Elfter Abschnitt.Mechanik.

SpektrumFig. 308.

Fig. 308.

Man schließt daraus, daßdie Strahlen je nach ihrer Brechbarkeit in verschiedenem Grade Licht- und chemische Wirkungen hervorbringen. Es bringen also die Strahlen, die wir als rot, gelb, grün wahrnehmen, lebhafte Farbenempfindung in unserem Auge, aber nur schwache chemische Wirkung hervor, während blaue und besonders violette Strahlen nur schwachen Lichteindruck, aber starke chemische Wirkung ausüben, und dieultraviolettenStrahlen bringen gar keine Lichtempfindung aber noch chemische Wirkung hervor.Man nennt alle diejenigen Strahlen, welche eine chemische Wirkung hervorbringen,chemische Strahlen.

Die chemischen Strahlen verlängern das sichtbare Spektrum über das violette Ende hinaus, ebenso wie die dunklen Wärmestrahlen über das rote Ende hinaus. InFig. 308ist in der KurveIdie Intensivität der Wärmestrahlen, inIIdie der Lichtstrahlen, inIIIdie der chemischen Strahlen gezeichnet. Auch im ultraroten Wärmespektrum hat man Lücken nachgewiesen, welche Fraunhoferschen Linien analog sind; ebenso im ultravioletten, chemischen Spektrum.

Irdische Wärmequellen sind auch arm an den chemisch wirksamen Strahlen höherer Brechbarkeit. Je intensiver die Hitze, desto größer ist auch die Menge der chemisch wirksamen Strahlen, und es besitzt z. B. das elektrische Bogenlicht deren eine große Menge. Es ist deshalb nicht gut möglich, bei Lampen- oder Gaslicht zu photographieren, während elektrisches Bogenlicht sich recht gut dazu eignet.

Die bisher besprochenen Wirkungen beziehen sich jedoch nur auf die Zersetzung von Chlorsilber. Bei anderen chemischen Wirkungen haben andere Strahlen größere Energie; bei grünem Chlorophyll wirken die roten Strahlen am meisten. Im allgemeinen wirken gerade die Strahlen auf einen Stoff am stärksten, welche von dem Stoffe absorbiert werden.

Unentbehrlich ist die chemische Wirkung der Sonnenstrahlen für das Wachstum der Pflanzen. Die Pflanzen nehmen nämlich aus der Luft (die Wasserpflanzen aus dem Wasser) Kohlensäure auf; in den grünen Pflanzenteilen (Blättern, Nadeln, grünen Stengeln) wird durch die chemische Wirkung der Sonnenstrahlen die Kohlensäure zerlegt, Sauerstoff ausgeschieden, und unter Hinzunahme von Wasserstoff aus Wasser, das auch zerlegt wird, werden dann die verschiedenen, an Kohle und Wasserstoff reichen Stoffe gebildet, aus denen die Pflanze besteht.

Das Gesetz des einfachen Hebels heißt:Der Hebel ist im Gleichgewichte, wenn die Kräfte sich verhalten wie umgekehrt die Längen der Hebelarme, also wenn:

P:Q=b:a.

HebelFig. 309.

Fig. 309.

Man bildet hieraus nach arithmetischen SätzenP·a=Q·b, und sagt: Der Hebel ist im Gleichgewichte,wenn das Produkt aus der Kraft mal ihrem Hebelarme gleich ist dem Produkte aus der Last mal ihrem Hebelarme.

Ein solches Produkt aus einer Kraft und ihrem zugehörigen Hebelarme nennt man das statische Moment oder Drehmoment der Kraft.

Dann heißt das Hebelgesetz:Ein Hebel ist im Gleichgewichte, wenn die Momente beider Kräfte einander gleich sind und nach verschiedenen Richtungen wirken.

Das MomentP·aeiner KraftPgibt zugleich die Größe einerKraftan, welche im Abstande 1 vom Drehpunkt dasselbe leistet, wie die KraftPim Abstandea. Man ersetzt demnach die KraftPim Abstandeadurch die KraftP·aim Abstande 1, und die KraftQim Abstandebdurch die KraftQ·bim Abstande 1. Dann tritt Gleichgewicht ein, wenn die Kräfte gleich sind, also wennP·a=Q·b.

HebelFig. 310.

Fig. 310.

Wirken mehrere Kräfte auf den Hebel, so bringt jede an ihm ein Drehmoment hervor, dessen Größe gleich ist dem Produkte aus der Kraft mal ihrem Hebelarme. Denkt man sich die Kräfte wieder ersetzt durch Kräfte, die je im Abstande 1 mit gleichem Moment wirken, so hat man wie inFig. 310links vom Drehpunkte im Abstand 1 die KräfteP1a1,P2a2,P3a3anzubringen; ihre Resultierende ist, daP3a3nach der entgegengesetzten Richtung wirkt =P1a1+P2a2-P3a3; ebenso hat man rechts vom Drehpunkt im Abstand 1 Kräfte anzubringen, deren Resultierende = -P4a4+P5a5-P6a6+P7a7. Dann tritt Gleichgewicht ein, wennP1a1+P2a2-P3a3= -P4a4+P5a5-P6a6+P7a7.

Ordnet man diese Momente nach positiven Gliedern, also:

a1P1+a2P2+a4P4+a6P6=a3P3+a5P5+a7P7,

so heißt das Gesetz:Der Hebel ist im Gleichgewichte, wenn die Summe der Momente der Kräfte, welche den Hebel nach dereinen Richtung zu drehen suchen, gleich ist der Summe der Momente der Kräfte, welche den Hebel nach der anderen Richtung zu drehen suchen.

Bringt man alle Momente auf eine Gleichungsseite, also:

a1P1+a2P2-a3P3+a4P4-a5P5+a6P6-a7P7= 0,

so heißt das Gesetz:Der Hebel ist im Gleichgewichte, wenn die algebraische Summe aller Momente = 0 ist; dabei sind die Momente mit dem + oder - Zeichen zu nehmen, je nachdem sie den Hebel nach der einen oder nach der anderen Richtung zu drehen suchen.

HebelFig. 311.

Fig. 311.

Beispiel: An einem Hebel wirken die ausFig. 311ersichtlichen Kräfte; welche Kraft ist anzubringen, damit der Hebel im Gleichgewichte ist?

Antwort: Die Momentengleichung gibt:

18 · 30 + 10 · 14 - 26 · 3 - 14 · 15 -x· 35 = 0;

hierausx= 11,2kg.

144.Wenn an einem Hebel auf der einen Seite in den Entfernungen von 18cmund 33cmvom Stützpunkte die Kräfte 9 und 11kg, und auf der anderen Seite die Kraft 15kgin 20cmEntfernung wirkt, wo muß noch die Kraft von 10kgdazugefügt werden, damit Gleichgewicht stattfindet?

145.An einer horizontalen Stange von 64cmLänge, die an einem Ende in einem Scharnier drehbar ist, hängt am andern Ende eine Last von 20kg. Mit welcher Kraft drückt sie auf einen Punkt, der 15cmvom Scharnier entfernt ist, und mit welcher Kraft drückt sie auf das Scharnier selbst?

Parallelkräfte, welche an einer starren Stange angreifen, haben eine Resultierende, welche den Parallelkräften parallel, und gleich ihrer algebraischen Summe ist.

KraefteFig. 312.

Fig. 312.

Wirken in zwei starr verbundenen PunktenBundC(Fig. 312) zweiparalleleKräfteP1undP2, so findet man die Mittelkraft auf folgende Art. Man fügt die gleichen und entgegengesetzt wirkenden KräfteS1inBundS2inChinzu, wodurch, daS1undS2sich aufheben, die Wirkung vonP1undP2nicht geändert wird. Manbilde ausS1undP1die MittelkraftR1, ebensoR2ausS2undP2, verlege ihren Angriffspunkt in den SchnittpunktAihrer Richtungen, zerlege dort wiederR1inP1undS1,R2inP2undS2, so heben sichS1undS2auf,P1undP2geben eine MittelkraftR=P1+P2; ihren Angriffspunkt verlegt man nachD, so istDder Angriffspunkt der Mittelkraft der zwei ParallelkräfteP1undP2.

Bezeichnet manBDmitx,DCmity,DAmith, so ist

x:S1=h:P1; alsoS1h=x P1; ebenso

y:S2=h:P2; alsoS2h=y P2;hieraus durch Vergleichung:x P1=y P2oder

P1:P2=y:x=CD:BD.

Dies ergibt den Satz:Wirken zwei Parallelkräfte an den Endpunkten einer starren Strecke, so ist die Mittelkraft parallel den Kräften, gleich der Summe der Kräfte, undihrAngriffspunkt teilt die Strecke so, daß sich die Teile verhalten umgekehrt wie die Kräfte.

Daraus folgt auch: der Angriffspunkt der Mittelkraft der Parallelkräfte ist auch der Stützpunkt des HebelsBCmit den KräftenP1undP2.

KraefteFig. 313.

Fig. 313.

Wirken die Parallelkräfte nicht in gleicher, sondern inentgegengesetzterRichtung, so ändert sich die Ableitung wie ausFig. 313ersichtlich ist.

Man fügt wie vorher die gleichen KräfteS1undS2hinzu, bildet die MittelkräfteR1undR2, verlegt ihre Angriffspunkte in den SchnittpunktAihrer Richtungen, zerlegt sie dort wieder in ihre Komponenten, so heben sichS1undS2auf, während die KomponentenP1undP2nun in entgegengesetzten Richtungen wirken, also eineMittelkraftgeben gleich ihrerDifferenzR=P1-P2. Die Richtung vonRschneidet die StreckeBCaußerhalb der Angriffspunkte der Kräfte und zwar auf Seite der größeren Kraft inD.Bezeichnet man wiederDBmitx,DCmity,DAmith, so ist ebenso

x:S1=h:P1; hierausx P1=S1h;y:S2=h:P2; hierausy P2=S2h; durch Vergleichung:

x P1=y P2, oder

P1:P2=y:x=DC:DB. Der AngriffspunktDder Mittelkraft teilt also die StreckeBCäußerlichso, daß die TeilstreckenDCundDBsich umgekehrt verhalten wie die Kräfte.

KraefteFig. 314.

Fig. 314.

Gleichgewicht kann hergestellt werden, indem man inDeine der Mittelkraft gleiche und entgegengesetzte Kraft anbringt; doch mußDnoch starr mitBundCverbunden sein.

Sind die zwei KräfteP1undP2(Fig. 314) entgegengesetzt gerichtet und noch dazu einander gleich und macht man dieselbe Ableitung, so ergibt sich, daß die MittelkräfteR1undR2parallel gerichtet sind. Deshalb ergeben ihre Richtungen keinen SchnittpunktA, also auch keine Mittelkraft. Nennt man „zwei gleiche an zwei starr verbundenen Punkten angreifende und in entgegengesetztem Sinn gerichtete Kräfte einKräftepaar“, so hat man den Satz: Ein Kräftepaar hat keine Mittelkraft, kann also durch eine einzige Kraft allein nicht aufgehoben werden.

Erweiterung der vorigen Sätze: die Resultierende beliebig vieler Parallelkräfte ist den Kräften parallel und gleich ihrer algebraischen Summe.

Der Angriffspunkt der Mittelkraft muß so liegen, daß dasDrehungsmoment der Mittelkraft gleich ist der Summe der Momente der einzelnen Kräfte, und zwar gleichgültig, wo auch der Drehungspunkt der Stange liege.

Ob es möglich ist, einen Angriffspunkt unter diesen Bedingungen zu finden, ist nicht von vornherein klar. Wir suchen daher zunächst den AngriffspunktJder Mittelkraft, indem wir einen bestimmten PunktOals Drehungspunkt annehmen. (Fig. 315.)

KraefteFig. 315.

Fig. 315.

Es seienP1,P2,P3, -P4die Kräfte, so ist die Mittelkraft

R=P1+P2+P3-P4.

Sinda1,a2,a3,a4die Entfernungen dieser Kräfte vom DrehungspunkteOundOJ=xdie Entfernung der Mittelkraft vonO, und soll das Moment der Mittelkraft gleich der Summe der Momente der einzelnen Kräfte sein, so muß

R·x=a1P1+a2P2+a3P3-a4P4; hieraus

OJ=x=a1P1+a2P2+a3P3-a4P4P1+P2+P3-P4.

Es läßt sich nun zeigen, daß, wenn die Mittelkraft in dem so bestimmten PunkteJangreift, ihr Moment auch gleich ist der Summe der Momente der Einzelkräfte in bezug auf einen beliebigen anderen PunktO′. Denn es seiOO′=c, so ist

R x=a1P1+a2P2+a3P3-a4P4; aber es ist

R c=c P1+c P2+c P3-c P4; also durch Addition

R(x+c) =P1(a1+c) +P2(a2+c) +P3(a3+c) -P4(a4+c).

Aber links steht das Moment der Mittelkraft in bezug aufO′, und rechts steht die Summe der Momente der einzelnen Kräfte auch in bezug aufO′; beide sind gleich.

Der AngriffspunktJder Mittelkraft mehrerer Parallelkräfte oder deren Schwerpunkt kann demnach auf obige Art gefunden werden, indem man zunächst einen beliebigen PunktOals Drehpunkt annimmt; die Gleichheit der Momente gilt dann von selbst für jeden anderen PunktO′.

Rückt man nun den PunktOnachJ, nimmt man also den Angriffspunkt der Mittelkraft als Drehpunkt, so ist in bezug aufihn das Moment der Mittelkraft gleich Null, da die Mittelkraft durch den Punkt selbst geht, also keinen Hebelarm, einen Hebelarm = 0 hat. Folglich ist auch die Summe der Momente der einzelnen Kräfte in bezug aufJgleich Null. Das bedeutet aber, daß der Hebel in bezug aufJals Drehpunkt im Gleichgewichte ist. Wir schließen also: der Schwerpunkt mehrerer paralleler Kräfte ist zugleich Stützpunkt des Hebels und umgekehrt.

146.An den Enden einer Stange vona= 80cmLänge wirken die ParallelkräfteP= 56kgundQ= 72kg. Wo ist die Stange zu stützen?

147.Eine Stange von der Längelist an beiden Endpunkten gestützt. Wenn sie nun in der Entfernungavom einen Ende mitQkgbelastet ist, wie verteilt sich diese Last auf die beiden Stützen? Wo muß die Last angebracht werden, damit sich die Belastungen wie 2 : 3, wiep:qverhalten?

148.Eine Last von 100kgsoll auf eine horizontale, an beiden Enden gestützte Stange von 1,5mLänge so gelegt werden, daß der eine Stützpunkt nur einen Druck von 20kgerfährt. Wo ist die Last anzubringen?

149.Ein Balken hat bei 5,2mLänge 128℔Gewicht, die in seiner Mitte angreifen, ist an beiden Enden fest aufgelegt und 2,4mvom einen Ende noch mit 280℔belastet. Welchen Druck übt er auf jede Stütze aus?

150.An einem Balken von der Längel, der an beiden Enden gestützt ist, wirken in den Abständena1,a2,a3,a4je vom linken Endpunkt aus gerechnet die GewichteP1,P2,P3,P4. Welchen Druck hat jede Stütze auszuhalten?

151.An einem Hebel wirken folgende Kräfte: Am einen Ende 50kg, 20cmdavon entfernt 60kg, weitere 15cmdavon 125kg, weitere 30cmdavon 4kgund weitere 16cmdavon 80kg. Wo muß der Hebel gestützt werden, wenn alle Kräfte in derselben Richtung wirken, und wo, wenn die 2. und 4. Kraft nach entgegengesetzten Richtungen wirken?

152.An einer Stange wirken folgende Parallelkräfte: am einen Ende 40kg, 12cmdavon 70kg, weitere 20cmdavon 50kgnach aufwärts, weitere 23cmdavon 60kgnach abwärts und weitere 23cmdavon 35kgnach abwärts. Wo und wie stark muß sie gestützt werden?

153.Ein Balken von 4,8mLänge ist an beiden Enden unterstützt. Er ist in mehreren Punkten belastet, und zwar 0,6m, 1,4m, 2,2m, 3mje vom linken Endpunkt mit 120kg, 250kg, 75kg, 140kg. An welchem Punkte dürfen diese Belastungenvereinigt werden, wenn der Druck auf die Stützen sich nicht ändern soll?

154.Ein an beiden Enden unterstützter Balken von 3,6mLänge ist 1,2mvom linken Ende schon mit 100kgbelastet. Wo muß eine weitere Last von 150kgangebracht werden, damit die Belastungen der beiden Stützen gleich werden?

Wenn auf einen festen Körper eine Kraft wirkt, so bewegt er sich wegen der gegenseitigen Anziehung der Moleküle so, daß all seine Teile in Bewegung kommen. Man nennt deshalb einen festen Körper einstarres System materieller Punkte. Diese Bezeichnung gilt auch für einen festen Körper, der aus mehreren Teilen so zusammengesetzt ist, daß die gegenseitige Lage der Teile durch äußere Kräfte nicht geändert wird. Man sieht dabei ab von den unausbleiblichen kleinen Änderungen, Biegungen, Verkürzungen und ähnlichem.

Die Erfahrung lehrt:die Wirkung einer Kraft auf ein starres System ändert sich nicht, wenn man den Angriffspunkt der Kraft in der Richtung der Kraft an einen andern Punkt des Systems verlegt.

Wir betrachten einebenesstarres System und lassen an ihm beliebige Kräfte wirken, deren Richtungen alle in der Ebene des Systems selbst liegen. Wir suchen die Resultierende.

Wir ziehen in der Ebene eine beliebige Gerade, verlegen den Angriffspunkt jeder Kraft in diese Gerade, und haben somit eine starre Gerade, an welcher an verschiedenen Punkten KräfteP1,P2,P3. . . . . . unter verschiedenen Winkelnα1,α2,α3, . . . . . . wirken. Dabei seien alle Winkel in demselben Sinne gemessen, etwa nach rechts und abwärts bis 180°, und nach rechts und aufwärts auch bis 180°, letztere jedoch als negativ betrachtet.

Wir zerlegen jede Kraft in zwei Komponenten, von denen die eine (x) in der Richtung der Geraden, die andere (y) senkrecht dazu wirkt. Dann ist

x1=P1cos α1;x2=P2cos α2; . . . . . .xn=Pncos αn.

y1=P1sin α1;y2=P2sin α2; . . . . . .yn=Pnsin αn.

Man vereinigt diex1,x2. . . . . . zu einer Resultierenden

X=x1+x2+x3+ . . . . . .xn;ebensoY=y1+y2+y3+ . . . . . .yn.

Man bestimmt ferner den AngriffspunktOvonYals den Angriffspunkt der Resultierenden von Parallelkräften, so wirken inOdie zwei KräfteYundX. Man bildet die ResultierendeR=√X2+Y2und die Richtung derselbentang ω=YX. Manweiß dann, daß an einem beliebigen Punkt dieser Richtung die ResultierendeReben in dieser Richtung wirkt.

Ist das starre ebene System dabei in einem PunkteCdrehbar befestigt, so findet man das Moment der Resultierenden in bezug auf diesen Drehpunkt, indem man vonCauf die Richtung vonReine Senkrechte fällt, und diesen Abstand als Hebelarm mitRmultipliziert.

Soll bloß das Moment der Resultierenden in bezug auf einen gegebenen DrehpunktCgefunden werden, so fällt man vonCauf jede Kraftrichtung eine Senkrechte,a1,a2,a3. . . . .; dann ist das Moment der Resultierenden gleich der algebraischen Summe der Momente der einzelnen Kräfte.M=P1a1+P2a2=P3a3+ . . . . .

Da das Starrsein eines Systems nur durch die gegenseitige Anziehung der Moleküle bedingt ist, so hört ein System auf, starr zu sein, wenn die Kraft zu heftig auf den Körper wirkt, wie bei einem starken Stoß, Ruck und Schlag. Es werden dann die getroffenen Teile aus dem Verband des starren Systems losgerissen. Man sagt,eine dem festen Körper mitzuteilende Bewegung bedarf hiezu einer gewissen Zeit. Beispiele: Durch Druck kann man ein Brett umwerfen, eine abgeschossene Flintenkugel schlägt ein Loch durch. Eine Münze auf einem Kartenblatt folgt einer langsamen Bewegung desselben, einer raschen nicht. Ein an zwei schwachen Fäden horizontal aufgehängter Stab wird durch raschen Schlag zerbrochen, ohne daß die Fäden reißen. Langsame oder wuchtige Schläge treiben den Pfahl in den Boden; heftige Hammerschläge zersplittern ihn oben.

155.Ein horizontaler BalkenABruht inAin der Wand; inBist eine unter 30° geneigte ZugstangeBCangebracht, welche inCin der Mauer befestigt ist. Welchen Zug hat die Zugstange auszuhalten, wenn der Balken 2,8mlang, 70kgschwer und 1mvonBentfernt noch mit 240kgbelastet ist?

156.Ein horizontaler BalkenABist inAmit der Mauer verklammert, und inBdurch eine unter 15° geneigte StützeBCgegen die Mauer inCgestützt. Welchen Druck hat die Stütze auszuhalten, wennAB3mlang, 120kgschwer, inBmit 100kgund 1mvorBnoch mit 150kgbelastet ist?

Schwerpunkt ist der Angriffspunkt der Resultierenden all der kleinen Schwerkräfte, die auf die einzelnen Teilchen des Körpers wirken.

LinieFig. 317.

Fig. 317.

Eine physikalische Linie ist ein der Länge nach ausgedehnter Körper, der so dünn ist, daß man von seiner Breite und Dicke absehen kann (Molekülreihe). Ist eine starregerade Linieüberall gleich schwer, so liegt derSchwerpunkt in der Mitte; denn von diesem Punkte aus nach rechts und links liegen in je gleichen Entfernungen gleich schwere Massenteilchen. Ein steifen, dünner, gerader Draht bietet annähernd ein Beispiel dafür.

RechteckFig. 318.

Fig. 318.

Eine physikalische Fläche ist ein der Länge und Breite nach ausgedehnter Körper, der so dünn ist, daß man von seiner Dicke absehen kann (Molekülschichte).

Denkt man sich das Rechteck parallel einer Seite in ungemein viele, sehr schmale und gleich schmale Streifen zerschnitten, so daß jeder Streifen etwa bloß eine Molekülreihe enthält, so liegt der Schwerpunkt jedes solchen Streifens in seiner Mitte; diese Schwerpunkte erfüllen als geometrischen Ort eine Linie, welche, wie aus geometrischen Gründen leicht ersichtlich ist, die gerade Verbindungslinie der Mitten der zwei Gegenseiten ist; auch liegen die Schwerpunkte auf dieser Linie gleich weit von einander entfernt, weil die Streifen gleich breit sind. Denkt man sich nun das Gewicht jedes Streifens in seinem Schwerpunkte angebracht, so sind diese Gewichte gleich groß, weil die Streifen gleich lang und breit sind und aus gleicher Masse bestehen.Wir haben also auf der Schwerlinie in Punkten von gleichen Entfernungen gleich große Kräfte; die Resultierendegeht durch dieMitte der Schwerlinie, und dort liegt derSchwerpunkt des Rechtecks. Aus geometrischen Gründen ist ersichtlich, daß dieserSchwerpunkt im Schnittpunkte der Diagonalenliegt und so am leichtesten gefunden werden kann. Ähnliche Ableitung und gleiches Resultat gilt über den Schwerpunkt des Parallelogramms, Rhombus und Quadrates.

DreieckFig. 319.

Fig. 319.

Man zerlegt das Dreieck, ähnlich wie das Rechteck, in Streifen, die einer Seite parallel sind; ihre Schwerpunkte liegen in ihren Mitten und erfüllen, wie aus geometrischen Gründen ersichtlich ist, eine gerade Linie, welche die Mitte der Dreiecksseite mit der Spitze verbindet, also dieSeitenhalbierungslinie. Denkt man sich nun wieder das Gewicht jedes einzelnen Streifens in seinem Schwerpunkte vereinigt, so hat man auf der Schwerlinie auch wieder Punkte von gleicher Entfernung; aber in ihnen wirken nicht gleiche Kräfte, weil die Streifen nicht gleich lang sind, sondern gegen die Spitze zu immer kürzer werden. Der Angriffspunkt der Resultierenden liegt also wohl auf, aber nicht in der Mitte dieser Linie.

Zerlegt man aber das Dreieck parallel einer anderen Seite in Streifen, so findet man die zweite Seitenhalbierungslinie als eine Schwerlinie.Der Schwerpunkt liegt im Schnittpunkt beider Schwerlinien. Der Schwerpunkt des Dreiecks liegt also im Schnittpunkte der Seitenhalbierungslinien, von welchem geometrisch bekannt ist, daß erim ersten Drittel jeder Seitenhalbierungslinieliegt.

VieleckFig. 320.

Fig. 320.

Man teilt das ViereckABCDdurch die DiagonaleACin zwei Dreiecke, bestimmt deren Schwerpunktesunds′, denkt sich das Gewicht jedes Dreiecks in seinem Schwerpunkte vereinigt und schließt, daß der Angriffspunkt der Resultierenden beider Gewichte, also der Schwerpunkt, auf der Geradenss′selbst liegen muß;ss′ist also Schwerlinie des Vierecks. Man teilt das Viereck durch die DiagonaleBDin zwei andere Dreiecke, bestimmt deren Schwerpunktes1unds1′und schließt, daß auch die Gerades1s1′eine Schwerlinie des Vierecks ist; daraus folgt dann, daß derSchwerpunktSim Schnittpunktevonss′unds1s1′liegt.(Welche besondere Lage haben die Geradenss′unds1s1′?)

Der Schwerpunkt des Fünfecks wird ähnlich gefunden, indem man es durch eine Diagonale in ein Dreieck und ein Viereck zerlegt und von jedem den Schwerpunkt sucht; die Verbindungslinie der Schwerpunkte ist dann eine Schwerlinie. Zerlegt man das Fünfeck durch eine andere Diagonale und verfährt ebenso, so erhält man noch eine Schwerlinie; der Schnittpunkt beider ist der Schwerpunkt. Ähnlich kann man bei einem Sechseck, Siebeneck u. s. w. verfahren, doch wird das Verfahren bald unleidlich langwierig.

Ist eine ebene Figur aus einfachen Stücken zusammengesetzt, so kann man den Schwerpunkt auf folgende Art berechnen. Man berechnet dasGewicht jedes Flächenstückes, wobei man, wenn alle Stücke aus demselben Stoffe bestehen, die Flächenzahl als Gewichtszahl benützen, also etwa setzen kann: Rechteck = 12 · 48 = 576g.

Fig. 321.

Man denkt sich diese Gewichte in den zugehörigen Schwerpunkten angebracht und läßt sie, indem man ihre Angriffspunkte in den Richtungen der Kräfte verlegt, auf eine gerade Linie z. B. auf die untere Grenzlinie wirken. Die Resultierende ist in unserer Figur = 576 + 416 + 400 = 1392. Nimmt man etwa den linken Endpunkt als Drehpunkt an und setzt die Entfernung des Angriffspunktes der Resultierenden vom linken Endpunkt =x, so hat man die Momentengleichung: 576 · 6 + 416 · 25 + 400 · 43 = 1392 ·x;x= 22,3.

Eine in dieser Entfernung gezogene Parallele kann man als SchwerlinieIansehen.

Nun denkt man sich die Schwerkraft nach einer anderen Richtung wirkend, etwa nach links und erhält die Momentengleichung:

400 · 20 + 576 · 24 + 416 · 32 = 1392 ·y;y= 25,2.

In der Entfernungy= 25,2 liegt die SchwerlinieII. Im Schnittpunkt beider Schwerlinien liegt der SchwerpunktSder Figur.

157.Zeichne ein beliebiges Fünfeck (Sechseck) und bestimme dessen Schwerpunkt ähnlich wie inFigur 320Seite 351.

158.Auf die Seite eines rechtwinkligen Dreiecks von den Katheten 6 und 8cm(5 und 9cm) sind nach außen gerichtete Rechtecke von je 5cmHöhe aufgesetzt. Berechne den Schwerpunkt der ganzen Figur.

159.Von einem Trapez sind gegeben die beiden Parallelenaundbund ihr Abstandh. Zeige, daß der Schwerpunkt vonaaus den Abstandx=h3·a+ 2ba+b, vonbausy=h3·b+ 2ab+ahat.

160.An ein Rechteck von den Seiten 7cmund 30cmsind an den langen Seiten als Grundlinien gleichschenklige Dreiecke von 42cmund 12cmHöhe angesetzt. Berechne die Lage des Schwerpunktes.

161.Suche den Schwerpunkt einer beliebigen krummlinig begrenzten Figur durch Zerlegung derselben in sehr schmale Parallelstreifen.

Man denke sich das Prisma parallel zur Grundfläche in sehr viele, sehr dünne Schichten von gleicher Dicke zerschnitten, so daß jede Schichte etwa bloß eine Molekülschichte enthält, also jede Schichte anzusehen ist als eine Fläche; die Schwerpunkte derselben erfüllen als geometrischen Ort eine gerade Linie, welche die Schwerpunkte der Grund- und Deckfläche verbindet,Schwerachse. Denkt man sich das Gewicht jeder Schichte in ihrem Schwerpunkte vereinigt, so hat man auf dieser Linie Punkte, die gleich weit voneinander entfernt sind, und an denen gleiche Kräfte wirken; die Resultierende dieser Kräfte geht demnach durch die Mitte dieser Linie.Der Schwerpunkt des Prismas liegt in der Mitte der Verbindungslinie der Schwerpunkte der beiden Gegenflächen des Prismas, also in der Mitte der Schwerachse.

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