Pro. VI. Theor. V.

Figure for Prop. V.

Data quibuscunq; in locis velocitate, qua corpus figuram datam viribus ad commune aliquod centrum tendentibus describit, centrum illud invenire.

Figuram descriptam tangant rectæ tresPT,TQV,VRin punctis totidemP,Q,R, concurrentes inT&V. Ad tangentes erigantur perpendiculaPA,QB,RC, velocitatibus corporis in punctis illisP,Q,Ra quibus eriguntur reciproce proportionalia; id est ita ut sitPAadQBut velocitas inQad velocitatem inP, &QBadRCut velocitas inRad velocitateminQ. Per perpendiculorum terminosA,B,Cad angulos rectos ducanturAD,DBE,ECconcurrentia inD&E: Et actæTD,VEconcurrent in centro quæsitoS.

Nam cum corpus inP&Qradiis ad centrum ductis areas describat temporibus proportionales, sintq; areæ illæ simul descriptæ ut velocitates inP&Qductæ respective in perpendicula a centro in tangentesPT,QTdemissa: Erunt perpendicula illa ut velocitates reciproce, adeoq; ut perpendiculaAP,BQdirecte, id est ut perpendicula a punctoDin tangentes demissa. Unde facile colligitur quod punctaS,D,Tsunt in una recta. Et simili argumento punctaS,E,Vsunt etiam in una recta; & propterea centrumSin concursu rectarumTD,VEversatur.Q. E. D.

Si corpusPrevolvendo circa centrumS, describat lineam quamvis curvamAPQ, tangat vero rectaZPRcurvam illam in puncto quovisP, & ad tangentem ab alio quovis curvæQagaturQRdistantiæSPparallela, ac demittaturQTperpendicularis ad distantiamSP: Dico quod vis centripeta sit reciproce ut solidumSP quad.×QT quad.÷QR, si modo solidi illius ea semper sumatur quantitas quæ ultimo fit ubi coeunt punctaP&Q.

Figure for Prop. VI.

Namq; in figura indefinite parvaQRPTlineola nascensQR, dato tempore, est ut vis centripeta (per Leg. II.) &data vi, ut quadratum temporis (per Lem. X.) atq; adeo, neutro dato, ut vis centripeta & quadratum temporis conjunctim, adeoq; vis centripeta ut lineolaQRdirecte & quadratum temporis inverse. Est autem tempus ut areaSPQ, ejus duplaSP×QT, id est utSP&QTconjunctim, adeoq; vis centripeta utQRdirecte atq;SP quad.inQT quad.inverse, id est utSP quad.×QT quad.÷QRinverse.Q. E. D.

Corol.Hinc si detur figura quævis, & in ea punctum ad quod vis centripeta dirigitur; inveniri potest lex vis centripetæ quæ corpus in figuræ illius perimetro gyrari faciet. Nimirum computandum est solidumSP quad.×QT quad.÷QRhuic vi reciproce proportionale. Ejus rei dabimus exempla in problematis sequentibus.

Figure for Prop. VII.

Gyretur corpus in circumferentia circuli, requiritur lex vis centripetæ tendentis ad punctum aliquod in circumferentia datum.

Esto circuli circumferentiaSQPA, centrum vis centripetæS, corpus in circumferentia latumP, locus proximus in quem movebiturQ. Ad diametrumSA& rectamSPdemitte perpendiculiPK,QT, & perQipsiSPparallelam ageLRoccurrentem circulo inL& tangentiPRinR, & coeantTQ,PRinZ. Ob similitudinem triangulorumZQR,ZTP,SPAeritRP quad.(hoc estQRL) adQT quad.utSA quad.adSP quad.ErgoQRL×SP quad.÷SA quad.æquaturQT quad.Ducantur hæcæqualia inSP quad.÷QR, & punctisP&Qcoeuntibus, scribaturSPproRL. Sic fietSP qc.÷SAq.æqualeQTq.×SPq.÷QR. Ergo (per Corol. Theor. V.) vis centripeta reciproce est utSP qc.÷SAq., id est (ob datumSA quad.) ut quadrato-cubus distantiæSP. Quod erat inveniendum.

Figure for Prop. VIII.

Moveatur corpus in circuloPQA: ad hunc effectum requiritur lex vis centripetæ tendentis ad punctum adeo longinquum, ut lineæ omnesPS,RSad id ductæ, pro parallelis haberi possint.

A circuli centroCagatur semidiameterCAparallelas istas perpendiculariter secans inM&N, & junganturCP. Ob similia triangulaCPM, &TPZ, vel (per Lem. VIII.)TPQ, estCPq.adPMq.utPQq.vel (per Lem. VII.)PRq.adQTq.& ex natura circuli rectangulumQR×RN+QNæquale estPRquadrato. Coeuntibus autem punctisP,QfitRN+QNæqualis 2PM. Ergo estCP quad.adPM quad.utQR× 2PMadQT quad.adeoq;QT quad.÷QRæquale 2PM cub.÷CP quad., &QT quad.×SP quad.÷QRæquale 2PM cub.×SP quad.÷CP quad.Est ergo (per Corol. Theor. V.) vis centripeta reciproce ut 2PM cub.×SP quad.÷CP quad.hoc est (neglecta ratione determinata 2SP quad.÷CP quad.) reciproce utPM cub.Q. E. I.

Et simili argumento corpus movebitur in Ellipsi vel etiam in Hyperbola vel Parabola, vi centripeta quæ sit reciproce ut cubus ordinatim applicatæ ad centrum virium maxime longinquum tendentis.

Figure for Prop. IX.

Gyretur corpus in spiralPQSsecante radios omnesSP,SQ, &c. in angulo dato: Requiritur lex vis centripetæ tendentis ad centrum spiralis.

Detur angulus indefinite parvusPSQ, & ob datos omnes angulos dabitur specie figuraSPQRT. Ergo datur ratioQT÷RQestq;QT quad.÷QRutQT, hoc est utSP. Mutetur jam utcunq; angulusPSQ, & rectaQRangulum contactusQPRsubtendens mutabitur (per Lemma XI.) in duplicata ratione ipsiusPRvelQT. Ergo manebitQT quad.÷QReadem quæ prius, hoc est utSP. QuareQTq.×SPq.÷QRest utSP cub.id est (per Corol. Theor. V.) vis centripeta ut cubus distantiæSP.Q. E. I.

Parallelogramma omnia circa datam Ellipsin descripta esse inter se æqualia. Idem intellige de Parallelogrammis in Hyperbola circum diametros ejus descriptis.

Constat utrumq; ex Conicis.

Gyretur corpus in Ellipsi: requiritur lex vis centripetæ tendentis ad centrum Ellipseos.

Figure for Prop. X.

SuntoCA,CBsemiaxes Ellipseos;GP,DKdiametri conjugatæ;PF,Qt, perpendicula ad diametros;Qvordinatim applicata ad diametrumGP; & si compleatur parallelogrammumQvRP, erit (ex Conicis)PvGadQv quad.utPC quad.adCD quad.& (ob similia triangulaQvt,PCF)Qv quad.est adQt quad.utPC quad.adPF quad.& conjunctis rationibus,PvGadQt quad.utPC quad.adCD quad.&PC quad.adPF quad.id estvGadQt quad.÷PvutPC quad.adCDq.×PFq.÷PCq.. ScribeQRproPv, & (per Lemma xii.)BC×CAproCD×PF, nec non (punctisP&Qcoeuntibus) 2PCprovG, & ductis extremis & medijs in se mutuo, fietQTq.×PCq.÷QRæquale 2BCq.×CAq.÷PC. Est ergo (per Corol. Theor. V.) vis centripeta reciproce ut 2BCq.×CAq.÷PC, id est(ob datum 2BCq.×CAq.) ut 1 ÷PC, hoc est, directe ut distantiaPC.Q. E. I.

Corol. 1.Unde vicissim si vis sit ut distantia, movebitur corpus in Ellipsi centrum habente in centro virium, aut forte in circulo, in quem Ellipsis migrare potest.

Corol. 2.Et æqualia erunt revolutionum in Figuris universis circa centrum idem factarum periodica tempora. Nam tempora illa in Ellipsibus similibus æqualia sunt per Corol. 3 & 7 Prop. IV: In Ellipsibus autem communem habentibus axem majorem, sunt ad invicem ut Ellipseon areæ totæ directe & arearum particulæ simul descriptæ inverse; id est ut axes minores directe & corporum velocitates in verticibus principalibus inverse, hoc est ut axes illi directe & ordinatim applicatæ ad axes alteros inverse, & propterea (ob æqualitatem rationum directarum & inversarum) in ratione æqualitatis.

Si Ellipsis, centro in infinitum abeunte, vertatur in Parabolam, corpus movebitur in hac Parabola, & vis ad centrum infinite distans jam tendens, evadet æquabilis. Hoc est TheoremaGalilei. Et si Conisectio Parabolica, inclinatione plani ad conum sectum mutata, vertatur in Hyperbolam, movebitur corpus in hujus perimetro, vi centripeta in centrifugam versa.

De motu Corporum in Conicis Sectionibus excentricis.

Revolvatur corpus in Ellipsi: Requiritur lex vis centripetæ tendentis ad umbilicum Ellipseos.

Figure for Prop. XI.

Esto Ellipseos superioris umbilicusS. AgaturSPsecans Ellipseos tum diametrumDKinE, tum ordinatim applicatamQvinx, & compleatur parallelogrammumQxPR. PatetEPæqualem esse semiaxi majoriAC, eo quod acta ab altero Ellipseos umbilicoHlineaHIipsiECparallela, (ob æqualesCS,CH) æquenturES,EI, adeo utEPsemisumma sit ipsarumPS,PI, id est (ob parallelasHI,PR& angulos æqualesIPR,HPZ) ipsorumPS,PH, quæ conjunctim axem totum 2ACadæquant. AdSPdemittatur perpendicularisQT, & Ellipseos latere recto principali (seu 2BC quad.÷AC) dictoL, eritL×QRadL×PvutQRadPv; id est utPE(seuAC) adPC; &L×PvadGvPutLadGv;&GvPadQv quad.utCP quad.adCD quad.; & (per Lem. VIII.)Qv quad.adQx quad.punctisQ&Pcoeuntibus, est ratio æqualitatis, &Qx quad.seuQv quad.est adQT quad.utEP quad.adPF quad., id est utCA quad.adPF quad.sive (per Lem. XII.) utCD quad.adCB quad.Et conjunctis his omnibus rationibus,L×QRfit adQT quad.utACadPC+LadGv+CPq.adCDq.+CDq.adCBq.id est utAC×L(seu 2CBq.) ×CPq.adPC×Gv×CBq.sive ut 2PCadGv. Sed punctisQ&Pcoeuntibus, æquantur 2PC&Gv. Ergo & his proportionaliaL×QR&QT quad.æquantur. Ducantur hæc aqualia inSPq.÷QR& fietL×SPq.æqualeSPq.×QTq.÷QR. Ergo (per Corol. Theor. V.) vis centripeta reciproce est utL×SPq.id est reciproce in ratione duplicata distantiæSP.Q. E. I.

Eadem brevitate qua traduximus Problema quintum ad Parabolam, & Hyperbolam, liceret idem hic facere: verum ob dignitatem Problematis & usum ejus in sequentibus, non pigebit casus cæteros demonstratione confirmare.

Moveatur corpus in Hyperbola: requiritur lex vis centripetæ tendentis ad umbilicum figuræ.

Figure for Prop. XII.

SuntoCA,CBsemi-axes Hyperbolæ;PG,KDdiametri conjugatæ;PF,Qtperpendicula ad diametros; &Qvordinatim applicata ad diametrumGP. AgaturSPsecans tum diametrumDKinE, tum ordinatim applicatamQvinx, & compleatur parallelogrammumQRPx. PatetEPæqualem esse semi-axi transversoAC, eo quod, acta ab altero Hyperbolæ umbilicoHlineaHIipsiECparallela, ob æqualesCS,CH, æquenturES,EI; adeo utEPsemidifferentia sit ipsarumPS,PI, id est (ob parallelasHI,PR& angulos æqualesIPR,HPZ) ipsarumPI,PH, quarum differentia axem totum 2ACadæquat. AdSPdemittatur perpendicularisQT. Et Hyperbolæ latere recto principali (seu 2BCq.÷AC) dictoL, eritL×QRadL×PvutQRadPv, id est, utPE(seuAC) adPC; EtL×PvadGvPutLadGv; &GvPadQvq.utCPq.adCDq.; & (per Lem. VIII.)Qvq.adQxq., punctisQ&Pcoeuntibus fit ratio æqualitatis; &Qxq.seuQvq.est adQTq.utEPq.adPFq., id est utCAq.adPFq., sive (per Lem. XII.) utCDq.adCBq.: & conjunctis his omnibus rationibusL×QRfit adQTq.utACadPC+LadGv+CPq.adCDq.+CDq.adCBq.: id est utAC×L(seu 2BCq.) ×PCq.adPC×Gv×CB quad.sive ut 2PCadGv, sed punctisQ&Pcoeuntibus æquantur 2PC&Gv. Ergo & his proportionaliaL×QR&QTq.æquantur. Ducantur hæc æqualia inSPq.÷QR& fietL×SPq.æqualeSPq.×QTq.÷QR. Ergo (per Corol. Theor. V.) vis centripeta reciproce est utL×SPq.id est in ratione duplicata distantiæSP.Q. E. I.

Eodem modo demonstratur quod corpus, hac vi centripeta in centrifugam versa, movebitur in Hyperbola conjugata.

Latus rectum Parabolæ ad verticem quemvis pertinens, est quadruplum distantiæ verticis illius ab umbilico figuræ.Patet ex Conicis.

Figure for Lemma XIV.

Perpendiculum quod ab umbilico Parabolæ ad tangentem ejus demittitur, medium est proportionale inter distantias umbilici a puncto contactus & a vertice principali figuræ.

Sit enimAPQParabola,Sumbilicus ejus,Avertex principalis,Ppunctum contactus,POordinatim applicata ad diametrum principalem,PMtangens diametro principali occurrens inM, &SNlinea perpendicularis ab umbilico in tangentem. JungaturAN, & ob æqualesMS&SP,MN&NP,MA&AO, parallelæ erunt rectæAN&OP, & inde triangulumSANrectangulum erit adA& simile triangulis æqualibusSMN,SPN. ErgoPSest adSNutSNadSA.Q. E. D.

Corol. 1.PSq.est adSNq.utPSadSA.

Corol. 2. Et ob datamSA, estSNq.utPS.

Corol. 3. Et concursus tangentis cujusvisPMcum rectaSNquæ ab umbilico in ipsam perpendicularis est, incidit in rectamAN, quæ Parabolam tangit in vertice principali.

Moveatur corpus in perimetro Parabolæ: requiritur Lex vis centripetæ tendentis ad umbilicum hujus figuræ.

Figure for Prop. XIII.

Maneat constructio Lemmatis, sitq;Pcorpus in perimetro Parabolæ, & a locoQin quem corpus proxime movetur, age ipsiSPParallelamQR& perpendicularemQT, necnonQvtangentiparallelam &occurrentemtum diametroYPGinv, tum distantiæSPinx. Jam ob similia triangulaPxv,MSP& æqualia unius lateraSM,SP, æqualia sunt alterius lateraPxseuQR&Pv. Sed, ex Conicis, quadratum ordinatæQvæquale est rectangulo sub latere recto & segmento diametriPv, id est (per Lem. XIII.) rectangulo 4PS×Pvseu 4PS×QR; & punctisP&Qcoeuntibus, ratioQvadQx(per Lem. 8.) fit æqualitatis. ErgoQxq.eo in casu, æquale est rectangulo 4PS×QR. Est autem (ob æquales angulosQxT,MPS,PMO)Qxq.adQTq.utPSq.adSNq.hoc est (per Corol. I. Lem. XIV.) utPSadAS, id est ut 4PS×QRad 4AS×QR, & inde (per Prop. 9. Lib. V. Elem.)QTq.& 4AS×QRæquantur. Ducantur hæc æqualia inSPq.÷QR, & fietSPq.×QTq.÷QRæqualeSPq.× 4AS: & propterea (per Corol. Theor. V.) vis centripeta est reciproce utSPq.× 4AS, id est, ob datam 4AS, reciproce in duplicata ratione distantiæSP.Q. E. I.

Corol. I.Ex tribus novissimis Proportionibus consequens est, quod si corpus quodvisP, secundum lineam quamvis rectamPR, quacunq; cum velocitate exeat de locoP, & vi centripeta quæ sit reciproce proportionalis quadrato distantiæ a centro, simul agitetur; movebitur hoc corpus in aliqua sectionum Conicarum umbilicum habente in centro virium; & contra.

Corol. II.Et si velocitas, quacum corpus exit de loco suoP, ea sit, qua lineolaPRin minima aliqua temporis particula describi possit, & vis centripeta potis sit eodem tempore corpus idem movere per spatiumQR: movebitur hoc corpus in Conica aliqua sectione cujus latus rectum est quantitas illaQTq.÷QRquæ ultimo fit ubi lineolæPR,QRin infinitum diminuuntur. Circulum in his Corollariis refero ad Ellipsin, & casum excipio ubi corpus recta descendit ad centrum.

Si corpora plura revolvantur circa centrum commune, & vis centripeta decrescat in duplicata ratione distantiarum a centro; dico quod Orbium Latera recta sunt in duplicata ratione arearum quas corpora, radiis ad centrum ductis, eodem tempore describunt.

Nam per Corol. II. Prob. VIII. Latus rectumLæquale est quantitatiQTq.÷QRquæ ultimo fit ubi coeunt punctaP&Q. Sed linea minimaQR, dato tempore, est ut vis centripeta generans, hoc est (per Hypothesin) reciproce utSPq.ErgoQTq.÷QRest utQTq.×SPq.hoc est, latus rectumLin duplicata ratione areæQT×SP.Q. E. D.

Corol. Hinc Ellipseos area tota, eiq; proportionale rectangulum sub axibus, est in ratione composita ex dimidiata ratione lateris recti & integra ratione temporis periodici.

Iisdem positis, dico quod tempora periodica in Ellipsibus sunt in ratione sesquiplicata transversorum axium.

Namq; axis minor est medius proportionalis inter axem majorem (quem transversum appello) & latus rectum, atq; adeo rectangulum sub axibus est in ratione composita ex dimidiata ratione lateris recti & sesquiplicata ratione axis transversi. Sed hoc rectangulum, per Corollarium Theorematis Sexti, est in ratione composita ex dimidiata ratione lateris recti & integra ratione periodici temporis. Dematur utrobiq; dimidiata ratio lateris recti & manebit sesquiplicata ratio axis transversi æqualis rationi periodici temporis.Q. E. D.

Corol. Sunt igitur tempora periodica in Ellipsibus eadem ac in circulis, quorum diametri æquantur majoribus axibus Ellipseon.

Iisdem positis, & actis ad corpora lineis rectis, quæ ibidem tangant orbitas, demissisq; ab umbilico communi ad has tangentes perpendicularibus: dico quod velocitates corporum sunt in ratione composita ex ratione perpendiculorum inverse & dimidiata ratione laterum rectorum directe.Vide Fig. Prop. X. &. XI.

Ab umbilicoSad tangentemPRdemitte perpendiculumSY& velocitas corporisPerit reciproce in dimidiata ratione quantitatisSYq.÷L. Nam velocitas illa est ut arcus quam minimusPQin data temporis particula descriptus, hoc est (per Lem. VII.) ut tangensPR, id est (ob proportionalesPRadQT&SPadSY) utSP×QT÷SY, sive utSYreciproce &SP×QTdirecte; estq;SP×QTut area dato tempore descripta, id est, per Theor. VI. in dimidiata ratione lateris rectiQ. E. D.

Corol. 1.Latera recta sunt in ratione composita ex duplicata ratione perpendiculorum & duplicata ratione velocitatum.

Corol. 2.Velocitates corporum in maximis & minimis ab umbilico communi distantiis, sunt in ratione composita ex ratione distantiarum inverse & dimidiata ratione laterum rectorum directe. Nam perpendicula jam sunt ipsæ distantiæ.

Corol. 3.Ideoq; velocitas in Conica sectione, in minima ab umbilico distantia, est ad velocitatem in circulo in eadem a centro distantia, in dimidiata ratione lateris recti ad distantiam illam duplicatam.

Corol. 4.Corporum in Ellipsibus gyrantium velocitates in mediocribus distantiis ab umbilico communi sunt eædem quæ corporum gyrantium in circulis ad easdem distantias, hoc est (per Corol. VI. Theor. IV.) reciproce in dimidiata ratione distantiarum. Nam perpendicula jam sunt semi-axes minores, & hi sunt ut mediæ proportionales inter distantias & latera recta. Componatur hæc ratio inverse cum dimidiata ratione laterum rectorum directe, & fiet ratio dimidiata distantiarum inverse.

Corol. 5.In eadem vel æqualibus figuris, vel etiam in figuris inæqualibus, quarum latera recta sunt æqualia, velocitas corporis est reciproce ut perpendiculum demissum ab umbilico ad tangentem.

Corol. 6.In Parabola, velocitas est reciproce in dimidiata ratione distantiæ corporis ab umbilico figuræ, in Ellipsi minor est, in Hyperbola major quam in hac ratione. Nam (per Corol. 2 Lem. XIV.) perpendiculum demissum ab umbilico ad tangentem Parabolæ est in dimidiata ratione distantiæ.

Corol. 7.In Parabola, velocitas ubiq; est ad velocitatem corporis revolventis in circulo ad eandem distantiam, in dimidiata ratione numeri binarii ad unitatem; in Ellipsi minor est, in Hyperbolamajor quam in hac ratione. Nam per hujus Corollarium secundum, velocitas in vertice Parabolæ est in hac ratione, & per Corollaria sexta hujus & Theorematis quarti, servatur eadem proportio in omnibus distantiis. Hinc etiam in Parabola velocitas ubiq; æqualis est velocitati corporis revolventis in circulo ad dimidiam distantiam, in Ellipsi minor est, in Hyperbola major.

Corol. 8.Velocitas gyrantis in Sectione quavis Conica est ad velocitatem gyrantis in circulo in distantia dimidii lateris recti Sectionis, ut distantia illa ad perpendiculum ab umbilico in tangentem Sectionis demissum. Patet per Corollarium quintum.

Corol. 9.Unde cum (per Corol. 6. Theor. IV.) velocitas gyrantis in hoc circulo sit ad velocitatem gyrantis in circulo quovis alio, reciproce in dimidiata ratione distantiarum; fiet ex æquo velocitas gyrantis in Conica sectione ad velocitatem gyrantis in circulo in eadem distantia, ut media proportionalis inter distantiam illam communem & semissem lateris recti sectionis, ad perpendiculum ab umbilico communi in tangentem sectionis demissum.

Posito quod vis centripeta sit reciproce proportionalis quadrato distantiæ a centro, & quod vis illius quantitas absoluta sit cognita; requiritur linea quam corpus describit, de loco dato cum data velocitate secundum datam rectam egrediens.

Figure for Prop. XVII.

Vis centripeta tendens ad punctumSea sit quæ corpuspin orbita quavis datapqgyrare faciat, & cognoscatur hujus velocitas in locop. De locoPsecundum lineamPRexeat corpusPcum data velocitate, & mox inde, cogente vi centripeta, deflectat illud in ConisectionemPQ. Hanc igitur rectaPRtanget inP. Tangat itidem recta aliquaprorbitampqinp, & si abSad eas tangentes demitti intelligantur perpendicula, erit (per Corol. 1. Theor. VIII.) latus rectum Conisectionis ad latusrectum orbitæ datæ, in ratione composita ex duplicata ratione perpendiculorum & duplicata ratione velocitatum, atq; adeo datur. Sit istudL. Datur præterea Conisectionis umbilicusS. AnguliRPScomplementum ad duos rectos fiat angulusRPH, & dabitur positione lineaPH, in qua umbilicus alterHlocatur. Demisso adPHperpendiculoSK, & erecto semiaxe conjugatoBC, estSPq.- 2KPH+PHq.(per Prop. 13. Lib. II. Elem.) =SHq.= 4CHq.= 4BHq.- 4BCq.=SP+PHquad.-L×SP+PH=SPq.+ 2SPH+PHq.-L×SP+PH. Addantur utrobiq; 2KPH+L×SP+PH-SPq.-PHq.& fietL×SP+PH= 2SPH+ 2KPH, seuSP+PHadPHut 2SP+ 2KPadL. Unde daturPHtam longitudine quam positione. Nimirum si ea sit corporis inPvelocitas, ut latus rectumLminus fuerit quam 2SP+ 2KP, jacebitPHad eandem partem tangentisPRcum lineaPS, adeoq; figura erit Ellipsis, & ex datis umbilicisS,H, & axe principaliSP+PH, dabitur: Sin tanta sit corporis velocitas ut latus rectumLæquale fuerit 2SP+ 2KP, longitudoPHinfinita erit, & propterea figura erit Parabola axem habensSHparallelum lineæPK, & inde dabitur. Quod si corpus majori adhuc cum velocitate de loco suoPexeat, capienda erit longitudoPHad alteram partem tangentis, adeoq; tangente inter umbilicos pergente, figura erit Hyperbola axem habens principalem æqualem differentiæ linearumSP&PH, & inde dabitur.Q. E. I.

Corol. 1.Hinc in omni Conisectione ex dato vertice principaliD, latere rectoL, & umbilicoS, datur umbilicus alterHcapiendoDHadDSut est latus rectum ad differentiam interlatus rectum & 4DS. Nam proportioSP+PHadPHut 2SPadL, in casu hujus Corollarii, fitDS+DHadDHut 4DSadL, & divisimDSadDHut 4DS-LadL.

Corol. 2.Unde si datur corporis velocitas in vertice principaliD, invenietur Orbita expedite, capiendo scilicet latus rectum ejus, ad duplam distantiamDS, in duplicata ratione velocitatis hujus datæ ad velocitatem corporis in circulo ad distantiamDSgyrantis: (Per Corol. 3. Theor. VIII.) deinDHadDSut latus rectum ad differentiam inter latus rectum & 4DS.

Corol. 3.Hinc etiam si corpus moveatur in Sectione quacunq; Conica, & ex orbe suo impulsu quocunq; exturbetur; cognosci potest orbis in quo postea cursum suum peraget. Nam componendo proprium corporis motum cum motu illo quem impulsus solus generaret, habebitur motus quocum corpus de dato impulsus loco, secundum rectam positione datam, exibit.

Corol. 4.Et si corpus illud vi aliqua extrinsecus impressa continuo perturbetur, innotescet cursus quam proxime, colligendo mutationes quas vis illa in punctis quibusdam inducit, & ex seriei analogia, mutationes continuas in locis intermediis æstimando.

De Inventione Orbium Ellipticorum, Parabolicorum & Hyperbolicorum ex umbilico dato.

Figure for Lemma XV.

Si ab Ellipseos vel Hyperbolæ cujusvis umbilicis duobusS,H, ad punctum quodvis tertiumVinflectantur rectæ duæSV,HV, quarum unaHVæqualis sit axi transverso figuræ, alteraSVa perpendiculoTRin se demisso bisecetur inT; perpendiculum illudTRsectionem Conicam alicubi tangit: & contra, si tangit, eritVHæqualis axi figuræ.

Secet enimVHsectionem conicam inR, & jungaturSR. Ob æquales rectasTS,TV, æquales erunt anguliTRS,TRV. Bisecat ergoRTangulumVRS& propterea figuram tangit: & contra.Q. E. D.

Datis umbilico & axibus transversis describere Trajectorias Ellipticas & Hyperbolicas, quæ transibunt per puncta data, & rectas positione datas contingent.

Figure for Prop. XVIII.

SitScommunis umbilicus figuraram;ABlongitudo axis transversi Trajectoriæ cujusvis;Ppunctum per quod Trajectoria debet transire; &TRrecta quam debet tangere. CentroPintervalloAB-SP, si orbita sit Ellipsis, velAB+SP, si ea sit Hyperbola, describatur circulusHG. Ad tangentemTRdemittaturperpendiculumST, & producatur ea adVut sitTVæqualisST; centroq;V& intervalloABdescribatur circulusFH. Hac methodo sive dentur duo punctaP,p, sive duæ tangentesTR,tr, sive punctumP& tangensTR, describendi sunt circuli duo. SitHeorum intersectio communis, & umbilicisS,H, axe illo dato describatur Trajectoria. Dico factum. Nam Trajectoria descripta (eo quodPH+SPin Ellipsi, &PH-SPin Hyperbola æquatur axi) transibit per punctumP, & (per Lemma superius) tanget rectamTR. Et eodem argumento vel transibit eadem per puncta duoP,p, vel tanget rectas duasTR,tr.Q. E. F.

Circa datum umbilicum Trajectoriam Parabolicam describere, quæ transibit per puncta data, & rectas positione datas continget.

Figure for Prop. XIX.

SitSumbilicus,Ppunctum &TRtangens trajectoriæ describendæ. CentroP, intervalloPSdescribe circulumFG. Ab umbilico ad tangentem demitte perpendicularemST, & produc eam adV, ut sitTVæqualisST. Eodem modo describendus est alter circulusfg, si datur alterum punctump; vel inveniendum alterum punctumv, si datur altera tangenstr; dein ducenda rectaIFquæ tangat duos circulosFG,fgsi dantur duo punctaP,p; vel transeat per duo punctaV,v, si dantur duæ tangentesTR,tr, vel tangat circulumFG& transeat per punctumV, si datur punctumP& tangensTR. AdFIdemitte perpendicularemSI, eamq; biseca inK, & axeSK, vertice principaliKdescribatur Parabola. Dico factum. Nam Parabola ob æqualesSK&IK,SP&FPtransibit per punctumP; & (per Lemmatis XIV. Corol. 3.) ob æqualesST&TV& angulum rectumSTR, tanget rectamTR.Q. E. F.

Figure for Prop. XX.

Circa datum umbilicum Trajectoriam quamvis specie datam describere, quæ per data puncta transibit & rectas tanget positione datas.

Cas. 1.Dato umbilicoS, describenda sit TrajectoriaABCper puncta duoB,C. Quoniam Trajectoria datur specie, dabitur ratio axis transversi ad distantiam umbilicorum. In ea ratione capeKBadBS, &LCadCS. CentrisB,C, intervallisBK,CL, describe circulos duos, & ad rectamKL, quæ tangat eosdem inK&L, demitte perpendiculumSG, idemq; seca inA&a, ita ut sitSAadAG&SaadaG, ut estSBadBK, & axeAa, verticibusA,a, describatur Trajectoria. Dico factum. Sit enimHumbilicus alter figuræ descriptæ, & cum sitSAadAGutSaadaG, erit divisimSa-SAseuSHadaG-AGseuAain eadem ratione, adeoq; in ratione quam habet axis transversus figuræ describendæ ad distantiam umbilicorum ejus; & propterea figura descripta est ejusdem speciei cum describenda. Cumq; sintKBadBS&LCadCSin eadem ratione, transibit hæc Figura per punctaB,C, ut ex Conicis manifestum est.

Figure for Prop. XX. Cas. 2.

Cas. 2.Dato umbilicoS, describenda sit Trajectoria quæ rectas duasTR,tralicubi contingat. Ab umbilico in tangentes demitte perpendiculaST,St& produc eadem adV,v, ut sintTV,tvæqualesTS,ts. BisecaVvinO, & erige perpendiculum infiniteOH, rectamq;VSinfinite productam seca inK&kita, ut sitVKadKS&VkadkSut est Trajectoriæ describendæ axis transversus ad umbilicorum distantiam. Super diametroKkdescribatur circulus secans rectamOHinH; & umbilicisS,H, axe transverso ipsamVHæquante, describatur Trajectoria. Dico factum. Nam bisecaKkinX, & jungeHX,HS,HV,Hv. Quoniam estVKadKSutVkadkS; & composite utVK+VkadKS+kS; divisimq; utVk-VKadkS-KSid est ut 2VXad 2KX& 2KXad 2SX, adeoq; utVXadHX&HXadSX, similia erunt triangulaVXH,HXS, & proptereaVHerit adSHutVXadXH, adeoq; utVKadKS. Habet igitur Trajectoria; descriptæ axis transversusVHeam rationem ad ipsius umbilicorum distantiamSH, quam habet Trajectoriæ describendæ axis transversus ad ipsius umbilicorum distantiam, & propterea ejusdem est speciei. Insuper cumVH,vHæquentur axi transverso, &VS,vSa rectisTR,trperpendiculariter bisecentur, liquet, ex Lemmate XV, rectas illas Trajectoriam descriptam tangere.Q. E. F.

Figure for Prop. XX. Cas. 3.

Cas. 3.Dato umbilicoSdescribenda sit Trajectoria quæ rectamTRtanget in puncto datoR. In rectamTRdemitte perpendicularemST, & produc eandem adV, ut sitTVæqualisST. JungeVR, & rectamVSinfinite productam seca inK&k, ita ut sitVKadSK&VkadSkut Ellipseos describendæ axis transversus ad distantiam umbilicorum; circuloq; super diametroKkdescripto, secetur producta rectaVRinH, & umbilicisS,H, axe transverso rectamHVæquante, describatur Trajectoria. Dico factum. Namq;VHesse adSHutVKadSK, atq; adeo ut axis transversus Trajectoriæ describendæ ad distantiam umbilicorum ejus, patet ex demonstratis in Casu secundo, & propterea Trajectoriam descriptam ejusdem esse speciei cum describenda: rectam veroTRqua angulusVRSbisecatur, tangere Trajectoriam in punctoR, patet ex Conicis.Q. E. F.

Figure for Prop. XX. Cas. 4.

Cas. 4.Circa umbilicumSdescribenda jam sit TrajectoriaAPB, quæ tangat rectamTR, transeatq; per punctum quodvisPextra tangentem datum, quæq; similis sit figuræapb, axe transversoab& umbiliciss,hdescriptæ. In tangentemTRdemitte perpendiculumST, & produc idem adV, ut sitTVæqualisST. Angulis autemVSP,SVPfac anguloshsq,shqæquales; centroq;qintervallo quod sit adabutSPadVSdescribecirculum secantem figuramapbinp. Jungesp& ageSHquæ sit adshut estSPadspquæq; angulumPSHangulopsh& angulumVSHangulopsqæquales constituat. Deniq; umbilicisS,H, axe distantiamVHæquante, describatur sectio conica.

Dico factum. Nam si agatursvquæ sit adsput estshadsq, quæq; constituat angulumvspangulohsq& angulumvshangulopsqæquales, triangulasvh,spqerunt similia, & proptereavherit adpqut estshadsq, id est (ob similia triangulaVSP,hsq) ut estVSadSPseuabadpq.Æquantur ergovh&ab. Porro ob similia triangulaVSH,vshestVHadSHutvhadsh, id est, axis Conicæ actionis jam descripta: adilliusumbilicorum intervallum, ut axisabad umbilicorum intervallumsh, & propterea figura jam descripta similis est figuræapb. Transit autem hæc figura per punctumP, eo quod triangulumPSHsimile sit triangulopsh; & quiaVHæquatur ipsius axi &VSbisecatur perpendiculariter a rectaTRtangit eadem rectamTR.Q. E. F.

A datis tribus punctis ad quartum non datum inflectere tres rectas quarum differentiæ vel dantur vel nullæ sunt.

Back to Index Next