Chapter 12

image: page238.jpg

In de werkelijke beweging treedt niet de eene soort beweging, de "natuurlijke", langzamerhand in de plaats van de andere, die door uiterlijk geweld, b.v. door een stoot bewerkt wordt; beide zijn ze van 't begin af aan aanwezig, van het oogenblik af dat de knikker aan den rand gekomen is; beide blijven ze ook bestaan, en te zamen bewerken zij de werkelijke beweging. Deze beweging is een kombinatie van twee eenvoudige bewegingen, die ieder op zich zelf zóó plaats vinden, alsof de andere er niet was. Was de eerste beweging er alleen, zonder dat de knikker vallen kon — b.v. wanneer de tafel grooter was geweest — dan was hij na gelijke tusschentijden achtereenvolgens in a1, a2, a3, a4gekomen. Was hij eenvoudig van den tafelrand naar beneden gevallen, zonder horizontale beweging, dan was hij na dezelfde tijdsruimten in b1, b2, b3, b4gekomen. Doordat de knikker beide bewegingen tegelijk uitvoert, komt hij achtereenvolgens in c1, c2, c3, c4; de beweging, die horizontaal begon, wordt steeds sneller en steeds steiler, en zoo ontstaat de schijn, dat de eene beweging uitdooft en de andere er voor in de plaats komt.

Op die manier toonde Galilei aan (in een in 1638 verschenen werk vat hij al deze onderzoekingen samen) wat sindsdien als grondslag der mechanika geldt;dat een lichaam als het ware twee (of meer) bewegingen tegelijk kan hebben, die elk haar eigen wet volgen en wier samenvoeging eerst de werkelijk beweging geeft. Elke nog zoo ingewikkelde beweging kan volgens dit principe in de eenvoudige bewegingen, waaruit zij opgebouwd is, ontbonden en zoo verklaard worden.

Wanneer wij een steen recht omhoog gooien — b.v. met een snelheid van 20 M. per sekonde — dan begint hij dadelijk te vallen, en deze valbeweging vertraagt eerst de opstijgende beweging en doet haar vervolgens omkeeren. Door den eersten impuls alleen zou de snelheid zijn:

na 0 1 2 3 4 sekonden20 20 20 20 20 M. omhoog;

door het vallen daarentegen:

0 10 20 30 40 M. naar beneden;

dus is de werkelijke snelheid:

20 10 M. omhoog 0 10 20 M. omlaag.

Na 2 sekonden is dus het hoogste punt bereikt en begint het dalen. De afgelegde weg zou zijn, door de eerste werpsnelheid alleen:

0 20 40 60 80 M.

naar boven; door de valbeweging alleen is hij:

0 5 20 45 80 M.

naar beneden; dus is de werkelijk afgelegde weg:

0 15 20 15 0 M.

naar boven.

image: page239.jpg

De steen is in 't geheel 20 meter hoog gekomen, en na 4 sekonden valt hij met dezelfde vaart, waarmee hij naar boven geslingerd werd, op de aarde terug.

Hetzelfde geldt voor een steen, die schuin naar boven geworpen wordt; de gedaante van de baan, die hij dan beschrijft, is ieder bekend. Ontleden wij deze beweging in haar samenstellende bestanddeelen, dan zien wij, dat de steen door de eerste werpsnelheid in een rechte lijn schuin naarboven zou vliegen. Maar tegelijk begint hij te vallen, eerst langzaam en dan steeds sneller; daardoor is hij na 1 sekonde 5 Meter, na 2 sekonden 20 M., na 3 seconden 45 M. beneden die rechte baan gekomen. Nemen wij het geval, dat hij door de eerste werpsnelheid per sekonde 20 M. hooger zou komen, dan gaat alles juist als in het vorige voorbeeld, alleen met dit verschil, dat hij tegelijk in elke sekonde eenzelfde eind horizontaal voortvliegt. Zoo beschrijft hij dan zijn regelmatig gebogen baan, die in het midden een top heeft en vervolgens weer naar de aarde terugbuigt.

In de oude wereldleer stonden aarde en hemel door de natuur van hare bewegingen als twee geheel verschillende werelden tegenover elkaar. De natuurlijke beweging van de aardsche lichamen was rechtlijnig, bij de zware naar beneden, naar het middelpunt der wereld, bij de lichte naar boven. Zulke bewegingen hadden een doelwit en een einde; was een ding gekomen waar het behoorde, dan bleef het in rust, tot een vreemde kracht het gewelddadig stoorde. Anders de hemellichamen. Hun cirkelbeweging om het middelpunt had geen doel en geen einde; zij kon nooit ophouden, omdat elke reden tot ophouden ontbrak. Deze eeuwige nooit ophoudende cirkelbeweging, die zoo goed bij de onvergankelijkheid der hemellichamen zelf paste, had niets met de bewegingen op aarde gemeen en behoorde tot een geheel andere wereld.

De opvatting, dat een gelijkmatige eindelooze cirkelbeweging zoo eenvoudig en natuurlijk is en zoo vanzelfsprekend, dat zij geen verdere verklaring noodig heeft, beheerschte zelfs nog den geest van Galilei en hielp hem in 't begin om Zijne nieuwe ideeën aannemelijk te maken. Toen hij de stelling uitsprak, dat een bal, wanneer er maar geen wrijving was, over een horizontaal vlak steeds even snel voort zou blijven rollen, beriep hij zich er op, dat deze beweging toch eigenlijk niets anders dan een deel van een cirkelbeweging om het middelpunt der aarde was, en het dus eigenlijk vanzelf sprak, dat zij steeds met onverminderde snelheid voortging. Eerst na hem hebben anderen uit zijn onderzoekingenverdere gevolgtrekkingen afgeleid en de stelling geformuleerd — de zoogenaamdewet der traagheid— dat elk lichaam, waarop geen kracht van buiten werkt, zijn beweging behoudt:dat dus niet slechts de snelheid, maar ook de richting van zijn beweging steeds dezelfde blijft.

Nu moeten wij volgens het stelsel van Copernicus aannemen, dat voor de wereld der planeten geen andere natuurwetten kunnen gelden dan op aarde, daar de aarde toch zelf tot de planetenwereld behoort. Geldt dus dezelfde wet der traagheid voor de hemellichamen, dan is hun beweging in een cirkel niet meer een eenvoudige, vanzelfsprekende beweging; dan moet de cirkelbeweging uit eenvoudiger bewegingen en krachten verklaard worden. Wij spreken hier aldoor van cirkelbewegingen, omdat in dien tijd de wetten van Kepler nog geen aandacht getrokken hadden; men hield de banen der planeten meestal voor cirkels, en wij weten, dat ook volgens Kepler een cirkel zonder excentriciteit een mogelijke, en wel de eenvoudigste baan voor een planeet kan zijn. Eerst door de regelmatige cirkelbeweging uit de grondstellingen te verklaren, die voor de bewegingen op aarde gelden, kon de kloof, die hemel en aarde scheidde, voor goed gedempt worden. De weg daartoe wordt ons gewezen, wanneer wij op de beweging van een voortgeslingerd voorwerp nog nader ingaan.

Wij denken ons boven op een berg een kanon opgesteld, waaruit met groote snelheid een kogel precies horizontaal weggeschoten wordt. De kogel begint te vallen op hetzelfde oogenblik, dat hij uit den mond van het kanon vliegt; na 1 sekonde is hij 5 M., na 2 sekonden 20 M., na 3 sekonden 45 M. gevallen. Hij buigt dus in een kromme baan naar de aardoppervlakte en valt eindelijk op den grond neer. Wij denken ons de lucht met haar weerstand weg, want het is er ons niet om te doen de proef werkelijk uit te voeren; wij stellen ze ons alleen maar in gedachten voor. Nu is de aardoppervlakte niet vlak, maar gebogen. Trekt men daar, waar wij staan, een horizontale rechte lijn, dan zinkt het oppervlak naarmate men verder weggaat, steeds dieper onder deze lijn weg. De kogel bereikt den vasten grond dus in werkelijkheid niet zoo gauw, als bij een vlakke aarde het geval zou zijn; de vlakke aarde zou hij in A getroffen hebben, op de werkelijke gebogenaarde komt hij in B neer. Men kan met behulp van de meetkunde gemakkelijk berekenen, hoeveel het bolvormige aardoppervlak onder een horizontale lijn daalt, die wij van uit de plaats trekken, waar wij staan.

image: page242_a.jpg

Dit bedrag neemt evenredig met het kwadraat van den afstand tot deze plaats toe; 3,6 KM van ons verwijderd is het 1 M., twee keer zoover is het 4 M. enz. Op een afstand van 8 KM. is het 5 M., bij 16 KM is het tot 20 M., bij 24 KM is het tot 45 M. aangegroeid.1)

Wat zou er nu gebeuren als ons kanon, geweldiger dan allewerkelijk bestaande kanonnen, den kogel met een snelheid van 8 KM. per sekonde wegslingerde? Na 1 sekonde was hij dan 8 KM., na 2 sekonden 16 KM., na 3 sekonden 24 KM. ver weggevlogen; tegelijk was hij gaan vallen: na 1 sekonde 5 M., na 2 sekonden 20 M., na 3 sekonden 45 M. Maar nu daalt de aardoppervlakte op een afstand van 8 KM. juist 5 M., van 16 KM. juist 20 M., van 24 KM. juist 45 M., juist evenveel als de kogel op dezelfde afstanden gedaald is.

image: page243.jpg

De kogel is dus niets dichter bij de aarde gekomen; wel valt hij in een gebogen lijn, maar de aardoppervlakte is even sterk gebogen. Terwijl hij dus voortvliegt en evenver van de aarde blijft, blijft zijn baan steeds loodrecht op de richting van de zwaartekracht, is dus in elke volgende plaats wat daar horizontaal heet. De kogel blijft dus aldoor precies in dezelfde omstandigheden, steeds even hoog boven de aarde, steeds horizontaal en even snel voortvliegend; en voor elk verder punt van zijn baan geldt hetzelfde als voor zijn punt van uitgang. De beweging gaat dus ook verderop steeds op dezelfde wijze voort; de kogel blijft steeds even ver van het middelpunt der aarde verwijderd:hij beschrijft een cirkelbaan om de aardeen komt, anderhalf uur (nauwkeuriger 40000 K.M. / 7.89 K.M. == 5067 sekonden) na het schot van den anderen kant weer bij het kanon terug.

Zoo zien wij, hoe een cirkelbeweging tot stand komt.De cirkelbeweging ontstaat uit het samenwerken van de zwaartekracht en een voortsnellende beweging. Zonder de zwaartekracht zou de kogel in een rechte lijn voortgevlogen zijn, steeds verder van de aarde weg. Door de zwaartekracht wordt zijn baan tot een cirkel gebogen, evenalsook de baan van een schuin opgeworpen steen tot een kromme lijn gebogen wordt. De zwaartekracht bewerkt, dat de kogel, in plaats van weg te vliegen, in de buurt van de aarde vastgehouden wordt en in een kring om haar heen moet loopen. De zwaarte werkt hier niet als versnellende kracht, maar als een kracht, die aldoor de richting van de beweging verandert. Zij doet den kogel vallen, maar het is een vallen, dat het vallende lichaam niet dichter bij de aarde brengt: een vallen, dat alleen maar verhindert, dat het zich van de aarde verwijdert.

Zoo hebben wij dus uit een aardsch lichaam, dat aan de aardsche bewegingswetten gehoorzaamt, een hemellichaam gemaakt, ten minste wat den aard der beweging aangaat: een lichaam met een eeuwigdurende cirkelbeweging om een middelpunt. Natuurlijk alleen in gedachte; in werkelijkheid zou de weerstand van de lucht aan de beweging van onzen kogel gauw een eind hebben gemaakt. Maar buiten den dampkring bestaat deze hindernis niet; daar zou zulk een cirkelbeweging praktisch zeer goed mogelijk zijn. Hier hebben wij dus een verklaring voor de cirkelbeweging der hemellichamen uit de wetten der beweging, die op aarde gelden.Een cirkelbeweging om een middelpunt vindt haar oorzaak in een kracht, die naar dit middelpunt gericht is.

Tegelijk krijgen we hier nu een goed inzicht in de middelpuntvliedende kracht, die wij reeds bij de aswenteling van de aarde leerden kennen, maar die wij nu eerstgoed kunnen begrijpen.Het waren dan ook de onderzoekingen, dieChristiaan Huygens, in verband met zijn uitvinding van het slingeruurwerk, in 1673 over de middelpuntvliedende kracht bekend maakte, die het verband tusschen een aantrekkende kracht en een cirkelbeweging tot volkomen klaarheid brachten.

Als wij een steen of een ander zwaar voorwerp aan een touw in het rond slingeren, voelen wij dat het touw aan de hand trekt. Hoe komt dat? Wij kunnen antwoorden: door de middelpuntvliedende kracht; maar dan hebben wij het verschijnsel alleen maar een nieuwen naam gegeven. Wij passen dus dezelfde redeneering toe als hier boven. Kon de steen vrij zijn eigen weg volgen, dan zou hij rechtuit vliegen; dat zien wij ook gebeuren, als het touw breekt. Dat hij in een kring rondvliegt komt hierdoor,dat het touw een kracht op hem uitoefent, hem naar binnen trekt. Wat dat voor kracht is, zien wij nog beter, wanneer wij in plaats van een touw een elastiek nemen. Dit elastiek geeft eerst mee, wanneer de steen rechtuit vliegt; het wordt uitgerekt, omdat de steen zich daarbij van het middelpunt verwijdert. Maar door het rekken wordt het gespannen, en de veerkracht, waarmee het zich tracht samen te trekken, trekt aan den steen en dwingt hem in een cirkel rond te loopen, evenals de zwaartekracht in het vorige voorbeeld den kogel dwong, in een cirkel te loopen. Deze veerkracht voelen wij als een trekken van den steen aan de vingers, die het elastiek vasthouden, en deze trekkende kracht noemen wij middelpuntvliedende kracht. Datzelfde geldt nu ook voor een gewoon touw, alleen met dit verschil, dat de uitrekking, die de spanning veroorzaakt, zoo uiterst klein is, dat wij ze niet bemerken.De middelpuntvliedende kracht is eenvoudig de spanning in het touw, die den steen dwingt, in een cirkel rond te loopen.

Het kost nu ook geen moeite, te vinden, hoe groot de middelpuntvliedende kracht is; zij wordt gemeten door den afstand, dien zij in 1 sekonde den steen uit de rechte lijn, die anders zijn weg zou zijn, naar het middelpunt trekt.

image: page245.jpg

Beteekent in de onderstaande figuur m a het touw, en doorloopt de steen in 1 sekonde den weg a c, dan zou hij zonder touw en zonder deze kracht den weg a b zijn gegaan; het eindje b c is de werking van de spanning in 1 sekonde. Wij zien nu dadelijk, dat, wanneer de steen twee keer zoo snel in 'trond geslingerd werd, b c de werking der kracht in1/2sekonde is, en d e, de werking in 1 sekonde, viermaal grooter dan b c is; de middelpuntvliedende kracht wordt dus bij dubbele draaiingssnelheid vier keer zoo groot. Nemen wij eenviermaal zoo lang touw, dan wordt bij denzelfden tijd van draaiing de kracht vier keer zoo groot (g h == 4 x b c); dit viermaal langere touw moet in den dubbelen tijd rondgeslingerd worden, om dezelfde middelpuntvliedende kracht te krijgen (g h == d e). Wat wij vroeger (blz. 134) eenvoudig als resultaat van proefneming en berekening aangaven, vindt dus hier zijn bewijs.

Wij kunnen nu ook de middelpuntvliedende kracht, die uit de aswenteling der aarde ontstaat, beter begrijpen. Wij denken ons het geval, dat een aardsch voorwerp, ergens aan den evenaar, plotseling zijn zwaarte verliest. Wat gebeurt er dan mee? Het bewoog zich tot dusver met een snelheid van 463 meter per sekonde in een cirkel. Wordt het niet meer door de zwaarte tegen de aarde gedrukt, dan behoudt het eenvoudig de beweging, die het heeft, en het vliegt met zijn snelheid van 463 meter in een rechte lijn voort. Deze rechte lijn verwijdert zich steeds meer van het aardoppervlak; op 1 KM afstand is zij er 8 cM. boven, en dit bedrag neemt toe met het kwadraat van den afstand. Wij zouden dat gewichtlooze ding dus eerst gewoon met ons zien meeloopen; dan rijst het langzamerhand, na 1 sekonde 12/3cM., na 2 sekonden 7 cM.; steeds sneller schijnt het te stijgen: het is alsof een kracht — de middelpuntvliedende kracht — het in een gelijkmatig versnelde beweging omhoog trekt. Nu houdt in werkelijkheid de zwaarte de dingen op het aardoppervlak vast; omdat ze zwaar zijn, vallen ze naar beneden, maar toch niet zoo snel als zonder de draaiing der aarde. Laten wij een steen los, dan valt hij als vrij zwevend lichaam met de bekende versnelling naar beneden ten opzichte van de rechte lijn, die anders zijn baan zou zijn; deze rechte baan zou hem in 1 sekonde 12/3cM. boven de aarde opgeheven hebben; door de zwaarte valt hij in denzelfden tijd 490 cM. naar beneden; ten opzichte van het aardoppervlak valt hij dus 4881/2cM. naar beneden. De draaiing der aarde vermindert dus de valsnelheid en de zwaarte met1/300— wat wij vroeger reeds als uitwerking der middelpuntvliedende kracht vermeld hebben. Wanneer de aarde tweemaal zoo vlug draaide, zou het gewichtlooze voorwerp viermaal zoo snel stijgen; de valhoogte in de eerste sekonde zou dus bij de zware dingen viermaal zooveel, nl. 7 cM. minder zijn dan bij een stilstaande aarde, en in dezelfde verhouding zouden zij minder zwaar drukken. Wanneer de aarderuim 17 maal sneller om haar as wentelde, zou de stijging 300 maal grooter zijn, dus even groot als de daling door de zwaarte. Dan vallen de aardsche voorwerpen in het geheel niet meer, omdat hun zwaarte door de middelpuntvliedende kracht opgeheven wordt. Zij hebben in het geheel geen gewicht meer; vrij zweven ze met de draaiende aarde mee. Zij verkeeren in hetzelfde geval als onze kanonskogel van vroeger, want daar de aarde dan in 11/2uur om haar as wentelt, vliegen zij met een snelheid van 8 KM. per sekonde voort. Zij loopen dan als vrijzwevende hemellichamen om de aarde heen, dicht bij haar oppervlak, en hun zwaarte is juist voldoende hen in deze cirkelbanen te houden.

)

Omdat deze getallen als 't ware het fundament van de verdere uiteenzettingen vormen, vermelden wij de meetkundige stelling, waarop ze berusten. A en B zijn 2 punten van een cirkel en A C raakt den cirkel in A aan.image: page242_b.jpgUit de gelijkvormigheid der driehoeken A B C en A B D volgt, dat B C tot A B staat als A B tot A D. Bij de aarde geeft B C aan, hoever 't aardoppervlak onder de horizontale lijn, die de aarde in A raakt, op den afstand A B daalt.Deze daling staat tot den afstand, als de afstand tot de middellijn der aarde staat. Daar de middellijn van de aarde 12,7 millioen Meter bedraagt, levert het kwadraat van den afstand in kilometers, gedeeld door 12,7 het bedrag van de daling in meters. Op een afstand van 3.6 KM. is de daling 3.6 x 3.6 / 12.7 == 1.02 M.; bij 8 KM. is ze 8 x 8 / 12.7 == 5.04 M., en ze bedraagt 4.90 M. op een afstand van 7.89 KM., (want 7.89 x 7.89 == 62.25 en 4.90 x 12.7 == 62.23). Deze eenvoudige regel leert ons tevens, hoever men op aarde van verschillende hoogten uit kijken kan; voor wie zich in C op de hoogte C B boven de aarde bevindt, ligt de horizon in A, op een afstand A B. Zijn hoogte in meters, vermenigvuldigd met 12.7, levert het kwadraat van den afstand van zijn horizon in kilometers.

Dat de zwaarte niet enkel een aardsch verschijnsel is, was vroeger al dikwijls door schrijvers uit de oudheid en uit lateren tijd gezegd. De bolvormige gedaante van de hemellichamen wees er op, dat hun deeltjes op dezelfde wijze bij elkaar gehouden en naar een middelpunt getrokken werden als bij de aarde. Wij voerden reeds aan (blz. 178) wat Copernicus over de zwaarte bij andere lichamen schreef. Ook Kepler dacht er zoo over, en hij vergeleek de zwaartekracht met de magneetkracht, die kort te voren door den Engelschen arts Gilbert nauwkeurig bestudeerd was. "Zwaarte is een lichamelijke eigenschap, een wederzijdsch streven van verwante lichamen, om zich met elkaar te vereenigen en te verbinden (waartoe ook de magnetische kracht behoort) zóó, dat de aarde veel sterker den steen aantrekt dan de steen de aarde." Maar men was niet in staat, deze aantrekkende kracht met de beweging der hemellichamen in verband te brengen. Wel moest, zoodra de zon als middelpunt der planetenbanen erkend was, vanzelf de gedachte opkomen, dat in de zon ook de oorzaak voor het rondloopen der planeten ligt. "Daarvoor, dat de oorzaak van de planetenbeweging," schreef Kepler, "nergens anders dan in het zonnelichaam moet gezocht worden, spreken vooral twee feiten: ten eerste is de beweging van de verstverwijderde planeten het langzaamst, en ten tweede loopt elke planeet snellerof langzamer al naar haar afstand tot de zon, zóó, dat zij dicht bij de zon het snelst, ver van de zon het langzaamst beweegt." Maar hij zocht deze oorzaak in een wenteling van de zon, die de planeten meesleept en ze zoo in hun cirkels doet rondloopen. Dat een zwaartekracht, die de lichamen naar een middelpunt trekt, de oorzaak voor een kringloop om dit middelpunt is — dat kon bij niemand opkomen, zoolang niet de grondslagen der bewegingsleer tot op deze hoogte opgebouwd waren.

Eerst in de tweede helft van de 17deeeuw kon daarom de gedachte opkomen en tot een algemeene overtuiging worden, dat een aantrekkingskracht, die van de zon uitgaat, de beweging van de planeten veroorzaakt. Bewezen was het echter alleen nog maar voor een zuivere cirkelbaan, waarin de kracht en de snelheid altijd even groot blijven. De planeten daarentegen bewegen zich volgens de wetten van Kepler in ellipsen met wisselende snelheid. Is deze beweging ook door een van de zon uitgaande aantrekking te verklaren, en hoe verandert die kracht daarbij met den afstand? Men kon wel van te voren vermoeden, dat op grooter afstand de kracht zwakker moest worden; maar iets zekers was over de wet, die haar beheerschte, niet bekend.

Het antwoord op al deze vragen werd door een Engelsch geleerde,Isaac Newton, gegeven. Hij ging uit van de wetten van Kepler, waarvan de beteekenis nu eerst aan het licht trad, toen hij er door zijn wiskundig vernuft de wetten der aantrekkingskracht uit wist af te leiden.

Een cirkelbaan ontstaat door een kracht, die naar het middelpunt is gericht. Bij de planetenbaan staat de zon in een der brandpunten; is hier de kracht naar dat brandpunt gericht? Newton kon deze vraag met behulp van Kepler's wet der perken beantwoorden. Wanneer een lichaam de rechte lijn A B C zonder eenige uiterlijke kracht doorloopt, legt het in elke sekonde een even langen weg AB == B C af. De verbindingslijn van het voorwerp met een middelpunt M strijkt in de eerste sekonde over den driehoek A M B, in de tweede over den driehoek B M C, en deze beide driehoeken zijn even groot. Treedt nu echter voor een oogenblik, terwijl het in B is, een kracht op, die naar het middelpunt M gericht is en het lichaam in 1 sekonde naar d zou brengen, dan komt het door samenvoeging van de beide snelheden in D. Devlakte, die nu in de tweede sekonde door den voerstraal bestreken wordt, is driehoek B M D; maar deze driehoek is even groot als B M C — dus ook als A M B omdat ze de zijde B M gemeen hebben, en de toppen C en D even ver van deze grondlijn verwijderd zijn.

image: page249.jpg

Deze gelijkheid geldt alleen als C en D even ver van B M verwijderd zijn, dus wanneer d op de lijn B M ligt. Wanneer de in B optredende kracht, alleen, het lichaam op zij van de lijn B M zou aftrekken, dan waren de driehoeken niet gelijk; ze zijn het echter altijd, wanneer de kracht, die in B werkt, naar het middelpunt M gericht is; dan is de bestreken driehoek in de 2desekonde even groot als in de eerste. Dit geldt natuurlijk ook, wanneer de kracht niet enkel een oogenblik in B een stootje geeft, maar voortdurend werkt en zoo de baan regelmatig buigt. Newton kon op die manier als algemeene waarheid bewijzen, dat,wanneer bij een beweging de gelijkheid der perken ten opzichte van een centrum geldt, er een kracht werkt, die naar dit centrum gericht is; en omgekeerd geldt hetzelfde. En daar wij door de wet van Kepler weten, dat voor de planeten de gelijkheid der perken met betrekking tot de zon geldt, kon Newton als zijneerste wetvaststellen:de oorzaak van de planetenbeweging is een aantrekkingskracht, die naar de zon gericht is.

Uit de tweede wet van Kepler, die zegt dat de planetenbanen ellipsen zijn, was nu zonder moeite te vinden, volgens welke wet de aantrekkingskracht met den afstand tot de zon verandert. Daartoe vergelijken wij de beide plaatsen van de ellips met elkaar, die aan het einde der groote as tegenover elkaar liggen: de eene het dichtst bij de zon, de andere het verst er af. In die beide plaatsen heeft de baan precies denzelfden vorm, maar zij wordt er met verschillende snelheid doorloopen. Nemen wij zulk een ellips, dat de grootste afstand in C 2 maal zoo groot is als de kleinste afstand in A. Loopt de planeet op beide plaatsen hetzelfde stuk AB == C E in haar baan voort, dan wordt zij in beide gevallen door de zon een even groot bedrag b B == e E van den rechten weg afgetrokken.Maar deze valhoogten worden niet in denzelfden tijd doorloopen; de weg C E op den grooten afstand tot de zon eischt den dubbelen tijd, omdat hier de snelheid half zoo groot is als in A.

image: page250.jpg

Daar de valhoogte in een tweemaal grooter tijd viermaal grooter wordt, zou de planeet in C in denzelfden tijd slechts viermaal zoo weinig naar de zon toe vallen als in A; de valhoogte d D, die bij den halven weg C D en bij hetzelfde tijdsverloop behoort, is1/4van b B. De kracht, waarmee de zon de planeet van den rechten weg aftrekt, is dus in C viermaal kleiner dan in A. Wij kunnen dezelfde redeneering toepassen op een ellips, waarbij de grootste afstand tot de zon 10 maal grooter is dan de kleinste afstand; de weg in C zou dan voor een gelijk tijdsverloop 10 maal kleiner en de valhoogte 100 maal kleiner zijn dan in A. Zoo vindt men alstweede wetvan Newton:de van de zon uitgaande aantrekkingskracht neemt bij toenemenden afstand in verhouding tot het kwadraat van den afstand af.

Newton bewees streng wiskundig, dat dit ook voor alle andere punten van de ellips opgaat. Uit deze beide eerste wetten van Kepler laat zich dus de wet van de aantrekkingskracht volkomen afleiden. Maar wij kunnen de verandering met den afstand ook nog op andere wijze vinden, namelijk uit de derde wet van Kepler. Wij nemen daarvoor het geval van twee planeten, die zich in cirkels om de zon bewegen, de eene viermaal verder dan de andere. Naar de derde wet moet dan haar omloopstijd 8 maal grooter en haar snelheid half zoo groot zijn als bij de andere. Hebben beide hetzelfde gedeelte van hun baan afgelegd, dan zijn de weg A B en de valhoogte B C bij de verste planeet 4 maal grooter dan bij de andere; om dezelfde valhoogte b c te hebben, moet zij slechts halfzoover, tot D loopen. Deze weg A D is nog tweemaal zoo lang als a c en wordt tweemaal zoo langzaamdoorloopen, eischt dus den vierdubbelen tijd. Op viermaal grooter afstand van de zon is dus een viermaal grooter tijd noodig om door de werking der zonskracht eenzelfde hoogte te vallen; in gelijke tijden zou dus de valhoogte bij de verste planeet1/16van die bij de naaste planeet zijn; m. a. w: de aantrekking van de zon vermindert op viermaal grooter afstand tot een zestiende.

image: page251.jpg

Schijnbaar hebben we hier nog eens hetzelfde gevonden, wat wij al wisten. Maar er is toch een verschil. De eerste afleiding leerde ons, datdezelfdeplaneet, wanneer zij op den dubbelen afstand van de zon komt, viermaal zwakker aangetrokken wordt. De laatste afleiding leert ons daarentegen, dateen andereplaneet op den dubbelen afstand viermaal zwakker aangetrokken wordt dan de eerste; dus, dat verschillende planeten, op gelijken afstand van de zon geplaatst, even sterk door de zon worden aangetrokken en door die aantrekking een even groote versnelling krijgen. Daar wij mogen aannemen, dat de verschillende planeten nu niet precies dezelfde stoffelijke samenstelling hebben, volgt hieruit de derde wet van Newton:

de aantrekkingskracht is onafhankelijk van de bijzondere stoffelijke samenstelling der wereldlichamen.

Zoo was de oorzaak van de planetenbeweging volkomen opgehelderd. De wetten, die op grond van Kepler's berekeningen als niet meer dan ervaringsregels konden gelden, hadden hier tot een algemeene grondwet gevoerd, die ze in zich besloot. Daardoor verdween meteen hun toevalligheid; terwijl te voren niet in te zien was, waarom juist tusschen het kwadraat van den omloopstijd en de derde macht van den afstand een vaste betrekking moest bestaan, en waarom de banen juist ellipsen moesten zijn, kregen deze wetten van Kepler nu een innerlijke noodzakelijkheidals uitvloeisels van een veel algemeenere eenvoudige grondwet. De zon oefent op de planeten een aantrekkingskracht uit, die omgekeerd evenredig met het vierkant van den afstand afneemt en op verschillende stoffen even sterk werkt. Ten gevolge van deze aantrekking bewegen de planeten zich volgens de wetten van Kepler in hun banen.

Zoo was nu de beweging der planeten in vrijwel ronde ellipsen door een van de zon uitgaande aantrekkingskracht verklaard. Maar de zon is niet het eenige centrum, waaromheen zich hemellichamen in zulke banen bewegen: wij vermeldden reeds de manen, die om Jupiter rondloopen; naderhand waren dergelijke manen bij Saturnus ontdekt, en om de aarde beweegt zich onze eigen maan. Dan moet voor die banen — die ook alle vrij ronde ellipsen zijn — dezelfde verklaring gelden;ook Jupiter en Saturnus bewerken door hun aantrekking de beweging van hun manen; ook van de aarde gaat een aantrekking uit, die de maan in haar baan houdt en van dezelfde natuur is als de aantrekkingskracht van de zon.

Maar kennen wij zulk een aantrekking der aarde niet al lang? Wanneer een steen door zijn zwaarte naar beneden valt, is het toch ook een soort aantrekkingskracht, die hem naar beneden trekt.Is misschien de kracht, die de maan in haar baan houdt, dezelfde kracht, die een steen doet vallen, en die wij tot nog toe zwaartekracht noemden?Deze vraag beteekent niet, of zij evenals de zwaartekracht werkt; dat weten wij al, want wij hebben in het begin de aardsche zwaarte als voorbeeld van een aantrekkende kracht gebruikt, waaruit een cirkelbeweging ontstaat. De vraag is, of de op de maan werkende kracht dezwaartekracht zelfis. Om ze te beantwoorden, behoefde men het niet bij ijdel vragen en filosofeeren te laten; de berekening kon het uitwijzen. Want wanneer de kracht, die de maan van den rechten weg trekt en haar zoo haar baan doet doorloopen, de zwaartekracht zelf is, moet zij bij de maan,die 60 keer verder van het aardmiddelpunt verwijderd is dan een voorwerp op het aardoppervlak, volgens de boven gevonden wet 60 x 60 == 3600 maal zwakker werken dan de zwaartekracht in onze omgeving; dan moet dus de valhoogte in één sekonde bij de maan 3600 maal geringer zijn dan 490 cM., de valhoogte in één sekonde op aarde. Newton voerde deze berekening reeds in het jaar 1666 uit. Hij nam, zooals toen in Engeland algemeen gedaan werd, voor de middellijn der aarde 34 millioen Parijsche voeten aan (wat met 11 millioen Meter overeenkomt); de afstand van de maan, 30 maal meer, wordt dan 330 millioen M., de lengte van haar baan 2070 millioen M. Deze baan wordt in 271/3dag == 271/3X 86400 == 2360000 sekonden doorloopen: per sekonde legt de maan dus een weg van 877 M. af. Naar den bekenden, vroeger vermelden regel (blz. 242) is dan de valhoogte van de maan in 1 sekonde 0.00117 M. == 1.17 millimeter (want 877 x 877 == 0.00117 x 660 millioen). De valhoogte op aarde moet dan 3600 maal grooter zijn; 3600 x 1.17 mM. == 4.21 Meter. De werkelijke valhoogte op aarde is echter 4.90 M., dus aanmerkelijk meer. Teleurgesteld legde Newton zijn berekeningen weg; zijn mooi en eenvoudig idee had de proef niet doorstaan, want uit de berekening was gebleken, dat buiten de gewone aardsche zwaarte nog een andere kracht op de maan moest werken.

Zoo meende hij. Maar in 1682 vernam hij toevallig, dat de Fransche graadmeting, die Picard in 1671 voltooid had, een belangrijk grootere waarde voor den omvang der aarde opgeleverd had dan hij had aangenomen. Hij had inderdaad de aarde en dus ook de maanbaan aanmerkelijk te klein aangenomen, hoewel Snellius vroeger al een veel juister bedrag gevonden had. Hij ging toen opnieuw aan het werk en nu met een heel ander resultaat. Neemt men, zooals het moet, voor den omvang der aarde 40 millioen M., voor de maanbaan 2400 millioen M. en voor haar middellijn 762 millioen M. aan (dus alles1/6à1/7meer), dan vindt men voor de snelheid van de maan 1017 M. per sekonde en voor haar valhoogte in één sekonde 1.36 mM. Dit met 3600 vermenigvuldigd, geeft 4.90 meter voor de valhoogte op aarde, precies wat het zijn moet.

Hetzelfde resultaat is ook nog op andere wijze af te leiden. Wij vonden vroeger, dat een kogel, horizontaal met zoo grootesnelheid afgeschoten, dat hij in een cirkelbaan om de aarde loopt, daarvoor 5070 sekonden == 1.41 uren noodig zou hebben. Zulke om de aarde rondloopende lichamen kan men zich ook verder van de aarde voorstellen; en wanneer de zwaarte op grooter afstand van de aarde met het vierkant van den afstand afneemt, moeten omloopstijd en afstand van al die lichamen aan de derde wet van Kepler gehoorzamen. Wat moet dan de omloopstijd van een lichaam zijn, dat onder de werking der zwaartekracht op maansafstand rondloopt? Is zijn afstand 60 maal zoo groot als bij onzen vroegeren kogel, dan moet zijn omloopstijd 466 maal zoo groot zijn (60 X 60 x 60 is nagenoeg 466 x 466) dus 466 x 1.41 uren == 657 uren == 271/3dag, precies de omloopstijd van de maan. Onder de werking van de aardsche zwaartekracht moet, wanneer ze volgens de wet van Newton afneemt, een lichaam op den afstand van de maan zich juist zoo bewegen als de maan het doet.De kracht, die de maan in haar baan doet loopen, is dus de aardsche zwaartekracht zelf.

Door deze ontdekking was meteen het wezen van de aantrekkingskracht der zon opgehelderd. Zij was niet een soort van magneetkracht, die "verwante" lichamen — zooals Kepler het uitdrukte — naar elkaar toedrijft; zij is niets anders dan de van ouds bekende zwaartekracht. Daarom noemde Newton haar ook, als een soort meer algemeen geldige zwaarte: degravitatie(gravitas is het latijnsche woord voor zwaarte): "de planeten graviteeren naar de zon," d.w.z. zij zijn zwaar naar de zon, zooals een steen zwaar is naar de aarde. De zwaartekracht huist in de aarde en trekt de steenen en ook de maan naar deze toe; zij huist in de zon en trekt alle planeten, ook de aarde, naar de zon toe; zij huist in de planeten, wat niet slechts hun manen bewijzen, maar ook hun ronde vorm aantoont. Zij moet dus aan alle wereldlichamen als eigenschap toekomen.

Is nu deze eigenschap aan die lichamen zelf gebonden? Zou een gedeelte van de zon, als het van de geheele zon gescheiden werd, niet ook nog een aantrekking uitoefenen? Wanneer men eenmaal weet, dat de aantrekking in alle wereldlichamen huist, ligt het voor de hand, haar ook aan de samenstellende deelen van deze lichamen toe te kennen, ende aantrekkingskracht van de zon als de totaalsom van de aantrekking vanal haar deelenop te vatten. Was de aantrekking tot nog toe alleen opgetreden als een op de wereldbollen werkende kracht, die hun beweging in ellipsen naar Kepler veroorzaakte, zoo kreeg zij nu een veel omvattender beteekenis:de aantrekking is een algemeene eigenschap van de stof. Op dit principe bouwde Newton in zijn hoofdwerk, dat in 1686 verscheen: "Wiskundige beginselen der natuurfilosofie," zijn theorie ter verklaring der hemelsche bewegingen op, die nog steeds als het fundament der astronomie en als een der belangrijkste aanwinsten der menschelijke kennis geldt. Dat was echter alleen mogelijk, doordat hij tegelijk de leer van de bewegingen en krachten, waarvan Galilei het begin opgebouwd had, tot algeheele klaarheid en volmaaktheid bracht.

Wij vonden, dat lichte en zware lichamen onder den invloed der zwaarte even snel vallen, of juister uitgedrukt, met dezelfde versnelling vallen. Wil dat zeggen, dat de aarde ze even sterk aantrekt? Natuurlijk niet; wij voelen met de hand het verschil in deze aantrekking als een verschil in zwaarte; een groote steen wordt door de aarde sterker aangetrokken dan een kleine, en de grootte van die aantrekking wordt ons juist door het gewicht aangegeven. Hoe komt het dan, dat de groote steen, die de grootste kracht ondervindt, niet veel sterker, met grooter versnelling valt, dan de kleine?

Het antwoord op die vraag wordt door het vroeger (bij de behandeling van de tegenwerpingen tegen de beweging der aarde) vermelde feit gegeven: een zelfde kracht brengt een licht voorwerp gemakkelijker in beweging dan een zwaar lichaam. Om bij verschillende lichamen — zoo werd daar gezegd — eenzelfde verandering in de voorhanden beweging (of rust) te bewerken, is een des te grooter kracht noodig, naarmate het lichaam zwaarder is. Wij kunnen nu echter het gewicht niet meer als de beste uitdrukking gebruiken voor de mate, waarin een kracht op een lichaam werkt; terwijl wij het vroeger voor iets hielden, dat voor elk lichaam vast bepaald en onveranderlijk was, weten wij nu, dat het gewicht, als werking van de aantrekkingskracht, met de plaats wisselt. Een ding, dat hier een pond weegt, zou op maansafstand gebracht, slechts1/3600van een pond wegen; en ook in Afrika weegt het minder dan hier. Toch zou eenzelfde stoot het daarginds geen grooter snelheid geven dan hier. Wat de werking van een kracht op een voorwerp bepaalt, is niet zijn gewicht, dat slechts iets uiterlijks en veranderlijks is, maar zijnmassa, die iets innerlijks en blijvends uitdrukt en ook wel alshoeveelheid stofbetiteld wordt. Bij de voorwerpen in onze omgeving, die alle onder de werking van dezelfde aantrekkingskracht staan, kennen wij de massa aan het gewicht; daarom spreken wij zoo dikwijls van gewicht, waar wij de massa bedoelen. Wie een pond suiker koopt, is het om een bepaalde massa, een bepaalde hoeveelheid suiker te doen; in Afrika bedoelt hij niet iets minder suiker te krijgen, al is het gewicht daar ook minder; het gewicht dient alleen om de juiste hoeveelheid af te meten.

Een steen, die 5 maal zoo zwaar is als een andere, heeft dus ook een 5 maal grootere massa en komt daarom 5 maal moeilijker in beweging; een 5 maal grootere kracht is noodig, om hem, als zij voortdurend werkt, dezelfde versnelling te geven. Wij kunnen nu onze vroegere stelling vanblz. 160scherper en juister uitdrukken:Om bij een voorwerp een bepaalde verandering der beweging te bewerken, is een kracht noodig, die evenredig is met de massa van het voorwerp.En daar wij vroeger reeds vonden, dat de versnelling in gelijke reden met de grootte van de kracht grooter of kleiner wordt, kunnen wij nog algemeener zeggen:de kracht is evenredig met het produkt van de door haar bewerkte versnelling en de massa van het voorwerp.

Nu is elke tegenstrijdigheid opgeheven. De groote steen van 5 pond wordt wel met een 5 maal grootere kracht door de aarde aangetrokken dan de steen van 1 pond; maar deze 5 maal grootere kracht moet een 5 maal grootere massa in beweging brengen, en daardoor krijgt de groote steen precies dezelfde versnelling als de kleine. En omgekeerd kunnen we nu zeggen: daar de ondervinding ons leert, dat alle voorwerpen bij het vallen dezelfde versnelling krijgen, besluiten wij daaruit — wat wij straks eenvoudig aangenomen hebben — dat bij al deze voorwerpen gewicht (de kracht van de aarde) en massa precies evenredig met elkaar zijn. Maar nu zal ons deze gevolgtrekking niet meer dienen, om iets over de grootte van de massa te weten te komen, doch omgekeerd, om een eigenschap van de aantrekkingskracht uit tedrukken. Om het verschil in gedrag tusschen verschillend zware lichamen vast te houden nadat wij ingezien hadden, dat gewicht en zwaarte zelf iets toevalligs en veranderlijks zijn, hebben wij daaruit de massa als eenvoudigst grondbegrip afgeleid, dat het verschil in gedrag der voorwerpen uitdrukt in een grootheid, die voor elk ding vast en onveranderlijk is. En vinden wij nu, uit de gelijkheid der versnellingen, dat gewicht en massa steeds in dezelfde verhouding tot elkaar staan, dan beteekent dit:de aantrekkingskracht, die de aarde op een voorwerp uitoefent, is evenredig met de massa van dit voorwerp. Omdat de groote steen een 5 maal grootere massa heeft,daaromwordt hij door de aarde 5 maal sterker aangetrokken, en daarom weegt hij 5 maal zoo zwaar.

Deze kracht hangt natuurlijk niet enkel van de massa van den steen (en van den afstand) af. Konden wij de aarde in twee helften verdeelen, dan zou iedere helft den steen nog maar met halve kracht aantrekken.De aantrekkingskracht is ook evenredig met de massa van het aantrekkende lichaam. Konden wij uit de aarde een steen van 10 pond, die misschien het duizendtrillioenste deel van de geheele aarde mag zijn, afzonderen en op zijn eentje op denzelfden afstand van ons als het aardmiddelpunt plaatsen, dan zou deze op onzen vijfpondssteen een aantrekking uitoefenen, die slechts een duizendtrillioenste van zijn gewicht, van 5 pond, zou bedragen. Maar wordt deze aantrekking nu enkel door den tienpondssteen op den vijfpondssteen uitgeoefend? De een is evengoed een deel van de aarde als de ander. Of trekken misschien alleen de groote lichamen de kleine aan? Wij behoeven slechts onzen tienponder in tien stukken van 1 pond te verdeelen, die ieder met een tiende van de eerste kracht den vijfponder aantrekken, om te zien, dat dat geheel onaannemelijk is. Wij kunnen de dingen niet in twee groepen verdeelen, zoo, dat de eene soort, de grooten, de aantrekking alleen uitoefenen, en de anderen, de kleinen, de aantrekking ondergaan. Ook de wereldlichamen bewijzen dat: de aarde ondergaat, als alle planeten, de aantrekking van de zon; zijzelf trekt de maan aan; waarom zou zij alleen op de maan en niet ook op de zon een aantrekkingskracht uitoefenen? Al zulke tegenstrijdigheden zijn alleen te vermijden, als men aanneemt, dat niet slechts sommigelichamen andere aantrekken, maardat alle lichamen elkaar aantrekken. De aantrekking werkt tusschen elke twee lichamen en tracht ze naar elkaar toe te trekken met een kracht, die van hun beider massa's op dezelfde wijze af hangt, en waarin beide volkomen dezelfde rol spelen; beide trekken aan en beide worden aangetrokken. Op het eerste gezicht lijkt het vreemd, dat, zonder dat wij het bemerken, de aarde de zon even sterk zou aantrekken als de zon de aarde; maar een kort nadenken toont ons, dat het niet anders kan zijn.

De aarde trekt den steen aan; maar met dezelfde kracht trekt de steen de aarde aan. Waarom valt dan alleen de steen naar de aarde en niet omgekeerd ook de aarde naar den steen? Er is geen enkele reden, waarom de aarde niet naar den steen toe zou vallen, want de aarde zweeft even vrij in de wereldruimte als de steen. Beide lichamen bewegen zich dus naar elkaar toe, de steen wordt naar beneden en de aarde met dezelfde kracht naar boven getrokken. Daar echter de aarde wel duizendtrillioen maal grooter is dan de steen, dus ook haar massa zooveel grooter dan die van den steen moet zijn, bewerkt dezelfde kracht bij haar een versnelling, die duizendtrillioen maal kleiner is dan bij den steen. In denzelfden tijd dat de steen een meter naar beneden valt, valt de aarde een trillioenste millimeter naar den steen toe, naar boven. En wie zou meenen, dat daardoor dan toch de plaats van de aarde in het heelal dit kleine bedrag gewijzigd zou worden, vergist zich ook nog daarin; want toen ik te voren den steen opbeurde, dus de aarde en den steen tegen hun wederzijdsche aantrekking in van elkaar verwijderde, door met de hand den steen aan te vatten en met de voeten tegen de aarde te drukken, werd de aarde ditzelfde bedragje van een trillioenste millimeter naar beneden geduwd, terwijl de steen een meter omhoog ging; bij het vallen nemen beide hun oude plaats weer in.

Wij zien hier nu, waarom wij de aantrekkingskracht eerst als een eenzijdige werking van het eene ding op het andere leerden kennen. Van de lichamen, bij welke wij haar ontmoetten, was altijd het eene veel grooter dan het andere, en daarom bemerkten wij alleen de beweging van het kleine lichaam: het vallen van den steen op de aarde, het rondloopen van de planeet om de zon — de beweging van het groote lichaam was onmerkbaar. Eerst doordeze theoretische redeneeringen konden wij tot het eigenlijke wezen doordringen. En zoo kon Newton zijn wet der aantrekking, onafhankelijk van planeten, zon en aarde, als een algemeene grondwet der natuur in dezen vorm vaststellen:

alle stofdeeltjes, die de lichamen van het heelal samenstellen, trekken elkaar aan met een kracht, die met beider massa evenredig is en omgekeerd evenredig met het vierkant van hun afstand.

Van een bepaalden afstand kan men natuurlijk alleen bij kleine deeltjes,van punten spreken. De aantrekking van een geheel lichaam is dan het totaal der aantrekkingen van al zijn deeltjes. De zwaarte van een steen ontstaat hierdoor, dat alle deeltjes die te zamen de aarde vormen en waarvan sommige dichtbij, vlak onder onze voeten liggen en andere zeer ver af, den steen aantrekken en deze aantrekkingen zich samenvoegen. Wiskundig laat zich bewijzen, dat bij eenbolvormiglichaam de totale aantrekking precies zoo groot is, als wanneer de geheele massa in zijn middelpunt verzameld was. De aarde trekt den steen op haar oppervlak en de maan in de verte juist zoo aan, alsof zij alleen met haar middelpunt aantrekt; deze eigenschap, waarvan wij als iets vanzelfsprekends al gebruik gemaakt hebben, veroorlooft, de wet der aantrekking ineens op groote wereldbollen toe te passen, en daarbij van "hun" afstand te spreken, evenalsof zij kleine punten zijn.

De massa van een hemellichaam bepaalt dus de aantrekkingskracht, die het uitoefent; deze massa is het grondelement, dat wij moeten kennen, om de aantrekking te kunnen berekenen; wij willen dus in de eerste plaats de massa van de zon kennen in verhouding tot die van de aarde. Daartoe moeten wij hun werkingen vergelijken, die voor de zon uit de beweging van de aardplaneet, voor de aarde uit de baan van de maan blijkt. Dat kan echter alleen, wanneer wij de grootte der aardbaan, d.w.z. den afstand van de zon tot de aarde nauwkeurig kennen.

In de oudheid was over dezen afstand niets zekers bekend; ook Copernicus, Tycho en Kepler behielpen zich nog met de uitkomst van Aristarchus (zieblz. 56). Maar juist ten tijde van Newton was zij voor het eerst met eenige zekerheid gemeten. Het daarbij toegepaste beginsel is hetzelfde als vroeger bij de maan uitgelegd is(blz. 80), alleen met dit verschil, dat niet de parallaxe van de zon zelf, maar van Mars bepaald werd, die in zijn oppositie veel dichter bij ons is. Daartoe diende de reis van Richer naar Cayenne in 1672. In Cayenne, waar Mars hoog aan den hemel stond, zag hij hem noordelijker tusschen de sterren staan, dan de sterrekundigen te Parijs, voor wie Mars laag in het Zuiden stond; dit verschil leverde de parallaxe en den afstand van Mars, en uit de tafels van Kepler was te zien, hoeveel malen de zon verder dan Mars van de aarde af stond. Zoo werd gevonden, dat de zon 20 000 aardstralen van ons verwijderd is en een parallaxe van 10 seconden bezit. Daar de maan 60 aardstralen verwijderd is, is de zon ruim 330 maal verder dan de maan van ons verwijderd.

Nu is de berekening van de massa der zon niet moeilijk meer. Wij stellen eerst de vraag: hoever zou een maan van de aarde verwijderd moeten zijn, om in een jaar rond te loopen? De derde wet van Kepler geeft het antwoord: daar het kwadraat van 131/3gelijk is aan de derde macht van 5,6, zal een maan, die 5,6 keer verder dan onze maan van de aarde verwijderd is, in 131/3maal langeren tijd, dus juist in een jaar rondloopen. Om de zon en de aarde beide loopt dan een hemellichaam in een jaar rond; maar de baan van het om de zon loopende lichaam is330/5.6== 59 maal grooter dan de andere. Alles in deze baan, dus ook het bedrag, dat het lichaam in 1 sekonde van den rechten weg afgetrokken wordt, de werking dus van de aantrekking de zon, is 59 maal grooter dan de werking van de aarde. Maar deze zonswerking vindt op 59 maal grooteren afstand plaats; 59 maal dichterbij, dus op gelijken afstand als de aarde op het om haar loopend lichaam werkt, zou ze nog 59 x 59 keer sterker zijn. Op gelijken afstand moet dus de werking van de zon 59 X 59 X 59 == 205000 maal sterker zijn dan die van de aarde.

Nu hebben de nauwkeurigste moderne metingen voor de parallaxe van de zon een nog iets kleiner bedrag, nl. 8.8 sekonden opgeleverd, dus een iets grooteren afstand, nl. 23400 aardstralen. Daarmee worden alle getallen eenigszins anders; de zon is in werkelijkheid 389 maal verder dan de maan van ons verwijderd; in plaats van 59 moet ruim 69 gelezen worden,en de massa van de zon is 330000 maal grooter dan de massa van de aarde.

Back to Index Next