hand erblickt man denselben Kreuzungspunct von der Multiplicität Zwei, auf den sich Figur 1 bezieht. Rechter Hand liegt eine Strömung vor, welche dicht bei einander zwei einfache Kreuzungspuncte aufweist. Man erkennt, wie der eine Strömungszustand aus dem anderen durch continuirliche Aenderung hervorgeht.
Bei dieser Erläuterung wurde stillschweigend vorausgesetzt, dass das Gebiet, in welchem wir den Strömungszustand betrachten, sich nicht in’s Unendliche erstrecke. Es hat allerdings keinerlei principielle Schwierigkeit, den Punct [formula] ebenso in Betracht zu ziehen, wie irgend einen anderen Punct [formula]. An Stelle der Reihenentwickelung nach Potenzen von [formula] hat dann in bekannter Weise eine solche nach Potenzen von [formula] zu treten. Man wird von einem [formula]-fachen Kreuzungspuncte bei [formula] sprechen, wenn diese Entwickelung hinter dem constanten Gliede sofort einen Term mit [formula] bringt. Aber es scheint überflüssig, die geometrischen Verhältnisse, welche diesen Vorkommnissen bei unserer Strömung entsprechen, ausführlicher zu schildern. Denn wir werden später Mittel und Wege kennen lernen, um die Sonderstellung des Werthes [formula], wie sie uns hier entgegentritt, ein für allemal zu beseitigen. Ebendesshalb wird der Punct [formula] in den nächstfolgenden Paragraphen (§. 2-4) bei Seite gelassen, trotzdem er auch dort, wenn man vollständig sein wollte, besonders in Betracht gezogen werden müsste.
§. 2. Berücksichtigung der Unendlichkeitspuncte von w = f(z).
Wir wollen nunmehr auch solche Puncte [formula] in unser Gebiet hereinnehmen, in denen [formula] unendlich gross wird. Dabei schränken wir indess die unbegränzte Reihe der Möglichkeiten, welche in dieser Richtung vorliegt, mit Rücksicht auf die specielle von uns allein zu studierende Functionsclasse bedeutend ein. Wir wollen verlangen,dass der Differentialquotient[formula]keine wesentlich singuläre Stelle besitzen soll, oder, was dasselbe ist, wir wollen festsetzen, _dass __w__ nur so unendlich werden darf, wie ein Ausdruck der folgenden Form_:
[formula]
unter[formula]eine bestimmte endliche Zahl verstanden.
Entsprechend den verschiedenen Formen, die dieser Ausdruck darbietet, sagen wir, dass sich bei [formula] verschiedene Unstetigkeiten überlagern: einlogarithmischerUnendlichkeitspunct, einalgebraischerUnendlichkeitspunct von der Multiplicität Eins, u. s. f. Wir werden der Einfachheit halber hier jedes dieser Vorkommnisse für sich betrachten, worauf es eine nützliche Uebung sein wird, sich in einzelnen Fällen das Resultat der Ueberlagerung deutlich zu machen.
Sei [formula] zuvörderst einlogarithmischerUnendlichkeitspunct. Wir haben dann:
[formula]
Hier istAdiejenige Grösse, welche man, mit [formula] multiplicirt, nachCauchyalsResiduumdes logarithmischen Unendlichkeitspunctes bezeichnet, eine Benennung, die im Folgenden gelegentlich angewandt werden soll. Für die Strömung in der Nähe des Unstetigkeitspunctes ist es von primärer Wichtigkeit, obAreell ist oder rein imaginär, oder endlich complex. Offenbar kann man den dritten Fall als eine Ueberlagerung der beiden ersten auffassen. Wir wollen daher auch ihn bei Seite lassen und haben uns somit nur mit zwei getrennten Möglichkeiten zu beschäftigen.
1) WennAreell ist, so werde [formula] gesetzt. Man hat dann in erster Annäherung für [formula], [formula]:
[formula]
Die Curven [formula] Const. umgeben also den Unendlichkeitspunct in Gestalt kleiner Kreise; die Curven [formula] Const. laufen, den wechselnden Werthen von [formula] entsprechend, in allen Richtungen auf den Unendlichkeitspunct zu. Wir haben eine Bewegung, bei welcher [formula]eine Quelle von einer gewissen positiven oder negativen Ergiebigkeit vorstellt. Um diese Ergiebigkeit zu berechnen, multipliciren wir das Bogenelement eines kleinen mit dem Radiusrum den Unstetigkeitspunct beschriebenen Kreises mit der zugehörigen Geschwindigkeit und integriren den so gewonnenen Ausdruck längs der Kreisperipherie. Da [formula] in erster Annäherung mit [formula] und dieses mit [formula] zusammenfällt, so kommt:
[formula]
als Werth der Ergiebigkeit. _Die Ergiebigkeit ist also gleich dem Residuum, getheilt durch __i__; sie ist positiv oder negativ je nach dem Werthe von __A_.
2) Sei zweitensArein imaginär, gleich [formula]. Dann kommt unter Beibehaltung der übrigen Bezeichnungen in erster Annäherung:
[formula]
Die Rollen der Curven [formula] Const., [formula] Const. sind also geradezu vertauscht. Die Niveaucurven verlaufen jetzt nach allen Richtungen von [formula] aus, während die Strömungscurven den Unendlichkeitspunct in kleinen Kreisen umgeben. Die Flüssigkeitwirbeltauf letzteren Curven um den Punct [formula] herum. Ich will den Punct dementsprechend als einenWirbelpunctbezeichnen. Sinn und Intensität des Wirbels werden durch [formula] gemessen. Da die Geschwindigkeit
[formula]
in erster Annäherung gleich [formula] wird,so findet die Wirbelbewegung bei positivem[formula]im Sinne des Uhrzeigers, bei negativem[formula]in entgegengesetztem Sinne statt. Wir mögen die Intensität des Wirbels gleich [formula] setzen, sie ist dann dem Residuum des betreffenden Unendlichkeitspunctes negativ gleich.
Uebrigens können wir sagen, indem wir uns der Definition conjugirter Strömungen, wie sie im vorigen Paragraphen gegeben wurde, mit der ihr anhaftenden Unbestimmtheit erinnern:Hat eine von zwei conjugirten Strömungen bei[formula]eine Quelle von einer gewissen Ergiebigkeit, so hat die andere dort einen Wirbelpunct von gleicher oder entgegengesetzt gleicher Intensität.
Wir betrachten ferner diealgebraischenUnstetigkeitspuncte. Bei ihnen ist der Verlauf der Strömung seinem allgemeinen Charakter nach davon unabhängig, ob das erste Glied der Reihenentwickelung einen reellen, imaginären oder complexen Coefficienten hat. Sei zuvörderst:
[formula]
so wird in erster Annäherung für [formula], [formula]:
[formula]
Betrachten wir zuvörderst den reellen Theil rechter Hand. Wennrsehr klein ist, so kann [formula] durch geschickte Wahl von [formula] doch noch jeden beliebigen vorgegebenen Werth vorstellen. _Die Function __u__ nimmt also in unmittelbarer Nähe der Unstetigkeitsstelle noch jeden Werth an_. Zur näheren Orientirung denken wir uns einen Augenblickrund [formula] als unbegränzte Veränderliche, setzen also
[formula]
Wir erhalten dann ein Büschel von Kreisen, welche alle die feste Richtung [formula] berühren. Die Kreise sind um so kleiner, je grösser der absolute Betrag von Const. genommen wird.In ähnlicher Weise verlaufen daher die Curven[formula]Const. in der Nähe der Unstetigkeitsstelle. Insbesondere haben sie für sehr grosse positive oder negative Werthe von Const. die Gestalt kleiner, geschlossener, kreisähnlicher Ovale.—Für den imaginären Theil des Ausdrucks rechter Hand und also die Curven [formula] Const. gilt eine ähnliche Discussion. Der Unterschied ist nur der, dass jetzt die Richtung [formula] von allen Curven berührt wird. Hiernach wird die folgende Figur, in welcher die Niveaucurven wieder punctirt, die Strömungscurven ausgezogen sind, verständlich sein:
[Illustration: Figur 4.]
Figur 4.
Die analoge Discussion liefert vom [formula]-fachen algebraischen Unstetigkeitspuncte die erforderliche Anschauung. Ich will hier nur das Resultat anführen:Jede Curve[formula]Const. läuft[formula]-mal durch den Unstetigkeitspunct hindurch, indem sie der Reihe nach[formula]feste, gleich stark gegen einander geneigte Tangenten berührt. Analog die Curven[formula]_ Const. Für sehr grosse (positive oder negative) Werthe der Constante sind beiderlei Curven in__ unmittelbarer Nähre der Unstetigkeitsstelle geschlossen_. Ich gebe zur Veranschaulichung eine Figur für [formula]:
[Illustration: Figur 5.]
Figur 5.
Man wird vermuthen, dass diese höheren Vorkommnisse aus den niederen durch Gränzübergang entstehen mögen. Ich verschiebe die betreffende Erläuterung bis zum folgenden Paragraphen, wo uns eine bestimmte Functionsclasse die erforderlichen Anschauungen mit Leichtigkeit vermitteln wird.
§. 3. Rationale Functionen und ihre Integrale. Entstehung höherer Unendlichkeitspuncte aus niederen.
Die entwickelten Sätze genügen, um den Gesammtverlauf solcher Functionen zu veranschaulichen, die, übrigens in der ganzen Ebene eindeutig, keine anderen Unendlichkeitspuncte aufweisen, als die eben betrachteten. Es sind diess, wie man weiss,die rationalen Functionen und ihre Integrale. Ohne ausgeführte Zeichnungen zu geben, stelle ich hier die Sätze, welche man bei ihnen betreffs der Kreuzungspuncte und Unendlichkeitspuncte findet, in knapper Form zusammen. Ich beschränke mich dabei, aus dem oben angegebenen Grunde, auf solche Fälle, in denen [formula] keinerlei ausgezeichnete Rolle spielt. Die hierin liegende Beschränkung wird hinterher, wie bereits angedeutet, von selbst in Wegfall kommen.
1) Die rationale Function, welche wir zu betrachten haben, stellt sich in der Form dar:
[formula]
wo [formula] und [formula] ganze Functionen desselben Grades sind, die ohne gemeinsamen Theiler angenommen werden können. Ist dieser Grad der [formula] und zählt man jeden algebraischen Unendlichkeitspunct so oft, als seine Multiplicität anzeigt, so erhält man, den Wurzeln von [formula] entsprechend,nalgebraische Unstetigkeitspuncte. Die Kreuzungspuncte sind durch [formula], eine Gleichung [formula] Grades, gegeben.Die Gesammtmultiplicität der Kreuzungspuncte ist also[formula], wobei man aber beachten muss, dass jede [formula]-fache Wurzel von [formula] eine [formula]-fache Wurzel von [formula] ist und also jeder [formula]-fache Unendlichkeitspunct der Function für [formula] Kreuzungspuncte mitzählt.
2) Soll das Integral einer rationalen Function
[formula]
für [formula] endlich bleiben, so muss der Grad von [formula] um zwei Einheiten kleiner sein als der Grad von [formula]. [formula] und [formula] sollen dabei ohne gemeinsamen Theiler angenommen werden. Dann liefert [formula]die freien Kreuzungspuncte, d. h. diejenigen Kreuzungspuncte, welche nicht mit Unendlichkeitspuncten zusammenfallen. Die Wurzeln von [formula] geben die Unendlichkeitspuncte des Integrals. Und zwar entspricht der einfachen Wurzel von [formula] ein logarithmischer Unendlichkeitspunct, der Doppelwurzel ein Unendlichkeitspunct, der im Allgemeinen die Ueberlagerung eines logarithmischen Unstetigkeitspunctes mit einem einfachen algebraischen sein wird, etc.Wenn man dementsprechend jeden Unendlichkeitspunct so oft zählt, als die Multiplicität des entsprechenden Factors in[formula]beträgt, so ist die Gesammtmultiplicität der Kreuzungspuncte um zwei Einheiten geringer als die der Unendlichkeitspuncte. Uebrigens sei noch an den bekannten Satz erinnert, dass die Summe der logarithmischen Residua sämmtlicher Unstetigkeitspuncte gleich Null ist.—
Das Vorstehende gibt uns eine zweifache Möglichkeit, um höhere Unstetigkeitspuncte aus niederen entstehen zu lassen. Wir können einmal—und diess ist für uns das Wichtigste—vom Integral der rationalen Function ausgehen. Bei ihm entsteht ein [formula]-facher algebraischer Unstetigkeitspunct, wenn [formula] Factoren von [formula] einander gleich werden,wenn also[formula]logarithmische Unstetigkeitspuncte in geeigneter Weise zusammenrücken. Dabei ist deutlich, dass die Residuensumme der letzteren gleich Null sein muss, wenn der entstehende Unendlichkeitspunct ein rein algebraischer sein soll. Die folgenden beiden Figuren, in denen nur die Strömungscurven angegeben sind, erläutern den betreffenden Gränzübergang für den einfachen algebraischen Unstetigkeitspunct der Figur (4):
[Illustration: Fig. 6.]
Fig. 6.
[Illustration: Fig. 7.]
Fig. 7.
Ich habe dabei die Anordnung in doppelter Weise getroffen, so dass linker Hand zwei Quellenpuncte, rechter Hand zwei Wirbelpuncte einander nahe gerückt scheinen und Figur 4 als übereinstimmendes Resultat des Gränzüberganges in beiden Fällen erscheint. In derselben Beziehung stehen die folgenden beiden Zeichnungen zu Figur 5:
[Illustration: Fig. 8.]
Fig. 8.
[Illustration: Fig. 9.]
Fig. 9.
Die zweite Möglichkeit für das Entstehen höherer Unendlichkeitsstellen aus niederen bietet die Betrachtung der rationalen Function [formula] selbst. Logarithmische Unendlichkeitsstellen bleiben dabei ausgeschlossen.Der[formula]-fache algebraische Unstetigkeitspunct entsteht jetzt aus[formula]einfachen algebraischen Unstetigkeitspuncten, indem nämlich [formula] einfache lineare Factoren von [formula] zu einem [formula]-fachen zusammenrücken müssen.Aber zugleich vereinigt sich mit ihnen eine Anzahl von Kreuzungspuncten, deren Gesammtmultiplicität[formula]beträgt. Denn [formula] erhält, wie schon bemerkt, in demselben Augenblicke, wo [formula] den [formula]-fachen Factor bekommt, einen [formula]-fachen Factor. Die folgende Figur erläutert in diesem Sinne das Entstehen des in Figur 5 abgeleiteten zweifachen algebraischen Unendlichkeitspunctes:
[Illustration: Fig. 10.]
Fig. 10.
Es ist natürlich leicht, diese beiden Arten des Gränzüberganges unter eine allgemeinere gemeinsam zu subsumiren. Wenn man [formula] logarithmische Unendlichkeitspuncte und [formula] Kreuzungspuncte successive oder gleichzeitig zusammenfallen lässt, so wird allemal ein [formula]-facher algebraischer Unstetigkeitspunct entstehen. Doch ist hier nicht der Ort, um diese Gedanken weiter auszuführen.
§. 4. Realisation der betrachteten Strömungen auf experimentellem Wege.
Wir wollen unserer Betrachtung nunmehr eine andere Wendung geben, indem wir uns fragen, wie diejenigen Bewegungsformen, die wir jetzt von den rationalen Functionen und ihren Integralen kennen, physikalisch realisirt werden mögen. Dabei sei es gestattet, von dem Princip derUeberlagerungausgiebigen Gebrauch zu machen, so dass es sich nur um Herstellung der allereinfachsten Bewegungsformen handelt. Aus der Theorie der Partialbrüche folgt, dass man jede der in Betracht kommenden Functionen aus einzelnen Bestandtheilen additiv zusammensetzen kann, welche sich unter einen der folgenden beiden Typen subsumiren:
[formula]
Da [formula] bei [formula] einen Unstetigkeitspunct hat, was eine unnöthige Besonderheit ist, so wollen wir den ersten Typus durch den allgemeineren ersetzen:
[formula]
und diesen selbst wieder, entsprechend den Erläuterungen des §. 2, in zwei Bestandtheile zerspalten, indem wir nämlichAgleich A + _i_B setzen und nun A [formula] und _i_B [formula] gesondert betrachten. Hiernach haben wir im Ganzen drei Fälle auseinanderzuhalten.
1) Wenn es sich um den Typus A [formula] handelt, so haben wir bei [formula] eine Quelle von der Ergiebigkeit2A [formula], bei [formula] eine solche von der Ergiebigkeit [formula] A [formula] anzubringen. Man denke sich zu dem Zwecke die [formula]-Ebene mit einer unendlich dünnen, gleichförmigen, elektricitätsleitenden Schicht überdeckt. Dann wird die entsprechende Bewegungsform offenbar realisirt,indem wir bei[formula]den einen, bei[formula]den anderen Pol einer galvanischen Batterie von zweckmässig gewählter Stärke aufsetzen(2).—Man sieht zugleich, wesshalb das Residuum von [formula] demjenigen von [formula] entgegengesetzt gleich sein muss: da der Strömungszustand stationär sein soll, muss an der einen Stelle ebenso viel Elektricität zugeführt werden, als an der anderen abströmt. Derselbe Grund gilt, wie man sofort erkennt, für den entsprechenden Satz bei beliebig vielen logarithmischen Unendlichkeitspuncten, wobei allerdings zunächst nur von den rein imaginären Theilen der betreffenden Residua die Rede ist (welche den von den Unendlichkeitspunkten ausgehenden Quellenbewegungen entsprechen).
2) Im zweiten Falle (wo _i_B [formula] gegeben ist) wird die experimentelle Anordnung etwas schwieriger. Das einfachste Schema ist dieses, dass man [formula] und [formula] durch eine sich selbst nicht schneidende Curve verbindetund nun dafür sorgt, dass diese Curve der Sitz einer constanten elektromotorischen Kraft sei. Es entwickelt sich dann in der [formula]-Ebene eine Strömung, welche bei [formula] und [formula] Wirbelpunkte aufweist, welche überall sonst stetig verläuft, und aus der man durch Integration als zugehöriges Geschwindigkeitspotential eine Function findet, welche bei jeder Umkreisung von [formula] oder [formula] um einen gewissen Periodicitätsmodul wächst. Von diesem Geschwindigkeitspotential ist dabei das nothwendig eindeutige elektrostatische Potential wohl zu unterscheiden. Die Curve, welche [formula] und [formula] verbindet, ist für das letztere eine Unstetigkeitscurve, und wird eben hierdurch die Eindeutigkeit des elektrostatischen Potentials ermöglicht(3).
[Illustration: Fig. 11.]
Fig. 11.
Ich weiss nicht, ob es eine experimentelle Anordnung giebt, um dieses einfachste Schema zu realisiren. Es scheint, dass man umständlicher zu Werke gehen muss. Denken wir zuvörderst etwa anthermoelektrischeStröme. Wir wollen die [formula]-Ebene zum Theil mit dem Materiale I, zum Theil mit dem Materiale II überdecken und die Stärke der überdeckenden Schichten dabei so bemessen, dass der specifische Leitungswiderstand überall derselbe sei. Wenn wir dann dafür sorgen, dass die beiden durch [formula] und [formula] von einander getrennten Theile der Contour, in welcher die zweierlei Materialien zusammenstossen, beide auf constanten, unter sich verschiedenen Temperaturen gehalten werden, so wird in der That eine elektrische Strömung entstehen, wie wir sie haben wollen. Dabei weist das elektrostatische Potential, nach den Vorstellungen, die man der Lehre von der Thermoelektricität zu Grunde legt, anbeidenTheilen der genannten Contour Unstetigkeiten auf.—Noch complicirter scheint es, elektrische Ströme zu benutzen, wie sie die gewöhnlichen galvanischen Elemente liefern. Man muss die Ebene dann durch mindestens drei Curven, welche von [formula] nach [formula] verlaufen, in Theile zerlegen und zwei dieser Theile mit metallischen Belegen, den dritten mit einem feuchten Leiter überdecken. Man vergleiche hierzu die Figur 12.
[Illustration: Fig. 12.]
Fig. 12.
Durch alle diese Anordnungen hindurch ist von Vorne herein ersichtlich, dass die beiden bei [formula] und [formula] auftretenden Wirbelpuncte in der That entgegengesetzt gleiche Intensität haben müssen. Aus ähnlichen Gründen wird die Gesammtintensität sämmtlicher Wirbel bei beliebig vielen gegebenen Wirbelpuncten immer gleich Null sein, und ist dadurch der Satz von dem Verschwinden der Summe aller logarithmischen Residuen, auch was den reellen Theil dieser Residuen angeht, auf physikalisch evidente Gründe zurückgeführt.
3) Die Bewegungsformen, welche den algebraischen Typen [formula] entsprechen, mögen den Entwickelungen des §. 3 zufolge aus den eben betrachteten durch Grenzübergang gewonnen werden. Es wird diess natürlich nur mit einer gewissen Annäherung geschehen können. Man setze z. B. [formula] Drähte, in welche die Pole einer galvanischen Batterie auslaufen,dicht bei einanderauf die [formula]-Ebene auf. Dann entsteht eine Strömung, welche in einiger Entfernung von den Drahtenden mit derjenigen merklich zusammenfällt, welche einem algebraischen Unstetigkeitspunkte von der Multiplicität [formula] entspricht. Zugleich ergiebt sich eine Ergänzung unserer obigen Darstellung. Man wird die galvanische Batteriesehr starknehmen müssen, wenn bei der erwähnten Anordnung noch eine mittlere elektrische Strömung zu Stande kommen soll. Es entspricht diess dem von analytischer Seite wohlbekannten Satze, dass die Residua logarithmischer Unendlichkeitspuncte selbst in’s Unendliche wachsen müssen, wenn beim Zusammenfallen der logarithmischen ein algebraischer Unstetigkeitspunkt entstehen soll.—Ich gehe hier in kein weiteres Detail, da es im Folgenden allein darauf ankommt, dass auf Grund der Figuren 6-9 das allgemeine Princip verstanden wird.
§. 5. Uebergang zur Kugelfläche, Strömungen auf beliebigen krummen Flächen.
Um die unendlich grossen Werthe vonzderselben geometrischen Behandlungsweise zugänglich zu machen, wie die endlichen, bedient man sich in den Lehrbüchern jetzt allgemein derKugelfläche(4), welche stereographisch auf die [formula]-Ebene bezogen ist. Man kennt die einfachen geometrischen Beziehungen, welche bei dieser Abbildung auftreten(5). Man weiss auch zur Genüge, dass das Unendlich-Weite der Ebene sich in einen bestimmten Punct der Kugel, den Projectionspunct, zusammenzieht, so dass es keine symbolische Ausdrucksweise mehr ist, wenn man auf der Kugel von einem Puncte [formula] spricht. Dagegen scheint es noch immer weniger bekannt zu sein, dass bei dieser Abbildung die Functionen von [formula] eine Bedeutung für die Kugelfläche gewinnen, welche derjenigen, die sie für die Ebene hatten, genau analog ist,dass man also in den Entwickelungen der vorangehenden Paragraphen statt der Ebene die Kugel gebrauchen kann, wobei von einer Sonderstellung des Werthes[formula]von vorne herein keine Rede ist(6): Ich entwickele hier kurz diejenigen Sätze der Flächentheorie, aus denen diese Behauptung folgt, und nehme meinen Standpunct dabei gleich so allgemein, dass meine Darstellung für später anzustellende Betrachtungen ausreicht.
Indem wir Flüssigkeitsbewegungen parallel der [formula]-Ebene studirten, haben wir uns bereits gewöhnt, die Flüssigkeitsschicht, welche der Betrachtung unterliegt, als unendlich dünn vorauszusetzen. In demselben Sinne kann man Flüssigkeitsbewegungen offenbar auf beliebig gegebenen Flächen betrachten. Die Verschiebungen frei ausgespannter Flüssigkeitsmembranen in sich, wie man sie bei den Plateau’schen Versuchen so schön beobachten kann, geben ein anschauliches Beispiel dafür.—Wir werden versuchen, auch derartige Bewegungen durch ein Potential zu definiren, und vor allen Dingen fragen, welche Bewandniss es dann mit den stationären Bewegungen hat.
Die zweckmässige Verallgemeinerung des Potentialbegriffs bietet sich unmittelbar. Es seiueine Function des Ortes auf der Fläche, so denke man sich auf letzterer die Curven [formula] Const. gezogen. Sodann werde festgesetzt, dass die Flüssigkeitsbewegung auf der Fläche in jedem Punktesenkrechtgegen die hindurchgehende Curve [formula] Const. stattfinden solle, und zwar mit einer Geschwindigkeit, die, unter [formula] das Bogenelement der zugehörigen, auf der Fläche verlaufenden Normalrichtung verstanden, gleich [formula] ist. Wir nennen dannu, wie in der Ebene, das zur Bewegung gehörigeGeschwindigkeitspotential.
Die in solcher Weise definirte Strömung soll nun einestationäresein.Um eine bestimmte Formel zu haben, wollen wir ein krummlinigesCoordinatensystemp,qauf unserer Fläche annehmen und uns die Formbestimmt denken:
[formula]
welche vermöge dieses Coordinatensystems das Bogenelement auf der Fläche annimmt. Dann gibt eine einfache Zwischenbetrachtung, welche der in der Ebene üblichen durchaus analog verläuft, dassu, um eine stationäre Bewegung zu veranlassen, der folgenden Differentialgleichung zweiter Ordnung genügen muss:
[formula]
An diese Differentialgleichung knüpft nun eine kurze Ueberlegung, welche die volle Analogie mit den auf die Ebene bezüglichen Resultaten herstellt.
Es ergiebt sich nämlich aus der Form von (2); dass man neben jedemu, welches (2) genügt, eine andere Functionveinführen kann, _die zu __u__ genau in dem bekannten Reciprocitätsverhältnisse steht_. In der That, vermöge (2) sind die folgenden beiden Gleichungen verträglich:
[formula]
sie definiren einvbis auf eine nothwendig unbestimmt bleibende Constante. Aus ihnen aber folgt durch Auflösung:
[formula]
und hieraus:
[formula]
so dass einmalusich zuvverhält, wievzu [formula], und andererseitsv, so gut wieu, der partiellen Differentialgleichung (2) genügt. Zugleich haben die Gleichungen (3), bez. (4), die geometrische Bedeutung, dass die Curvenu= Const. undv= Const. einander im Allgemeinen rechtwinkelig schneiden.
Was nun die Behauptung betrifft, die ich hinsichtlich der stereographischen Beziehung der Kugel auf die Ebene zu Eingang dieses Paragraphen voranstellte, so ist sie ein unmittelbarer Ausfluss aus dem Umstande,dass die Gleichungen[formula]_ in __E__, __F__, __G__ homogen von der nullten Dimension sind_(7). Wenn zwei Flächen conform auf einander bezogen sind und man führt auf ihnen entsprechende krummlinige Coordinaten ein, so unterscheidet sich der Ausdruck für das Bogenelement auf der einen Fläche von dem auf die andere Fläche bezüglichen nur durch einen Faktor. Dieser Factor aber fällt aus dem angegebenen Grunde aus den Gleichungen (2)—(5) einfach heraus. Wir haben also einen allgemeinen Satz, der die besondere auf Kugel und Ebene bezügliche, oben ausgesprochene Behauptung als speciellen Fall umfasst. Indem ich ausu,vdie Combination [formula] bilde und diese alscomplexe Function des Ortes auf der Flächebezeichne, spricht sich derselbe folgendermassen aus:
Wird eine Fläche conform auf eine zweite abgebildet, so verwandelt sich jede auf ihr existirende complexe Function des Ortes in eine Function derselben Art auf der zweiten Fläche.
Vielleicht ist es nützlich, ausdrücklich einem Missverständnisse entgegenzutreten, welches hierbei entstehen könnte. Derselben Function [formula] entspricht eine Flüssigkeitsbewegung auf der einen und auf der anderen Fläche; man könnte meinen, dass die eine Bewegung vermöge der Abbildung aus der anderen hervorgehe. Dies ist natürlich richtig mit Bezug auf den Verlauf der Strömungscurven und der Niveaucurven, keineswegs aber in Bezug auf die Geschwindigkeit. Wo das Bogenelement der einen Fläche grösser ist, als das Bogenelement der anderen Fläche, da ist die Geschwindigkeit der Strömung entsprechendkleiner. Hierin eben liegt es, dass der Werth [formula] auf der Kugel seine singuläre Stellung verliert. Für den Unendlichkeitspunct der Ebene erweist sich die Geschwindigkeit der Strömung, wie man sofort sieht, im Allgemeinen als unendlich klein von der zweiten Ordnung. Sollte der Unendlichkeitspunkt singulär sein, so wird die Geschwindigkeit dort allemal um zwei Ordnungen kleiner, als die Geschwindigkeit in einem gleichzubenennenden Punkt des Endlichen. Man erinnere sich nun der oben (unter dem Texte) mitgetheilten Formel:
[formula]
welche das Bogenelement der Kugel zum Bogenelement der Ebene in Beziehung setzt. Hier ist [formula] eben auch eine Grösse zweiter Ordnung, und es findet daher beim Uebergange zur Kugel genaue Compensation statt.
§. 6. Zusammenhang der entwickelten Theorie mit den Functionen eines complexen Argumentes.
Nun wir die Kugel als Substrat unserer Betrachtungen gewonnen haben, übertragen wir auf sie, was wir in den §§. 3 und 4 betreffs rationaler Functionen und ihrer Integrale haben kennen lernen. Wir gewinnen dadurch, dass alle früher aufgestellten Sätze auch für unendlich grosseszund somit ausnahmslos gelten. Um so interessanter wird es, sich auf der Kugel den Verlauf bestimmter rationaler Functionen zu überlegen und über die Mittel zu ihrer physikalischen Realisirbarkeit nachzudenken(8). Aber es ist eine andere wichtige Frage, welche sich bei solchen Untersuchungen aufdrängt. Die verschiedenen Functionen des Ortes, welche wir auf der Kugelfläche studiren, sind zugleich Functionen desArgumentes[formula]. Woher dieser Zusammenhang?
Man wolle vor allen Dingen bemerken, dass [formula] selbst eine complexe Function desOrtesauf unserer Kugel ist; genügen dochxundy, füruundveingesetzt, den früher (§. 1) für letztere aufgestellten Differentialgleichungen. So lange man in der Ebene operirt, könnte man denken, dass diese Function vor den übrigen etwas Wesentliches voraus habe; nach dem Uebergange zur Kugel ist hierzu keine Veranlassung mehr. Und in der That verallgemeinert sich die Bemerkung, auf die sich unsere Frage bezieht, sofort. Wenn [formula] und [formula] Functionen von [formula] sind, so ist auch [formula] eine Function von [formula] Wir haben also für Ebene und Kugelfläche den allgemeinen Satz:dass von zwei complexen Functionen des Ortes im Sinne der gewöhnlichen functionentheoretischen Ausdrucksweise jede eine Function der anderen ist.
Wird dieses nun eine besondere Eigenthümlichkeit der genannten Flächen sein? Sicher wird sich dieselbe auf alle solche Flächen übertragen, die man auf einen Theil der Ebene (oder der Kugel) conform beziehen kann. Diess folgt aus dem letzten Satze des vorigen Paragraphen. Ich sage aber,dass dieselbe Eigenthümlichkeit überhaupt allen Flächen zukommt, womit implicite behauptet wird, dass man einen Theil einerbeliebigenFläche auf die Ebene oder die Kugelfläche conform übertragen kann.
Der Beweis gestaltet sich unmittelbar, wenn man die Bestandteile [formula] irgend einer auf einer Fläche existirenden complexen Function des Ortes, [formula], auf der Fläche selbst als krummlinige Coordinaten einführt. Dann müssen nämlich die CoëfficientenE,F,Gin dem Ausdrucke des Bogenelementes so beschaffen werden, dass Identitäten entstehen, wenn man in die Gleichungen (2)-(5) des vorigen Paragraphen fürpundqund gleichzeitig füruundvbez.xundyeinführt.Diess bedingt, wie man sofort ersieht, dass[formula],[formula]wird. Hierdurch aber verwandeln sich jene Gleichungen in die wohlbekannten:
[formula]
Sie gehen also direct in jene Gleichungen über, durch welche man Functionen des Argumentes [formula] zu definiren pflegt, so dass [formula] in der That eine Function von [formula] wird, was zu beweisen war.
Zugleich erledigt sich, was hinsichtlich conformer Abbildung behauptet wurde. Denn ans der Form des Bogenelementes
[formula]
folgt unmittelbar, dass unsere Fläche durch [formula] auf die [formula]-Ebene conform übertragen wird. Ich will dieses Resultat in etwas allgemeinerer Form aussprechen, indem ich sage:
Wenn man auf zwei Flächen zwei complexe Functionen des Ortes kennt, und man bezieht die Flächen so aufeinander, dass entsprechende Puncte respective gleiche Functionswerthe aufweisen, so sind die Flächen conform auf einander bezogen.
Es ist dies die Umkehr des ähnlich lautenden am Schlusse des vorigenParagraphen aufgestellten Satzes.
Alle diese Theoreme haben, soweit sie sich auf beliebige Flächen beziehen, für’s Erste nur dann einen klaren Sinn, wenn man seine Aufmerksamkeit auf kleine Stücke der Flächen beschränkt, innerhalb deren die complexen Functionen des Ortes weder Unendlichkeitspuncte noch Kreuzungspuncte aufweisen. Ich habe desshalb gelegentlich auch nur von einem Flächen_theile_ gesprochen. Aber es liegt nahe, zu fragen, wie sich die Verhältnisse gestalten, wenn man geschlossene Flächenin ihrer ganzen Ausdehnungbenutzt. Diese Frage ist mit der weiteren Ideenentwickelung, die ich im folgenden zu geben habe, auf das Innigste verknüpft; ihr speciell sind die §§. 19—21 des Folgenden gewidmet.
§. 7. Noch einmal die Strömungen auf der Kugel. Riemann’s allgemeine Fragestellung.
Wir haben nunmehr alle Vorbedingungen, um die Entwickelungen der erstenParagraphen dieser Einleitung in wesentlich neuer Weise aufzufassen unduns vermöge dieser Auffassung zu einer grossen und allgemeinenFragestellung zu erheben, welche dieRiemann’scheist, und derenPräcisirung und Beantwortung den eigentlichen Gegenstand der gegenwärtigenSchrift zu bilden hat.
Das Primäre bei der bisherigen Darstellung bildete die Function von [formula]. Wir haben dieselbe durch eine stationäre Strömung auf der Kugel gedeutet, und uns bemüht, Eigenschaften der Function in solchen der Strömung wieder zu erkennen. Insbesondere haben uns die rationalen Functionen und ihre Integrale mit einer einfachen Art von Strömungen bekannt gemacht: es sind dieeinförmigenStrömungen, diejenigen, bei denen in jedem Puncte der Kugel nureineStrömung statt hat. Und zwar sind es unter der Voraussetzung, dass keine anderen Unstetigkeitspuncte statt haben, als die in §. 2 definirten, dieallgemeinsteneinförmigen Strömungen, welche es auf der Kugel gibt.
Es scheint von Vorneherein möglich, diese ganze Entwickelung umzukehren:das Studium der Strömungen voranzustellen und aus ihm erst die Theorie gewisser analytischer Functionen zu entwickeln. Die Frage nach der allgemeinsten in Betracht kommenden Strömung mag dann vorab durch physikalische Betrachtungen beantwortet werden; geben uns doch die experimentellen Anordnungen des §. 4 zusammen mit dem Princip der Ueberlagerung das Mittel, um jede derartige Strömung zu definiren! Die einzelne Strömung bestimmt uns sodann, von einer Integrationsconstante abgesehen, eine complexe Function des Ortes, deren allgemeinen Verlauf wir anschauungsmässig verfolgen können. Jede solche Function ist eine analytische Function jeder anderen. Indem wir irgend zwei complexe Functionen des Ortes zusammenstellen, werden wir zu analytischen Abhängigkeiten hingeführt, deren Eigenschaften wir von Vorneherein übersehen und die wir erst hinterher, um den Zusammenhang mit den Betrachtungen der Analysis herzustellen, mit sonst in der Analysis üblichen Abhängigkeiten identificiren.
Alles dieses ist so deutlich, dass eine genauere Ausführung hier überflüssig erscheint, dass wir vielmehr sofort zu der in Aussicht gestelltenVerallgemeinerungschreiten können. Auch diese bietet sich auf Grund der bisherigen Entwickelungen fast mit Nothwendigkeit. Wir werden alle die Fragen, welche wir gerade hinsichtlich der Kugelfläche formulirten, in gleicher Weise aufwerfen können,wenn statt der Kugelfläche eine beliebige geschlossene Fläche gegeben ist. Auch auf ihr werden wir einförmige Strömungen und also complexe Functionen des Ortes bestimmen können, deren Eigenschaften wir anschauungsmässig erfassen. Die gleichzeitige Betrachtung verschiedener Functionen des Ortes verwandelt hernach die zu gewinnenden Ergebnisse in ebenso viele Lehrsätze der gewöhnlichen Analysis.—Die Ausführung dieses Gedankenganges istdie Riemann’sche Theorie; zugleich haben wir die Haupteintheilung, welche bei der folgenden Exposition derselben zu Grunde zu legen ist.