Chapter 25

s=c t.

Eine gleichförmige Bewegung findet unter folgenden Verhältnissen statt: 1. Wenn ein Körper eine Geschwindigkeit hat und sonst auf ihn weder eine Kraft noch ein Hindernis einwirkt; er behält dann nach dem Trägheitsgesetze die Geschwindigkeit unverändert bei; die Bewegung ist dabei gradlinig, da ein Körper auch die Richtung der Bewegung nicht selbständig zu verändern vermag. 2. Wenn ein Körper schon eine Geschwindigkeit hat, und auf ihn eine Kraft wirkt, welche gerade imstande ist, die der Bewegung entgegenwirkenden Kräfte oder entgegenstehenden Hindernisse zu überwinden. Beispiele: ein auf der Straße fahrender Wagen, der Eisenbahnzug, wenn erauf ebener Strecke im Laufen ist, das Schiff, das durch Wind oder Dampf (oder Strömung) oder beides in gleichförmiger Bewegung erhalten wird u. s. f. Bei dieser Bewegung muß Arbeit aufgewendet werden, da eine Kraft längs eines Weges wirkt; ihre Größe wird gemessen durch das Produkt aus Kraft mal Weg. 3. Man nennt eine Bewegung auch dann noch gleichförmig, wenn in einer der vorigen Arten die Richtung der Bewegung beständig so verändert wird, daß statt der geradlinigen eine krummlinige Bewegung eintritt, die Geschwindigkeit aber unverändert bleibt. Hierüber mag vorderhand die Bemerkung genügen, daß eine von außen auf den Körper einwirkende Kraft notwendig ist, um diese Richtungsänderung hervorzubringen.

179.Welche Geschwindigkeit hat ein Körper, der in 1 Std. 37 Min. 28,6kmzurücklegt?

180.Welchen Weg legt ein Dampfer bei 11 Knoten Geschwindigkeit in 3 Tg. 6 Std. zurück? (Ein Knoten =1⁄60engl. Seemeile in 1 Min.)

Nach dem Trägheitsgesetz verharrt jeder Körper in seinem Zustand der Ruhe oder der gleichförmigen geradlinigen Bewegung, solange nicht eine Kraft auf ihn wirkt. Wirkt eine Kraft auf ihn, so ändert sie den Bewegungszustand, indem sie die Bewegung langsamer oder rascher macht, oder auch deren Richtung ändert. Die einfachste Art einer solchen Wirkung ist die einerkonstanten, d. h.der Größe oder Intensität nach gleichbleibendenKraft. Wir wählen dazu als Beispiel dieSchwerkraft, die ja innerhalb der gewöhnlich vorkommenden Grenzen als konstant angenommen werden darf.

Ist der Körper anfangs in Ruhe, so erteilt ihm die Schwerkraft eine Bewegung, und zwar erhält er im Laufe einer Sekunde eineGeschwindigkeitvon ca. 10m; d. h. wenn am Ende der ersten Sekunde die Schwerkraft aufhören würde zu wirken, und der Körper bloß dem Beharrungsvermögen folgen würde, so würde er in jeder folgenden Sekunde einen Weg von 10mzurücklegen.

In der zweiten Sekunde behält er die erlangte Geschwindigkeit von 10mbei und bekommt durch die Schwerkraft, welche während der zweiten Sekunde ebenso wirkt wie in der ersten, noch eine Geschwindigkeit von 10mdazu, so daß er am Ende der zweiten Sekunde eine Geschwindigkeit von 20mhat. Während der dritten Sekunde behält er die Geschwindigkeit von 20mbei und bekommt wieder eine Geschwindigkeit von 10mdazu, so daß er am Ende der dritten Sekunde eine Geschwindigkeit von 30mhat. So gehtes fort; nachnSekunden ist seine Geschwindigkeit =n· 10m. Der Betrag von 10mist nicht genau, sondern ist in Wirklichkeit 9,809m; er wird mitgbezeichnet und heißt dieBeschleunigung der Schwerkraft. Da eine konstante Kraft in jeder Sekunde dieselbe Beschleunigung hervorbringt, so verursacht sieeine gleichförmig beschleunigte Bewegung; der freie Fall eines schweren Körpers ist eine solche. Bezeichnen wir die Sekundenzahl mitt, und die in dieser Zeit erlangte Geschwindigkeit mitv, so ist

v=g t(I).

Wir betrachten nun dieWege, die der Körper in den einzelnen Sekunden zurücklegt. Am Anfang der ersten Sekunde hat der Körper noch keine Geschwindigkeit, am Ende der ersten Sekunde hat er eine Geschwindigkeit = 10m; da seine Geschwindigkeit hiebei gleichmäßig von 0 bis 10mwächst, so kommt er dabei ebensoweit, wie wenn er sich mit der mittleren Geschwindigkeit von 5mbewegt hätte. Dies bestätigt der Versuch. In der zweiten Sekunde hat er am Anfang 10m, am Ende 20mGeschwindigkeit; man fand, daß der Weg in der zweiten Sekunde 15m, gleich dem Mittel aus beiden Geschwindigkeiten ist. Ebenso hat er in der dritten Sekunde am Anfang 20m, am Ende 30mGeschwindigkeit; der Weg in der dritten Sekunde beträgt 25m; so geht es fort, der Weg in der vierten Sekunde ist 35metc. Man fand also:Die Wege, welche der Körper in den einzelnen Sekunden zurücklegt, bilden eine arithmetische Reihe, deren Anfangsglieda= 5m, genauer =1⁄2gist, und von denen jedes folgende Glied um 10m, genauer umg, größer ist als das vorhergehende; also die Differenz aufeinanderfolgender Gliederd= 10m, genauer =g.

Um die Höhe zu berechnen, die der Körper intSekunden durchfällt, so kann man als das einfachste schließen, daß der Körper ebensoweit kommt, wie wenn ertSekunden lang sich mit der mittleren Geschwindigkeit0+g t2=g t2bewegt hätte, daß also sein Wegs=1⁄2g t2ist. Dasselbe findet man auch, wenn man die Wege der einzelnen Sekunden addiert, also dieSumme dieser arithmetischen Reihe bildet; dies geschieht nach der Formels=n a+n·(n- 1)d2,wobein=t,a=g2,d=gzu setzen ist; also ist:

s=t·g2+t(t- 1)g2=t g2+t2g2-t g2

s=gt22(II).

Diese zwei Formeln

v=g t(I),s=g t22(II)

FallmaschineFig. 351.

Fig. 351.

enthalten dieFallgesetzeund wir betrachten jetzt, wie sie ihr berühmter EntdeckerGalileigefunden und bewiesen hat. Derschiefe Turm zu Pisagab ihm Gelegenheit, zu untersuchen, von welcher Höhe er eine Bleikugel fallen lassen müsse, damit sie nach einer oder nach zwei oder nach drei Sekunden zu Boden fällt, und er fand, daß die Höhe bei zwei Sekunden 4 mal, bei drei Sekunden 9 mal so groß sein muß wie bei einer Sekunde:die Fallhöhen verhalten sich wie die Quadrate der Zeiten(II). Hieraus das Fallgesetz ahnend, untersuchte er es durch den Fall auf der schiefen Ebene: Er nahm eine lange Holzrinne, mit glattem Pergament ausgekleidet, neigte sie etwas (schiefe Ebene) und ließ Elfenbeinkugeln herabrollen. Hiebei ist die Masse der Kugel dieselbe wie beim freien Falle, aber während beim freien Falle die ganze Schwerkraft auf die Masse bewegend wirkt,wirkt auf der schiefen Ebene bloß die parallel der schiefen Ebene wirkende KomponenteP=Q·sin αbewegend. Diese ist aber kleiner (sin αmal größer), deshalb bringt diese Kraft auch eine kleinere Beschleunigung hervor (einesin αmal größere Beschleunigung). Die Bewegung ist also auch eine gleichförmig beschleunigte Bewegung, nur stattgsteht überallg·sin α; so fand Galilei, daß stets der Wegsausdrückbar war durchs=g·sin α·t22, wie er auch die Neigungα, die Zeittoder den Wegsveränderte. So fand und bewies Galilei nicht bloß das Gesetz vom freien Falle, sondern auch das vom Falle auf der schiefen Ebene; bei letzterer ist also die Beschleunigung =g sin α, demnachv=g t·sin α, unds=1⁄2g t2·sin α.

DieAtwoodsche Fallmaschine(1784) besteht aus einer vertikalen Säule, auf welcher oben eine sehr leichtdrehbare leichte Rolleangebracht ist; um sie ist ein Faden gelegt, an dessen Enden cylindrische Gewichte von etwa je 200ghängen; diese halten sich das Gleichgewicht. Legt man auf ein Gewicht ein Übergewicht etwa von 10g, so sinkt dieses, während das andere steigt; aber diese Bewegung ist sehr langsam. Würde man nämlich das Übergewicht, 10g, frei fallen lassen, so würde die Kraft von 10gdazu verwendet werden, um eine Mass von 10gin Bewegung zu setzen, das gäbe die Beschleunigungg= 10m. Liegen aber die 10gÜbergewicht auf dem einen Gewichte, so wird nun die Kraft von 10gdazu verwendet, um die Masse von 410gin Bewegung zu setzen, also eine 41 mal größere Masse;deshalbbekommt diese 41 mal größere Masse auch nur eine 41 mal kleinere Beschleunigung,g′=10⁄41m,macht also eine verhältnismäßig langsame Bewegung. Man bringt ein passendes Übergewicht an und untersucht, ob die Fallräume dem Gesetz entsprechen; man macht mehrere Versuche mit verschiedenen Übergewichten, wohl auch mit verschiedenen Massen, und findet, daß auch diese Bewegungen dem Gesetz entsprechen.

Mit diesem Apparat kann man auch die Richtigkeit des ersten Gesetzesv=g tbeweisen durch Messung der Endgeschwindigkeiten. Man gibt dem Übergewichte die Form eines Stäbchens, das horizontal auf das Gewicht gelegt wird, so daß seine Enden herausragen; man beobachtet dann, wie weit das Gewicht in einer Sekunde heruntersinkt, und bringt an dieser Stelle einen Ring an, der das Gewicht durchgehen läßt, das herausragende Übergewicht aber auffängt. Die Gewichte bewegen sich dann mit der ihnen eigentümlichen Geschwindigkeit weiter, ohne daß die Schwerkraft an ihnen beschleunigend wirkt, sie legen also in den folgenden Sekunden Räume zurück, die der Endgeschwindigkeit der ersten Sekunde entsprechen. Man mißt diese Räume und findet so das Gesetz der Endgeschwindigkeit bestätigt. Wenn etwa das Gewicht in der ersten Sekunde 12cmzurücklegt (s1=1⁄2· 24 · 12), so findet man, daß es, vom Übergewichte befreit, in jeder folgenden Sekunde 24cmzurücklegt (v1= 24 · 1). Hat es in den ersten zwei Sekunden 48cmzurückgelegt (s2= 24 · 22) so findet man, daß es, vom Übergewichte befreit, in jeder folgenden Sekunde 48cmzurücklegt (v2= 24 · 2) u. s. f.

Bei der Wirkung einer konstanten Kraft, also auch beim freien Falle, ist dieBeschleunigung konstant, d. h. der Geschwindigkeitszuwachs ist in gleichen Zeiten gleich groß.Die Endgeschwindigkeit ist proportional der Zeit(v=g t),und der Weg oder die Fallhöhe ist proportional demQuadrate der Zeit(s=1⁄2·g t2). Aus beiden Gleichungen folgt:v= √2g s,die Endgeschwindigkeit ist proportional der Quadratwurzel der Fallhöhe(und proportional der Quadratwurzel aus der Beschleunigung).

181.Wie lange braucht ein Körper, um eine Höhe von 68m(274m) zu durchfallen, und welche Endgeschwindigkeit erlangt er?

182.Mit welcher Endgeschwindigkeit kommt das Wasser am Fuße eines 23mhohen Wasserfalles, oder einer 2,4mhohen Schleuse an?

183.Von welcher Höhe muß ein Körper herunterfallen, um eine Endgeschwindigkeit von 1m(30m, 50m) zu erlangen?

Für die schiefe Ebene gelten die Gesetze:

v=g t sin α,s=g t22sin α,v= √2g s sin α.

Wir beweisen: Wenn ein Körper über eine schiefe Ebene von der Höhehund beliebiger Neigungαherunterläuft, so erlangt er dieselbe Endgeschwindigkeit, wie wenn er die Höhe der schiefen Ebene frei durchfällt.

Schiefe EbeneFig. 352.

Fig. 352.

Beim freien Fall über die Höhehist seine Endgeschwindigkeitv= √2g h. Beim Fall auf der schiefen Ebene istv= √2g s sin α; abersist hiebei die Längelder schiefen Ebene: diese istl=hsin α; alsov=√(2ghsin α·sin α)= √2g hwie vorher. Es ist also auch gleichgültig, ob die schiefe Ebene ihre Neigung verändert (krumme Bahn).Die Endgeschwindigkeit ist auf allen in derFig. 352gezeichneten und ähnlichen Wegen dieselbe, und zwar die durch den freien Fall über die Höhe erlangte.

Beweise: Ein Körper durchfällt den Durchmesser eines Kreises in derselben Zeit, in welcher er irgend eine vom oberen Ende des Durchmessers ausgehende (oder zum unteren Ende führende) Sehne des Kreises durchläuft.

184.Wie lange braucht ein Körper, um eine schiefe Ebene von 84m(200m) Länge und von 16° (221⁄2°) Steigung zu durchlaufen, und welche Endgeschwindigkeit erlangt er dabei?

185.Wie hoch muß eine schiefe Ebene vonα° (25°) Steigung sein, damit ein Körper mit der Endgeschwindigkeitv= 16munten ankommt?

186.Um eine Rinne von 30mLänge zu durchlaufen, braucht das Wasser 5"; wie groß ist deren Steigung, und mit welcher Geschwindigkeit kommt das Wasser unten an?

Bewegung einesvertikal abwärts geworfenen Körpers. Der Körper hat eine Anfangsgeschwindigkeit =aund bekommt durch die Schwerkraft einen Geschwindigkeitszuwachsgin 1",g tint".Durch die Wirkung der Schwerkraft bekommt der Körper in gleichen Zeiten stets dieselbe Geschwindigkeitsänderung gleichgültig, welche Bewegung er anfangs hatte. Diese Geschwindigkeitg ttritt zur schon vorhandenenahinzu, also

v=a+g t.

Weg in der ersten Sekunde: Am Anfang der ersten Sekunde hat er eine Geschwindigkeita, am Ende eine Geschwindigkeita+g; der Weg in der ersten Sekunde ist demnach wie früher gleich dem Mittel aus beiden Geschwindigkeiten, =a+1⁄2g; ebenso findet man den Weg in der zweiten Sekunde =a+1⁄2g+g, in der dritten Sekunde =a+1⁄2g+ 2getc.Die Wege in den einzelnen Sekunden bilden wieder eine arithmetische Reihe, deren Anfangsglied =a+1⁄2g, deren Differenz =g, deren Summe also

s=t(a+g2)+t· (t- 1) ·g2

=a t+t g2+t2g2-t g2

s=a t+g t22.

Der Weg ist gleich der Summe der Wege, die durch die einzelnen Ursachen hervorgebracht würden.

Bewegung eines senkrecht nach aufwärts geworfenen Körpers. Hiebeiverringertdie Schwerkraft die vorhandene Geschwindigkeit in jeder Sekunde umg, also int" umg t, also ist

v=a-g t.

Der Weg in der ersten Sekunde ist, ähnlich wie früher, =a-1⁄2g, in der zweiten =a-1⁄2g-g, in der dritten =a-1⁄2g- 2gu. s. w.;diese Wege bilden wieder eine arithmetische Reihe, deren Differenz =- g, also ist der int" durchlaufende Weg, oder die Summe:

s=t(a-g2)-t· (t- 1)g2, oder vereinfacht:

s=a t-g t22.

Der Weg ist gleich der Differenz der Wege, die durch die einzelnen Ursachen hervorgebracht würden.

Der vertikal geworfene Körper steigt so lange, bis seine Endgeschwindigkeit = 0 ist, also 0 =a-g t; hieraus

t=ag.

Der zurückgelegte Weg, dieSteighöhe, berechnet sich auss=a t-g t22wenn mant=agsetzt. Es ist

s=a2g-g a22g2;

s=a22g.

Die Steighöhe ist dem Quadrat der Anfangsgeschwindigkeit proportional; wird der Körper mit doppelt so großer Anfangsgeschwindigkeit geworfen, so steigt er 4 mal so hoch.

Ist der Körper an diesem höchsten Punkte angelangt, so hat er einen Moment lang die Geschw. = 0; dann fällt er nach den gewöhnlichen Fallgesetzen. Die Zeit, die er braucht, um die erreichte Höhe wieder herabzufallen, berechnet sich aus

s=gt22, wobei

s=a22g; das gibt

a22g=g t22,

hieraus istt=ag, d. h.der Körper braucht zum Herabfallen dieselbe Zeit wie zum Hinaufsteigen. Die Endgeschw., mit der er am Boden ankommt, berechnet sich ausv=g t, wot=ag, alsov=g·ag,v=a; er kommt mit derselben Geschwindigkeit an, mit der er geworfen wurde.

Die Zeit, welche ein Körper braucht, um einen PunktBin der Höhehzu erreichen, berechnet sich aush=a t-1⁄2g t2, und ist

t=1g(a± √-2g h+a2).

Der eine Wert, entsprechend - √, gibt an, in welcher Zeit der Körper den PunktBerreicht; der andere Wert, entsprechend + √, gibt an, welche Zeit der Körper braucht, um bis zum höchsten Punkte zu gelangen und von dort aus wieder herunterzufallen, bis er den PunktBvon oben her trifft. Die Geschwindigkeit, die er inBhat, berechnet sich aus

v=a-g tfür

t=1g(a± √-2g h+a2); also

v=a-a∓ √-2g h+a2

v= ∓ √-2g h+a2.

Der positive Wert bedeutet die nachaufwärts gerichteteGeschwindigkeit, mit welcher er den PunktBerreicht; der negative bedeutet dieabwärts gerichteteGeschwindigkeit, mit der er beim Herunterfallen wieder im PunkteBanlangt;beide Geschwindigkeiten sind gleich großund zwar für jeden Wert vonh;der Körper durchläuft jeden Punkt seiner Bahn zweimal, einmal beim Hinauf-, einmal beim Heruntergehen, beidesmal mit derselben Geschwindigkeit. Die Werte vontundvwerden imaginär, wenn 2g h>a2, oder wennh>a22g, also wennBhöher liegt als der höchste Punkt, den der Körper erreichen kann.

187.Wie hoch fliegt eine Kanonenkugel, welche mit 440mAnfangsgeschwindigkeit aufwärts geworfen wird, und mit welcher Geschwindigkeit müßte sie abgeschossen werden, um die Höhe des Montblanc (= 4810m) oder die des Gaurisankar (= 8840m) zu erreichen?

188.Ein Körper fällt frei herab. Am Schlusse der 3. Sekunde wird ihm ein anderer Körper nachgeworfen, welcher am Ende der 5. Sek. von ihm einen Abstand von 40mhat. Wann treffen die Körper zusammen?

189.Ein Körper wird mit 156,8mAnfangsgeschwindigkeit senkrecht auswärts geworfen. 18 Sek. später wird ihm ein zweiter mit 186,2mAnfangsgeschwindigkeit nachgeworfen. Wann und wo treffen sie sich? Wenn sie nach dem Zusammentreffen wie beim zentralen Stoße mit vertauschten Geschwindigkeiten voneinander zurückprallen, wann kommt dann jeder wieder auf den Boden? (g= 9,8m.)

190.Ein lotrecht in die Höhe geworfener Körper hat eine Höhea= 80,35mmit einer Geschwindigkeitb= 1,68merreicht. Mit welcher Geschwindigkeit ist er ausgegangen und welche Zeit hat er gebraucht, um bis zu jener Höhe zu gelangen (g= 9,81m)?

191.Ein Körper wird senkrecht in die Hohe geworfen mit 75mAnfangsgeschwindigkeit. Mit welcher Anfangsgeschwindigkeit muß ihm 4" später ein zweiter folgen, wenn er den ersten in dessen höchstem Punkte (in seinem eigenen h. P.) erreichen soll?

192.Wie hoch wird ein Körper gestiegen sein, der nach 12" (15", 40") wieder zur Erde kommt? Wie groß war seine Anfangsgeschwindigkeit?

Beim Springbrunnen erlangt das ausfließende Wasser seine Geschwindigkeit dadurch, daß es von den benachbarten Wasserteilen gedrückt wird. Sobald es aber die Röhre verlassen hat, steht es nicht mehr unter diesem Drucke, sondern ist anzusehen als ein mit Geschwindigkeit begabter Körper, der vermöge dieser Geschwindigkeit eine gewisse Steighöhe erreicht, und diese Steighöhe ist nach dem Gesetz des Springbrunnens gleich der Höhe des Wassers im Gefäße.

Da aber die Geschwindigkeit, welche ein nach aufwärts geworfener Körper haben muß, um eine gewisse Steighöhehzu erreichen, gleich ist der Geschwindigkeit, welche der Körper erlangen würde, wenn er frei über dieselbe Höhehherunterfallen würde, so folgt:die Ausflußgeschwindigkeit ist so groß, wie wenn das Wasser den vertikalen Abstand vom Niveau des Wassers im Gefäße bis zur Mündung frei durchfallen hätte(Torricelli).

v= √2g h.

AusflußFig. 353.

Fig. 353.

Die Ausflußgeschwindigkeit ist proportional der Quadratwurzel aus der Höhe; eine Öffnung, welche 2 mal so tief unter dem Niveau liegt, liefert √2 mal so viel Wasser, und eine Öffnung, welche 2 mal so viel Wasser liefern soll, muß 4 mal so tief unter dem Niveau liegen.

Die Menge des in einer gewissen Zeit ausfließenden Wassers ist gleich dem Produkt aus Querschnitt mal Geschwindigkeit, also =q·v, oder =q· √2g hin jeder Sekunde.

In Wirklichkeit ist die Ausflußmenge stets geringer als eben berechnet. Dies rührt her von einerZusammenziehung des ausfließenden Strahles, welche beginnt, sobald das Wasser die Mündung verläßt, so daß nicht der Querschnitt der Mündung sondern der Querschnitt der dünnsten Stelle des ausfließenden Strahles als Ausflußöffnung anzusehen ist.

Ist die Ausflußöffnung in einer dünnen Wand ohne Ausflußrohr, so ist die wirkliche Ausflußmenge nur 0,6 der berechneten. Bei konischem Ansatzrohre, dessen Form dem sich zusammenziehenden Strahle entspricht, ist die Ausflußmenge so groß, wie berechnet, wenn man den vordersten engsten Querschnitt des Rohres als Ausflußöffnung betrachtet. Ein cylindrisches (kurzes) Ansatzrohr liefert mehr Wasser als die bloße Öffnung von gleichem Querschnitt, jedoch weniger als ein konisches Rohr von gleichem vorderen Querschnitt.

Wenn das Wasser aus einer Öffnung fließt, so ist es gleichgültig, ob der das Ausfließen bewirkende Druck herrührt von einer Wassersäule oder von einer anderen Kraft, etwa demDrucke komprimierter Luft, wie beim Heronsballe oder dem Windkessel einer Feuerspritze. Da ein Überdruck von 1 Atmosphäre gleich ist dem Druck einer Wassersäule von 10mHöhe (genauer 10,33mHöhe = 76 · 13,596cm), so muß das Wasser so rasch ausfließen, daß es eine Steighöhe von 10,33merreichen kann; seine Geschwindigkeit ist √2g· 10,33= 14,23m.

Bei einem Überdruck vonpAtmosphären ist die Ausflußgeschwindigkeit = √2g·p· 10,33m;die Ausflußgeschwindigkeiten sind den Quadratwurzeln ans den Überdrücken proportional.

Ist der Heronsball mit Spiritus (sp. G. =s, etwa = 0,81) beschickt, so entspricht einem Überdrucke von einer Atmosphäre eine Höhe von10,33sm=10,330,81= 12,7mSpiritus. Es muß also der ausfließende Spiritus eine Steighöhe von10,33sm= 12,7merreichen. (Vergl.§ 30.) Entsprechend dieser Steighöhe ist die Ausflußgeschwindigkeit

v=√(2g10,33s)m= 15,8m.

Dasselbe gilt von anderen Flüssigkeiten, wie Öl, Quecksilber u. s. w. mit anderen spezifischen Gewichtens′,s′′u. s. w.Bei demselben Überdrucke verhalten sich die Ausflußgeschwindigkeiten zweier Flüssigkeiten wie umgekehrt die Quadratwurzeln aus ihren spezifischen Gewichten.

193.Wie tief muß eine Ausflußöffnung von 1,4qcmQuerschnitt unter dem Wasserniveau liegen, wenn sie in der Minute 80lWasser liefern soll? und welchen Querschnitt muß sie haben, um bei halber Tiefe die nämliche Wassermenge zu liefern?

194.Zwei große Wasserbehälter sind unten durch eine Röhre verbunden. Mit welcher Geschwindigkeit bewegt sich in ihr das Wasser, wenn eine Niveaudifferenz von 38cmvorhanden ist?

195.Mit welcher Geschwindigkeit fließt Wasser aus einem Windkessel, wenn in diesem die Luft einen Überdruck von 26cmQuecksilberhöhe hat?

195a.Mit welcher Geschwindigkeit fließt Quecksilber bei einem Überdruck von 1 Atm.?

Demselben Gesetze gehorchen auch die luftförmigen Körper. Es ist z. B. die gewöhnliche Luft 773 mal leichter (0,001293 mal schwerer) als Wasser, also ist ihre Ausflußgeschwindigkeit √773= 27,81 mal größer als die des Wassers. Wasser hat aber bei einem Überdruck von 1 Atm. eine Ausflußgeschwindigkeit von √2g· 10,33= 14,23m; also hat Luft, wenn sie in einem Behälter unter einem konstanten Druck von 1 Atmosphäre steht, und von diesem aus in einen luftleeren (und beständig luftleer gehaltenen) Raum ausströmt, eine Ausflußgeschwindigkeit von

27,8 · 14,23 = 396m=√(2g10,330,001293).

Strömt Luft aus einem Behälter, in dem sie einen konstanten Druck von 5 Atmosphären hat, in die freie Luft aus, so ist ihre Geschwindigkeit

v=√(2g·p·10,33s);

hierbei istp= 4 Atmosphären Überdruck,s= 0,00129 · 5, weil das sp. G. dieser komprimierten Luft 5 mal so groß ist wie das der gewöhnlichen Luft (Mariottescher Satz).

Demnach

v=√(2 · 9,809 · 4 ·10,330,00129 · 5)= 354m.

Läßt man diese Luft in einen luftleeren Raum ausströmen, so ist der Überdruck = 5 Atmosphären, also

v=√(2 · 9,809 · 5 ·10,330,00129 · 5)

=√(2 · 9,809 ·10,330,00129)= 396m.

Die Luft strömt bei jedem Drucke mit gleicher Geschwindigkeit (396m) gegen den luftleeren Raum aus, liefert also in gleichen Zeiten gleiche Volumina. Da aber die Dichten und Gewichte derselben sich wie die Drücke verhalten, so folgt, daß hierbei die Luftmengen dem Gewichte nach sich wie die Druckkräfte verhalten.

Ferner folgt: die Ausflußgeschwindigkeiten zweier Gase verhalten sich umgekehrt wie die Quadratwurzeln aus ihren spezifischenGewichten. Da das sp. G. des Wasserstoffes in bezug auf Luft = 0,06926 ist, so ist dessen Ausflußgeschwindigkeit √0,06926= 0,263 mal kleiner, also 3,8 mal größer, als die der Luft.

Da Wasserstoff 16 mal leichter ist als Sauerstoff, so ist seine Ausflußgeschwindigkeit 4 mal größer als die des Sauerstoffes; es würden also gleichgroße Öffnungen 4 mal mehr Wasserstoff als Sauerstoff liefern. Zu Knallgas in richtiger Mischung muß aber Wasserstoff 2 mal mehr (dem Volumen nach) sein als Sauerstoff; deshalb muß die Öffnung der Röhre des Wasserstoffes 2 mal kleiner, ihr Durchmesser also √2 mal kleiner sein als beim Sauerstoff.

196.Mit welcher Geschwindigkeit strömt Luft von 2 Atm. Druck in Luft von 1 Atm. Druck?

197.Mit welcher Geschwindigkeit strömt Luft von 758,4mmQuecksilberdruck in Luft von 752,4mmDruck?

198.Mit welcher Geschwindigkeit strömt Luft aus einem Behälter, in welchem sie 8cmWasserhöhe Überdruck hat, in die freie Luft aus, wenn der Barometerstand 760mm(742mm, 718mm) ist?

199.Mit welcher Geschwindigkeit strömt unter den Bedingungen von Aufgabe 198 Leuchtgas (sp. G. = 0,87), Kohlensäure (sp. G. = 2,4) aus?

Hat ein Körper auf der schiefen Ebene schon eine Anfangsgeschwindigkeit in der Richtung der schiefen Ebene =a, so ist, wennanach abwärts gerichtet ist:

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