Figure for Corol. VI.
Hactenus principia tradidi a Mathematicis recepta & experientia multiplici confirmata. Per leges duas primas & Corollaria duo prima adinvenitGalilæusdescensum gravium esse in duplicata ratione temporis, & motum projectilium fieri in Parabola, conspirante experientia, nisi quatenus motus illi per aeris resistentiam aliquantulum retardantur. Ab ijsdem Legibus & Corollariis pendent demonstrata de temporibus oscillantium Pendulorum, suffragante Horologiorum experientia quotidiana. Ex his ijsdem & Lege tertiaD. Christopherus WrennusEques auratus,Johannes Wallisius S.T.D.&D. Christianus Hugenius, hujus ætatis Geometrarum facile Principes, regulas congressuum & reflexionum duorum corporum seorsim adinvenerunt, & eodem fere tempore cumSocietate Regiacommunicarunt, inter se (quoad has leges) omnino conspirantes; Et primus quidemD. WallisiusdeinD. Wrennus&D. Hugeniusinventum prodidit. Sed & veritas comprobata est aD. WrennocoramRegia Societateper experimentum Pendulorum, quod etiamClarissimus MariottusLibro integro exponere mox dignatus est. Verum ut hoc experimentum cum Theorijs ad amussim congruat, habenda est ratio tum resistentiæ aeris, tum etiam vis Elasticæ concurrentium corporum. Pendeant corporaA,Bfilis parallelisAC,BDa centrisC,D. His centris &intervallis describantur semicirculiEAF,GBHradijsCA,DBbisecti. Trahatur corpusAad arcusEAFpunctum quodvisR, & (subducto corporeB) demittatur inde, redeatq; post unam oscillationem ad punctumV. EstRVretardatio ex resistentia aeris. HujusRVfiatSTpars quarta sita in medio, & hæc exhibebit retardationem in descensu abSadAquam proxime. Restituatur corpusBin locum suum. Cadat corpusAde punctoS, & velocitas ejus in loco reflexionisA, absq; errore sensibili, tanta erit ac si in vacuo cecidisset de locoT. Exponatur igitur hæc velocitas per chordam arcusTA. Nam velocitatem Penduli in puncto infimo esse ut chorda arcus quem cadendo descripsit, Propositio est Geometris notissima. Post reflexionem perveniat corpusAad locums, & corpusBad locumk. Tollatur corpusB& inveniatur locusv, a quo si corpusAdemittatur & post unam oscillationem redeat ad locumr, sitstpars quarta ipsiusrvsita in medio, & per chordam arcustAexponatur velocitas quam corpusAproxime post reflexionem habuit in locoA. Namterit locus ille verus & correctus ad quem corpusA, sublata aeris resistentia, ascendere debuisset. Simili methodo corrigendus erit locusk, ad quem corpusBascendit, & inveniendus locusl, ad quem corpus illud ascendere debuisset in vacuo. Hoc pacto experiri licet omnia perinde ac si in vacuo constituti essemus. Tandem ducendum erit corpusAin chordam arcusTA(quæ velocitatem ejus exhibet) ut habeatur motus ejus in locoAproxime ante reflexionem, deinde in chordam arcustAut habeatur motus ejus in locoAproxime post reflexionem. Et sic corpus B ducendum erit in chordam arcusBl, ut habeatur motus ejus proxime post reflexionem. Et simili methodo ubi corpora duo simul demittuntur de locis diversis, inveniendi sunt motus utriusq; tam ante, quam post reflexionem; & tumdemum conferendi sunt motus inter se & colligendi effectus reflexionis. Hoc modo in Pendulis pedum decem rem tentando, idq; in corporibus tam inæqualibus quam æqualibus, & faciendo ut corpora de intervallis amplissimis, puta pedum octo, duodecim vel sexdecim concurrerent, reperi semper sine errore trium digitorum in mensuris, ubi corpora sibi mutuo directe occurrebant quod in partes contrarias mutatio motus erat corpori utriq; illata, atq; adeo quod actio & reactio semper erant æquales. Ut si corpusAincidebat in corpusBcum novem partibus motus, & amissis septem partibus pergebat post reflexionem cum duabus, corpusBresiliebat cum partibus istis septem. Si corpora obviam ibant,Acum duodecim partibus &Bcum sex & redibatAcum duabus, redibatBcum octo, facta detractione partium quatuordecim utrinque. De motu ipsiusAsubducantur partes duodecim & restabit nihil; subducantur aliæ partes duæ & fiet motus duarum partium in plagam contrariam. & sic de motu corporisBpartium sex subducendo partes quatuordecim, fiunt partes octo in plagam contrariam. Quod si corpora ibant adeandemplagam,Avelocius cum partibus quatuordecim &Btardius cum partibus quinq; & post reflexionem pergebatAcum quinq; partibus, pergebatBcum quatuordecim, facta translatione partium novem deAinB. Et sic in reliquis. A congressu & collisione corporum nunquam mutabatur quantitas motus quæ ex summa motuum conspirantium & differentia contrariorum colligebatur. Namq; errorem digiti unius & alterius in mensuris tribuerim difficultati peragendi singula satis accurate. Difficile erat tum pendula simul demittere sic, ut corpora in se mutuo impingerent in loco infimoAB, tum locas,k, notare ad quæ corpora ascendebant post concursum. Sed & in ipsis pilis inæqualis partium densitas, & textura aliis de causis irregularis, errores inducebant.
Porro nequis objiciat Regulam ad quam probandam inventum est hoc experimentum præsupponere corpora vel absolute dura esse, vel saltem perfecte elastica, cujusmodi nulla reperiuntur in compositionibus naturalibus; addo quod experimenta jam descripta succedunt in corporibus mollibus æque ac in duris, nimirum a conditione duritiei neutiquam pendentia. Nam si conditio illa in corporibus non perfecte duris tentanda est, debebit solummodo reflexio minui in certa proportione pro quantitate vis Elasticæ. In TheoriaWrenni&Hugenijcorpora absolute dura redeunt ab invicem cum velocitate congressus. Certius id affirmabitur de perfecte Elasticis. In imperfecte Elasticis velocitas reditus minuenda est simul cum vi Elastica; propterea quod vis illa, (nisi ubi partes corporum ex congressu læduntur, vel extensionem aliqualem quasi sub malleo patiuntur,) certa ac determinata sit (quantum sentio) faciatq; corpora redire ab invicem cum velocitate relativa quæ sit ad relativam velocitatem concursus in data ratione. Id in pilis ex lana arcte conglomerata & fortiter constricta sic tentavi. Primum demittendo Pendula & mensurando reflexionem, inveni quantitatem vis Elasticæ; deinde per hanc vim determinavi reflexiones in aliis casibus concursuum, & respondebant experimenta. Redibant semper pilæ ab invicem cum velocitate relativa, quæ esset ad velocitatem relativam concursus ut 5 ad 9 circiter. Eadem fere cum velocitate redibant pilæ ex chalybe: aliæ ex subere cum paulo minore. In vitreis autem proportio erat 15 ad 16 circiter. Atq; hoc pacto Lex tertia quoad ictus & reflexiones per Theoriam comprobata est, quæ cum experientia plane congruit.
In attractionibus rem sic breviter ostendo. Corporibus duobus quibusvisA,Bse mutuo trahentibus, concipe obstaculum quodvis interponi quo congressus eorum impediatur. Si corpus alterutrumAmagis trahitur versus corpus alterumB, quam illud alterumBin priusA, obstaculum magis urgebitur pressione corporisAquam pressione corporisB; proindeq; non manebit in æquilibrio. Prævalebit pressio fortior, facietq; systema corporumduorum & obstaculi moveri in directum in partes versusB, motuq; in spatiis liberis semper accelerato abire in infinitum. Quod est absurdum & Legi primæ contrarium. Nam per Legem primam debebit systema perseverare in statu suo quiescendi vel movendi uniformiter in directum, proindeq; corpora æqualiter urgebunt obstaculum, & idcirco æqualiter trahentur in invicem. Tentavi hoc in Magnete & ferro. Si hæc in vasculis propriis sese contingentibus seorsim posita, in aqua stagnante juxta fluitent, neutrum propellet alterum, sed æqualitate attractionis utrinq; sustinebunt conatus in se mutuos, ac tandem in æquilibrio constituta quiescent.
Ut corpora in concursu & reflexione idem pollent, quorum velocitates sunt reciproce ut vires insitæ: sic in movendis Instrumentis Mechanicis agentia idem pollent & conatibus contrariis se mutuo sustinent, quorum velocitates secundum determinationem virium æstimatæ, sunt reciproce ut vires. Sic pondera æquipollent ad movenda brachia Libræ, quæ oscillante Libra, sunt reciproce ut eorum velocitates sursum & deorsum: hoc est pondera, si recta ascendunt & descendunt, æquipollent, quæ sunt reciproce ut punctorum a quibus suspenduntur distantiæ ab axe Libræ; sin planis obliquis aliisve admotis obstaculis impedita ascendunt vel descendunt oblique, æquipollent quæ sunt ut ascensus & descensus quatenus facti secundum perpendiculum: id adeo ob determinationem gravitatis deorsum. Similiter in Trochlea seu Polyspasto vis manus funem directe trahentis, quæ sit ad pondus vel directe vel oblique ascendens ut velocitas ascensus perpendicularis ad velocitatem manus funem trahentis, sustinebit pondus. In horologiis & similibus instrumentis, quæ ex rotulis commissus constructa sunt, vires contrariæ ad motum rotularum promovendum & impediendum si sunt reciproce ut velocitates partium rotularum in quas imprimuntur, sustinebunt se mutuo. Vis Cochleæ ad premendum corpus est ad vim manus manubrium circumagentis, ut circularis velocitas Manubrii ea in parte ubi a manu urgetur, ad velocitatem progressivam Cochleæ versus corpus pressum. Vires quibuscuneus urget partes duas ligni fissi est ad vim mallei in cuneum, ut progressus cunei secundum determinationem vis a malleo in ipsum impressæ, ad velocitatem qua partes ligni cedunt cuneo, secundum lineas faciebus cunei perpendiculares. Et par est ratio Machinarum omnium.
Harum efficacia & usus in eo solo consistit ut diminuendo velocitatem augeamus vim, & contra: Unde solvitur in omni aptorum instrumentorum genere Problema;Datum pondus data vi movendi, aliamve datam resistentiam vi data superandi. Nam si Machinæ ita formentur ut velocitates Agentis & Resistentis sint reciproce ut vires, Agens resistentiam sustinebit, & majori cum velocitatum disparitate eandem vincet. Certe si tanta sit velocitatum disparitas ut vincatur etiam resistentia omnis, quæ tam ex contiguorum & inter se labentium corporum attritione, quam ex continuorum & ab invicem separandorum cohæsione & elevandorum ponderibus oriri solet; superata omni ea resistentia, vis redundans accelerationem motus sibi proportionalem, partim in partibus Machinæ, partim in corpore resistente producet. Cæterum Mechanicam tractare non est hujus instituti. Hisce volui tantum ostendere quam late pateat, quamq; certa sit Lex tertia motus. Nam si æstimetur Agentis actio ex ejus vi & velocitate conjunctim; & Resistentis reactio ex ejus partium singularum velocitatibus & viribus resistendi ab earum attritione, cohæsione, pondere & acceleratione oriundis; erunt actio & reactio, in omni instrumentorum usu, sibi invicem semper æquales. Et quatenus actio propagatur per instrumentum & ultimo imprimitur in corpus omne resistens, ejus ultima determinatio determinationi reactionis semper erit contraria.
De Methodo Rationum primarum & ultimarum, cujus ope sequentia demonstrantur.
Quantitates, ut & quantitatum rationes, quæ ad æqualitatem dato tempore constanter tendunt & eo pacto propius ad invicem accedere possunt quam pro data quavis differentia; fiunt ultimo æquales.
Quantitates, ut & quantitatum rationes, quæ ad æqualitatem dato tempore constanter tendunt & eo pacto propius ad invicem accedere possunt quam pro data quavis differentia; fiunt ultimo æquales.
Si negas, sit earum ultima differentiaD. Ergo nequeunt propius ad æqualitatem accedere quam pro data differentiaD: contra hypothesin.
Figure for Lemma II.
Si in figura quavisAacErectisAa,AE, & curvaacEcomprehensa, inscribantur parallelogramma quotcunq;Ab,Bc,Cd, &c. sub basibusAB,BC,CD, &c. æqualibus, & lateribusBb,Cc,Dd, &c. figuræ lateriAaparallelis contenta; & compleantur parallelogrammaaKbl,bLcm,cMdn, &c. Dein horum parallelogrammorum latitudo minuatur, & numerus augeatur in infinitum: dico quod ultimæ rationes, quas habent ad se invicem figura inscriptaAKbLcMdD, circumscriptaAalbmcndoE, & curvilineaAabcdE, sunt rationes æqualitatis.
Si in figura quavisAacErectisAa,AE, & curvaacEcomprehensa, inscribantur parallelogramma quotcunq;Ab,Bc,Cd, &c. sub basibusAB,BC,CD, &c. æqualibus, & lateribusBb,Cc,Dd, &c. figuræ lateriAaparallelis contenta; & compleantur parallelogrammaaKbl,bLcm,cMdn, &c. Dein horum parallelogrammorum latitudo minuatur, & numerus augeatur in infinitum: dico quod ultimæ rationes, quas habent ad se invicem figura inscriptaAKbLcMdD, circumscriptaAalbmcndoE, & curvilineaAabcdE, sunt rationes æqualitatis.
Nam figuræ inscriptæ & circumscriptæ differentia est summa parallelogrammorumKl+Lm+Mn+Do, hoc est (ob æquales omnium bases) rectangulum sub unius basiKb& altitudinum summaAa, id est rectangulumABla. Sed hoc rectangulum, eo quod latitudo ejusABin infinitum minuitur, sit minus quovis dato. Ergo, per Lemma I, figura inscripta & circumscripta & multo magis figura curvilinea intermedia fiunt ultimo æquales.Q. E. D.
Eædem rationes ultimæ sunt etiam æqualitatis, ubiparallelogrammorumlatitudinesAB,BC,CD,&c.sunt inæquales, & omnes minuuntur in infinitum.
Eædem rationes ultimæ sunt etiam æqualitatis, ubiparallelogrammorumlatitudinesAB,BC,CD,&c.sunt inæquales, & omnes minuuntur in infinitum.
Sit enimAFæqualis latitudini maximæ & compleatur parallelogrammumFAaf. Hoc erit majus quam differentia figuræ inscriptæ & figuræ circumscripta, at latitudine suaAFin infinitum diminuta, minus fiet quam datum quodvis rectangulum.
Corol. 1.Hinc summa ultima parallelogrammorum evanescentium coincidit omni ex parte cum figura curvilinea.
Corol. 2.Et multo magis figura rectilinea, quæ chordis evanescentium arcuumab,bc,cd,&c.comprehenditur, coincidit ultimo cum figura curvilinea.
Corol. 3.Ut & figura rectilinea quæ tangentibus eorundem arcuum circumscribitur.
Corol. 4.Et propterea hæ figuræ ultimæ (quoad perimetrosacE,) non sunt rectilineæ, sed rectilinearum limites curvilinei.
Si in duabus figurisAacE,PprT, inscribantur (ut supra) duæ parallelogrammorum series, sitq; idem amborum numerus, & ubi latitudines in infinitum diminuitur, rationes ultimæ parallelogrammorum in una figura ad parallelogramma in altera, singulorum ad singula, sint eædem; dico quod figuræ duæAacE,PprT, sunt ad invicem in eadem illa ratione.
Si in duabus figurisAacE,PprT, inscribantur (ut supra) duæ parallelogrammorum series, sitq; idem amborum numerus, & ubi latitudines in infinitum diminuitur, rationes ultimæ parallelogrammorum in una figura ad parallelogramma in altera, singulorum ad singula, sint eædem; dico quod figuræ duæAacE,PprT, sunt ad invicem in eadem illa ratione.
Figure for Lemma IV.
Etenim ut sunt parallelogramma singula ad singula, ita (componendo) fit summa omnium ad summam omnium, & ita figuraad figuram; existente nimirum figura priore (per Lemma III.) ad summam priorem, & posteriore figura ad summam posteriorem in ratione æqualitatis.
Corol.Hinc si duæ cujuscunq; generis quantitates in eundem partium numerum utcunq; dividantur, & partes illæ, ubi numerus earum augetur & magnitudo diminuitur in infinitum, datam obtineant rationem ad invicem, prima ad primam, secunda ad secundam cæteræq; suo ordine ad cæteras; erunt tota ad invicem in eadem illa data ratione. Nam si in Lemmatis hujus figuris sumantur parallelogramma inter se ut partes, summæ partium semper erunt ut summæ parallelogrammorum; atq; adeo, ubi partium & parallelogrammorum numerus augetur & magnitudo diminuitur in infinitum, in ultima ratione parallelogrammi ad parallelogrammum, id est (per hypothesin) in ultima ratione partis ad partem.
Similium figurarum latera omnia, quæ sibi mutuo respondent, sunt proportionalia, tam curvilinea quam rectilinea, & areæ sunt in duplicata ratione laterum.
Similium figurarum latera omnia, quæ sibi mutuo respondent, sunt proportionalia, tam curvilinea quam rectilinea, & areæ sunt in duplicata ratione laterum.
Figure for Lemma VI.
Si arcus quilibet positione datusABsubtendatur chordaAB, & in puncto aliquoA, in medio curvaturæ continuæ, tangatur a recta utrinq; productaAD; dein punctaA,Bad invicem accendant & coeant; dico quod angulusBADsub chorda & tangente contentus minuetur in infinitum & ultimo evanescet.
Si arcus quilibet positione datusABsubtendatur chordaAB, & in puncto aliquoA, in medio curvaturæ continuæ, tangatur a recta utrinq; productaAD; dein punctaA,Bad invicem accendant & coeant; dico quod angulusBADsub chorda & tangente contentus minuetur in infinitum & ultimo evanescet.
Nam producaturABadb&ADadd, & punctisA,Bcoeuntibus, nullaq; adeo ipsiusAbparteABjacente amplius intra curvam, manifestum esi quod hæc rectaAb,vel coincidet cum tangenteAd, vel ducetur inter tangentem & curvam. Sed casus posterior est contra naturam Curvaturæ, ergo prior obtinet.Q. E. D.
Iisdem positis, dico quod ultima ratio arcus, chordæ & tangentis ad invicem est ratio æqualitatis. VideFig.Lem. 6 & 8 vi.
Iisdem positis, dico quod ultima ratio arcus, chordæ & tangentis ad invicem est ratio æqualitatis. VideFig.Lem. 6 & 8 vi.
Nam producanturAB&ADadb&dsecantiBDparallela agaturbd. Sitq; arcusAbsimilis arcuiAB. Et punctisA,Bcoeuntibus, angulusdAb, per Lemma superius, evanescet; adeoq; rectæAb,Adarcus intermediusAbcoincident, & propterea æquales erunt. Unde & hisce semper proportionales rectæAB,AD, & arcus intermediusABrationem ultimam habebunt æqualitatis.Q. E. D.
Corol. 1.
Corol. 1.Unde si perBducatur tangenti parallelaBFrectam quamvisAFperAtranseuntem perpetuo secans inF, hæc ultimo ad arcum evanescentemABrationem habebit æqualitatis, eo quod completo parallelogrammoAFBD, rationem semper habet æqualitatis adAD.
Corol. 2.Et si perB&Aducantur plures rectæBE,BD,AF,AG, secantes tangentemAD& ipsius parallelamBF, ratio ultima abscissarum omniumAD,AE,BF,BG, chordæq; & arcusABad invicem erit ratio æqualitatis.
Corol. 3.Et propterea hæ omnes lineæ in omni de rationibus ultimis argumentatione pro se invicem usurpari possunt.
Figure for Lemma VIII.
Si rectæ datæAR,BRcum arcuAB, chordaAB& tangenteAD, triangula triaARB,ARB,ARDconstituunt, dein punctaA, Baccedunt ad invicem: dico quod ultima forma triangulorum evanescentium est similitudinis, & ultima ratio æqualitatis.
Si rectæ datæAR,BRcum arcuAB, chordaAB& tangenteAD, triangula triaARB,ARB,ARDconstituunt, dein punctaA, Baccedunt ad invicem: dico quod ultima forma triangulorum evanescentium est similitudinis, & ultima ratio æqualitatis.
Nam producanturAB,AD,ARadb,d&r. IpsiRDagatur parallelarbd, & arcuiABsimilis ducatur arcusAb. Coeuntibus punctisA,B, angulusbAdevanescet, & propterea triangula triarAb,rAb,rAdcoincident, suntq; eo nomine similia & æqualia. Unde & hisce semper similia & proportionaliaRAB,RAB,RADfient ultimo sibi invicem similia & æqualia.Q. E. D.
Corol.Et hinc triangula illa in omni de rationibus ultimis argumentatione pro se invicem usurpari possunt.
Figure for Lemma IX.
Si rectaAE& CurvaACpositione datæ se mutuo secent in angulo datoA, & ad rectam illam in alio dato angulo ordinatim applicenturBD,EC, curvæ occurrentes inB,C; dein punctaB,Caccedant ad punctumA: dico quod areæ triangulorumADB,AECerunt ultimo ad invicem in duplicata ratione laterum.
Si rectaAE& CurvaACpositione datæ se mutuo secent in angulo datoA, & ad rectam illam in alio dato angulo ordinatim applicenturBD,EC, curvæ occurrentes inB,C; dein punctaB,Caccedant ad punctumA: dico quod areæ triangulorumADB,AECerunt ultimo ad invicem in duplicata ratione laterum.
Etenim inADproducta capianturAd,AeipsisAD,AEproportionales, & erigantur ordinatædb,ecordinatisDB,ECparallelæ & proportionales. ProducaturACadc, ducatur curvaAbcipsiABCsimilis, & rectaAgtangatur curva utraq; inA; & secantur ordinatim applicatæ inF,G,f,g. Tum coeant punctaB,Ccum punctoA, & angulocAgevanescente, coincident areæ curvilineæAbd,Acecum rectilineisAfd,Age, adeoq; per Lemma V, erunt induplicata ratione laterumAd,Ae: Sed his areis proportionales semper sunt areæABD,ACE, & his lateribus lateraAD,AE. Ergo & areæABD,ACEsunt ultimo in duplicata ratione laterumAD,AE.Q. E. D.
Spatia, quæ corpus urgente quacunq; vi regulari describit, sunt ipso motus initio in duplicata ratione temporum.
Spatia, quæ corpus urgente quacunq; vi regulari describit, sunt ipso motus initio in duplicata ratione temporum.
Exponantur tempora per lineasAD,AE, & velocitates genitæ per ordinatasDB,EC, & spatia his velocitatibus descripta erunt ut areæABD,ACEhis ordinatis descriptæ, hoc est ipso motus initio (per Lemma IX) in duplicata ratione temporumAD,AE.Q. E. D.
Corol. 1.Et hinc facile colligitur, quod corporum similes similium figurarum partes temporibus proportionalibus describentium errores, qui viribus æqualibus in partibus istis ad corpora similiter applicatis generantur, & mensurantur a locis figurarum, ad quæ corpora temporibus ijsdem proportionalibus absq; viribus istis pervenirent, sunt ut quadrata temporum in quibus generantur quam proxime.
Corol. 2.Errores autem qui viribus proportionalibus similiter applicatis generantur, sunt ut vires & quadrata temporum conjunctim.
Subtensa evanescens anguli contactus est ultimo in ratione duplicata subtensæ arcus contermini.
Subtensa evanescens anguli contactus est ultimo in ratione duplicata subtensæ arcus contermini.
Figure for Lemma XI.
Cas. 1.Sit arcus illeAB, tangens ejusAD, subtensa anguli contactus ad tangentem perpendicularisBD, subtensa arcusAB. Huic subtensæAB& tangentiADperpendiculares eriganturAG,BG, concurrentes inG; dein accedant punctaD,B,G, ad punctad,b,g, sitq;Jintersectio linearumBG,AGultimo facta ubi punctaD,Baccedunt usq; adA. Manifestum est quoddistantiaGJminor esse potest quam assignata quævis. Est autem (ex natura circulorum per punctaABG,Abgtranseuntium)AB quad.æqualeAG×BD&Ab quad.æqualeAg×bd, adeoq; ratioAB quad.adAb quad.componitur ex rationibusAGadAg&BDadbd. Sed quoniamJGassumi potest minor longitudine quavis assignata, fieri potest ut ratioAGadAgminus differat a ratione æqualitatis quam pro differentia quavis assignata, adeoq; ut ratioAB quad.adAb quad.minus differat a rationeBDadbdquam pro differentia quavis assignata. Est ergo, per Lemma I, ratio ultimaAB quad.adAb quad.æqualis rationi ultimæBDadbd.Q. E. D.
Cas. 2.Inclinetur jamBDadADin angulo quovis dato, & eadem semper erit ratio ultimaBDadbdquæ prius, adeoq; eadem acAB quad.adAb quad.Q. E. D.
Cas. 3.Et quamvis angulus D non detur, tamen anguliD,dad æqualitatem semper vergent & propius accedent ad invicem quam pro differentia quavis assignata, adeoq; ultimo æquales erunt, per Lem. I. & propterea lineæBD,bdin eadem ratione ad invicem ac prius.Q. E. D.
Corol. 1.Unde cum tangentesAD,Ad, arcusAB,Ab& eorum sinusBC,bcfiant ultimo chordisAB,Abæquales; erunt etiam illorum quadrata ultimo ut subtensæBD,bd.
Corol. 2.Triangula rectilineaADB,Adbsunt ultimo in triplicata ratione laterumAD,Ad, inq; sesquiplicata laterumDB,db: Utpote in composita ratione laterumAD&DB,Ad&dbexistentia. Sic & triangulaABC,Abcsunt ultimo in triplicata ratione laterumBC,bc.
Corol. 3.Et quoniamDB,dbsunt ultimo parallelæ & in duplicata ratione ipsarumAD,Ad; erunt areæ ultimæ curvilineæADB,Adb(ex natura Parabolæ) duæ tertiæ partes triangulorum rectilineorumADB,Adb, & segmentaAB,Abpartes tertiæ eorundem triangulorum. Et inde hæ areæ & hæc segmenta erunt in triplicata ratione tum tangentiumAD,Ad; tum chordarum & arcuumAB,Ab.
Cæterum in his omnibus supponimus angulum contactus nec infinite majorem esse angulis contactuum, quos circuli continent cum tangentibus suis, nec iisdem infinite minorem; hoc est curvaturam ad punctumA, nec infinite parvam esse nec infinite magnam, seu intervallumAJfinitæ esse magnitudinis. Capi enim potestDButAD3: quo in casu circulus nullus per punctumAinter tangentemAD& curvamABduci potest, proindeq; angulus contactus erit infinite minor circularibus. Et simili argumento si fiatDBsuccessive utAD4,AD5,AD6,AD7, &c. habebitur series angulorum contactus pergens in infinitum, quorum quilibet posterior est infinite minor priore. Et si fiatDBsuccessive utAD2,AD3/2,AD4/3,AD5/4,AD6/5,AD7/6, &c. habebitur alia series infinita angulorum contactus, quorum primus est ejusdem generis cum circularibus, secundus infinite major, & quilibet posterior infinite major priore. Sed & inter duos quosvis ex his angulis potest series utrinq; in infinitum pergens angulorum intermediorum inseri, quorum quilibet posterior erit infinite major priore. Ut si inter terminosAD2&AD3inseratur seriesAD13/6,AD11/5,AD9/4,AD7/3,AD5/2,AD8/3,AD11/4,AD14/5,AD17/6, &c. Et rursus inter binos quosvis angulos hujus seriei inseri potest series nova angulorum intermediorum ab invicem infinitis intervallis differentium. Neq; novit natura limitem.
Quæ de curvis lineis deq; superficiebus comprehensis demonstrata sunt, facile applicantur ad solidorum superficies curvas &contenta. Præmisi vero hæc Lemmata ut effugerem tædium deducendi perplexas demonstrationes, more veterum Geometrarum, ad absurdum. Contractiores enim redduntur demonstrationes per methodum indivisibilium. Sed quoniam durior est indivisibilium Hypothesis; & propterea Methodus illa minus Geometrica censetur, malui demonstrationes rerum sequentium ad ultimas quantitatum evanescentium summas & rationes, primasq; nascentium, id est, ad limites summarum & rationum deducere, & propterea limitum illorum demonstrationes qua potui breuitate præmittere. His enim idem præstatur quod per methodum indivisibilium, & principiis demonstratis jam tutius utemur. Proinde in sequentibus, siquando quantitates tanquam ex particulis constantes consideravero, vel si pro rectis usurpavero lineolas curvas, nolim indivisibilia sed evanescentia divisibilia, non summas & rationes partium determinatarum, sed summarum & rationum limites semper intelligi, vimq; talium demonstrationum ad methodum præcedentium Lemmatum semper revocari.
Objectio est, quod quantitatum evanescentium nulla sit ultima proportio; quippe quæ, antequam evanuerunt, non est ultima, ubi evanuerunt, nulla est. Sed & eodem argumento æque contendi posset nullam esse corporis ad certum locum pergentis velocitatem ultimam. Hanc enim, antequam corpus attingit locum, non esse ultimam, ubi attigit, nullam esse. Et responsio facilis est. Per velocitatem ultimam intelligi eam, qua corpus movetur neq; antequam attingit locum ultimum & motus cessat, neq; postea, sed tunc cum attingit, id est illam ipsam velocitatem quacum corpus attingit locum ultimum & quacum motus cessat. Et similiter per ultimam rationem quantitatum evanescentium intelligendam esse rationem quantitatum non antequam evanescunt, non postea, sed quacum evanescunt. Pariter & ratio prima nascentium est ratio quacum nascuntur. Et summa prima & ultima est quacum esse (vel augeri & minui) incipiunt & cessant. Extat limes quem velocitas in fine motus attingere potest, non autem transgredi.Hæc est velocitas ultima. Et par est ratio limitis quantitatum & proportionum omnium incipientium & cessantium. Cumq; hic limes sit certus & definitus, Problema est vere Geometricum eundem determinare. Geometrica vero omnia in aliis Geometricis determinandis ac demonstrandis legitime usurpantur.
Contendi etiam potest, quod si dentur ultimæ quantitatum evanescentium rationes, dabuntur & ultimæ magnitudines; & sic quantitas omnis constabit ex indivisibilibus, contra quamEuclidesde incommensurabilibus, in libro decimo Elementorum, demonstravit. Verum hæc Objectio falsæ innititur hypothesi. Ultimæ rationes illæ quibuscum quantitates evanescunt, revera non sunt rationes quantitatum ultimarum, sed limites ad quos quantitatum sine limite decrescentium rationes semper appropinquant, & quas propius assequi possunt quam pro data quavis differentia, nunquam vero transgredi, neq; prius attingere quam quantitates diminuuntur in infinitum. Res clarius intelligetur in infinite magnis. Si quantitates duæ quarum data est differentia augeantur in infinitum, dabitur harum ultima ratio, nimirum ratio æqualitatis, nec tamen ideo dabuntur quantitates ultimæ seu maximæ quarum ista est ratio. Igitur in sequentibus, siquando facili rerum imaginationi consulens, dixero quantitates quam minimas, vel evanescentes vel ultimas, cave intelligas quantitates magnitudine determinatas, sed cogita semper diminuendas sine limite.
De Inventione Virium Centripetarum.
Areas quas corpora in gyros acta radiis ad immobile centrum virium ductis describunt, & in planis immobilibus consistere, & esse temporibus proportionales.
Areas quas corpora in gyros acta radiis ad immobile centrum virium ductis describunt, & in planis immobilibus consistere, & esse temporibus proportionales.
Figure for Prop. I.
Dividatur tempus in partes æquales, & prima temporis parte describat corpus vi insita rectamAB. Idem secunda temporis parte, si nil impediret, recta pergeret adc, (per Leg. I) describens lineamBcæqualem ipsiAB, adeo ut radiisAS,BS,cSad centrum actis, consectæ forent æquales areæASB,BSc. Verum ubi corpus venit adB, agat vis centripeta impulsu unico sed magno, faciatq; corpus a rectaBcdeflectere & pergere in rectaBC. IpsiBSparallela agaturcCoccurrensBCinC, & completa secunda temporis parte, corpus (per Legum Corol. I) reperietur inC, in eodem plano cum trianguloASB. JungeSC, & triangulumSBC, ob parallelasSB,Cc, æquale erit trianguloSBc, atq; adeo etiam trianguloSAB. Simili argumento sivis centripeta successive agat inC,D,E, &c. faciens ut corpus singulis temporis particulis singulas describat rectasCD,DE,EF, &c. jacebunt hæ in eodem plano, & triangulumSCDtrianguloSBC&SDEipsiSCD&SEFipsiSDEæquale erit. Æqualibus igitur temporibus æquales areæ in plano immoto describuntur: & componendo, sunt arearum summæ quævisSADS,SAFSinter se, ut sunt tempora descriptionum. Augeatur jam numerus & minuatur latitudo triangulorum in infinitum, & eorum ultima perimeterADF, (per Corollarium quartum Lemmatis tertii) erit linea curva; adeoq; vis centripeta qua corpus de tangente hujus curvæ perpetuo retrahitur, aget indesinenter; areæ vero quævis descriptæSADS,SAFStemporibus descriptionum semper proportionales, erunt iisdem temporibus in hoc casu proportionales.Q. E. D.
Corol. 1.In mediis non resistentibus, si areæ non sunt temporibus proportionales, vires non tendunt ad concursum radiorum.
Corol. 2.In mediis omnibus, si arearum descriptio acceleratur, vires non tendunt ad concursum radiorum, sed inde declinant in consequentia.
Corpus omne quod, cum movetur in linea aliqua curva, & radio ducto ad punctum vel immobile, vel motu rectilineo uniformiter progrediens, describit areas circa punctum illud temporibus proportionales, urgetur a vi centripeta tendente ad idem punctum.
Corpus omne quod, cum movetur in linea aliqua curva, & radio ducto ad punctum vel immobile, vel motu rectilineo uniformiter progrediens, describit areas circa punctum illud temporibus proportionales, urgetur a vi centripeta tendente ad idem punctum.
Cas. 1.Nam corpus omne quod movetur in linea curva, detorquetur de cursu rectilineo per vim aliquam in ipsum agentem. (per Leg. I.) Et vis illa qua corpus de cursu rectilineo detorquetur & cogitur triangula quam minimaSAB,SBC,SCD&c. circa punctum immobileS, temporibus æqualibus æqualia describere, agit in locoBsecundum lineam parallelam ipsicC(per Prop. 40 Lib. I Elem. & Leg. II.) hoc est secundum lineamBS& in locoCsecundum lineam ipsidDparallelam, hoc est secundum lineamCS, &c. Agit ergo semper secundum lineas tendentes ad punctum illud immobileS.Q. E. D.
Cas. 2.Et, per Legum Corollarium quintum, perinde est sive quiescat superficies in qua corpus describit figuram curvilineam, sive moveatur eadem una cum corpore, figura descripta & puncto suoSuniformiter in directum.
Urgeri potest corpus a vi centripeta composita ex pluribus viribus. In hoc casu sensus Propositionis est, quod vis illa quæ ex omnibus componitur, tendit ad punctumS. Porro si vis aliqua agat secundum lineam superficiei descriptæ perpendicularem, hæc faciet corpus deflectere a plano sui motus, sed quantitatem superficiei descriptæ nec augebit nec minuet, & propterea in compositione virium negligenda est.
Corpus omne quod, radio ad centrum corporis alterius utcunq; moti ducto, describit areas circa centrum illud temporibus proportionales, urgetur vi composita ex vi centripeta tendente ad corpus alterum & ex vi omni acceleratrice, qua corpus alterum urgetur.
Corpus omne quod, radio ad centrum corporis alterius utcunq; moti ducto, describit areas circa centrum illud temporibus proportionales, urgetur vi composita ex vi centripeta tendente ad corpus alterum & ex vi omni acceleratrice, qua corpus alterum urgetur.
Nam (per Legum Corol. 6.) si vi nova, quæ æqualis & contraria sit illi qua corpus alterum urgetur, urgeatur corpus utrumq; secundum lineas parallelas, perget corpus primum describere circa corpus alterum areas easdem ac prius: vis autem qua corpus alterum urgebatur, jam destruetur per vim sibi æqualem & contrariam, & propterea (per Leg. 1.) corpus illud alterum vel quiescet vel movebitur uniformiter in directum, & corpus primum, urgente differentia virium, perget areas temporibus proportionales circa corpus alterum describere. Tendit igitur (per Theor. 2.) differentia virium ad corpus illud alterum ut centrum.Q. E. D.
Corol. 1.Hinc si corpus unum radio ad alterum ducto describit areas temporibus proportionales, atq; de vi tota (sive simplici, sive ex viribus pluribus, juxta Legum Corollarium secundum, composita,) qua corpus prius urgetur, subducatur (per idem Legum Corollarium) vis tota acceleratrix qua corpus alterum urgetur; vis omnis reliqua qua corpus prius urgetur tendet ad corpus alterum ut centrum.
Corol. 2.Et si areæ illæ sunt temporibus quamproxime proportionales, vis reliqua tendet ad corpus alterum quamproxime.
Corol. 3.Et vice versa, si vis reliqua tendit quamproxime ad corpus alterum, erunt areæ illæ temporibus quamproxime proportionales.
Corol. 4.Si corpus radio ad alterum corpus ducto describit areas quæ, cum temporibus collatæ, sunt valde inæquales, & corpus illud alterum vel quiescit vel movetur uniformiter in directum; actio vis centripetæ ad corpus illud alterum tendentis, vel nulla est, vel miscetur & componitur cum actionibus admodum potentibus aliarum virium: Visq; tota ex omnibus, si plures sunt vires, composita, ad aliud (sive immobile sive mobile) centrum dirigitur, circum quod æquabilis est arearum descriptio. Idem obtinet ubi corpus alterum motu quocunq; movetur, si modo vis centripeta sumatur, quæ restat post subductionem vis totius agentis in corpus illud alterum.
Quoniam æquabilis arearum descriptio Index est centri quod vis illa respicit qua corpus maxime afficitur, corpus autem vi ad hoc centrum tendente retinetur in orbita sua, & motus omnis circularis recte dicitur circa centrum illud fieri, cujus vi corpus retrahitur de motu rectilineo & retinetur in Orbita: quidni usurpemus in sequentibus æquabilem arearum descriptionem ut Indicem centri circum quod motus omnis circularis in spatiis liberis peragitur?
Corporum quæ diversos circulos æquabili motu describunt, vires centripetas ad centra eorundem circulorum tendere, & esse inter se ut arcuum simul descriptorum quadrata applicata ad circulorum radios.
Corporum quæ diversos circulos æquabili motu describunt, vires centripetas ad centra eorundem circulorum tendere, & esse inter se ut arcuum simul descriptorum quadrata applicata ad circulorum radios.
Figure for Prop. IV.
CorporaB,bin circumferentiis circulorumBD,bdgyrantia, simul describant arcusBD,bd. Quoniam sola vi insita describerent tangentesBC,bchis arcubus æquales, manifestum est quod vires centripetæ sunt quæ perpetuo retrahunt corpora de tangentibus ad circumferentias circulorum, atq; adeo hæ sunt ad invicem in ratione prima spatiorum nascentiumCD,cd: tendunt vero ad centra circulorum per Theor. II, propterea quod areæ radiis descriptæ ponuntur temporibus proportionales. Fiat figuratkbfiguræDCBsimilis, & per Lemma V, lineolaCDerit ad lineolamktut arcusBDad arcumbt: nec non, per Lemma XI, lineola nascenstkad lineolam nascentemdcutbt quad.adbd quad.& ex æquo lineola nascensDCad lineolam nascentemdcutBD×btadbd quad.seu quod perinde est, utBD×bt÷Sbadbd quad.÷Sb, adeoq; (ob æquales rationesbt÷Sb&BD÷SB) utBD quad.÷SBadbd quad.÷SbQ. E. D.
Corol. 1.Hinc vires centripetæ sunt ut velocitatum quadrata applicata ad radios circulorum.
Corol. 2.Et reciproce ut quadrata temporum periodicorumapplicata ad radios ita sunt hæ vires inter se. Id est (ut cum Geometris loquar) hæ vires sunt in ratione composita ex duplicata ratione velocitatum directe & ratione simplici radiorum inverse: necnon in ratione composita ex ratione simplici radiorum directe & ratione duplicata temporum periodicorum inverse.
Corol. 3.Unde si tempora periodica æquantur, erunt tum vires centripetæ tum velocitates ut radii, & vice versa.
Corol. 4.Si quadrata temporum periodicorum sunt ut radii, vires centripetæ sunt æquales, & velocitates in dimidiata ratione radiorum: Et vice versa.
Corol. 5.Si quadrata temporum periodicorum sunt ut quadrata radiorum, vires centripetæ sunt reciproce ut radii, & velocitates æquales; Et vice versa.
Corol. 6.Si quadrata temporum periodicorum sunt ut cubi radiorum, vires centripeta: sunt reciproce ut quadrata radiorum; velocitates autem in radiorum dimidiata ratione: Et vice versa.
Corol. 7.Eadem omnia de temporibus, velocitatibus & viribus, quibus corpora similes figurarum quarumcunq; similium, centraq; similiter posita habentium, partes describunt, consequuntur ex Demonstratione præcedentium ad hosce casus applicata.
Casus Corollarii sexti obtinet in corporibus cælestibus (ut seorsum colligerunt etiam nostratesWrennus, Hookius & Halleus) & propterea quæ spectant ad vim centripetam decrescentem in duplicata ratione distantiarum a centris decrevi fusius in sequentibus exponere.
Porro præcedentis demonstrationis beneficio colligitur etiam proportio vis centripetæ ad vim quamlibet notam, qualis est ea gravitatis. Nam cum vis illa, quo tempore corpus percurrit arcumBC, impellat ipsum per spatiumCD, quod ipso motus initio æquale est quadrato arcus illiusBDad circuli diametrum applicato; & corpus omne vi eadem in eandem semper plagamcontinuata, describat spatia in duplicata ratione temporum: Vis illa, quo tempore corpus revolvens arcum quemvis datum describit, efficiet ut corpus idem recta progrediens describat spatium quadrato arcus illius ad circuli diametrum applicato æquale; adeoq; est ad vim gravitatis ut spatium illud ad spatium quod grave cadendo eodem tempore describit. Et hujusmodi PropositionibusHugenius, in eximio suo Tractatu de Horologio oscillatorio, vim gravitatis cum revolventium viribus centrifugis contulit.
Demonstrari etiam possunt præcedentia in hunc modum. In circulo quovis describi intelligatur Polygonum laterum quotcunq; Et si corpus in Polygoni lateribus data cum velocitate movendo, ad ejus angulos singulos a circulo reflectatur; vis qua singulis reflexionibus impingit in circulum erit ut ejus velocitas, adeoq; summa virium in dato tempore erit ut velocitas illa & numerus reflexionum conjunctim, hoc est (si Polygonum detur specie) ut longitudo dato illo tempore descripta & longitudo eadem applicata ad Radium circuli, id est ut quadratum longitudinis illius applicatum ad Radium; adeoq; si Polygonum lateribus infinite diminutis coincidat cum circulo, ut quadratum arcus dato tempore descripti applicatum ad radium. Hæc est vis qua corpus urget circulum, & huic æqualis est vis contraria qua circulus continuo repellit corpus centrum versus.