VIERDE HOOFDSTUK.OVER DE ZWARIGHEDEN, WELKE MEN IN HET VERVAARDIGEN VAN EEN PLANETARIUM ONTMOET.§ 51.Daar het mij meer dan eens is voorgekomen, dat sommige menschen zich verbeelden, dat er in het bestek van eenplanetariumte maken niet meer zwarigheden zijn, dan in dat van een uurwerk, vermits de uitwerksels, in beide gevallen, door een zeker getal raderen worden voortgebragt, zal het niet ondienstig zijn, kortelijk aan te toonen, welke de wezenlijke zwarigheden zijn, welke men in het vervaardigen van dergelijke werken aantreft. Ik versta hierdoor die zwarigheden, die het werk eigen zijn, en niet die, welke van plaatselijke omstandigheden afhangen.Eisinga, die zijnplanetariumnaar zijn vertrek schikken moest, heeft de zwarigheden van de laatstgemelde soort zeer dikwijls ondervonden. Dan was er een balk in den weg, dan weder iets anders. Dus had hij, bij voorbeeld, gaarne alle de planeten door middel van éénen as, met zes rondsels voorzien, doen bewegen, zoo alsHuigenshet ook gedaan heeft; doch de balken hebben hem daarin verhinderd; weshalve hij drie assen heeft moeten gebruiken. Hij had het uurwerk zoo ingerigt, dat het traagste rad ééns in 24 uren zoude omloopen, maar de zoldering der bedstede belette den slinger de noodige lengte te geven, om de seconden te slaan, waarom men een korter slinger heeft moeten gebruiken, en den bestemden toestel een weinig veranderen. In andere omstandigheden zal men dergelijke zwarigheden niet aantreffen.§ 52.Doch de wezenlijke zwarigheden, welke het werk zelf eigen zijn, bestaan voornamelijk hierin, dat men aan ieder rad het getal takken geven moet, hetwelk noodig is, om de beweging in den vereischten tijd te volbrengen. Die getallen worden door de omloopstijden, of hunne evenredigheid, uitgedrukt; doch deze zijn meest alle groote en gebrokene getallen, terwijl men echter aan de raderen noch eene onbepaalde grootte, noch een getal takken, dat een gebroken is, geven kan. Een voorbeeld zal de zaak ophelderen.De Aarde loopt ééns rond in 8,765.812 u. (§14), de Maan, in harenkoppel-omloopstijd(revolutio synodica) ééns in 708.733 u. (§33,87). Dus staan die omloopstijden tot elkander als 8,765,812 tot 708,733. Maar men kan aan geen rad een getal van over de acht millioen, of over de zeven maal honderd duizend tanden geven, waarom er tweekleineengeheele getallenmoeten gevonden worden, die de zelfde evenredigheid als 8,765,812 en 798,733 hebben; dat is, de evenredigheid van 12,36828 tot 1.Eisingaheeft de getallen 99 en 8 gebruikt1, die, inderdaad, vrij naauwkeurig zijn: want zij staan tot elkander als 12.37500 tot 1. Dus zoude, volgens die rekening, de Maan op hetplanetarium, in honderd duizend jaren 1,237,500 malen omloopen; doch volgens de waarheid maar 1,236,828 malen; dus 672 malen te veel in honderdduizend jaren, ofStartFraction 672 Over 100000 EndFractiongedeelten van eenen omloop te veel in een jaar. Doch iedere omloop geschiedt in 708.733 u., zoodat de Maan hier ieder jaar ongeveer 4 u. 45 m. 46 s. vervroegt, of in iederen omloop ongeveer 23 m. tijds. De getallen 136 en 11 zijn ruim ½ naauwkeuriger dan 99 en 82; ook heeftEisingadie in eender maanwijzers gebruikt. Eindelijk zouden de getallen 235 en 19 zoo naauwkeurig zijn, dat de Maan in iederen omloop naauwelijks eene halve minuut tijds verachteren zoude, en in twee honderd veertien jaren naauwelijks een dag.§ 53.De geheele zaak komt dan op dit vraagstuk uit. „In plaats van twee groote en gebrokene getallen, twee kleine en geheele te vinden, die in de zelfde evenredigheid óf naauwkeurig staan, óf zoo ten naasten bij, dat er in langen tijd geen merkelijk verschil plaats hebbe.” Een moeijelijk vraagstuk, voorwaar! tot oplossing van hetwelkHuigens, de grooteHuigens, zich van eene nieuwe vinding, dieder gedurige breuken(fractiones continuae) bediend heeft3, enRoemerenCassini(welke mannen!) van de grootste naauwkeurigheid afgeweken zijn. Want daarRoemerdie getallen in zijn eersteplanetariumberekend, en in het tweede onveranderd gelaten, enCassiniaangetoond had, dat de bewegingen door dezelve voortgebragtzeer welmet die der planeten overeenkwamen4, heeft echterHorrebowaangetoond, dat de omloopstijd van Mercurius 55 m. tekort; die van Venus 1 u. en 50 m. te lang was, en zoo voorts tenaanzien der overige planeten; weshalve hij andere getallen vanRoemerberekend, en in de plaat, naast de eerstgemelde, gesteld heeft. JaHuigenszelf, die op zijnplanetariumde getallen 32 en 52 voor het rad en het rondsel van Venus gebruikt had, heeft naderhand gevonden, dat deze in Venus, in twintig jaren, eene vertraging van 3 gr. 37 m. te weeg brengen, daar de getallen 43 en 70 in dien zelfden tijd geen 15 minuten van de waarheid zouden afwijken.§ 54.Dit zij genoeg om aan te toonen, hoe moeijelijk het is, deze getallen met de vereischte naauwkeurigheid te vinden. Doch die moeite wordt merkelijk grooter, wanneer het werktuig door een uurwerk bewogen wordt; vermits men dan geen meester meer is, om aan het rad der Aarde, of aan het rondsel, dat dit rad in beweging brengt, een willekeurig getal tanden te geven; maar men dan dit getal zoodanig met de raderen van het uurwerk paren moet, dat dit de Aarde in 365 d. 5. u. 48 m. 45 s. ééns doe omgaan5, dat zeer moeijelijk is, omdat het getal 365.242187, dat den omloopstijd der Aarde in dagen uitdrukt, niet gemakkelijk in andere, vooral geheele, getallen deelbaar is. Men stelle, dat het rad van het uurwerk, dat de beweging aan de Aarde mededeelt, in 24 uren ééns omgaat, zoo zal de omloopstijd van dat rad tot dien van deAarde staan, als 1 tot 365.242187. Er moet dan een rad en een rondsel, of liever, vermits dit onmogelijk is, een zoodanig zamenstel van raderen en rondsels gevonden worden, dat de omloopstijd van het eerste rad tot dien van het laatste zij, als 1 tot 365.242187; dat is, dit getal moet in eenige geheele getallen gedeeld worden, die met elkander vermenigvuldigd, of 365.242187, of eene vermenigvuldiging daarvan uitmaken, hetgeen niet gemakkelijk is6.§ 55.Het blijkt dan uit het gezegde, dat die berekeningen vrij moeijelijk zijn, en dat zij, in haren aard, vrij wat verschillen van die, welke noodig zijn, om een gewoon uurwerk, dat de uren, minuten, sekonden, dagen, de Maan enz. aanwijst, te berekenen, vermits al de getallen alsdan geheel en gemakkelijk te deelen zijn.§ 56.Eindelijk dient men aan te merken, dat al die berekeningen op dit kunststuk veel moeijelijker geweest zijn, dan op eenig anderplanetarium, vermits dit stuk niet afzonderlijk staat, maarnog met een Hemelsplein en met Maanwijzers verbonden is: want daar men, om zoo weinig raderen als mogelijk was te gebruiken, eenige derzelve zóó ingerigt heeft, dat zij de beweging, én naar hetplanetariumén tot het hemelsplein, én tot de Maanwijzers overbrengen, heeft men het getal takken zoo moeten uitzoeken, dat het tot alle die einden voldoende was.1Roemer, van wiens verrigtingen, zoo als gezegd is,Eisinganiets wist, heeft de zelfde getallen gebezigd.↑2De getallen, doorHuigensgebezigd, zijn nog naauwkeuriger; maarHuigensheeft tot de beweging der Maan vijf raderen, een groot en vier kleine, gebruikt; doch naderhand een eenvoudiger zamenstel van maar vierraderen uitgevonden.Mudge, een der beroemdste en kundigste Engelsche horologiemakers dezer eeuw, heeft eene zeer vernuftige wijze uitgevonden, om raderen in bepaalde omloopstijden, met de grootste naauwkeurigheid te doen bewegen.Maggellanheeft deze beschreven en op het voorbeeld van de gemiddelde beweging der Maan toegepast, in zijne beschrijving van het zeehorologie vanMudge, welke te vinden is in hetJournal de Physique de l’abbéRozier,Juin1778,tom.11, p. 541. Doch vermits er; om de gemiddelde beweging der Maan voort te brengen, 6 raderen, 4 rondsels en 2 schroeven zonder eind gebruikt worden, blijkt het, dat hetplanetarium, hethemelspleinen demaanwijzersongemeen zamengesteld zouden moeten zijn, indien men voor al deze stukken te zamen, en ieder der planeten in het bijzonder, de gemelde wijze gebruikte.↑3Gedurige breuken zijn dusdanige, waarin de noemer altoos uit een geheel getal en breuk bestaat, bij voorbeeldStartStartFraction 1 OverOver 2 plus StartFraction 1 Over 3 plus one-fourth EndFraction period EndEndFraction↑4Du Hamel,Histor. Acad.1680, p. 192.↑5HoewelHuigens, in het berekenen der evenredigheden van de omloopstijden der planeten met dien van de Aarde, dezen altijd op 365 d. 5 u. 50 m. gesteld heeft, voleindt echter de Aarde hare loopbaan op zijnplanetariumin 365 dagen: want (p. 166, plaat 3) het rad P, dat in 4 dagen omgaat, werkt met 4 tanden op bet rad O van 45 tanden; het rondsel Q van het rad O werkt met 9 tanden op het rad L van 73 tanden. Wanneer L ééns rond gaat, gaat de Aarde ééns rond: dus is de omloopstijd van P tot dien van L, zoo als 4 maal 9 lot 45 maal 73, of 4 tot 5 maal 73, of 4 tot 365. Maar P loopt ééns rond in 4 dagen: dus L, en bij gevolg de Aarde, ééns in 365 dagen. WaaromHuigensdit liever dan 365 d. 5 u. 50 m. verkozen heeft, is mij onbekend. Op de Leidschesphaerais de omloopstijd 365 d. 6 u. ongeveer.↑6Ziehier tot voorbeeld, om het gezegde op te helderen, hoe men het, onder anderen, zoude kunnen doen.Aan het rad A, dat in 24 u. eens omgaat, voegt men een rondselavan 13 tanden; dit werkt op het rad B van 49 tanden, waarvan het rondselbmet 10 tanden op het rad C van 51 tanden werkt; dit heeft een rondselcvan 5 tanden, dat op het rad D van 95 tanden werkt; dan zeg ik, dat de omloopstijden van A en D ongeveer zullen zijn als 1 tot 365.242187: want die tijden zijn zoo als hetproductder rondselen tot dat der raderen; dieproductenzijn als 13 maal 10 maal 5 tot 49 maal 51 maal 95, of als 13 maal 10 tot 49 maal 51 maal 19, of als 130 lot 47481, of als 1 tot 365.238460, hetwelkStartFraction 3727 Over 1000000 EndFractiongedeelten van de waarheid verschilt, of ieder jaarStartFraction 3727 Over 1000000 EndFractiongedeelten van eenen dag, dat is 5 m. 22 s., te klein zoude zijn, en dus in 300 jaren iets meer dan een dag van het ware zoude verschillen. Deze rekening strekke alleen tot een voorbeeld: want men kan zekerlijk nog nader bij de waarheid komen.↑
VIERDE HOOFDSTUK.OVER DE ZWARIGHEDEN, WELKE MEN IN HET VERVAARDIGEN VAN EEN PLANETARIUM ONTMOET.§ 51.Daar het mij meer dan eens is voorgekomen, dat sommige menschen zich verbeelden, dat er in het bestek van eenplanetariumte maken niet meer zwarigheden zijn, dan in dat van een uurwerk, vermits de uitwerksels, in beide gevallen, door een zeker getal raderen worden voortgebragt, zal het niet ondienstig zijn, kortelijk aan te toonen, welke de wezenlijke zwarigheden zijn, welke men in het vervaardigen van dergelijke werken aantreft. Ik versta hierdoor die zwarigheden, die het werk eigen zijn, en niet die, welke van plaatselijke omstandigheden afhangen.Eisinga, die zijnplanetariumnaar zijn vertrek schikken moest, heeft de zwarigheden van de laatstgemelde soort zeer dikwijls ondervonden. Dan was er een balk in den weg, dan weder iets anders. Dus had hij, bij voorbeeld, gaarne alle de planeten door middel van éénen as, met zes rondsels voorzien, doen bewegen, zoo alsHuigenshet ook gedaan heeft; doch de balken hebben hem daarin verhinderd; weshalve hij drie assen heeft moeten gebruiken. Hij had het uurwerk zoo ingerigt, dat het traagste rad ééns in 24 uren zoude omloopen, maar de zoldering der bedstede belette den slinger de noodige lengte te geven, om de seconden te slaan, waarom men een korter slinger heeft moeten gebruiken, en den bestemden toestel een weinig veranderen. In andere omstandigheden zal men dergelijke zwarigheden niet aantreffen.§ 52.Doch de wezenlijke zwarigheden, welke het werk zelf eigen zijn, bestaan voornamelijk hierin, dat men aan ieder rad het getal takken geven moet, hetwelk noodig is, om de beweging in den vereischten tijd te volbrengen. Die getallen worden door de omloopstijden, of hunne evenredigheid, uitgedrukt; doch deze zijn meest alle groote en gebrokene getallen, terwijl men echter aan de raderen noch eene onbepaalde grootte, noch een getal takken, dat een gebroken is, geven kan. Een voorbeeld zal de zaak ophelderen.De Aarde loopt ééns rond in 8,765.812 u. (§14), de Maan, in harenkoppel-omloopstijd(revolutio synodica) ééns in 708.733 u. (§33,87). Dus staan die omloopstijden tot elkander als 8,765,812 tot 708,733. Maar men kan aan geen rad een getal van over de acht millioen, of over de zeven maal honderd duizend tanden geven, waarom er tweekleineengeheele getallenmoeten gevonden worden, die de zelfde evenredigheid als 8,765,812 en 798,733 hebben; dat is, de evenredigheid van 12,36828 tot 1.Eisingaheeft de getallen 99 en 8 gebruikt1, die, inderdaad, vrij naauwkeurig zijn: want zij staan tot elkander als 12.37500 tot 1. Dus zoude, volgens die rekening, de Maan op hetplanetarium, in honderd duizend jaren 1,237,500 malen omloopen; doch volgens de waarheid maar 1,236,828 malen; dus 672 malen te veel in honderdduizend jaren, ofStartFraction 672 Over 100000 EndFractiongedeelten van eenen omloop te veel in een jaar. Doch iedere omloop geschiedt in 708.733 u., zoodat de Maan hier ieder jaar ongeveer 4 u. 45 m. 46 s. vervroegt, of in iederen omloop ongeveer 23 m. tijds. De getallen 136 en 11 zijn ruim ½ naauwkeuriger dan 99 en 82; ook heeftEisingadie in eender maanwijzers gebruikt. Eindelijk zouden de getallen 235 en 19 zoo naauwkeurig zijn, dat de Maan in iederen omloop naauwelijks eene halve minuut tijds verachteren zoude, en in twee honderd veertien jaren naauwelijks een dag.§ 53.De geheele zaak komt dan op dit vraagstuk uit. „In plaats van twee groote en gebrokene getallen, twee kleine en geheele te vinden, die in de zelfde evenredigheid óf naauwkeurig staan, óf zoo ten naasten bij, dat er in langen tijd geen merkelijk verschil plaats hebbe.” Een moeijelijk vraagstuk, voorwaar! tot oplossing van hetwelkHuigens, de grooteHuigens, zich van eene nieuwe vinding, dieder gedurige breuken(fractiones continuae) bediend heeft3, enRoemerenCassini(welke mannen!) van de grootste naauwkeurigheid afgeweken zijn. Want daarRoemerdie getallen in zijn eersteplanetariumberekend, en in het tweede onveranderd gelaten, enCassiniaangetoond had, dat de bewegingen door dezelve voortgebragtzeer welmet die der planeten overeenkwamen4, heeft echterHorrebowaangetoond, dat de omloopstijd van Mercurius 55 m. tekort; die van Venus 1 u. en 50 m. te lang was, en zoo voorts tenaanzien der overige planeten; weshalve hij andere getallen vanRoemerberekend, en in de plaat, naast de eerstgemelde, gesteld heeft. JaHuigenszelf, die op zijnplanetariumde getallen 32 en 52 voor het rad en het rondsel van Venus gebruikt had, heeft naderhand gevonden, dat deze in Venus, in twintig jaren, eene vertraging van 3 gr. 37 m. te weeg brengen, daar de getallen 43 en 70 in dien zelfden tijd geen 15 minuten van de waarheid zouden afwijken.§ 54.Dit zij genoeg om aan te toonen, hoe moeijelijk het is, deze getallen met de vereischte naauwkeurigheid te vinden. Doch die moeite wordt merkelijk grooter, wanneer het werktuig door een uurwerk bewogen wordt; vermits men dan geen meester meer is, om aan het rad der Aarde, of aan het rondsel, dat dit rad in beweging brengt, een willekeurig getal tanden te geven; maar men dan dit getal zoodanig met de raderen van het uurwerk paren moet, dat dit de Aarde in 365 d. 5. u. 48 m. 45 s. ééns doe omgaan5, dat zeer moeijelijk is, omdat het getal 365.242187, dat den omloopstijd der Aarde in dagen uitdrukt, niet gemakkelijk in andere, vooral geheele, getallen deelbaar is. Men stelle, dat het rad van het uurwerk, dat de beweging aan de Aarde mededeelt, in 24 uren ééns omgaat, zoo zal de omloopstijd van dat rad tot dien van deAarde staan, als 1 tot 365.242187. Er moet dan een rad en een rondsel, of liever, vermits dit onmogelijk is, een zoodanig zamenstel van raderen en rondsels gevonden worden, dat de omloopstijd van het eerste rad tot dien van het laatste zij, als 1 tot 365.242187; dat is, dit getal moet in eenige geheele getallen gedeeld worden, die met elkander vermenigvuldigd, of 365.242187, of eene vermenigvuldiging daarvan uitmaken, hetgeen niet gemakkelijk is6.§ 55.Het blijkt dan uit het gezegde, dat die berekeningen vrij moeijelijk zijn, en dat zij, in haren aard, vrij wat verschillen van die, welke noodig zijn, om een gewoon uurwerk, dat de uren, minuten, sekonden, dagen, de Maan enz. aanwijst, te berekenen, vermits al de getallen alsdan geheel en gemakkelijk te deelen zijn.§ 56.Eindelijk dient men aan te merken, dat al die berekeningen op dit kunststuk veel moeijelijker geweest zijn, dan op eenig anderplanetarium, vermits dit stuk niet afzonderlijk staat, maarnog met een Hemelsplein en met Maanwijzers verbonden is: want daar men, om zoo weinig raderen als mogelijk was te gebruiken, eenige derzelve zóó ingerigt heeft, dat zij de beweging, én naar hetplanetariumén tot het hemelsplein, én tot de Maanwijzers overbrengen, heeft men het getal takken zoo moeten uitzoeken, dat het tot alle die einden voldoende was.1Roemer, van wiens verrigtingen, zoo als gezegd is,Eisinganiets wist, heeft de zelfde getallen gebezigd.↑2De getallen, doorHuigensgebezigd, zijn nog naauwkeuriger; maarHuigensheeft tot de beweging der Maan vijf raderen, een groot en vier kleine, gebruikt; doch naderhand een eenvoudiger zamenstel van maar vierraderen uitgevonden.Mudge, een der beroemdste en kundigste Engelsche horologiemakers dezer eeuw, heeft eene zeer vernuftige wijze uitgevonden, om raderen in bepaalde omloopstijden, met de grootste naauwkeurigheid te doen bewegen.Maggellanheeft deze beschreven en op het voorbeeld van de gemiddelde beweging der Maan toegepast, in zijne beschrijving van het zeehorologie vanMudge, welke te vinden is in hetJournal de Physique de l’abbéRozier,Juin1778,tom.11, p. 541. Doch vermits er; om de gemiddelde beweging der Maan voort te brengen, 6 raderen, 4 rondsels en 2 schroeven zonder eind gebruikt worden, blijkt het, dat hetplanetarium, hethemelspleinen demaanwijzersongemeen zamengesteld zouden moeten zijn, indien men voor al deze stukken te zamen, en ieder der planeten in het bijzonder, de gemelde wijze gebruikte.↑3Gedurige breuken zijn dusdanige, waarin de noemer altoos uit een geheel getal en breuk bestaat, bij voorbeeldStartStartFraction 1 OverOver 2 plus StartFraction 1 Over 3 plus one-fourth EndFraction period EndEndFraction↑4Du Hamel,Histor. Acad.1680, p. 192.↑5HoewelHuigens, in het berekenen der evenredigheden van de omloopstijden der planeten met dien van de Aarde, dezen altijd op 365 d. 5 u. 50 m. gesteld heeft, voleindt echter de Aarde hare loopbaan op zijnplanetariumin 365 dagen: want (p. 166, plaat 3) het rad P, dat in 4 dagen omgaat, werkt met 4 tanden op bet rad O van 45 tanden; het rondsel Q van het rad O werkt met 9 tanden op het rad L van 73 tanden. Wanneer L ééns rond gaat, gaat de Aarde ééns rond: dus is de omloopstijd van P tot dien van L, zoo als 4 maal 9 lot 45 maal 73, of 4 tot 5 maal 73, of 4 tot 365. Maar P loopt ééns rond in 4 dagen: dus L, en bij gevolg de Aarde, ééns in 365 dagen. WaaromHuigensdit liever dan 365 d. 5 u. 50 m. verkozen heeft, is mij onbekend. Op de Leidschesphaerais de omloopstijd 365 d. 6 u. ongeveer.↑6Ziehier tot voorbeeld, om het gezegde op te helderen, hoe men het, onder anderen, zoude kunnen doen.Aan het rad A, dat in 24 u. eens omgaat, voegt men een rondselavan 13 tanden; dit werkt op het rad B van 49 tanden, waarvan het rondselbmet 10 tanden op het rad C van 51 tanden werkt; dit heeft een rondselcvan 5 tanden, dat op het rad D van 95 tanden werkt; dan zeg ik, dat de omloopstijden van A en D ongeveer zullen zijn als 1 tot 365.242187: want die tijden zijn zoo als hetproductder rondselen tot dat der raderen; dieproductenzijn als 13 maal 10 maal 5 tot 49 maal 51 maal 95, of als 13 maal 10 tot 49 maal 51 maal 19, of als 130 lot 47481, of als 1 tot 365.238460, hetwelkStartFraction 3727 Over 1000000 EndFractiongedeelten van de waarheid verschilt, of ieder jaarStartFraction 3727 Over 1000000 EndFractiongedeelten van eenen dag, dat is 5 m. 22 s., te klein zoude zijn, en dus in 300 jaren iets meer dan een dag van het ware zoude verschillen. Deze rekening strekke alleen tot een voorbeeld: want men kan zekerlijk nog nader bij de waarheid komen.↑
VIERDE HOOFDSTUK.OVER DE ZWARIGHEDEN, WELKE MEN IN HET VERVAARDIGEN VAN EEN PLANETARIUM ONTMOET.
§ 51.Daar het mij meer dan eens is voorgekomen, dat sommige menschen zich verbeelden, dat er in het bestek van eenplanetariumte maken niet meer zwarigheden zijn, dan in dat van een uurwerk, vermits de uitwerksels, in beide gevallen, door een zeker getal raderen worden voortgebragt, zal het niet ondienstig zijn, kortelijk aan te toonen, welke de wezenlijke zwarigheden zijn, welke men in het vervaardigen van dergelijke werken aantreft. Ik versta hierdoor die zwarigheden, die het werk eigen zijn, en niet die, welke van plaatselijke omstandigheden afhangen.Eisinga, die zijnplanetariumnaar zijn vertrek schikken moest, heeft de zwarigheden van de laatstgemelde soort zeer dikwijls ondervonden. Dan was er een balk in den weg, dan weder iets anders. Dus had hij, bij voorbeeld, gaarne alle de planeten door middel van éénen as, met zes rondsels voorzien, doen bewegen, zoo alsHuigenshet ook gedaan heeft; doch de balken hebben hem daarin verhinderd; weshalve hij drie assen heeft moeten gebruiken. Hij had het uurwerk zoo ingerigt, dat het traagste rad ééns in 24 uren zoude omloopen, maar de zoldering der bedstede belette den slinger de noodige lengte te geven, om de seconden te slaan, waarom men een korter slinger heeft moeten gebruiken, en den bestemden toestel een weinig veranderen. In andere omstandigheden zal men dergelijke zwarigheden niet aantreffen.§ 52.Doch de wezenlijke zwarigheden, welke het werk zelf eigen zijn, bestaan voornamelijk hierin, dat men aan ieder rad het getal takken geven moet, hetwelk noodig is, om de beweging in den vereischten tijd te volbrengen. Die getallen worden door de omloopstijden, of hunne evenredigheid, uitgedrukt; doch deze zijn meest alle groote en gebrokene getallen, terwijl men echter aan de raderen noch eene onbepaalde grootte, noch een getal takken, dat een gebroken is, geven kan. Een voorbeeld zal de zaak ophelderen.De Aarde loopt ééns rond in 8,765.812 u. (§14), de Maan, in harenkoppel-omloopstijd(revolutio synodica) ééns in 708.733 u. (§33,87). Dus staan die omloopstijden tot elkander als 8,765,812 tot 708,733. Maar men kan aan geen rad een getal van over de acht millioen, of over de zeven maal honderd duizend tanden geven, waarom er tweekleineengeheele getallenmoeten gevonden worden, die de zelfde evenredigheid als 8,765,812 en 798,733 hebben; dat is, de evenredigheid van 12,36828 tot 1.Eisingaheeft de getallen 99 en 8 gebruikt1, die, inderdaad, vrij naauwkeurig zijn: want zij staan tot elkander als 12.37500 tot 1. Dus zoude, volgens die rekening, de Maan op hetplanetarium, in honderd duizend jaren 1,237,500 malen omloopen; doch volgens de waarheid maar 1,236,828 malen; dus 672 malen te veel in honderdduizend jaren, ofStartFraction 672 Over 100000 EndFractiongedeelten van eenen omloop te veel in een jaar. Doch iedere omloop geschiedt in 708.733 u., zoodat de Maan hier ieder jaar ongeveer 4 u. 45 m. 46 s. vervroegt, of in iederen omloop ongeveer 23 m. tijds. De getallen 136 en 11 zijn ruim ½ naauwkeuriger dan 99 en 82; ook heeftEisingadie in eender maanwijzers gebruikt. Eindelijk zouden de getallen 235 en 19 zoo naauwkeurig zijn, dat de Maan in iederen omloop naauwelijks eene halve minuut tijds verachteren zoude, en in twee honderd veertien jaren naauwelijks een dag.§ 53.De geheele zaak komt dan op dit vraagstuk uit. „In plaats van twee groote en gebrokene getallen, twee kleine en geheele te vinden, die in de zelfde evenredigheid óf naauwkeurig staan, óf zoo ten naasten bij, dat er in langen tijd geen merkelijk verschil plaats hebbe.” Een moeijelijk vraagstuk, voorwaar! tot oplossing van hetwelkHuigens, de grooteHuigens, zich van eene nieuwe vinding, dieder gedurige breuken(fractiones continuae) bediend heeft3, enRoemerenCassini(welke mannen!) van de grootste naauwkeurigheid afgeweken zijn. Want daarRoemerdie getallen in zijn eersteplanetariumberekend, en in het tweede onveranderd gelaten, enCassiniaangetoond had, dat de bewegingen door dezelve voortgebragtzeer welmet die der planeten overeenkwamen4, heeft echterHorrebowaangetoond, dat de omloopstijd van Mercurius 55 m. tekort; die van Venus 1 u. en 50 m. te lang was, en zoo voorts tenaanzien der overige planeten; weshalve hij andere getallen vanRoemerberekend, en in de plaat, naast de eerstgemelde, gesteld heeft. JaHuigenszelf, die op zijnplanetariumde getallen 32 en 52 voor het rad en het rondsel van Venus gebruikt had, heeft naderhand gevonden, dat deze in Venus, in twintig jaren, eene vertraging van 3 gr. 37 m. te weeg brengen, daar de getallen 43 en 70 in dien zelfden tijd geen 15 minuten van de waarheid zouden afwijken.§ 54.Dit zij genoeg om aan te toonen, hoe moeijelijk het is, deze getallen met de vereischte naauwkeurigheid te vinden. Doch die moeite wordt merkelijk grooter, wanneer het werktuig door een uurwerk bewogen wordt; vermits men dan geen meester meer is, om aan het rad der Aarde, of aan het rondsel, dat dit rad in beweging brengt, een willekeurig getal tanden te geven; maar men dan dit getal zoodanig met de raderen van het uurwerk paren moet, dat dit de Aarde in 365 d. 5. u. 48 m. 45 s. ééns doe omgaan5, dat zeer moeijelijk is, omdat het getal 365.242187, dat den omloopstijd der Aarde in dagen uitdrukt, niet gemakkelijk in andere, vooral geheele, getallen deelbaar is. Men stelle, dat het rad van het uurwerk, dat de beweging aan de Aarde mededeelt, in 24 uren ééns omgaat, zoo zal de omloopstijd van dat rad tot dien van deAarde staan, als 1 tot 365.242187. Er moet dan een rad en een rondsel, of liever, vermits dit onmogelijk is, een zoodanig zamenstel van raderen en rondsels gevonden worden, dat de omloopstijd van het eerste rad tot dien van het laatste zij, als 1 tot 365.242187; dat is, dit getal moet in eenige geheele getallen gedeeld worden, die met elkander vermenigvuldigd, of 365.242187, of eene vermenigvuldiging daarvan uitmaken, hetgeen niet gemakkelijk is6.§ 55.Het blijkt dan uit het gezegde, dat die berekeningen vrij moeijelijk zijn, en dat zij, in haren aard, vrij wat verschillen van die, welke noodig zijn, om een gewoon uurwerk, dat de uren, minuten, sekonden, dagen, de Maan enz. aanwijst, te berekenen, vermits al de getallen alsdan geheel en gemakkelijk te deelen zijn.§ 56.Eindelijk dient men aan te merken, dat al die berekeningen op dit kunststuk veel moeijelijker geweest zijn, dan op eenig anderplanetarium, vermits dit stuk niet afzonderlijk staat, maarnog met een Hemelsplein en met Maanwijzers verbonden is: want daar men, om zoo weinig raderen als mogelijk was te gebruiken, eenige derzelve zóó ingerigt heeft, dat zij de beweging, én naar hetplanetariumén tot het hemelsplein, én tot de Maanwijzers overbrengen, heeft men het getal takken zoo moeten uitzoeken, dat het tot alle die einden voldoende was.
§ 51.
Daar het mij meer dan eens is voorgekomen, dat sommige menschen zich verbeelden, dat er in het bestek van eenplanetariumte maken niet meer zwarigheden zijn, dan in dat van een uurwerk, vermits de uitwerksels, in beide gevallen, door een zeker getal raderen worden voortgebragt, zal het niet ondienstig zijn, kortelijk aan te toonen, welke de wezenlijke zwarigheden zijn, welke men in het vervaardigen van dergelijke werken aantreft. Ik versta hierdoor die zwarigheden, die het werk eigen zijn, en niet die, welke van plaatselijke omstandigheden afhangen.Eisinga, die zijnplanetariumnaar zijn vertrek schikken moest, heeft de zwarigheden van de laatstgemelde soort zeer dikwijls ondervonden. Dan was er een balk in den weg, dan weder iets anders. Dus had hij, bij voorbeeld, gaarne alle de planeten door middel van éénen as, met zes rondsels voorzien, doen bewegen, zoo alsHuigenshet ook gedaan heeft; doch de balken hebben hem daarin verhinderd; weshalve hij drie assen heeft moeten gebruiken. Hij had het uurwerk zoo ingerigt, dat het traagste rad ééns in 24 uren zoude omloopen, maar de zoldering der bedstede belette den slinger de noodige lengte te geven, om de seconden te slaan, waarom men een korter slinger heeft moeten gebruiken, en den bestemden toestel een weinig veranderen. In andere omstandigheden zal men dergelijke zwarigheden niet aantreffen.
§ 52.
Doch de wezenlijke zwarigheden, welke het werk zelf eigen zijn, bestaan voornamelijk hierin, dat men aan ieder rad het getal takken geven moet, hetwelk noodig is, om de beweging in den vereischten tijd te volbrengen. Die getallen worden door de omloopstijden, of hunne evenredigheid, uitgedrukt; doch deze zijn meest alle groote en gebrokene getallen, terwijl men echter aan de raderen noch eene onbepaalde grootte, noch een getal takken, dat een gebroken is, geven kan. Een voorbeeld zal de zaak ophelderen.
De Aarde loopt ééns rond in 8,765.812 u. (§14), de Maan, in harenkoppel-omloopstijd(revolutio synodica) ééns in 708.733 u. (§33,87). Dus staan die omloopstijden tot elkander als 8,765,812 tot 708,733. Maar men kan aan geen rad een getal van over de acht millioen, of over de zeven maal honderd duizend tanden geven, waarom er tweekleineengeheele getallenmoeten gevonden worden, die de zelfde evenredigheid als 8,765,812 en 798,733 hebben; dat is, de evenredigheid van 12,36828 tot 1.Eisingaheeft de getallen 99 en 8 gebruikt1, die, inderdaad, vrij naauwkeurig zijn: want zij staan tot elkander als 12.37500 tot 1. Dus zoude, volgens die rekening, de Maan op hetplanetarium, in honderd duizend jaren 1,237,500 malen omloopen; doch volgens de waarheid maar 1,236,828 malen; dus 672 malen te veel in honderdduizend jaren, ofStartFraction 672 Over 100000 EndFractiongedeelten van eenen omloop te veel in een jaar. Doch iedere omloop geschiedt in 708.733 u., zoodat de Maan hier ieder jaar ongeveer 4 u. 45 m. 46 s. vervroegt, of in iederen omloop ongeveer 23 m. tijds. De getallen 136 en 11 zijn ruim ½ naauwkeuriger dan 99 en 82; ook heeftEisingadie in eender maanwijzers gebruikt. Eindelijk zouden de getallen 235 en 19 zoo naauwkeurig zijn, dat de Maan in iederen omloop naauwelijks eene halve minuut tijds verachteren zoude, en in twee honderd veertien jaren naauwelijks een dag.
§ 53.
De geheele zaak komt dan op dit vraagstuk uit. „In plaats van twee groote en gebrokene getallen, twee kleine en geheele te vinden, die in de zelfde evenredigheid óf naauwkeurig staan, óf zoo ten naasten bij, dat er in langen tijd geen merkelijk verschil plaats hebbe.” Een moeijelijk vraagstuk, voorwaar! tot oplossing van hetwelkHuigens, de grooteHuigens, zich van eene nieuwe vinding, dieder gedurige breuken(fractiones continuae) bediend heeft3, enRoemerenCassini(welke mannen!) van de grootste naauwkeurigheid afgeweken zijn. Want daarRoemerdie getallen in zijn eersteplanetariumberekend, en in het tweede onveranderd gelaten, enCassiniaangetoond had, dat de bewegingen door dezelve voortgebragtzeer welmet die der planeten overeenkwamen4, heeft echterHorrebowaangetoond, dat de omloopstijd van Mercurius 55 m. tekort; die van Venus 1 u. en 50 m. te lang was, en zoo voorts tenaanzien der overige planeten; weshalve hij andere getallen vanRoemerberekend, en in de plaat, naast de eerstgemelde, gesteld heeft. JaHuigenszelf, die op zijnplanetariumde getallen 32 en 52 voor het rad en het rondsel van Venus gebruikt had, heeft naderhand gevonden, dat deze in Venus, in twintig jaren, eene vertraging van 3 gr. 37 m. te weeg brengen, daar de getallen 43 en 70 in dien zelfden tijd geen 15 minuten van de waarheid zouden afwijken.
§ 54.
Dit zij genoeg om aan te toonen, hoe moeijelijk het is, deze getallen met de vereischte naauwkeurigheid te vinden. Doch die moeite wordt merkelijk grooter, wanneer het werktuig door een uurwerk bewogen wordt; vermits men dan geen meester meer is, om aan het rad der Aarde, of aan het rondsel, dat dit rad in beweging brengt, een willekeurig getal tanden te geven; maar men dan dit getal zoodanig met de raderen van het uurwerk paren moet, dat dit de Aarde in 365 d. 5. u. 48 m. 45 s. ééns doe omgaan5, dat zeer moeijelijk is, omdat het getal 365.242187, dat den omloopstijd der Aarde in dagen uitdrukt, niet gemakkelijk in andere, vooral geheele, getallen deelbaar is. Men stelle, dat het rad van het uurwerk, dat de beweging aan de Aarde mededeelt, in 24 uren ééns omgaat, zoo zal de omloopstijd van dat rad tot dien van deAarde staan, als 1 tot 365.242187. Er moet dan een rad en een rondsel, of liever, vermits dit onmogelijk is, een zoodanig zamenstel van raderen en rondsels gevonden worden, dat de omloopstijd van het eerste rad tot dien van het laatste zij, als 1 tot 365.242187; dat is, dit getal moet in eenige geheele getallen gedeeld worden, die met elkander vermenigvuldigd, of 365.242187, of eene vermenigvuldiging daarvan uitmaken, hetgeen niet gemakkelijk is6.
§ 55.
Het blijkt dan uit het gezegde, dat die berekeningen vrij moeijelijk zijn, en dat zij, in haren aard, vrij wat verschillen van die, welke noodig zijn, om een gewoon uurwerk, dat de uren, minuten, sekonden, dagen, de Maan enz. aanwijst, te berekenen, vermits al de getallen alsdan geheel en gemakkelijk te deelen zijn.
§ 56.
Eindelijk dient men aan te merken, dat al die berekeningen op dit kunststuk veel moeijelijker geweest zijn, dan op eenig anderplanetarium, vermits dit stuk niet afzonderlijk staat, maarnog met een Hemelsplein en met Maanwijzers verbonden is: want daar men, om zoo weinig raderen als mogelijk was te gebruiken, eenige derzelve zóó ingerigt heeft, dat zij de beweging, én naar hetplanetariumén tot het hemelsplein, én tot de Maanwijzers overbrengen, heeft men het getal takken zoo moeten uitzoeken, dat het tot alle die einden voldoende was.
1Roemer, van wiens verrigtingen, zoo als gezegd is,Eisinganiets wist, heeft de zelfde getallen gebezigd.↑2De getallen, doorHuigensgebezigd, zijn nog naauwkeuriger; maarHuigensheeft tot de beweging der Maan vijf raderen, een groot en vier kleine, gebruikt; doch naderhand een eenvoudiger zamenstel van maar vierraderen uitgevonden.Mudge, een der beroemdste en kundigste Engelsche horologiemakers dezer eeuw, heeft eene zeer vernuftige wijze uitgevonden, om raderen in bepaalde omloopstijden, met de grootste naauwkeurigheid te doen bewegen.Maggellanheeft deze beschreven en op het voorbeeld van de gemiddelde beweging der Maan toegepast, in zijne beschrijving van het zeehorologie vanMudge, welke te vinden is in hetJournal de Physique de l’abbéRozier,Juin1778,tom.11, p. 541. Doch vermits er; om de gemiddelde beweging der Maan voort te brengen, 6 raderen, 4 rondsels en 2 schroeven zonder eind gebruikt worden, blijkt het, dat hetplanetarium, hethemelspleinen demaanwijzersongemeen zamengesteld zouden moeten zijn, indien men voor al deze stukken te zamen, en ieder der planeten in het bijzonder, de gemelde wijze gebruikte.↑3Gedurige breuken zijn dusdanige, waarin de noemer altoos uit een geheel getal en breuk bestaat, bij voorbeeldStartStartFraction 1 OverOver 2 plus StartFraction 1 Over 3 plus one-fourth EndFraction period EndEndFraction↑4Du Hamel,Histor. Acad.1680, p. 192.↑5HoewelHuigens, in het berekenen der evenredigheden van de omloopstijden der planeten met dien van de Aarde, dezen altijd op 365 d. 5 u. 50 m. gesteld heeft, voleindt echter de Aarde hare loopbaan op zijnplanetariumin 365 dagen: want (p. 166, plaat 3) het rad P, dat in 4 dagen omgaat, werkt met 4 tanden op bet rad O van 45 tanden; het rondsel Q van het rad O werkt met 9 tanden op het rad L van 73 tanden. Wanneer L ééns rond gaat, gaat de Aarde ééns rond: dus is de omloopstijd van P tot dien van L, zoo als 4 maal 9 lot 45 maal 73, of 4 tot 5 maal 73, of 4 tot 365. Maar P loopt ééns rond in 4 dagen: dus L, en bij gevolg de Aarde, ééns in 365 dagen. WaaromHuigensdit liever dan 365 d. 5 u. 50 m. verkozen heeft, is mij onbekend. Op de Leidschesphaerais de omloopstijd 365 d. 6 u. ongeveer.↑6Ziehier tot voorbeeld, om het gezegde op te helderen, hoe men het, onder anderen, zoude kunnen doen.Aan het rad A, dat in 24 u. eens omgaat, voegt men een rondselavan 13 tanden; dit werkt op het rad B van 49 tanden, waarvan het rondselbmet 10 tanden op het rad C van 51 tanden werkt; dit heeft een rondselcvan 5 tanden, dat op het rad D van 95 tanden werkt; dan zeg ik, dat de omloopstijden van A en D ongeveer zullen zijn als 1 tot 365.242187: want die tijden zijn zoo als hetproductder rondselen tot dat der raderen; dieproductenzijn als 13 maal 10 maal 5 tot 49 maal 51 maal 95, of als 13 maal 10 tot 49 maal 51 maal 19, of als 130 lot 47481, of als 1 tot 365.238460, hetwelkStartFraction 3727 Over 1000000 EndFractiongedeelten van de waarheid verschilt, of ieder jaarStartFraction 3727 Over 1000000 EndFractiongedeelten van eenen dag, dat is 5 m. 22 s., te klein zoude zijn, en dus in 300 jaren iets meer dan een dag van het ware zoude verschillen. Deze rekening strekke alleen tot een voorbeeld: want men kan zekerlijk nog nader bij de waarheid komen.↑
1Roemer, van wiens verrigtingen, zoo als gezegd is,Eisinganiets wist, heeft de zelfde getallen gebezigd.↑2De getallen, doorHuigensgebezigd, zijn nog naauwkeuriger; maarHuigensheeft tot de beweging der Maan vijf raderen, een groot en vier kleine, gebruikt; doch naderhand een eenvoudiger zamenstel van maar vierraderen uitgevonden.Mudge, een der beroemdste en kundigste Engelsche horologiemakers dezer eeuw, heeft eene zeer vernuftige wijze uitgevonden, om raderen in bepaalde omloopstijden, met de grootste naauwkeurigheid te doen bewegen.Maggellanheeft deze beschreven en op het voorbeeld van de gemiddelde beweging der Maan toegepast, in zijne beschrijving van het zeehorologie vanMudge, welke te vinden is in hetJournal de Physique de l’abbéRozier,Juin1778,tom.11, p. 541. Doch vermits er; om de gemiddelde beweging der Maan voort te brengen, 6 raderen, 4 rondsels en 2 schroeven zonder eind gebruikt worden, blijkt het, dat hetplanetarium, hethemelspleinen demaanwijzersongemeen zamengesteld zouden moeten zijn, indien men voor al deze stukken te zamen, en ieder der planeten in het bijzonder, de gemelde wijze gebruikte.↑3Gedurige breuken zijn dusdanige, waarin de noemer altoos uit een geheel getal en breuk bestaat, bij voorbeeldStartStartFraction 1 OverOver 2 plus StartFraction 1 Over 3 plus one-fourth EndFraction period EndEndFraction↑4Du Hamel,Histor. Acad.1680, p. 192.↑5HoewelHuigens, in het berekenen der evenredigheden van de omloopstijden der planeten met dien van de Aarde, dezen altijd op 365 d. 5 u. 50 m. gesteld heeft, voleindt echter de Aarde hare loopbaan op zijnplanetariumin 365 dagen: want (p. 166, plaat 3) het rad P, dat in 4 dagen omgaat, werkt met 4 tanden op bet rad O van 45 tanden; het rondsel Q van het rad O werkt met 9 tanden op het rad L van 73 tanden. Wanneer L ééns rond gaat, gaat de Aarde ééns rond: dus is de omloopstijd van P tot dien van L, zoo als 4 maal 9 lot 45 maal 73, of 4 tot 5 maal 73, of 4 tot 365. Maar P loopt ééns rond in 4 dagen: dus L, en bij gevolg de Aarde, ééns in 365 dagen. WaaromHuigensdit liever dan 365 d. 5 u. 50 m. verkozen heeft, is mij onbekend. Op de Leidschesphaerais de omloopstijd 365 d. 6 u. ongeveer.↑6Ziehier tot voorbeeld, om het gezegde op te helderen, hoe men het, onder anderen, zoude kunnen doen.Aan het rad A, dat in 24 u. eens omgaat, voegt men een rondselavan 13 tanden; dit werkt op het rad B van 49 tanden, waarvan het rondselbmet 10 tanden op het rad C van 51 tanden werkt; dit heeft een rondselcvan 5 tanden, dat op het rad D van 95 tanden werkt; dan zeg ik, dat de omloopstijden van A en D ongeveer zullen zijn als 1 tot 365.242187: want die tijden zijn zoo als hetproductder rondselen tot dat der raderen; dieproductenzijn als 13 maal 10 maal 5 tot 49 maal 51 maal 95, of als 13 maal 10 tot 49 maal 51 maal 19, of als 130 lot 47481, of als 1 tot 365.238460, hetwelkStartFraction 3727 Over 1000000 EndFractiongedeelten van de waarheid verschilt, of ieder jaarStartFraction 3727 Over 1000000 EndFractiongedeelten van eenen dag, dat is 5 m. 22 s., te klein zoude zijn, en dus in 300 jaren iets meer dan een dag van het ware zoude verschillen. Deze rekening strekke alleen tot een voorbeeld: want men kan zekerlijk nog nader bij de waarheid komen.↑
1Roemer, van wiens verrigtingen, zoo als gezegd is,Eisinganiets wist, heeft de zelfde getallen gebezigd.↑
2De getallen, doorHuigensgebezigd, zijn nog naauwkeuriger; maarHuigensheeft tot de beweging der Maan vijf raderen, een groot en vier kleine, gebruikt; doch naderhand een eenvoudiger zamenstel van maar vierraderen uitgevonden.Mudge, een der beroemdste en kundigste Engelsche horologiemakers dezer eeuw, heeft eene zeer vernuftige wijze uitgevonden, om raderen in bepaalde omloopstijden, met de grootste naauwkeurigheid te doen bewegen.Maggellanheeft deze beschreven en op het voorbeeld van de gemiddelde beweging der Maan toegepast, in zijne beschrijving van het zeehorologie vanMudge, welke te vinden is in hetJournal de Physique de l’abbéRozier,Juin1778,tom.11, p. 541. Doch vermits er; om de gemiddelde beweging der Maan voort te brengen, 6 raderen, 4 rondsels en 2 schroeven zonder eind gebruikt worden, blijkt het, dat hetplanetarium, hethemelspleinen demaanwijzersongemeen zamengesteld zouden moeten zijn, indien men voor al deze stukken te zamen, en ieder der planeten in het bijzonder, de gemelde wijze gebruikte.↑
3Gedurige breuken zijn dusdanige, waarin de noemer altoos uit een geheel getal en breuk bestaat, bij voorbeeldStartStartFraction 1 OverOver 2 plus StartFraction 1 Over 3 plus one-fourth EndFraction period EndEndFraction↑
4Du Hamel,Histor. Acad.1680, p. 192.↑
5HoewelHuigens, in het berekenen der evenredigheden van de omloopstijden der planeten met dien van de Aarde, dezen altijd op 365 d. 5 u. 50 m. gesteld heeft, voleindt echter de Aarde hare loopbaan op zijnplanetariumin 365 dagen: want (p. 166, plaat 3) het rad P, dat in 4 dagen omgaat, werkt met 4 tanden op bet rad O van 45 tanden; het rondsel Q van het rad O werkt met 9 tanden op het rad L van 73 tanden. Wanneer L ééns rond gaat, gaat de Aarde ééns rond: dus is de omloopstijd van P tot dien van L, zoo als 4 maal 9 lot 45 maal 73, of 4 tot 5 maal 73, of 4 tot 365. Maar P loopt ééns rond in 4 dagen: dus L, en bij gevolg de Aarde, ééns in 365 dagen. WaaromHuigensdit liever dan 365 d. 5 u. 50 m. verkozen heeft, is mij onbekend. Op de Leidschesphaerais de omloopstijd 365 d. 6 u. ongeveer.↑
6Ziehier tot voorbeeld, om het gezegde op te helderen, hoe men het, onder anderen, zoude kunnen doen.
Aan het rad A, dat in 24 u. eens omgaat, voegt men een rondselavan 13 tanden; dit werkt op het rad B van 49 tanden, waarvan het rondselbmet 10 tanden op het rad C van 51 tanden werkt; dit heeft een rondselcvan 5 tanden, dat op het rad D van 95 tanden werkt; dan zeg ik, dat de omloopstijden van A en D ongeveer zullen zijn als 1 tot 365.242187: want die tijden zijn zoo als hetproductder rondselen tot dat der raderen; dieproductenzijn als 13 maal 10 maal 5 tot 49 maal 51 maal 95, of als 13 maal 10 tot 49 maal 51 maal 19, of als 130 lot 47481, of als 1 tot 365.238460, hetwelkStartFraction 3727 Over 1000000 EndFractiongedeelten van de waarheid verschilt, of ieder jaarStartFraction 3727 Over 1000000 EndFractiongedeelten van eenen dag, dat is 5 m. 22 s., te klein zoude zijn, en dus in 300 jaren iets meer dan een dag van het ware zoude verschillen. Deze rekening strekke alleen tot een voorbeeld: want men kan zekerlijk nog nader bij de waarheid komen.↑