Chapter 26

v=a+g t sin α;s=a t+1⁄2g t2·sin α;

wennanach aufwärts gerichtet ist, so ist:

v=a-g t sin α;s=a t-1⁄2g t2·sin α.

Er steigt im letzteren Falle so lange, bis 0 =a-g t sin α, also t =ag sin α, und durchläuft dabei den Weg

s=a2g sin α-g sin α2·a2g2sin2α

s=a22g sin α.

200.Wasser schießt unter einer Schleuse von 1,4mStauhöhe heraus in eine Rinne von 12mLänge und 16° Neigung. Welche Endgeschwindigkeit erlangt es?

201.Wie hoch kommt ein Körper auf einer schiefen Ebene von 15° bei 8mAnfangsgeschwindigkeit?

202.Von einem Turme fällt ein Körper in 4" frei herab, während er auf der schiefen Ebene in 10" ohne Reibung vom Turme aus heruntergleiten würde. Wie hoch ist der Turm, wie lang die schiefe Ebene, wie groß ihre Neigung, und wie groß die Endgeschwindigkeit des Körpers?

203.Auf einerl= 1500mlangen umα= 12° geneigten Ebene bewegen sich zwei Körper, der eine vom untern Ende nach aufwärts mit einer Anfangsgeschwindigkeitc= 60m, der andere gleichzeitig ohne Anfangsgeschwindigkeit von oben nach abwärts. Wo und mit welchen Geschwindigkeiten treffen sie sich?

204.Zwei Körper werden auf zwei schiefen Ebenen von den Neigungenα1undα2mit derselben Anfangsgeschwindigkeit nach aufwärts geworfen. Wie verhalten sich die auf beiden zurückgelegten Wege bis dorthin, wo die Körper zur Ruhe kommen?

205.Ein Körper rollt über eine schiefe Ebene von 12mHöhe und 221⁄2% Neigung, kommt dann auf eine horizontale Ebene, auf welcher er die horizontale Komponente seiner Geschwindigkeit beibehält; nach wie viel Sekunden erreicht er das Ende der 100mlangen horizontalen Bahn?

Wirkt eine Kraft unter einem Winkel auf einen bewegten Körper, so setzt sich die durch die Kraft hervorgebrachte Beschleunigung mit der schon vorhandenen Geschwindigkeit zu einer resultierenden Geschwindigkeit zusammen, deren Richtung und Größe durch die Diagonale einesGeschwindigkeitsparallelogrammesgefunden wird, das ebenso konstruiert wird wie das Kräfteparallelogramm.

krummlinige BahnFig. 354.

Fig. 354.

Umgekehrt kann eine Geschwindigkeit in zwei Geschwindigkeiten mittels des Parallelogramms zerlegt werden.

Soll ein Körper aus zweierlei Ursachen zweierlei Wege zu gleicher Zeit zurücklegen, so kann man aus den zwei Wegen einParallelogrammkonstruieren (Fig. 354), und im Endpunkt der Diagonale befindet sich der Körper nach Ablauf der Zeit. Jedoch gibt die Diagonale nicht immer den Weg an, auf welchem sich der Körper wirklich bewegt, insbesondere dann nicht, wenn die Bewegungsursachen der Art nach verschieden sind. Hat z. B. der inAbefindliche Körper eine Geschwindigkeit, vermöge deren er int′′nachBkommen würde, und wirkt auf ihn zugleich die Schwerkraft,welche ihn int′′vonAnachCbringen würde, so befindet er sich nacht′′inD, hat jedoch nicht den geraden WegADgemacht, sondern eine krummlinige Bahn beschrieben.

Wenn auf einen frei beweglichen Körper, der eine Geschwindigkeit hat, eine Kraft wirkt, welche hiermit einen Winkel bildet, so nennt man die entstehende Bewegung eine zusammengesetzte.

Der schiefe Wurf ist einezusammengesetzte Bewegungund wurde zuerst von Galilei untersucht.

zusammengesetzte BewegungFig. 355.

Fig. 355.

Wird ein Körper schräg nach aufwärts geworfen, so beschreibt er bekanntlich einekrummlinigeBahn. Die einzelnen Punkte der Bahn kann man dadurch bestimmen, daß man von jedem Punkte eine vertikale Linie bis zur Erde (bis zu der durch den Anfangspunkt gelegten Horizontalen) zieht, und sowohl die Länge dieser Senkrechten, als auch die Entfernung ihres Fußpunktes vom Anfangspunkte der Bewegung mißt.

Die Bewegung selbst und auch die Geschwindigkeit kann man zweckmäßig in zweiKomponentenzerlegen, nach horizontaler und vertikaler Richtung. Hat der Körper die Anfangsgeschwindigkeita, so bewegt er sich gerade so, wie wenn er in horizontaler Richtung eine Geschwindigkeit =a cos αund gleichzeitig in vertikaler Richtung eine solche =a sin αhätte.

Da in horizontaler Richtung die Geschwindigkeit durch die Schwerkraft nicht beeinflußt wird, so istvh=a cos α. In vertikaler Richtung wird die Geschwindigkeit durch die Schwerkraft vermindert in jeder Sekunde umgwie beim senkrechten Wurf; also ist

vv=a sin α-g t.

Mit der Zeittändert sich demnach auch die Richtung der Geschwindigkeit. Bezeichnet man sie mitβ, so isttg β=vvvh=a sin α-g ta cos α. Wird der Zähler = 0, so isttg β= 0, alsoβ= 0, d. h.der Körper läuft horizontalinH. Dies ist der Fall, wenna sin α-g t= 0, also nacht=a sin αgSekunden. Wirdtnoch größer, so wird der Zähler und damit auchtg βnegativ, alsoβnegativ;die Richtung der Bahn geht nach abwärts. Man nennt den ersten TeilAHdenaufsteigendenAst der Bahn, den andernHWdenabsteigenden.

Die krumme Linie, die der geworfene Körper beschreibt, ist eineParabel,AHW, deren Achse vertikal steht (Galilei).

Diewirkliche Größe der Geschwindigkeit, die er in einem bestimmten Punkte der Bahn, also nach bestimmter Zeit hat, setzt sich zusammen als Hypotenuse eines Dreieckes, dessen Kathetenvvundvhsind, also istv= √vv2+vh2.

v= √(a sin α-g t)2+a2cos2α.

Auch dieser Wert wird anfangs kleiner, wenntwächst, aber nur so lange bisa sin α-g t= 0; also nachT=a·sin αgSekunden hat er diegeringste GeschwindigkeitinH. Von da an wirdvwieder größer.

Wir betrachten dieWegstrecken, die er in horizontaler (sh) und vertikaler (sv) Richtung zurücklegt. In horizontaler Richtung hat er die unveränderliche Geschwindigkeita·cos α, legt also int′′den WegSh=a·cos α·tzurück. (AB). In vertikaler Richtung hat er die Geschwindigkeita sin α, und legt deshalb den Wega·sin α·tzurück nach aufwärts (AC); aber die Schwerkraft bewirkt zugleich einen Weg von1⁄2g t2nach abwärts (DE); also ist der Weg in vertikaler Richtung gleich der Differenz beider StreckenDB-DE=EB; alsoSv=a·sin α·t-1⁄2g t2.

Wir berechnen, wo sich der Körper befindet, wenn er den höchsten Punkt erreicht hat, also nacht=a sin αgSekunden; es ist dann

sh=a cos α·a sin αg=a2sin α·cos αg=AJ.

sv=a sin α·a sin αg-g a2sin2α2g2=a2sin2αg-a2sin2α2g.

sv=a2sin2α2g=Wh=JH.Die Wurfhöhe ist proportional dem Quadrat der Anfangsgeschwindigkeit.

Wir berechnen, in welcher horizontalen EntfernungAWder Körper den (horizontalen) Boden wieder erreicht.Er hat den Boden erreicht, wenn seine vertikale Entfernung = 0ist, alsosv= 0 =a sin α t-g t22, also nacht=2a sin αg= 2T. Der zugehörige horizontale Weg berechnet sich aus

sh=a cos α tfürt=2a sin αg, also

sh=a cos α·2a sin αg=a2g2sin α·cos α.

sv=a2sin2αg=Ww(Wurfweite). AlsoAW = 2 · AJ. Auch dieWurfweite ist proportional dem Quadrate der Anfangsgeschwindigkeit. Setzt man die Zeit bis zur Erreichung der Wurfweite =2a sin αgin die Gleichung für die Geschwindigkeit, so findet man, daß der Körper die horizontale Ebene wieder unter demselben Winkel und mit derselben Geschwindigkeit trifft, mit der er sie verlassen hat.

Soll die WurfweiteWw=a2sin2αgmöglichst groß werden, so mußsin2αmöglichst groß werden; da abersin2αhöchstens = 1 sein kann und dies ist, wenn 2α= 90° ist, so mußα= 45° sein.Ein unter dem Winkel von 45° geworfener Körper fliegt am weitesten; dies gilt nur, wenn ein Luftwiderstand nicht vorhanden oder verhältnismäßig sehr klein ist. Bei Kanonenkugeln ist aber der Luftwiderstand beträchtlich groß; deshalb wird die größte Wurfweite bei zirka 30° erzielt.

Der Winkel, unter welchem der Körper mit der Geschwindigkeitageworfen werden muß, um die Wurfweitewzu erreichen, berechnet sich ausw=a2sin2αgalssin2α=g · wa2. Da man den zugehörigen Winkel2 αspitz oder stumpfwählen kann(z. B. 2α= 70° oder 110°, beide sind um gleich viel von 90° verschieden), so erhält man auch 2 Winkelα, (z. B.α= 35°, oderα= 55°, beide sind um gleich viel von 45° verschieden; Galilei). Man kann also eine Wurfweite auf zweierlei Arten erreichen, durch Flachschuß und Hochschuß.

Beimhorizontalen Wurfmit der Anfangsgeschwindigkeitahat man nach den bisherigen Bezeichnungen:

vh=a;vv=g t(nach abwärts gerichtet)sh=a t;sv=1⁄2g t2(nach abwärts gerichtet).

Der Körper beschreibt den absteigenden Ast einer Parabel.

Wenn man, während das Schiff fährt, von der Spitze des Mastes einen Stein fallen läßt, so trifft er den Fuß des Mastes. Warum? Wie ist es im Eisenbahnwagen?Das InfanteriegewehrM96, Kaliber 7mm, gibt eine Anfangsgeschwindigkeit von 728mund eine größte Schußweite von über 4000mbei 32° Erhöhung; bis 600mSchußweite ist der höchste Punkt der Bahn nicht über Mannshöhe.

Wenn man, während das Schiff fährt, von der Spitze des Mastes einen Stein fallen läßt, so trifft er den Fuß des Mastes. Warum? Wie ist es im Eisenbahnwagen?

Das InfanteriegewehrM96, Kaliber 7mm, gibt eine Anfangsgeschwindigkeit von 728mund eine größte Schußweite von über 4000mbei 32° Erhöhung; bis 600mSchußweite ist der höchste Punkt der Bahn nicht über Mannshöhe.

206.In welcher Entfernung vom Fuße eines 120mhohen Turmes fällt ein Stein zu Boden, der mit 16mGeschwindigkeit horizontal geschleudert wird, und unter welchem Winkel fällt er auf?

207.Mit welcher Geschwindigkeit muß ein Körper horizontal geschleudert werden, damit er gerade den Fuß eines 216mhohen Berges von 39° Neigung trifft?

208.Mit einer Flinte, deren Kugel eine Anfangsgeschwindigkeit von 400mbekommt, schieße ich auf einen 500mentfernten, in gleicher Höhe befindlichen Punkt; um wie viel Grad muß ich die Flinte erheben (um wie viel Meter muß ich das Ziel höher annehmen) um das Ziel zu treffen?

209.Wie groß ist die Anfangsgeschwindigkeit eines horizontal geworfenen Körpers, der sich auf die Länge von 160mum 12msenkt?

210.Welche Wurfweite und Wurfhöhe erreicht ein Körper, der mit 52mAnfangsgeschwindigkeit unter 33° geworfen wird, und welche Zeit braucht er dazu?

211.Mit welcher Anfangsgeschwindigkeit muß ein Körper unter 28° geworfen werden, damit er eine Steighöhe von 68merreicht, und welche Wurfweite erreicht er dann?

212.Unter welchem Winkel muß ein Körper geworfen werden, damit er bei 144mAnfangsgeschwindigkeit eine Steighöhe von 250merreiche, und welche Wurfweite erreicht er?

213.Unter welchem Winkel muß ein Körper geworfen werden, um bei einer Anfangsgeschwindigkeit von 280meine Wurfweite von 2000mzu erreichen?

214.Unter welchem Winkel muß ein Geschoß vonam(50, 77, 80m) Anfangsgeschwindigkeit abgeschossen werden, um eineScheibe zu treffen, die incm(120, 290, 400m) horizontaler Entfernunghm(15, 36, 45m) vertikal über dem Boden steht?

215.Wo und unter welchem Winkel trifft eine unter 45° abgeschossene Kugel von 120m(250m) Anfangsgeschwindigkeit ein Plateau von 150m(180m) Höhe?

216.Ein Körper erreicht eine Wurfhöhe von 120m(32, 540m) und eine Wurfweite von 400m(850, 65m); mit welcher Geschwindigkeit und Elevation wurde er geworfen?

217.Unter welchem Winkel muß ein Körper geworfen werden, damit seine Wurfweite ebensogroß (3 mal,2⁄3mal, 10 mal so groß) ist als seine Wurfhöhe?

218.Ein Körper rollt über ein Dach vonl(8m) Länge undα° (36°) Neigung und durchfällt dann die Luft; in welcher horizontalen Entfernung vom Fuße des Hauses erreicht er den Boden, wenn die Höhe des Hauses bis zum Dacheb(12m) ist? Mit welcher horizontalen Geschwindigkeit muß derselbe Körper geschleudert werden, wenn er gerade an der Dachkante vorbeikommen soll, und wo erreicht er dann das Pflaster?

219.Eine Feuerspritze sendet einmal unterα= 30° (40°), ein andermal unterβ= 52° (50°) ihren Strahl schräg nach oben. In welchem Verhältnis stehen die Sprunghöhen der Wasserstrahlen, in welchem die Sprungweiten?

220.Mit welcher Anfangsgeschwindigkeit muß eine Kugel abgeschossen werden, um bei einem gegebenen Elevationswinkelα= 5° ein Ziel zu treffen, dessen horizontale Entfernunga= 1632mbeträgt, und welches um den Depressionswinkelβ= 10° tiefer liegt als der Ausgangspunkt? Welches ist der höchste Punkt der Flugbahn?

221.Durch ein Geschoß von 600mAnfangsgeschwindigkeit und der Elevationα= 30° wurde eine 100müber dem Horizonte liegende Turmspitze getroffen. Wie weit ist der Turm horizontal vom Geschütz entfernt und mit welcher Geschwindigkeit wurde er getroffen?

Wenn eine konstante Kraft auf einen frei beweglichen Körper wirkt, entsteht eine gleichförmig beschleunigte oder verzögerte Bewegung; die Größeφder Beschleunigung (beim freien Falle =g= 9,809m) hat andere Werte, welche von derGröße der wirksamen Kraftund von derGröße der zu bewegenden Masseabhängen.

Man erhält die nämlichen Gleichungenv=φ t;s=1⁄2φ t2.

Bei Betrachtung des Falles über die schiefe Ebene haben wir gefunden, daß dieBeschleunigung direkt proportional der Kraftist, und bei der Atwoodschen Fallmaschine, daß sieumgekehrtproportional der Masse ist. Beim freien Falle wirkt nun die Kraft von 1kgauf die Masse von 1kgund bewirkt eine Beschleunigung =g; wirkt aber die Kraft vonPkg, so ist die BeschleunigungPmal größer, also =P·g; wirkt sie aber nicht bloß auf die Masse von 1kg, sondern auf die Masse vonQkg, so ist die BeschleunigungQmal kleiner, also

φ=P·gQ.

Daskg(resp.g) ist wohl die Masseneinheit für das bürgerliche Leben und auch für die Physik, sofern man die Masse nur als etwas ruhendes, stoffliches betrachtet. Betrachtet man aber die Masse unter dem Einfluß einer Kraft, welche ihr eine Bewegung erteilt, als etwas träges, zu beschleunigendes, so benützt man folgende Massendefinition:Masseneinheit ist diejenige Masse, welche durch die Krafteinheit(1kg)in der Zeiteinheit (1 Sekunde) eine Geschwindigkeitseinheit(1mpro 1") erhält. Da nun die Masse eines Kilogramms von der Krafteinheit (1kg) in 1" eine Geschwindigkeit vong= 9,809merhält (freier Fall) so muß diejenige Masse, welche bloß 1mGeschwindigkeit erhält,gmal so groß sein wie die Masse eines Kilogramms. Die Masse vongkgrepräsentiert eine Masseneinheit;man findet daher die Masse eines Körpers ausgedrückt in Masseneinheiten, wenn man sein Gewicht, ausgedrückt inkg,durchgdividiert. Wiegt ein KörperQkg, so ist die Anzahl seiner MasseneinheitenM=Qg.

Die Masseneinheit bekommt durch die Krafteinheit die Beschleunigungseinheit, also bekommenMMasseneinheiten durchKkgKraft eine Beschleunigungφ=KMm; Beschleunigung =KraftMasse.

Man bekommt eine gute Vorstellung von dieser Masseneinheit, wenn man eine Masse von 10kg(ca.) auf eine schiefe Ebene von der Neigung 1 : 10 legt; auf sie wirkt beschleunigend nur eine Kraft von 1kgund erteilt ihr eine Beschleunigung von 1m.

Hat der Körper schon die Geschwindigkeita, wenn die Kraft zu wirken anfängt, so erhält man analog die Gleichungen

v=a+φ t;s=a t+1⁄2φt2.

Für diegleichförmig verzögerte Bewegunghat man:

φ=PM=KraftMasse;v=a-φ t;s=a t-1⁄2φ t2.

Der Körper bewegt sich, bist=aφ, und legt den WegSzurück:S=a22φ.

222.Bei der Atwood’schen Fallmaschine sind die Gewichte 36gund 39g. Wie groß ist die Beschleunigung und wie lange dauert die Bewegung bei 1,80mFallhöhe?

223.Welche Geschwindigkeit bekommt eine frei bewegliche Masse von 320kg, wenn auf sie 40" lang eine konstante Kraft von 6kgwirkt? Wie weit läuft sie dabei, und wie weit läuft sie dann noch, wenn sich ihr dann ein Widerstand in den Weg stellt, zu dessen Überwindung sie eine Kraft von 10kganwenden muß?

224.Auf eine frei bewegliche Masse von 280kgGewicht und 2mGeschwindigkeit wirkt in der Richtung ihrer Geschwindigkeit eine Kraft von 8kgbeschleunigend. Wie lange braucht sie um einen Weg von 1000mzurückzulegen, und welche Endgeschwindigkeit hat sie dann?

225.Ein mit einer Geschwindigkeit von 9mlaufender Eisenbahnzug läuft ungebremst noch 1200m, gebremst noch 150mweit; wie lange braucht er in jedem Falle dazu, und wie groß ist die Verzögerung?

226.Eine Flintenkugel von 450mGeschwindigkeit und 25gGewicht dringt in Holz 33cmtief ein; welchen Widerstand leistet dabei das Holz?

227.Ein Körper läuft über eine schiefe Ebene von 17° Neigung und 88mLänge. Welche Geschwindigkeit hat er am Ende, wenn die Reibung 7% vom Drucke beträgt? Mit welcher Geschwindigkeit muß er von unten aus nach aufwärts bewegt werden, wenn er bis oben kommen soll?

228.Ein Körper wird über eine schiefe Ebene von 12° Neigung aufwärts geworfen mit einer Anfangsgeschwindigkeit von 15m; die Reibung beträgt 4% vom Druck. Wie hoch kommt er und mit welcher Geschwindigkeit kommt er wieder unten an?

229.Ein Körper legt mit der Anfangsgeschwindigkeitc= 40mauf einer schiefen Ebene, deren Neigungα= 10° ist, bis zum Stillstand 38mzurück. Wie groß ist der Reibungskoeffizient?

230.Ein Eisenbahnzug vonP= 15 000kgsoll auf wagrechter Strecke von der Haltestelle aus int= 40" in die Geschwindigkeitc= 8mversetzt werden; der Reibungskoeffizient istε=1⁄200. Welchen Weg legt der Zug in den 40" zurück? Wie groß ist die Kraft der Maschine und die in den 40" zu leistende Gesamtarbeit? Wieviel Pferdekräfte sind dazu erforderlich?

231.Ein Körper hat 9mAnfangsgeschwindigkeit und erleidet eine gleichförmige Verzögerung von 0,2m. Wie lange braucht er, bis die Geschwindigkeit sich auf 3mreduziert hat? Welchen Weg hat er dabei zurückgelegt und welche Arbeit geleistet, wenn er 80kgwiegt?

Ein Körper habe eine Geschwindigkeit und werde zugleich von einer Kraft angezogen, die stets von einem Punkte (Zentrum) ausgeht, welcher nicht in der Richtung der Geschwindigkeit liegt.

ZentrifugalbewegungFig. 356.

Fig. 356.

Es seiABder Weg, welchen der Körper vermöge seiner Geschwindigkeit in einem kleinen Zeitteilchen durchlaufen würde, undADder Weg, welchen er infolge der vonCaus wirkenden Kraft (Zentripetalkraft) in demselben Zeitteilchen zurücklegen würde, so durchläuft er die DiagonaleAA′des ParallelogrammsABA′D. Nach dem Trägheitsgesetz sucht er seinen jetzigen Bewegungszustand beizubehalten und würde im nächsten Zeitteilchen den WegA′B′(=AA′) zurücklegen; zugleich wirkt aber die Zentralkraft und würde den Körper vonA′nachD′bringen; der Körper bewegt sich wieder längs der DiagonaleA′A′′und kommt nachA′′. Im nächsten Zeitteilchen würde er ebenso vonA′′nachB′′kommen; aber wegen der Zentralkraft kommt er nachA′′′und so geht es fort. Der Körper legt also den WegAA′A′′A′′′, etc. zurück. Wenn wir die Zeitteilchen, während welcher wir die Bewegung immer als gleichmäßige betrachten, sehr klein (unendlich klein) denken, so beschreibt der Körper nicht eine gebrochene Linie, sondern eine krumme Linie um das Zentrum; er macht eineZentralbewegung.

Wir können nur diejenige Art von Zentralbewegung elementar behandeln, bei welcher der Körperum das Kraftzentrum einen Kreis(von Radiusr)mit gleichförmiger Geschwindigkeit(v)durchläuft; denn dabei können wir ableiten, wie groß dieZentralkraftFund die von ihr in der Richtung auf das Zentrum hin hervorgebrachte Beschleunigungf,Zentralbeschleunigung, sein muß, damit der Körper auf der Kreisbahn bleibe.

KreisbewegungFig. 357.

Fig. 357.

In irgend einem PunkteAist die Richtung der Geschwindigkeit gleich der Richtung derTangente; der Körper würde also in einer Zeittden WegAB=v tdurchlaufen. In derselben Zeit würde er infolge der Zentralkraft, welche ihm eine Beschleunigungferteilt, einen WegAD=1⁄2f t2durchlaufen. Soll nun der Körper durch das Zusammenwirken beider Ursachen auf dem Kreise bleiben, so muß die Diagonale beider Bewegungselemente, nämlichAA′selbst wieder zu einem Punkte des Kreises führen.Aliegt aber auf dem Kreis, wennAA′2= 2r·AD. Da nunAA′für kleine Bewegungen (kleinste Werte vont) mitAB=v tvertauscht werden kann, undAD=1⁄2f t2ist, so erhält man die Gleichung

v2t2= 2r·1⁄2f t2, oder

f=v2r.

D. h. wenn die Zentralbeschleunigung gerade diesen Wert hat, so istA′wieder auf dem Kreis; hatfeinen größeren oder kleineren Wert, so liegtA′innerhalb oder außerhalb des Kreises. Behältfden angegebenen Wert, so liegt auch jeder folgende Punkt der Bahn auf dem Kreis,Abeschreibt die Kreisbahn mit gleichförmiger Geschwindigkeit.

Soll also ein Körper einen Kreis vom Radiusrmit gleichförmiger Geschwindigkeitvdurchlaufen, so ist notwendig und hinreichend, daß auf ihn eine vom Zentrum ausgehende oder auf das Zentrum hin gerichtete Kraft wirke, welche ihm eine Beschleunigung erteilt, deren Größef=v2r.Die Zentralbeschleunigung ist bei gleichen Radien den Quadraten der Geschwindigkeit direkt, und bei gleicher Geschwindigkeit den Radien umgekehrtproportional.

Hat der Körper die MasseM, so muß dieZentralkraftF, damit sie der MasseMdie Beschleunigungferteilen kann, die GrößeF=M fhaben; also ist

F=M v2r.

Die einfachste Art dieser Bewegung erhält man, wenn der KörperAmit dem PunkteMdurch einen Faden verbunden ist, und man ihm eine zur Richtung des Fadens senkrechte Geschwindigkeitverteilt. Er läuft dann, wenn kein Bewegungshindernis (Reibung,Schwere u. s. w.) vorhanden ist, mit stets gleichbleibender Geschwindigkeit in Kreisform umM. Der Faden übt hiebei an dem Körper einen Zug in der RichtungAM,Zentripetalkraft. Umgekehrt hat der Körper bei dieser Bewegung (Zwangsbewegung) das Bestreben, stets in der Richtung der Tangente der Bahn weiterzulaufen und dadurch sich vom Zentrum zu entfernen; er äußert dies Bestreben dadurch, daß er seinerseits am Faden in der Richtung des Fadens zieht (Reaktion); diese Kraft heißtMittelpunktsfliehkraftoderZentrifugalkraft. Sie ist der Zentripetalkraft gleich.

Wenn sich die Masse 1 (eine Masseneinheit) auf dem Kreise vom Radius 1mmit der gleichförmigen Geschwindigkeit von 1min 1" bewegen soll, so muß auf sie eine Zentralkraft von 1kgwirken, welche ihr eine Beschleunigung von 1merteilt.

Die Zentrifugalmaschine hat folgende Einrichtung. Auf einem Brette sind zwei Achsen drehbar und senkrecht befestigt. Die eine Achse trägt ein Rad von großem, die andere eine Welle von kleinem Durchmesser. Über Rad und Welle läuft ein Riemen. Dreht man das Rad mittels einer Kurbel, so macht die Welle so vielmal mehr Umdrehungen, als ihr Durchmesser kleiner ist, und kann leicht in rasche Rotation versetzt werden. Befestigt man nun auf der Achse der Welle verschiedene Apparate, so unterliegen dieselben der beim Drehen zum Vorschein kommenden Zentrifugalkraft.

Die Zentralbewegung bringt die Zentrifugalkraft hervor, d. h. sie bringt in dem Körper das Bestreben hervor, sich in der Richtung des Radius vom Mittelpunkt zu entfernen.

ZentrifugalmaschineFig. 358.

Fig. 358.

Befestigt man das BrettchenBB′inAauf der Maschine, so sieht man, daß die KugelC, die auf der StangeMM′aufgesteckt ist, beim Umdrehen der Maschine bald nachM′hinausrückt, wenn nämlich die Zentrifugalkraft etwas größer als die Reibung geworden ist. Bemerke, daß, obwohl die Zentrifugalkraft in der RichtungCMwirkt,Csich nicht in der RichtungCMbewegt, sondern in der Richtung der Tangente des Kreises, und da dieseBewegung zugleich mit der Umdrehung geschieht, so sieht es so aus, als wenn der Körper sich vonCnachMbewegt hätte.

Hierauf beruht die Honig- und Sirupschleuder, die Zentrifugaltrockenmaschine und die gewöhnliche Schleuder.

Wenn der Eisenbahnzug im raschen Fahren eine starke Kurve beschreibt, so werden wir durch die Zentrifugalkraft nach der äußeren Seite der Krümmung hingedrückt und schwanken nach dieser Seite.

Die Zentrifugalkraft ist der Masse proportional(F=M·f). Auf die Messingstange des vorher beschriebenen Apparates werden zwei Messingkugeln von verschiedenem Gewicht gesteckt, durch einen Faden verbunden und so gestellt, daß beide in gleicher Entfernung vom Mittelpunkte sich befinden, dann haben beide die gleiche Beschleunigung (f=v2:r), bloß die Massemist verschieden. Beim Umdrehen geht die größere Kugel nach auswärts und nimmt die kleinere nach ihrer Seite hin mit.

Bringt man auf die Zentrifugalmaschine ein Gefäß mit etwas Wasser, so setzt sich bei jedem Wasserteilchen die Zentrifugalkraft mit der Schwerkraft zu einer Resultierenden zusammen, welche schräg nach außen gerichtet ist; deshalb bleibt die Oberfläche des Wassers nicht horizontal, sondern sie krümmt sich so, daß in jedem Punkte diese Resultierende senkrecht zur Wasseroberfläche steht; je weiter die Fläche vom Zentrum entfernt ist, desto steiler wird sie. Da bei raschem Drehen diese Resultierende nahezu horizontal wird, so sammelt sich das Wasser in fast vertikaler Schichte an der Wand des Gefäßes. Wie in einem Gefäß mit zwei Flüssigkeiten die schwerere sich unten sammelt, weil 1ccmmehr Masse enthält und deshalb mehr Gewicht hat, so sammelt sich beim Drehen die schwerere Flüssigkeit nach außen, um so mehr als 1ccmvon ihr mehr Masse enthält und deshalb mehr Zentrifugalkraft bekommt.

Hierauf beruht das Entrahmen der Milch in derMilchzentrifuge. Der Rahm sammelt sich innen, da er leichter ist als die Milch.

Wird bei der Drehung der ganze Kreis 2R πin der ZeitT"durchlaufen mit der Geschwindigkeitv, so istv T= 2R π, alsov=2R πT; setzt man dies in den Ausdruck fürFein, so wird

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