De grondwet, die de beweging der wereldlichamen beheerscht, is nu bekend. In de wereldruimte bevinden zich meerdere bolvormige lichamen, een zeer groot, de zon, en vele kleinere. Zij trekken elkaar aan met een kracht, die evenredig is met hun massa's en omgekeerd evenredig met het vierkant van hun afstand. Deze kracht trekt hen uit den rechten weg, dien ze anders zouden volgen. Daar deze kracht nu bekend is, is ook te berekenen, hoe de lichamen zich bewegen. Terwijl tot nog toe de beweging der hemellichamen en haar wetten alleen maar uit de waarneming, de ervaring te vinden was, hebben wij nu een middel,om hun beweging door zuiver theoretische beschouwingen op het papier te berekenen en te voorspellen. De beweging van een hemellichaam berekenen wordt nu een zuiver theoretisch vraagstuk; dit is de groote taak dertheoretische sterrekunde. die als nieuwe wetenschap met Newton begint. Daarbij moet dan de juistheid van het uitgangspunt hierin blijken, dat wat door berekening gevonden wordt, in de praktijk aan den hemel ook werkelijk uitkomt.
image: page261.jpg
[Illustratie: Kegel met snede.]
Het eerst stelde Newton zich deze vraag: welke baan moet een lichaam doorloopen, dat door de zon aangetrokken wordt? Wij weten al, dat een ellips zulk een baan is; maar zij kan ook nog anders zijn. Met behulp van de hoogere wiskunde, waarvan de grondslagen in de 17deeeuw door Descartes, Leibnitz en Newton zelf gelegd waren. kon men bewijzen,dat de baan van een lichaam, dat door de zon volgens de wet van Newton wordt aangetrokken, altijd een kegelsnede moet zijn, met de zon in het brandpunt.
Wat is een kegelsnede? De naam zegt het reeds; de figuur, die men krijgt bij het doorsnijden van een kegel — een kegeloppervlak krijgt men door een lijn, die in één punt als draaipunt vastgehouden wordt (detop), langs een cirkel te laten glijden. Men kan deze figuren ook gemakkelijk te zien krijgen, zonder dat men iets doorsnijdt. Zet men een kaars (of een ander licht) op tafel, en houdt men een eindje daarvandaan een ronde schijf, b.v. een deksel, dan ziet men achter dat deksel op den muur zijn schaduw.
image: page262.jpg
De ruimte, die in de schaduw ligt en verder van het deksel aldoor breeder wordt, heeft de gedaante van een kegel, waarvan de vlam de top is, vanwaar de lichtstralen als rechte lijnen uitgaan. De muur doorsnijdt dezen donkeren kegel, en de doorsnee, de zwarte figuur op den muur, is een kegelsnede.
Houdt men het deksel rechtop tusschen de vlam en den muur, dan is de schaduw op den muur een cirkel. Wordt het deksel iets hooger en meer schuin gehouden, dan vertoont zich als schaduwfiguur de ons reeds bekende ellips (A). De ellips en de cirkel behooren beide tot de kegelsneden.
image: page262_b.jpg[Illustratie: Schaduwellipsen.]
image: page262_b.jpg[Illustratie: Schaduwellipsen.]
Houdt men het deksel steeds hooger en schuiner, dan ziet men de zwarte ellips op den muur naar boven sterk groeien (B); zij wordt langwerpiger, maar niet doordat zij smaller wordt; zij wordt breeder en beneden stomper, want de kleine as wordt grooter — maar doordat de groote as sterker toeneemt dan de kleine as.
Houden wij eindelijk het deksel zoo hoog, datde bovenrand juist boven de vlam komt, dan kan geen lichtstraal meer over dezen rand heen op den muur vallen, hoe hoog deze zich ook uitstrekt.
image: page263.jpg[Illustratie: Schaduwparabool. Schaduwhyperbool.]
image: page263.jpg[Illustratie: Schaduwparabool. Schaduwhyperbool.]
De schaduw is naar boven tot in het oneindige gegroeid, er is boven geen einde of spits meer en vanaf de benedenste top wordt zij naar boven steeds breeder (C). De begrenzing van de schaduw is nu eenparaboolgeworden, een lijn met twee oneindig lange takken, die in het begin, aan den top, sterk uiteenloopen, maar dan verder hoe langer hoe meer dezelfde richting krijgen, zonder ooit precies evenwijdig te worden. Wij kennen deze figuur ook al als den vorm van de baan, die een schuin naar boven geworpen steen volgt. Houden wij het deksel nog verder boven de vlam, zoodat het er ten slotte plat boven ligt (zooals in D), dan ziet men de beide takken van de parabool steeds verder uiteen buigen. Zulk een figuur heet eenhyperbool; de beide takken krijgen niet steeds meer dezelfde richting, maar naderen steeds meer tot twee schuin uiteenloopende rechte lijnen.
Cirkel, ellips, parabool en hyperbool zijn de verschillende soorten van kegelsneden. Alle cirkels en ook alle parabolen zijn gelijk van vorm en alleen verschillend in grootte. Daarentegen verschillen de ellipsen, en evenzoo de hyperbolen, onderling zeer in vorm; ellipsen kunnen ronder of langwerpiger zijn, en bij de hyperbolenkunnen de beide beenen in hun eindelijke richting een kleinen scherpen of een zeer grooten stompen hoek met elkaar maken. Een parabool is als een ellips op te vatten, waarvan het eene eind zich tot in het oneindige verwijderd heeft; en ook als een hyperbool, waarvan de hoek tusschen de beide beenen aldoor kleiner geworden is; zij is dus als een overgangsvorm tusschen de beide andere soorten te beschouwen.
Newton bewees nu, dat onder de werking van de door hem ontdekte aantrekkingskracht een lichaam zich noodzakelijk in een van deze kegelsneden moet bewegen. Willen wij zien, op welke wijze zulke banen ontstaan, dan doen wij iets dergelijks als bij ons oude voorbeeld, den kanonskogel, dien wij op aarde afschoten en die door de zwaartekracht van zijn rechten weg afgetrokken werd, Ergens in het zonnestelsel slingeren wij een voorwerp met groote snelheid zijwaarts weg: d.w.z. loodrecht op de richting naar de zon, en zien wat het dan, aan zijn lot overgelaten, uitvoert, Wij weten reeds, dat het bij een zekere bepaalde snelheid een cirkelbaan gaat beschrijven. Wat gebeurt er echter, wanneer het met eenkleineresnelheid weggeslingerd wordt?
image: page264.jpg
[Illustratie: Hoe een ellipsbaan ontstaat.]
Wanneer op aarde een kogel met een kleinere snelheid dan 8 KM wordt afgeschoten, komt deze al dalende steeds dichter bij de aardoppervlakte en valt eindelijk op den grond. Zoo gaat het ook met ons voorwerp, alleen met dit verschil, dat er geen vaste grond is, die het na korten tijd opvangt en tegenhoudt. Het gaat steeds voort met verder naar beneden te vallen, de baan wordt steeds steiler naar beneden gebogen en het voorwerp komt, terwijl de snelheid toeneemt, steeds dichter bij de zon. Het kan natuurlijk niet recht naar de zon toe vallen, want het behoudt altijd zijn zijdelingsche beweging: wij weten al, dat bij zulk een beweging de wet der perken geldt. Het schijnt, alsof het door zijn snelle vaart voorbij de zon zal schieten; maar hoe dichter het bij de zon komt, des te sterker buigt de sneltoenemende aantrekking van de zon zijn baan naar binnen. En eerst als het aan den anderen kant van de zon is gekomen, recht tegenover het punt van uitgang, gelukt dit voorbijschieten. Op die plaats is zijn beweging loodrecht op de richting naar de zon; hier is het voorwerp op zijn dichtst bij de zon gekomen, en van hier verwijdert het zich door zijn snelle vaart weer van de zon. Dan komen dezelfde verschijnselen van de eerste helft der baan in omgekeerde volgorde terug. De andere helft van de baan is precies het spiegelbeeld van de eerste; want als het voorwerp uit dit naaste punt bij de zon met dezelfde snelheid, waarmee het aankwam, teruggeslingerd werd, zou het denzelfden weg terug doorloopen hebben. Het verwijdert zich dus in de tweede helft der baan steeds verder van de zon, loopt daarbij steeds langzamer en komt eindelijk weer op zijn punt van uitgang met de beginsnelheid aan, zoodat het precies op dezelfde manier een tweeden omloop kan beginnen.
image: page265.jpg
[Illustratie: Verschillende ellipsbanen.]
Deze baan is een ellips, waarbij het punt van uitgang het uiteinde der groote as is, die het verst van de zon verwijderd is. Hoe kleiner de beginsnelheid en dus ook het in een bepaalden tijd overstreken perk, des te smaller en uitmiddelpuntiger is de ellips, des te kleiner de groote as, des te dichter komt de planeet bij de zon, des te korter is de omloopstijd en des te grooter de gemiddelde snelheid. Als uiterste grens kan men het geval nemen, dat het voorwerp in het begin in het geheel geen snelheid kreeg en regelrecht naar de zon toe viel. Wij vinden dus:wanneer een lichaam met kleiner snelheid dan die van den cirkel zijdelings weggeslingerd wordt, doorloopt het een ellips, waarbij het punt van uitgang het verste punt is, endie des te meer naar binnen ligt, des te excentrischer is en des te kleiner omloopstijd heeft, naarmate de beginsnelheid kleiner is.
Wij nemen nu het omgekeerde geval, waarbij het lichaam met een grootere snelheid dan die van een cirkelbaan weggeslingerd wordt. Het valt dan minder sterk naar de zon toe dan bij een cirkelbeweging — onze vroegere kogel, met nog grooter snelheid dan 8 KM. voortgeschoten, zou dan minder sterk naar beneden buigen dan het aardoppervlak, dus schijnbaar langzaam omhoog stijgen. Het voorwerp verwijdert zich dus van de zon en zijn beweging wordt langzamer. Het verkeert in hetzelfde geval als ons vorig lichaam, toen het het naaste punt bij de zon gepasseerd was en de tweede helft van zijn baan begon af te leggen. Het beschrijft dus óók een ellips en komt tegenover het punt van uitgang in het verste punt van zijn baan.Wanneer dus een voorwerp met grooter snelheid dan die van den cirkel zijdelings weggeslingerd wordt, beschrijft het een ellips, waarvan het punt van uitgang het dichtst bij de zon ligt, en waarvan excentriciteit, groote as en omloopstijd des te grooter zijn, naarmate de beginsnelheid grooter is.
Hoe grooter de snelheid, des te verder verwijdert zich het voorwerp van de zon, voordat deze het eindelijk terugbuigt en tot omkeer noodzaakt. Wordt de snelheid eindelijk nog grooter, dan heeft de zon geen kracht genoeg het voorwerp tot omkeer te dwingen. Het verwijdert zich steeds verder van de zon, wordt daarbij steeds langzamer en verwijdert zich, zij het ook in afnemende mate, steeds verder van de as der baan; de baan is als het ware een ellips met oneindig lange groote as geworden.Deze baan is een parabool. Nu heeft een parabool de eigenschap, dat zij aan haar top van een rechte lijn juist half zooveel afwijkt als een cirkel om het brandpunt. De valhoogte moet dus voor een parabool bij gelijken weg half zoo groot zijn als bij een cirkel. Om dezelfde valhoogte te vinden moet de afgelegde weg bij een parabool dus 1.41 maal zoo groot zijn als bij een cirkel (want 1.41 X 1.41 == 2).De baan wordt dus een parabool, als de beginsnelheid ruim 1,4 maal zoo groot is, als voor een cirkel noodig was.
Is de beginsnelheid nog grooter, dan is de zon nog veel minder in staat, het lichaam naar de as terug te trekken. Het verwijdert zich steeds verder van de zon en van de as, en vliegt ten slotte haast rechtuit in schuine richting de wereldruimte in.
image: page267.jpg
image: page267.jpg
De baan is dan een hyperbool geworden, waarvan de beide beenen des te verder uiteenstaan, naarmate de beginsnelheid grooter is.
Volgen wij zulk een voorwerp op grooten afstand van de zon, dan zien wij het, als het een parabool beschrijft, zich ongeveer in de richting van de as langzaam voortsleepen, alsof al zijn snelheid uitgeput is — inderdaad behoefde deze maar iets kleiner te zijn, en het voorwerp zou naar de as toe getrokken worden, en in een langgestrekte ellips naar de zon terug vallen. Op de hyperbool daarentegen snelt het met een flinke vaart voort, ennadert de snelheid bij de verwijdering van de zon steeds meer tot een eindbedrag, dat des te grooter blijft naarmate de beenen verder uiteen staan.
image: page268.jpg
Komt uit de diepten der wereldruimte een voorwerp aanvliegen, dan zal het onder aantrekking van de zon een hyperbool beschrijven; het nadert, steeds sneller loopend, de zon, vliegt in razende vaart in een boog om haar heen — door den top van de hyperbool — en vliegt aan den anderen kant weg, langzamerhand zijn vaart vertragend, om zich eindelijk, met zijn oorspronkelijke snelheid maar in andere richting voortsnellend, in de oneindige wereldruimte te verliezen. Was echter zijn oorspronkelijke eigen snelheid slechts uiterst gering, dan komt het in een parabool, eerst langzaam, dan steeds sneller op de zon aanvliegen, draait er met geweldige vaart in een boog omheen, en loopt dan naar denzelfden kant, vanwaar het gekomen is, steeds langzamer terug. De parabool is altijd een overgangsgeval, dat, evenals een cirkelbaan, wel nooit precies zal voorkomen. Al naar de snelheid iets beneden of iets boven de juiste waarde ligt, is de baan een uiterst langgestrekte ellips, of een spitse hyperbool; aan den top, vlak bij de zon verschillen deze figuren ook nauwelijks van elkaar.
Zoo heeft dus Newton de kennis van de banen der hemellichamen buitengewoon uitgebreid en dieper gemaakt. Terwijl de ervaring te voren slechts getoond had, hoe het bij sommige hemellichamen was, bewees hij door zijn theorie, hoe het noodzakelijk moest zijn. De ellipsen, die Kepler bij de planeten ontdekt had, bleken hier slechts het bijzondere geval van een veel algemeener regel te zijn. Zij zijn niet de eenige banen, die bij hemellichamen mogelijk zijn, als ze door de zon worden aangetrokken; maar zij zijn de eenig mogelijke banen voor hemellichamen, die altijd in de buurt van de zon blijven en voor altijd vaste leden van het zonnestelsel zijn. De andere banen behooren bij lichamen, die uit oneindige verte komen aanvliegen, het zonnestelsel eenmaal bezoeken en dan weer voorgoed verdwijnen.
In de aantrekkingskracht van Newton bezitten wij dus nu een algemeene wereldwet, die de wetten van Kepler als bijzonder geval omvat, maar zelf veel ruimer en algemeener is. Maar ook in anderen zin brengen de ontdekkingen van Newton ons verder dan wij door de wetten van Kepler waren. De beweging van de maan om de aarde en van de planeten om de zon, zooals die volgens de wetten van Kepler plaats vindt, hebben wij afgeleid uit de aantrekking, die de aarde op de maan, die de zon op de planeten uitoefent. Maar wij weten nu, dat omgekeerd ook de maan de aarde en elke planeet de zon aantrekt. Wat heeft dat voor gevolgen?
De maan trekt de aarde aan met dezelfde kracht als de aarde de maan aantrekt. Daar echter de massa van de aarde veel grooter is dan die van de maan (wij zullen verderop zien, dat ze 80 keer grooter is), bewerkt deze gelijke kracht bij de aarde een veel geringere, hoewel toch merkbare versnelling. De aarde valt dus eenigszins naar de maan toe. Hoe is dat mogelijk, zonder dat daarbij de afstand der beide lichamen vermindert? Doordat de aarde een klein cirkeltje beschrijft, dat bij deze versnelling behoort.
image: page269.jpg
De maan, die snel naar de aarde valt, beschrijft daardoor een grooten cirkel; de aarde met haar 80 maal kleinere versnelling beschrijft in denzelfden tijd een 80 maal kleineren cirkel — de figuur, waar m en e deze versnellingen voorstellen, is voor een veel geringer verschil der massa's, voor een verhouding van 1 tot 5 geteekend. In plaats van het middelpunt der aarde blijft nu een ander punt in rust, dat tusschen beide lichamen in ligt en wel 80 maal dichter bij de aarde; dit zoogenaamdegemeenschappelijke zwaartepuntvan aarde en maan is het werkelijke middelpunt van de groote maanbaan en de kleine aardbaan. Terwijl zij om dit punt heenloopen, staan zij natuurlijk altijd tegenover elkaar; is de Aarde in A2 aangekomen, dan is de maan in M2. Waren aarde en maan alleen in de wereld, dan zou dit gemeenschappelijk zwaartepunt in rust blijven. In werkelijkheid worden beide door de zon aangetrokken en moeten zij samen in een jaar om de zon loopen; daarbij volgt dan het gemeenschappelijk zwaartepunt precies de Keplersche ellips om de zon, en het middelpunt der aarde schommelt daaromheen, beurtelings in een maand wat vooruitloopend en wat achterblijvend, zooals de figuur toont, waar de afstand aarde—maan in verhouding tot de baan om de zon 40 maal te groot is geteekend.
image: page270.jpg
image: page270.jpg
Dit heen en weer slingeren, vooruitloopen en achterblijven der aarde, dat zich in de waarnemingen van de zon en van de planeten duidelijk verraadt, bedraagt ongeveer3/4van den straal van den aardbol. Het gemeenschappelijk zwaartepunt ligt dus nog binnen in het aardlichaam,3/4van den straal van het middelpunt verwijderd; en daar de afstand der maan 60 aardstralen bedraagt, is de maan 80 maal verder van dit zwaartepunt af dan het middelpunt der aarde; zoo vinden wij, dat de massa van de maan 80 maal kleiner is dan die van de aarde.
Terwijl wij dus uit onze eerste ervaring vonden, dat de maan om de aarde loopt, leert ons nu de theorie — die door nauwkeurige waarneming bevestigd wordt — dat dit niet geheel juist is:niet alleen loopt de maan om de aarde, maar ook de aarde loopt om de maan, of, juister nog: de aarde en de maan loopen beide om hun gemeenschappelijk zwaartepunt. Dit geldt natuurlijk evenzoo voor de zon en de planeten; daar is er echter niets van te bemerken, dat de zon zich beweegt, omdat de zon voor ons het vaste middelpunt is, waarvan wij niet zeggen kunnen hoe en of het zich beweegt, omdat elk vast punt van vergelijking ontbreekt. Bij de planeten treedt echter het pas gevondene op een andere manier te voorschijn.
Wanneer de maan een uiterst klein lichaampje was (dus hetgemeenschappelijk zwaartepunt in het middelpunt der aarde viel), zou zij een kring met den vollen afstand aarde—maan als straal beschrijven, dus een iets grooter kring, dan zij nu om het gemeenschappelijk zwaartepunt beschrijft. Toch zou de versnelling, waarmee zij naar de aarde valt, in beide gevallen dezelfde zijn. Hoe kan dat? Eenvoudig zoo, dat nu de kleinere cirkel in iets korter tijd doorloopen wordt dan het kleine lichaampje den grooteren cirkel zou doorloopen.De omloopstijd van de maan is dus kleiner dan de omloopstijd van een zeer klein maantje bij gelijken afstand zou zijn. Hoe grooter de massa van de maan is met betrekking tot die van de aarde, des te meer wordt haar omloopstijd verkleind; het is alsof een grootere aantrekkende massa dan de aarde haar doet rondloopen, en de berekening leert, dat zij zóó rondloopt, alsof de maanmassa bij de aardmassa in het middelpunt gevoegd was. Passen wij dit op de planeten toe, dan mogen wij zeggen, dat elke planeet zóó rondloopt, als een nietig klein planeetje op dien afstand zou rondloopen, dat niet door de zonsmassa alleen, maar door de zons- en planetenmassa te zamen werd aangetrokken. Voor elke andere planeet, als nietig klein lichaampje beschouwd, is het dus, alsof de zon een andere massa bezit.De derde wet van Kepler kan dus niet volkomen juist zijn; volkomen juist zou zij slechts zijn voor uiterst kleine planeetjes met onmerkbare massa. Dit komt wel nagenoeg uit, want de planetenmassa's zijn vergeleken met de zon uiterst klein; en daardoor kon Kepler zijn wet ook ontdekken. Zooals wel meer in de wetenschap voorgekomen is, heeft dus de uit de ervaring gevonden derde wet van Kepler tot de algemeenere aantrekkingswet geleid, en heeft deze algemeenere wet naderhand theoretisch de — wel is waar geringe — onjuistheid van haar eigen grondslag aangetoond. Zoo overwint elke vooruitgang der wetenschap, die op vroegere uitkomsten voortbouwt, tegelijk de onvolkomenheid van het vroegere.
Doch ook nog op andere wijze heeft de wet der aantrekkingskracht de wetten van Kepler onjuist gemaakt. Deze wetten gelden, naar onze afleiding, voor een planeet, die enkel door de zon wordt aangetrokken. Maar wij weten nu, dat op de planeten nog andere krachten werken, want alle wereldlichamen trekken elkaar aan.Een planeet wordt niet alleen door de zon, maarook door alle andere planeten aangetrokken. Zoo wordt ook onze maan niet enkel door de aarde, maar bovendien door de zon en de andere planeten aangetrokken. Door deze bijkomende krachten wordt de beweging van de maan en de planeten anders, dan wij tot nog toe aangenomen hebben.
Toen de waarnemingen der planeten in de 2dehelft van de 17deeeuw steeds talrijker en nauwkeuriger werden, viel het op, dat deze niet precies zóó liepen, als de tafels en de wetten van Kepler aangaven. Hun banen veranderden; zoo werden b.v. de baan en de omloopstijd van Jupiter langzamerhand kleiner, terwijl zij bij Saturnus grooter werden. Dat bracht de sterrekundigen in verlegenheid en zorg; en sommigen meenden reeds, dat de wetten van Kepler eenvoudig onjuist waren en verworpen moesten worden. Meer nog vond de meening ingang, dat de wetten van Kepler slechts op dezelfde wijze golden als het regelmatige stijgen en dalen van de temperatuur in den loop van het jaar; evenals het weer slechts in groote trekken aan deze wisseling gehoorzaamt en er in de details voortdurend op de onregelmatigste wijze van afwijkt, evenzoo wijken ook de planeten toevallig en onregelmatig nu eens zoo, dan weer anders een beetje van de gemiddelde normale Keplersche baan af. Was dit werkelijk het geval, dan was alle kans verkeken om in de wetenschap der sterrekunde tot grooter zekerheid en nauwkeurigheid te komen. Gelukkig kwam toen juist te rechter tijd de theorie van Newton en bewees,dat de planeten aan de wetten van Kepler ook niet precies kunnen gehoorzamen. De afwijkingen ontstaan echter niet door een onberekenbaar toeval; zij ontspruiten uit een bekende oorzaak, de onderlinge aantrekking der planeten. Daar de massa's der planeten gering zijn in vergelijking met de zonsmassa, zijn de daardoor bewerkte afwijkingen van de Keplersche wetten ook gering, en vertoonen zich als kleinestoringenvan den regelmatigen loop. En wat de hoofdzaak was: deze krachten en storingen waren nauwkeurig te berekenen, en geen onberekenbaar toeval kon meer een rol spelen in de beweging der planeten. Met vasten tred ging de wetenschap weer voorwaarts op den weg naar steeds hoogere volkomenheid.
Wel was de berekening van deze storingen moeilijk en stelde zij de hoogste eischen aan de wiskunde; de scherpzinnigste wiskundigen van de 18deen 19deeeuw hebben aan deze berekening deelgenomen, en de wiskunde werd zelf buitengewoon vooruitgebracht door de nieuwe taak, deze storingen nauwkeurig af te leiden.
image: page273.jpg[Illustratie: ISAAC NEWTON. (1643-1727)]
image: page273.jpg[Illustratie: ISAAC NEWTON. (1643-1727)]
Het vraagstuk, de bewegingen van de planeten en de maan enkel op grond van Newton's aantrekkingswet te vinden, werd voor het eerst volledig door den Franschen wiskundigeLaplaceopgelost, op wiens in 1799 verschenen "Mechanika des Hemels" de onderzoekers van de 19deeeuw voortbouwden. Laplace toonde aan, dat de planeten niet slechts kleine wisselende bedragen afwijken van hun regelmatige banen, maar dat deze ellipsen zelf ook langzaam hun stand en hun vorm veranderen. De richting van de groote as draait langzaam — bij de aarde hebben wij vroeger al gevonden, dat zij ten tijde van Hipparchus in November het dichtst bij de zon kwam en nu in Januari; de excentriciteit, de helling en de groote as van de baan veranderen alle zoo, dat zij in lange tijdsruimten beurtelings grooter en kleiner worden, De plaatsen der planeten te vinden was nu niet meer het oplossen van een eenvoudig meetkundig, maar van een moeilijk mechanisch vraagstuk, dat lange berekeningen eischte. Maar daardoor werd ook een nauwkeurigheid in de uitkomst verkregen, die vroeger onbereikbaar scheen. Kepler was tevreden, dat zijn tafels geen grooter fout dan een paar minuten overlieten; nu werd dit honderdmaal overtroffen. Tegelijk is door het gebruik van den verrekijker de nauwkeurigheid der waarnemingen in dezelfde mate toegenomen; daardoor kon de juistheid der berekeningen op een uiterst scherpe proef gesteld worden, en deze proef hebben zij schitterend doorstaan;tot op bijna onmerkbare kleinigheden bleken berekening en waarneming overeen te stemmen. Deze overeenstemming van de berekende storingen met de werkelijkheidlevert even zoovele nieuwe bevestigingen van de aantrekkingswet van Newton, als er verschillende storingen zijn. Wat in iedere wetenschap als maatstaf van volkomenheid geldt: de nauwkeurigheid en zekerheid, waarmee zij toekomstige verschijnselen voorspelt, maakt de wet van Newton tot een der stevigste grondslagen van het menschelijk weten, tot een van de schitterendste veroveringen van den menschelijken geest.
Op bijzonder treffende wijze werd deze zekerheid der sterrekundige wetenschap door een ontdekking bewezen, die in hetmidden van de 19deeeuw buitengewoon opzien wekte. In 1781 ontdekte de Engelsche sterrekundige Herschel op de grens van den Stier en de Tweelingen een nieuwe planeet, die als een voor het bloote oog amper zichtbaar sterretje langs de ekliptika wandelt en een kring beschrijft, die bijna 2 maal zoo groot is als die van Saturnus. Zij kreeg den naamUranus; haar gemiddelde afstand tot de zon is 19,2 maal zoo groot als die der aarde en haar omloopstijd is 84 jaren. Haar baan was spoedig uit de waarnemingen berekend — zij was ook al vroeger in de 18deeeuw waargenomen, maar steeds voor een gewoon sterretje gehouden — en ook haar storingen door de aantrekking der andere planeten werden nauwkeurig berekend. Maar in het begin van de 19deeeuw bleek, dat zij niet zoo liep, als zij naar de berekening moest loopen. Bij de sterrekundigen zette zich steeds meer het denkbeeld vast, dat nog een onbekende kracht op haar moest werken, en het vermoeden werd uitgesproken, dat er een nog verder verwijderde planeet moest bestaan, die door haar aantrekking deze afwijkingen veroorzaakte. Twee jonge wiskundigen, Le Verrier te Parijs en Adams te Cambridge (in Engeland), gingen, zonder van elkaar te weten, bijna tegelijk aan het werk om uit de afwijkingen bij Uranus af te leiden, waar deze onbekende planeet zich bevond. Door aan te nemen, dat zij nagenoeg tweemaal zoo ver als Uranus van de zon af moest staan, gelukte het inderdaad haar plaats te berekenen, en op aanwijzing van Le Verrier werd in 1846 in Berlijn de onbekende niet ver van de berekende plaats, in den Waterman, inderdaad gevonden. Het bleek weldra, dat deze planeet, die den naamNeptunuskreeg, aanmerkelijk dichter bij de zon rondloopt, dan aangenomen was; de gemiddelde afstand tot de zon overtreft dien der aarde 30 maal en de omloopstijd is 164 jaar. Men begrijpt licht, dat deze ontdekking een buitengewonen indruk maakte; nooit te voren was de macht der wetenschap aan het groote publiek zoo duidelijk voor oogen gevoerd, als door de theoretische ontdekking van een onbekend hemellichaam, en de onmiddellijke bevestiging door de waarneming. Natuurlijk beteekende dat niet, zooals toen onder den indruk van de eerste geestdrift wel gezegd werd, dat nu inderdaad de wet van Newton afdoende bewezen was. Deze wet stond vóór de ontdekking van Neptunus even vast als daarna; elke vooruitberekening van deplaats van een planeet volgens de theorie en de latere bevestiging hiervan door de waarneming levert evengoed een bewijs voor de juistheid van Newton's theorie, als de ontdekking van Neptunus.
Le Verrier heeft vervolgens ook van de overige planeten alle storingen nauwkeurig volgens de theorie berekend, en tegelijk uit alle waarnemingen de werkelijke banen der planeten met de uiterste zorgvuldigheid afgeleid. En in alle gevallen bleek een volkomen overeenstemming tusschen de theorie en de praktijk te bestaan — met één uitzondering. De richting van de groote as van de Mercuriusbaan draait iets (43 sekunden per eeuw, dus een graad in 8400 jaar) sneller rond dan uit de aantrekking der andere planeten berekend wordt. De oorzaak van deze afwijking, waarvoor allerlei verklaringen bedacht zijn, is eerst onlangs, zooals hierna zal blijken, opgehelderd.
Reeds in het begin van onze waarneming der hemelverschijnselen leerden wij den loop van de maan in groote trekken kennen. Wij zagen toen, dat zij in 271/3dag regelmatig in een kring om de aarde loopt. Vervolgens hebben wij het een en ander over haar plaats in het heelal afgeleid; eerst vonden wij, dat zij veel dichter bij de aarde is dan eenig ander hemellichaam; vervolgens bleek het ons, dat zij alleen de aarde trouw bleef, toen alle planeten naar de zon als middelpunt overgingen, en dat zij met de aarde te zamen een jaarlijkschen kring om de zon beschrijft. Ook leerden wij de oorzaak van haar beweging in de aantrekkingskracht der aarde kennen en leidden theoretisch af, dat zij niet om het aardmiddelpunt, maar om het gemeenschappelijk zwaartepunt als middelpunt van haar baan beweegt. Maar bij al deze uitbreiding van onze kennis hebben wij nog steeds verzuimd, haar beweging in alle kleinere details te onderzoeken. En er is alle reden tot zulk een onderzoek, omdat de maan een aantal merkwaardige bijzonderheden en onregelmatigheden vertoont, die wij bij andere hemellichamen niet aantreffen.
Enkele moesten reeds aan de eerste waarnemers in het oog vallen, en wij hebben deze ook in ons 8steHoofdstuk vermeld. De verduisteringen toonen, dat demaanbaan iets schuin staat ten opzichte van de ekliptikaen deze in twee tegenover elkaar liggende punten, de knoopen van de baan, snijdt. En wij vonden uit het steeds vroeger vallen der eklipsen, datde knoopen van de maanbaan langs de ekliptika terugloopen, en in 18 jaar 7 maanden de geheele ekliptika rondwandelen, De maan komt dus bij haar knoopen telkens wat sneller terug dan haar omloopstijd bedraagt. Terwijl de omloopstijd gemiddeld 27 dagen 7 uren 43 minuten 11 sekonden bedraagt, verloopen tusschen twee opeenvolgende doorgangen door denzelfden knoop 27 dagen 5 uren 5 minuten 36 sekonden, dus 21/2uur minder.
Hiertoe beperkte zich echter de kennis der maanbeweging bij de volken der oudheid niet. Wij namen tot dusver aan, dat de maan een regelmatige cirkelbeweging volbrengt. Is dat juist, dan moet de tusschentijd tusschen twee opeenvolgende verduisteringen altijd een vol aantal maanperioden zijn, of precies een halve maanperiode meer. Dat dit niet uitkomt, toont reeds onze lijst van verduisteringen opblz. 60, ofschoon de tijd daar maar ruw, in volle uren aangegeven is. Tusschen een zons- en een maansverduistering, die 14 dagen uiteen liggen, vinden wij daar als tusschentijd: in 1891 13 d, 22 u., in 1898 14 d. 7 u., in 1901 14 d. 16 u., in 1905 15 d. 10. u., in 1912 15 d. 14 u., terwijl een halve maanperiode 14 d. 18 u. is. Door eklipsen te vergelijken, die een half jaar, dus 51/2of 61/2maanperiode uiteen liggen, zouden wij uit die lijst nog meer gegevens kunnen krijgen. Maar deze zijn al voldoende om aan te toonen, dat de maan de eene helft van de ekliptika gemiddeld met een andere snelheid doorloopt dan de andere. De afwijking loopt tot 20 uren op, waarin de maan 10 graden aan den hemel doorloopt; in een halven omloopstijd legt de maan dus soms 10 graden meer, soms 10 graden minder af dan de halve omtrek des hemels.
Naar hetgeen wij van de planeten weten, ligt de verklaring van deze onregelmatigheid dadelijk voor de hand. In het kader van de Grieksche sterrekunde zouden wij zeggen, dat de aarde niet in, maar1/11buiten het middelpunt van de maanbaan staat. In het kader van onze moderne sterrekunde zeggen wij:de maanbeschrijft om de aarde volgens de wetten van Kepler een ellips met een excentriciteit van ongeveer1/22. Probeeren wij nu echter de ligging van de groote as van haar baan te vinden, waarin zij het dichtst bij en het verst van de aarde komt, dan stooten wij op nieuwe moeilijkheden. Wij kunnen bij de boven opgegeven tusschentijden tusschen twee eklipsen bijschrijven, welk deel van de ekliptika zoo snel of zoo langzaam doorloopen werd, om zoo te vinden in welke lengte haar snelheid het grootst en het kleinst was. Doen wij dit, dan verkrijgen wij de meest tegenstrijdige uitkomsten; hetzelfde deel van de ekliptika, dat in 1891 zeer snel doorloopen werd, kostte in 1912 den langsten tijd. Uit deze weinige gegevens laat zich dus niets zekers vinden; de oplossing van het vraagstuk blijkt echter spoedig, wanneer wij ons niet tot eklipsen beperken, maar zoo dikwijls mogelijk de plaats van de maan tusschen de sterren waarnemen.
image: page277.jpg
Dan blijkt, dat de snelheid van de maan langs den hemel beurtelings grooter en kleiner wordt, zooals bij een beweging in een ellips behoort, en het is niet moeilijk de plaats te vinden, waar de snelheid het grootst en de maan het dichtst bij de aarde is. Doen wij zulke waarnemingen van jaar tot jaar, dan vinden wij,dat de richting van de groote as regelmatig verandert, 40 graden per jaar, en in 9 jaren in dezelfde richting als de maan eenmaal den geheelen hemel rondloopt. Hoe deze beweging in een ellips plaats vindt, die zelf langzaam ronddraait, toont nevenstaande figuur in zeer overdreven maatstaf. De maan komt minder snel in haar grootste nabijheid tot de aarde terug, dan zij haar omloop voltooit; dat tijdsverloop duurt nl. gemiddeld 27 dagen 13 uren 18 minuten 37 sekonden, dus 51/2uur langer dan de omloopstijd. In deze periode neemt dus de snelheid van de maan regelmatig toe en af. De juiste waarde voor den draaiingstijd der groote as is 32321/2dag, dus 8 jaar 3101/2dagen.
Hier rijst de vraag hoe het bij zulk een sterke wisseling in dentusschentijd tusschen twee verduisteringen dan toch voor de oudheid mogelijk was, een bepaalde Sarosperiode te vinden, waarna de eklipsen op dezelfde manier terugkwamen. Wij vonden immers, dat ze na 18 jaar en 15 dagen terugkwamen, maar dan steeds 8 uren later. Het antwoord is, dat de Sarosperiode zeer weinig van de dubbele draaiingsperiode der groote as verschilt; na 18 jaren vallen de kleinste en de grootste afstand tot de aarde weer op dezelfde plaats, en daarom volgen de verduisteringen dan weer met denzelfden tusschentijd op elkaar.
De kennis van deze ongelijkheden in de maanbeweging behoort tot de vroegste aanwinsten der wetenschap. Uit eeuwenlange waarnemingsreeksen hadden reeds de Babyloniërs de perioden gevonden, waarna de verduisteringen terugkeeren; en deze kennis gebruikten zij, om den tijd van volle en nieuwe maan nauwkeurig vooruit te berekenen. Uit de bewaard gebleven inschriften in spijkerschrift op gebakken kleitafeltjes, die door de AssyriologenEppingenKuglerontcijferd zijn, blijkt, dat de Babylonische priesters ten minste in Tateren tijd de maanperioden, den omloopstijd der knoopen en de periode, waarin de snelheid der maan af- en toeneemt, zeer nauwkeurig kenden en wisten te gebruiken. Zij hadden b.v. gevonden, dat in 251 maanperioden (ruim 20 jaren of 271 maansomloopen) de maan precies 269 maal haar grootste nabijheid tot de aarde bereikt, en dat dus na dit tijdsverloop volle en nieuwe maan weer met dezelfde tusschentijden op elkaar volgen. Ook wisten zij, dat de maan in 5458 perioden (441 jaren of 5899 werkelijke maansomloopen) 5923 maal bij denzelfden knoop terugkomt, zoodat na dit tijdsverloop de verduisteringen zich op dezelfde manier herhalen. Van de Babyloniërs hebben de Grieken de kennis van deze perioden gekregen.
De belangstelling van de Grieksche sterrekundigen voor de maan ging echter verder dan het voorspellen van eklipsen en nieuwe manen. Zij hadden zich een voorstelling gevormd, hoe de hemellichamen door de wereldruimte loopen; zij trachtten hun beweging door een systeem van cirkelbanen voor te stellen en letten dus ook op de maan in andere gedeelten van haar baan. Daarbij ontdekte Ptolemaeus, dat de plaats van de maan in eerste en laatste kwartier heelemaal niet uitkwam met de baan, die uit de verduisteringen was afgeleid; en het gelukte hem ook hetkarakter van deze onregelmatigheid, dieevektiegenoemd is, vast te stellen.
image: page279.jpg
Wanneer de zon op zij staat, in de richting loodrecht op de groote as van de maanbaan (zooals in de bovenste figuur), is de maan in eerste en laatste kwartier het dichtst bij en het verst van de aarde; volle en nieuwe maan verdeelen de baan in twee helften, die met ongelijke snelheid doorloopen worden; en wij vonden reeds, dat dan in den halven omloopstijd 10 graden meer (of minder) dan de halve hemelomtrek doorloopen wordt. Drie maanden later staat de zon in de richting van de groote as (als in de tweede figuur), volle en nieuwe maan vallen samen met den grootsten en kleinsten afstand der aarde; zij verdeelen de maanbaan in twee gelijke helften, en uit de verduisteringen kan de excentriciteit niet gevonden worden. Deze moeten wij vinden uit eerste en laatste kwartier, die nu de baan in twee ongelijke helften verdeelen; en zij toonen, dat nu in een halven omloopstijd niet 10 graden, maar 15 graden meer (of minder) dan de helft van de ekliptika doorloopen wordt.De excentriciteit van de maanbaan wordt afwisselend grooter en kleiner; zij is het grootst, wanneer de groote as naar de zon gericht is, het kleinst, wanneer deze op zij van de groote as staat.
De verduisteringen konden ons alleen de kleinste excentriciteit doen kennen; de grootste is 11/2maal zoo groot en gemiddeld is de excentriciteit van de maanbaan dus1/18. Ptolemaeus probeerde deze onregelmatigheid door een bijzonder stel van epicykels voor te stellen; maar het is te begrijpen hoe ingewikkeld en onbevredigend hier de geheele epicykeltheorie moest worden. En toch is juist de evektie een sterke steun voor de epicykeltheorie geworden. Want zij was een onregelmatigheid in de maanbeweging, die vanden stand van de zon afhing, evenals bij de planeten ook een samenhang met de zon bestaat. Anders had de door de zon beheerschte epicykelbeweging bij de planeten twijfel kunnen wekken, of de aarde wel het echte middelpunt was; nu werd deze twijfel opgeheven door de overweging, dat zulk een afhankelijkheid van de zon ook bij de maan voorkwam, en aan háár beweging om de aarde was geen twijfel mogelijk.
De nauwkeurige waarnemingen van Tycho brachten nog verdere onregelmatigheden aan het licht. Hij vond, dat de snelheid van de maan in haar baan bij volle en bij nieuwe maan grooter, bij eerste en laatste kwartier kleiner is dan bij een regelmatige af- en toenemende beweging in een excentrischen cirkel (of een ellips) behoort. Daardoor is de maan 3 dagen na volle en nieuwe maan iets meer dan haar eigen middellijn te veel vooruit, 3 dagen vóór volle en nieuwe maan evenveel achter. Tycho noemde deze ongelijkheid devariatievan de maan. Tegelijk ontdekte hij, dat de omloopstijd van de maan 's winters iets grooter is dan 's zomers; het kleine bedrag van eenige minuten, dat de maan daardoor in den herfst vooruit, in de lente achter is, was slechts door zijn nauwkeurige metingen vast te stellen.
Zoo bleek dus de beweging van de maan nog veel ingewikkelder dan die der planeten, en alle scherpzinnigheid van Kepler, die bij de planeten eenzoo grooten triomfbehaalde, schoot te kort bij het probleem van de maan. Hij kon niet meer doen, dan de verschillende ongelijkheden eenvoudig als feiten aannemen en hun bedrag uit Tycho's waarnemingen zoo goed mogelijk bepalen. Een verklaring werd eerst mogelijk door Newton's ontdekking van de algemeene aantrekking. Toen was de samenhang van de meeste onregelmatigheden met de zon onmiddellijk duidelijk; de maan wordt niet slechts door de aarde, maar ook door de zon aangetrokken. Daarom kan de maan zich niet in een regelmatige ellips om de aarde bewegen;de onregelmatigheden in den loop van de maan zijn storingen, waarvan de oorzaak in de aantrekking door de zon ligt. De verklaring van de maanbeweging door Newton en de Fransche wiskundigen der 18deeeuw, die op zijn werk voortbouwden, werd nu een nieuw en belangrijk bewijs voor de juistheid van de wetten der algemeene aantrekkingskracht.
Zooals de zon de aarde aantrekt, zoo trekt zij ook met ongeveer dezelfde kracht alles aan, wat zich in de buurt van de aarde bevindt, dus ook de maan. Omdat aarde en maan beide met ongeveer dezelfde kracht door de zon worden aangetrokken, krijgen zij ongeveer dezelfde versnelling naar de zon toe, worden evenveel van den rechten weg afgebogen, en doorloopen zoo samen hun jaarlijksche baan om de zon. Was de aantrekking op aarde en maan precies gelijk, dan zouden zij volkomen gelijk bewegen alsof zij aan elkaar vastzaten; er kwam dan alleen de aantrekking van de aarde op de maan bij, die deze als tweede beweging om de aarde doet cirkelen. Maar in werkelijkheid gaat het anders. De aantrekking van de zon is op ieder ander punt van de ruimte iets anders; zij neemt op grooter afstand af, en daarom is de aantrekking van de zon op de maan wel ongeveer, maar niet precies gelijk aan haar aantrekking op de aarde.
Nemen wij b.v. de volle maan. Zij is iets verder van de zon af dan de aarde en wordt dus met iets kleinere kracht door de zon aangetrokken.
image: page281.jpg
Was nu de onderlinge aantrekking tusschen aarde en maan niet voorhanden, waren beiden dus b.v. kleine stofjes, wat zou er dan gebeuren? Als zij zich met gelijke snelheid voortbewegen, zakt de maan minder snel naar de zon toe dan de aarde; haar baan wordt minder gekromd, en zij verwijdert zich steeds verder van de aarde. Voor de aardbewoners schijnt het, alsof de maan door een kracht omhooggeheven en van de aarde weggedreven wordt. Dat komt ook uit, want hun relatieve beweging wordt bepaald door het verschil der op beiden werkende krachten. Nu behoeft er in werkelijkheid geen vrees te bestaan, dat de maan wegloopt, omdat zij door de aantrekkingskracht van de aarde vastgehouden wordt. Het streven om zich van elkaar te verwijderen bewerkt nu alleen, dat de aardkracht verminderd wordt en de maan met een iets kleinere versnelling naar de aarde valt. De aantrekkende kracht der aarde wordt verminderd door een kracht, die de maan van de aarde wegdrijft, en die niets anders is dan het verschil der zonsaantrekking op aarde en maan. In het algemeen kan men zeggen, dat van de aantrekkingskracht, die dezon op de maan uitoefent, het deel dat aan de op de aarde werkende kracht gelijk is, daartoe dient om de maan met de aarde mee te laten loopen; het overschot, het verschil dus tusschen de op de aarde en op de maan werkende zonnekrachten, bepaalt hun relatieve beweging en komt bij de gewone wederzijdsche aantrekking van aarde en maan. Deze laatste voor zich alleen bewerkt de regelmatige beweging in een ellips volgens de wetten van Kepler;de afwijkingen van de Keplersche beweging, die wij als onregelmatigheden van de maanbeweging hebben leeren kennen, worden veroorzaakt door het verschil tusschen de door de zon op de aarde en op de maan uitgeoefende krachten. Dit verschil is de storende kracht van de zon, die wij nu moeten onderzoeken.
Op de hiervolgende figuur is de grootte en de richting van de zonnekracht voor de aarde en voor een aantal plaatsen in de omgeving der aarde door pijltjes weergegeven — waarbij wij, om de verschillen sterk overdreven te doen uitkomen, de zon slechts 5 maal zoo ver van de aarde aannemen als de maan.