Lemma II.

Figure for Lemma I.

SiAPEpTerram designet uniformiter densam, centroqueC& polisP,p& æquatoreAEdelineatam; & si centroCradioCPdescribi intelligatur sphæraPape; sit autemQRplanum, cui recta àcentro Solis ad centrum Terræ ducta normaliter insistit; & Terræ totius exteriorisPapAPepE, quæ Sphærâ modò descriptâ altior est, particulæ singulæ conantur recedere hinc inde à planoQR, sitque conatus particulæ cujusque ut ejusdem distantia à plano: erit vis & efficacia tota particularum omnium, ad Terram circulariter movendam, quadruplo minor quàm vis tota particularum totidem in Æquatoris circuloAE, uniformiter per totum circuitum in morem annuli dispositarum, ad Terram consimili motu circulari movendam. Et motus iste circularis circa axem in planoQRjacentem, & axiPpperpendiculariter insistentem, peragetur.

Sit enimIKcirculus minor ÆquatoriAEparallelus, sitqueLparticula Terræ in circulo illo extra globumPapesita. Et si in planumQRdemittatur perpendiculumLM, vis tota particulæ illius ad Terram circa ipsius centrum convertendum proportionalis erit eidemLM: & si hæc visLM(per Legum Corol. 2.) distinguatur in viresLN,NM; efficacia viriumMNparticularum omniumL, in circuitu Terræ totius extra globumPapeconsistentium, ad Terram circa ipsius centrum secundum ordinem literarumApEPconvertendam, erit ad efficaciam viriumLNparticularum omniumL, ad Terram circa ipsius centrum secundum ordinem contrarium earundem literarum convertendam, ut tria ad duo. Ideoque efficacia virium omniumMNerit ad excessum efficaciæ hujus supra efficaciam virium omniumLNut tria ad unum. Et si particulæ illæ omnes locarentur in Æquatore, efficacia virium omniumLNevanesceret, & efficacia virium omniumMNaugeretur in ratione quatuor ad tria. Quare excessus ille, qui est efficacia absoluta particularum in locis propriis, est pars quarta efficaciæ particularum earundem in Æquatore. Motus autemæquinoctiorum est ut hæc efficacia. Singula examinet qui volet. Brevitati consulo.

Motus autem Terræ totius circa axem illum, ex motibus particularum omnium compositus, erit ad motum annuli circa axem eundem, in ratione composita ex ratione materiæ in Terra ad materiam in annulo, & ratione trium quadratorum ex arcu quadrantali circuli cujuscunque, ad duo quadrata ex diametro; id est in ratione materiæ ad materiam & numeri 925275 & 1000000.

Est enim motus Cylindri circa axem suum immotum revolventis, ad motum Sphæræ inscriptæ & simul revolventis, ut quælibet quatuor æqualia quadrata ad tres ex circulis sibi inscriptis: & motus Cylindri ad motum annuli tenuissimi, Sphæram & Cylindrum ad communem eorum contactum ambientis, ut duplum materiæ in Cylindro ad triplum materiæ in annulo; & annuli motus iste circa axem Cylindri uniformiter continuatus, ad ejusdem motum uniformem circa diametrum propriam, eodem tempore periodico factum, ut circumferentia circuli ad duplum diametri.

Si annulus, Terra omni reliqua sublata, solus in orbe Terræ motu annuo circa Solem ferretur, & interea circa axem suum, ad planum Eclipticæ in angulo graduum 23½ inclinatum, motu diurno revolveretur: idem foret motus Punctorum Æquinoctialium sive annulus iste fluidus esset, sive is ex materia rigida & firma constaret.

Invenire Præcessionem Æquinoctiorum.

Motus mediocris horarius Nodorum Lunæ in Orbe circulari, ubi Nodi sunt in Quadraturis, erat 16″. 35″′. 16iv. 36v. & hujus dimidium 8″. 17″′. 38iv. 18v. (ob rationes & supra explicatas) est motus medius horarius Nodorum in tali Orbe; fitque anno toto sidereo 20gr.11′. 46″. Quoniam igitur Nodi Lunæ in tali Orbe conficerent annuatim 20gr.11′. 46″. in antecedentia; & si plures essent Lunæ motus Nodorum cujusque, per Corol. 16. Prop. LXVI. Lib. I. forent reciprocè ut tempora periodica; & propterea si Luna spatio diei siderei juxta superficiem Terræ revolveretur, motus annuus Nodorum foret ad 20gr.11′. 46″. ut dies sidereus horarum 23. 56′. ad tempus periodicum Lunæ dierum 27. 7 hor. 43′; id est ut 1436 ad 39343. Et par est ratio Nodorum annuli Lunarum Terram ambientis; sive Lunæ illæ se mutuò non contingant, sive liquescant & in annulum continuum formentur, sive denique annulus ille rigescat & inflexibilis reddatur.

Figure for Prop. XXXIX.

Fingamus igitur quod annulus iste quoad quantitatem materiæ æqualis sit Terræ omniPapAPepE, quæ globoPapEsuperior est; & quoniam globus iste est ad Terram illam superiorem utaC qu.adAC qu.-aC qu.id est (cum Terræ diameter minorPCvelaCsit ad diametrum majoremACut 689 ad 692) ut 4143 ad 474721 seu 1000 ad 114585; si annulus iste Terram secundum æquatorem cingeret, & uterque simul circa diametrum annuli revolveretur, motus annuli esset ad motum globi interioris (perhujus Lem. II.) ut 4143 ad 474721 & 1000000 ad 925275 conjunctim, hoc est ut 4143 ad 439248: ideoque motus annuli esset ad summam motuum annuli & globi, ut 4143 ad 443991. Unde si annulus globo adhæreat, & motum suum, quo ipsius Nodi seu puncta æquinoctialia regrediuntur, cum globo communicet: motus qui restabit in annulo erit ad ipsius motum priorem ut 4143 ad 443391; & propterea motus punctorum æquinoctialium diminuetur in eadem ratione. Erit igitur motus annuus punctorum æquinoctialium corporis ex globo & annulo compositi, ad motum 20gr.11′. 46″, ut 1436 ad 39343 & 4143 ad 443391 conjunctim, id est ut 1 ad 2932. Vires autem quibus Nodi Lunarum (ut supra explicui) atque adeò quibus puncta æquinoctialia annuli regrediuntur (id est vires 3IT,in Fig. pag. 444.) sunt in singulis particulis ut distantiæ particularum à planoQR, & his viribus particulæ illæ planum fugiunt; & propterea (per Lem. I.) si materia annuli per totam globi superficiem, in morem figuræPapAPepE, ad superiorem illam Terræ partem constituendam spargeretur, vis & efficacia tota particularum omnium ad Terram circa quamvis Æquatoris diametrum rotandam, atque adeo ad movenda puncta æquinoctialia, evaderet quadruplo minor quàm prius. Ideoque annuus æquinoctiorum regressus jam esset ad 20gr.11′. 46″. ut 1 ad 11728, ac proinde fieret 6″. 12″′. 2iv. Hæc est præcessio Æquinoctiorum à vi Solis oriunda. Vis autem Lunæ ad mare movendum erat ad vim Solis ut 6⅓ ad 1, & hæc vis pro quantitate sua augebit etiam præcessionem Æquinoctiorum. Ideoque præcessio illa ex utraque causa oriunda jam fiet major in ratione 7⅓ ad 1, & sic erit 45″. 24″′. 15iv. Hic est motus punctorum æquinoctialium ab actionibus Solis & Lunæ in partes Terræ, quæ globoPapeincumbunt, oriundus. Nam Terra ab actionibus illis in globum ipsum exercitis nullam in partem inclinari potest.

Figure for Prop. XXXIX.

Designet jamAPEpcorpus Terræ figurâ Ellipticâ præditum, & ex uniformi materiâ constans. Et si distinguatur idem in figuras innumeras Ellipticas concentricas & consimiles,APEp,BQbq,CRcr,DSds, &c. quarum diametri sint in progressione Geometrica: quoniam figuræ consimiles sunt, vires Solis & Lunæ, quibus puncta æquinoctialia regrediuntur, efficerent ut figurarum reliquarum seorsim spectatarum puncta eadem æquinoctialia eadem cum velocitate regrederentur. Et par est ratio motus orbium singulorumAQEq,BRbr,CScs, &c. qui sunt figurarum illarum differentiæ. Orbis uniuscujusque, si solus esset, puncta æquinoctialia eadem cum velocitate regredi deberent. Nec refert utrum orbis quilibet densior sit an rarior, si modò ex materia uniformiter densa confletur. Unde etiam si orbes ad centrum densiores sint quàm ad circumferentiam, idem erit motus æquinoctiorum Terræ totius ac prius; si modo orbis unusquisque seorsim spectatus ex materia uniformiter densa constet, & figura orbis non mutetur. Quod si figuræ orbium mutentur, Terraque ad æquatoremAE, ob densitatem materiæ ad centrum, jam altius ascendat quàm prius; regressus æquinoctiorum ex aucta altitudine augebitur, idque in orbibus singulis seorsim existentibus, in ratione majoris altitudinis materiæ juxta orbis illius æquatorem; in Terra autem tota in ratione majoris altitudinis materiæ juxta æquatorem orbis non extimiAQEq, non intimiGg, sed mediocris alicujusCScs. Terram autem ad centrum densiorem esse, & propterea sub Æquatore altiorem esse quàm ad polos in majore ratione quàm 692 ad 689, in superioribus insinuavimus. Et ratio majoris altitudinis colligi ferè potest ex majore diminutione gravitatis sub æquatore, quàm quæ ex ratione 692 ad 689 consequi debeat. Excessus longitudinis penduli, quod in InsulaGoree& in illâCayennæminutis singulis secundis oscillatur, supra longitudinem Penduli quodParisiiseodem tempore oscillatur, àGallisinventi sunt pars decima & pars octava digiti, qui tamen ex proportione 692 ad 689 prodiere81/1000&89/1000. Major est itaque longitudo PenduliCayennæquàm oportet, in ratione ⅛ ad89/1000, seu 1000 ad 712; & in InsulaGoreein ratione1/10ad81/1000seu 1000 ad 810. Si sumamus rationem mediocrem 1000 ad 760; minuenda erit gravitas Terræ ad æquatorem, & ibidem augenda ejus altitudo, in ratione 1000 ad 760 quam proximè. Unde motus æquinoctiorum (ut supra dictum est) auctus in ratione altitudinis Terræ, non ad orbem extimum, non ad intimum, sed ad intermedium aliquem, id est, non in ratione maxima 1000 ad 760, non in minima 1000 ad 1000, sed in mediocri aliqua, puta 10 ad 8⅓ vel 6 ad 5, evadet annuatim 54″. 29″′. 6iv.

Rursus hic motus, ob inclinationem plani Æquatoris ad planum Eclipticæ, minuendus est, idque in ratione Sinus complementi inclinationis ad Radium. Nam distantia particulæ cujusque terrestris à planoQR, quo tempore particula illa à plano Eclipticæ longissimè distat, in Tropico suo (ut ita dicam) consistens, diminuitur, per inclinationem planorum Eclipticæ & Æquatoris ad invicem, in ratione Sinus complementi inclinationis ad Radium. Et in ratione distantiæ illius diminuitur etiam vis particulæ ad æquinoctia movenda. In eadem quoque ratione diminuitur summa virium particulæ ejusdem, in locis hinc inde à Tropico æqualiter distantibus: uti ex prædemonstratis facilè ostendi possit: & propterea vis tota particulæ illius, in revolutione integrâ, ad æquinoctia movenda, ut & vis tota particularum omnium, & motus æquinoctiorum à vi illa oriundus, diminuitur in eadem ratione. Igitur cum inclinatio illa sit 23½gr.diminuendus est motus 54″. 29″′. in ratione Sinus 91706 (qui sinus est complementi graduum 23½) ad Radium 100000. Qua ratione motus iste jam fiet 49″. 58″′. Regrediuntur igitur puncta æquinoctiorum motu annuo (juxta computationem nostram) 49″. 58″′, fere ut Phænomena cœlestia requirunt. Nam regressus ille annuus ex observationibus Astronomorum est 50″.

Descripsimus jam Systema Solis, Terræ & Planetarum: superest ut de Cometis nonnulla adjiciantur.

Cometas esse Lunâ superiores & in regione Planetarum versari.

Figure for Lemma IV.

Ut defectus Parallaxeos diurnæ extulit Cometas supra regiones sublunares, sic ex Parallaxi annua convincitur eorum descensus in regiones Planetarum. Nam Cometæ qui progrediuntur secundum ordinem signorum sunt omnes, sub exitu apparitionis, aut solito tardiores aut retrogradi, si Terra est inter ipsos & Solem, at justo celeriores si Terra vergit ad oppositionem. Et è contra, qui pergunt contra ordinem signorum sunt justo celeriores in fine apparitionis, si Terra versatur inter ipsos & Solem; & justo tardiores vel retrogradi si Terra sita est ad contrarias partes. Contingit hoc maximè ex motu Terræ in vario ipsius situ, perinde ut fit in Planetis, qui, pro motu Terræ vel conspirante vel contrario, nunc retrogradi sunt, nunc tardiùs moveri videntur, nunc verò celeriùs. Si Terra pergit ad eandem partem cum Cometa, & motu angulari circa Solem celerius fertur, Cometa è Terra spectatus, ob motum suum tardiorem, apparet esse retrogradus; sin Terra tardiùs fertur, motus Cometæ, (detracto motu Terræ) fit saltem tardior. At si Terra pergit in contrarias partes, Cometa exinde velocior apparet. Ex acceleratione autem vel retardatione vel motu retrogrado distantia Cometæ in hunc modum colligitur. SuntoAriesQA,AriesQB,AriesQCobservatæ tres longitudines Cometæ, sub initio motus, sitqueAriesQFlongitudo ultimò observata, ubi Cometa videri desinit. Agatur rectaABC, cujus partesAB,BCrectisQA&QB,QB&QCinterjectæ, sint ad invicem ut tempora inter observationes tres primas. ProducaturACadG, ut sitAGadABut tempus inter observationem primam & ultimam, ad tempus inter observationem primam & secundam, & jungaturQG. Et si Cometa moveretur uniformiter in linea recta, atque Terra vel quiesceret, vel etiam in linea recta, uniformi cum motu, progrederetur; foret angulusAriesQGlongitudo Cometæ tempore Observationis ultimæ. Angulus igiturFQG, qui longitudinum differentia est, oritur ab inæqualitate motuum Cometæ ac Terræ. Hic autem angulus, si Terra & Cometa in contrarias partes moventur, additur anguloAQG, & sic motum apparentem Cometæ velociorem reddit: Sin Cometa pergit in easdem partes cum Terra, eidem subducitur, motumque Cometæ vel tardiorem reddit, vel forte retrogradum; uti modò exposui. Oritur igitur hic angulus præcipuè ex motu Terræ, & idcirco pro parallaxi Cometæ meritòFigure for Lemma IV.habendus est, neglecto videlicet ejus incremento vel decremento nonnullo, quod à Cometæ motu inæquabili in orbe proprio oriri possit. Distantia verò Cometæ ex hac parallaxi sic colligitur. DesignetSSolem,acTOrbem magnum,alocum Terræ in observatione prima,clocum Terræ in observatione secunda,Tlocum Terræ in observatione ultima, &TArieslineam rectam versus principium Arietis ductam. Sumatur angulusAriesTVæqualis anguloAriesQF, hoc est æqualis longitudini Cometæ ubi Terra versatur inT. Jungaturac, & producatur ea adg, ut sitagadacutAGadAC, & eritglocus quem Terra tempore observationis ultimæ, motu in rectaacuniformiter continuato, attingeret. Ideoque si ducaturgAriesipsiTAriesparallela, & capiatur angulusAriesgVanguloAriesQGæqualis, erit hic angulusAriesgVæqualis longitudini Cometæ è locogspectati; & angulusTVgparallaxis erit, quæ oritur à translatione Terræ de locogin locumT: ac proindeVlocus erit Cometæ in plano Eclipticæ. Hic autem locusVorbe Jovis inferior esse solet.

Idem colligitur ex curvatura viæ Cometarum. Pergunt hæc corpora propemodum in circulis maximis quamdiu moventur celerius; at in fine cursus, ubi motus apparentis pars illa quæ à parallaxi oritur, majorem habet proportionem ad motum totum apparentem, deflectere solent ab his circulis, & quoties Terra movetur in unam partem abire in partem contrariam. Oritur hæc deflexio maximè ex Parallaxi, propterea quod respondet motui Terræ; & insignis ejus quantitas meo computo collocavit disparentes Cometas satis longè infra Jovem. Unde consequens est quòd in Perigæis & Periheliis, ubi propius adsunt, descendunt sæpius infra orbes Martis & inferiorum Planetarum.

Confirmatur etiam propinquitas Cometarum ex luce capitum. Nam corporis cœlestis à Sole illustrati & in regiones longinquas abeuntis diminuitur splendor in quadruplicata ratione distantiæ: in duplicata ratione videlicet ob auctam corporis distantiam à Sole, & in alia duplicata ratione ob diminutam diametrum apparentem. Unde si detur & lucis quantitas & apparens diameter Cometæ, dabitur distantia, dicendo quod distantia sit ad distantiam Planetæ in ratione integra diametri ad diametrum directè & ratione dimidiata lucis ad lucem inversè. Sic minima Capillitii Cometæ anni 1682 diameter, per Tubum opticum sexdecim pedum àCl. Flamstedioobservata & micrometro mensurata, æquabat 2′. 0″. Nucleus autem seu stella in medio capitis vix decimam partem latitudinis hujus occupabat, adeoque lata erat tantum 11″ vel 12″. Luce verò & claritate capitis superabit caput Cometæ anni 1680, stellasque primæ vel secundæ magnitudinis æmulabatur. Ponamus Saturnum cum annulo suo quasi quadruplo lucidiorem fuisse: & quoniam lux annuli propemodum æquabat lucem globi intermedii, & diameter apparens globi sit quasi 21″, adeoque lux globi & annuliconjunctim æquaret lucem globi, cujus diameter esset 30″: erit distantiæ Cometæ ad distantiam Saturni ut 1 ad √4 inversè, & 12″ ad 30″ directè, id est ut 24 ad 30 seu 4 ad 5. Rursus Cometa anni 1665 menseAprili, ut Author estHevelius, claritate sua pene fixas omnes superabat, quinetiam ipsum Saturnum, ratione coloris videlicet longè vividioris. Quippe lucidior erat hic Cometa altero illo, qui in fine anni præcedentis apparuerat & cum stellis primæ magnitudinis conferebatur. Latitudo capillitii erat quasi 6′, at nucleus cum Planetis ope Tubi optici collatus, plane minor erat Jove, & nunc minor corpore intermedio Saturni, nunc ipsi æqualis judicabatur. Porrò cum diameter Capillitii Cometarum rarò superet 8′ vel 12′, diameter verò Nuclei seu stellæ centralis sit quasi decima vel fortè decima quinta pars diametri capillitii, patet Stellas hasce ut plurimum ejusdem esse apparentis magnitudinis cum Planetis. Unde cum lux eorum cum luce Saturni non rarò conferri possit, eamque aliquando superet; manifestum est quod Cometæ omnes in Periheliis vel infra Saturnum collocandi sint, vel non longe supra. Errant igitur toto cœlo qui Cometas in regionem Fixarum prope ablegant: qua certè ratione non magis illustrari deberent à Sole nostro, quàm Planetæ, qui hic sunt, illustrantur à Stellis fixis.

Hæc disputavimus non considerando obscurationem Cometarum per fumum illum maximè copiosum & crassum, quo caput circundatur, quasi per nubem obtusè semper lucens. Nam quanto obscurius redditur corpus per hunc fumum, tanto propius ad Solem accedat necesse est, ut copia lucis à se reflexa Planetas æmuletur. Inde verisimile fit Cometas longe infra Sphæram Saturni descendere, uti ex Parallaxi probavimus. Idem verò quam maximè confirmatur ex Caudis. Hæ vel ex reflexione fumi sparsi per æthera, vel ex luce capitis oriuntur. Priore casu minuenda est distantia Cometarum, ne fumus à Capite semper ortus per spatia nimis ampla incredibili cum velocitate & expansione propagetur. In posteriore referenda est lux omnis tam caudæ quàm capillitii adNucleum capitis. Igitur si imaginemur lucem hanc omnem congregari & intra discum Nuclei coarctari, Nucleus ille jam certè, quoties caudam maximam & fulgentissimam emittit, Jovem ipsum splendore suo multum superabit. Minore igitur cum diametro apparente plus lucis emittens, multò magis illustrabitur à Sole, adeoque erit Soli multò propior. Quinetiam capita sub Sole delitescentia, & caudas cum maximas tum fulgentissimas instar trabium ignitarum nonnunquam emittentia, eodem argumento infra orbem Veneris collocari debent. Nam lux illa omnis si in stellam congregari supponatur, ipsam Venerem ne dicam Veneres plures conjunctas quandoque superaret.

Idem denique colligitur ex luce capitum crescente in recessu Cometarum à Terra Solem versus, ac decrescente in eorum recessu à Sole versus Terram. Sic enim Cometa posterior Anni 1665 (observanteHevelio,) ex quo conspici cæpit, remittebat semper de motu suo, adeoque præterierat Perigæum; Splendor verò capitis nihilominus indies crescebat, usque dum Cometa radiis Solaribus obtectus desiit apparere. Cometa Anni 1683, observante eodemHevelio, in fine MensisJuliiubi primum conspectus est, tardissimè movebatur, minuta prima 40 vel 45 circiter singulis diebus in orbe suo conficiens. Ex eo tempore motus ejus diurnus perpetuo augebatur usque adSept. 4.quando evasit graduum quasi quinque. Igitur toto hoc tempore Cometa ad Terram appropinquabat. Id quod etiam ex diametro capitis micrometro mensurata colligitur: quippe quamHeveliusreperitAug. 6.esse tantum 6′. 5″ inclusâ comâ, atSept. 2.esse 9′. 7″. Caput igitur initio longe minus apparuit quàm in fine motus, at initio tamen in vicinia Solis longe lucidius extitit quàm circa finem, ut refert idemHevelius. Proinde toto hoc tempore, ob recessum ipsius à Sole, quoad lumen decrevit, non obstante accessu ad Terram. Cometa Anni 1618 circa medium MensisDecembris, & iste Anni 1680 circa finem ejusdem Mensis, celerrimè movebantur, adeoque tunc erant in Perigæis. Verum splendor maximus capitum contigit ante duas fereseptimanas, ubi modò exierant de radiis Solaribus; & splendor maximus caudarum paulo ante, in majore vicinitate Solis. Caput Cometæ prioris, juxta observationesCysati,Decem. 1.majus videbatur stellis primæ magnitudinis, &Decem. 16.(jam in Perigæo existens) magnitudine parùm, splendore seu claritate luminis plurimum defecerat.Jan. 7.Keplerusde capite incertus finem fecit observandi. Die 12 mensisDecemb.conspectum & àFlamstedioobservatum est caput Cometæ posterioris, in distantia novem graduum à Sole; id quod stellæ tertiæ magnitudinis vix concessum fuisset.Decem. 15 & 17apparuit idem ut stella tertiæ magnitudinis, diminutum utique splendore Nubium juxta Solem occidentum.Decem. 26.velocissimè motus, inque Perigæo propemodum existens, cedebat ori Pegasi, Stellæ tertiæ magnitudinis.Jan. 3.apparebat ut Stella quartæ,Jan. 9.ut Stella quintæ,Jan. 13.ob splendorem Lunæ crescentis disparuit.Jan. 25.vix æquabat Stellas magnitudinis septimæ. Si sumantur æqualia à Perigæo hinc inde tempora, capita quæ temporibus illis in longinquis regionibus posita, ob æquales à Terra distantias, æqualiter lucere debuissent, in plaga Solis maximè splenduere, ex altera Perigæi parte evanuere. Igitur ex magna lucis in utroque situ differentia concluditur magna Solis & Cometæ vicinitas in situ priore. Nam lux Cometarum regularis esse solet, & maxima apparere ubi capita velocissimè moventur, atque adeo sunt in Perigæis; nisi quatenus ea major est in vicinia Solis.

Corol. 1.Splendent igitur Cometæ luce Solis à se reflexa.

Corol. 2.Ex dictis etiam intelligitur cur Cometæ tantopere frequentant regionem Solis. Si cernerentur in regionibus longè ultra Saturnum deberent sæpius apparere in partibus Soli oppositis. Forent enim Terræ vicinioris qui in his partibus versarentur, & Sol interpositus obscuraret cæteros. Verum percurrendo historias Cometarum reperi quod quadruplo vel quintuplo plures detecti sunt in Hemisphærio Solem versus, quàm in Hemisphærio opposito, præter alios procul dubio non paucos quos lux Solaris obtexit.Nimirum in descensu ad regiones nostras neque caudas emittunt, neque adeo illustrantur à Sole, ut nudis oculis se prius detegendos exhibeant, quàm sint ipso Jove propiores. Spatii autem tantillo intervallo circa Solem descripti pars longè major sita est à latere Terræ quod Solem respicit; inque parte illa majore Cometæ Soli ut plurimum viciniores magis illuminari solent.

Corol. 3.Hinc etiam manifestum est, quod cœli resistentia destituuntur. Nam Cometæ vias obliquas & nonnunquam cursui Planetarum contrarias secuti, moventur omnifariam liberrimè, & motus suos etiam contra cursum Planetarum diutissimè conservant. Fallor ni genus Planetarum sint, & motu perpetuo in orbem redeant. Nam quod Scriptores aliqui Meteora esse volunt, argumentum à capitum perpetuis mutationibus ducentes, fundamento carere videtur. Capita Cometarum Atmosphæris ingentibus cinguntur; & Atmosphæræ infernè densiores esse debent. Unde nubes sunt non ipsa Cometarum corpora, in quibus mutationes illæ visuntur. Sic Terra si è Planetis spectaretur, luce nubium suarum proculdubio splenderet, & corpus firmum sub nubibus prope delitesceret. Sic cingula Jovis in nubibus Planetæ illius formata, situm mutant inter se, & firmum Jovis corpus per nubes illas difficilius cernitur. Et multo magis corpora Cometarum sub Atmosphæris & profundioribus & crassioribus abscondi debent.

Cometas in Sectionibus conicis umbilicos in centro Solis habentibus moveri, & radiis ad solem ductis areas temporibus proportionales describere.

Patet per Corol. 1. Prop. XIII. Libri primi, collatum cum Prop. VIII, XII & XIII. Libri tertii.

Corol. 1.Hinc si Cometæ in orbem redeunt, orbes erunt Ellipses, & tempora periodica erunt ad tempora periodica Planetarum in rationesesquialteratransversorum axium. Ideoque Cometæmaxima ex parte supra Planetas versantes, & eo nomine orbes axibus majoribus describentes, tardius revolventur. Ut si axis orbis Cometæ sit quadruplo major axe orbis Saturni, tempus revolutionis Cometæ erit ad tempus revolutionis Saturni, id est ad annos 30, ut 4√4 (seu 8) ad 1, ideoque erit annorum 240.

Corol. 2.Orbes autem erunt Parabolis adeo finitimi, ut eorum vice Parabolæ absque erroribus sensibilibus adhiberi possunt.

Corol. 3.Et propterea, per Corol. 7. Prop. XVI. Lib. I. velocitas Cometæ omnis erit semper ad velocitatem Planetæ cujusvis circa Solem in circulo revolventis, in dimidiata ratione duplicatæ distantiæ Cometæ à centro Solis ad distantiam Planetæ à centro Solis quamproximè. Ponamus radium orbis magni, seu Ellipseos in qua Terra revolvitur semidiametrum transversam, esse partium 100000000, & Terra motu suo diurno mediocri describet partes 1720212, & motu horario partes 71675½. Ideoque Cometa in eadem Telluris à Sole distantia mediocri, ea cum velocitate quæ sit ad velocitatem Telluris ut √2 ad 1, describet motu suo diurno partes 2432747, & motu horario partes 101364½. In majoribus autem vel minoribus distantiis, motus tum diurnus tum horarius erit ad hunc motum diurnum & horarium in dimidiata ratione distantiarum respectivè, ideoque datur.

Invenire lineam curvam generis Parabolici, quæ per data quotcunque puncta transibit.

Sunto puncta illaA,B,C,D,E,F, &c. & ab iisdem ad rectam quamvis positione datamHNdemitte perpendicula quotcunqueAH,BI,CK,DL,EM,FN.

Figure for Lemma V.

Cas. 1.Si punctorumH,I,K,L,M,Næqualia sunt intervallaHI,IK,KL, &c. collige perpendiculorumAH,BI,CK&c. differentias primasb, 2b, 3b, 4b, 5b, &c. secundasc,2c, 3c, 4c, &c. tertiasd, 2d, 3d, &c. id est, ita ut sitHA-BI=b,BI-CK= 2b,CK-DL= 3b,DL+EM= 4b, -EM+FN= 5b, &c. deinb- 2b=c&c.& sic pergatur ad differentiam ultimam, quæ hic estf.Deinde erecta quacunque perpendiculariRS, quæ fuerit ordinatim applicata ad curvam quæsitam: ut inveniatur hujus longitudo, pone intervallaHI,IK,KL,LM, &c. unitates esse, & dicAH=a, -HS=p, ½pin -IS=q, ⅓qin +SK=r, ¼rin +SL=s,1/5sin +SM=t; pergendo videlicet ad usque penultimum perpendiculumME, & præponendo signa negativa terminisHS,IS, &c. qui jacent ad partes punctiSversusA, & signa affirmativa terminisSK,SL, &c. qui jacent ad alteras partes punctiS. Et signis probe observatis eritRS=a+bp+cq+dr+es+ft&c.

Cas. 2.Quod si punctorumH,I,K,L, &c. inæqualia sint intervallaHI,IK, &c. collige perpendiculorumAH,BI,CK, &c. differentias primas per intervalla perpendiculorum divisasb, 2b, 3b, 4b, 5b; secundas per intervalla bina divisasc, 2c, 3c, 4c, &c. tertias per intervalla terna divisasd, 2d, 3d, &c. quartas per intervalla quaterna divisase, 2e, &c. & sic deinceps; id est ita ut sitb= {AH-BI} ÷HI, 2b= {BI-CK} ÷IK, 3b= {CK-DL} ÷KL&c. deinc= {b- 2b} ÷HK, 2c= {2b- 3b} ÷IL, 3c= {3b- 4b} ÷KM&c. Postead= {c- 2c} ÷HL, 2d= {2c- 3c} ÷IM&c. Inventis differentiis, dicAH=a, -HS=p,pin -IS=q,qin +SK=r,rin +SL=s,sin +SM=t; pergendo scilicet ad usque perpendiculum penultimumME, & erit ordinatim applicataRS=a+bp+cq+dr+es+ft, &c.

Corol.Hinc areæ curvarum omnium inveniri possunt quamproximè. Nam si curvæ cujusvis quadrandæ inveniantur punctaaliquot, & Parabola per eadem duci intelligatur: erit area Parabolæ hujus eadem quam proximè cum area curvæ illius quadrandæ. Potest autem Parabola per Methodos notissimas semper quadrari Geometricè.

Ex observatis aliquot locis Cometæ invenire locum ejus ad tempus quodvis intermedium datum.

DesignentHI,IK,KL,LMtempora inter observationes, (in Fig. præced.)HA,IB,KC,LD,ME, observatas quinque longitudines Cometæ,HStempus datum inter observationem primam & longitudinem quæsitam. Et si per punctaA,B,C,D,Educi intelligatur curva regularisABCDE; & per Lemma superius inveniatur ejus ordinatim applicataRS, eritRSlongitudo quæsita.

Eadem methodo ex observatis quinque latitudinibus invenitur latitudo ad tempus datum.

Si longitudinum observatarum parvæ sint differentiæ, puta graduum tantum 4 vel 5; suffecerint observationes tres vel quatuor ad inveniendam longitudinem & latitudinem novam. Sin majores sint differentiæ, puta graduum 10 vel 20, debebunt observationes quinque adhiberi.

Figure for Lemma VII.

Per datum punctumPducere rectam lineamBC, cujus partesPB,PC, rectis duabus positione datisAB,ACabscissæ, datam habeant rationem ad invicem.

A puncto illoPad rectarum alterutramABducatur recta quævisPD, & producatur eadem versus rectam alteramACusque adE, ut sitPEadPDin data illa ratione. IpsiADparallela sitEC; & si agaturCPB, eritPCadPButPEadPD.Q. E. F.

SitABCParabola umbilicum habensS. ChordâACbisectâ inIabscindatur segmentumABCI, cujus diameter sitIμ& vertexμ. InIμproductâ capiaturμOæqualis dimidio ipsiusIμ. JungaturOS, & producatur ea adξ, ut sitSξæqualis2SO. Et si CometaBmoveatur in arcuCBA, & agaturξBsecansACinE: dico quod punctumEabscindet de chordaACsegmentumAEtempori proportionale quamproximè.

Figure for Lemma VIII.

Jungatur enimEOsecans arcum ParabolicumABCinY, & erit area curvilineaAEYad aream curvilineamACYutAEadACquamproximè. Ideoque cum triangulumASEsit ad triangulumASCin eadem ratione, erit area totaASEYad aream totamASCYutAEadACquamproximè. Cum autemξOsit adSOut 3 ad 1 &EOadYOprope in eadem ratione, eritSYipsiEBparallela quamproximè, & propterea triangulumSEB, trianguloYEBquamproximè æquale. Unde si ad areamASEYaddatur triangulumEYB, & de summa auferatur triangulumSEB, manebit areaASBYareæASEYæqualis quamproximè, atque adeo ad areamASCYutAEadAC. Sed areaASBYest ad areamASCYut tempus descripti arcusABad tempus descripti arcus totius. IdeoqueAEest adACin ratione temporum quamproximè.Q. E. D.

RectæIμ&μM& longitudoAIC ÷ 4Sμæquantur inter se. Nam4Sμest latus rectum Parabolæ pertinens ad verticemB.

Si producaturSμadN&P, utμNsit pars tertia ipsiusμI, &SPsit adSNutSNadSμ. Cometa quo tempore describit arcumAμC, si progrederetur ea semper cum velocitate quam habet in altitudine ipsiSPæquali, describeret longitudinem æqualem chordæAC.

Nam si velocitate quam habet inμ, eodem tempore progrediatur uniformiter in recta quæ Parabolam tangit inμ; area quam Radio ad punctumSducto describeret, æqualis esset areæ ParabolicæASCμ. Ideoque contentum sub longitudine in Tangentedescripta & longitudineSμ, esset ad contentum sub longitudinibusAC&SM, ut areaASCμad triangulumASCM, id est utSNadSM. QuareACest ad longitudinem in tangente descriptam utSμadSN. Cum autem velocitas Cometæ in altitudineSPsit ad velocitatem in altitudineSμin dimidiata rationeSPadSμinversè, id est in rationeSμadSN, longitudo hac velocitate eodem tempore descripta, erit ad longitudinem in Tangente descriptam utSμadSN. IgiturAC& longitudo hac nova velocitate descripta, cum sint ad longitudinem in Tangente descriptam in eadem ratione, æquantur inter se.Q. E. D.

Corol.Cometa igitur ea cum velocitate, quam habet in altitudineSμ+ ⅔Iμ, eodem tempore describeret chordamACquamproximè.

Si Cometa motu omni privatus de altitudineSNseuSμ+ ⅓Iμdemitteretur, ut caderet in Solem, & ea semper vi uniformiter continuata urgeretur in Solem qua urgetur sub initio; idem tempore in orbe suo describat arcumAC, descensu suo describeret spatium longitudiniIμæquale.

Nam Cometa quo tempore describat arcum ParabolicumAC, eodem tempore ea cum velocitate quam habet in altitudineSP(perLemma novissimum) describet chordamAC, adeoque eodem tempore in circulo cujus semidiameter essetSPrevolvendo, describeret arcum cujus longitudo esset ad arcus Parabolici chordamACin dimidiata ratione unius ad duo. Et propterea eo cum pondere quod habet in Solem in altitudineSP, cadendo de altitudine illa in Solem, describeret eodem tempore (per Scholium Prop. IV. Lib. I.) spatium æquale quadrato semissis chordæ illius applicato ad quadruplum altitudinisSP, id est spatiumAIq.÷ 4SP. Unde cum pondus Cometæ in Solem in altitudineSNsit ad ipsius pondus in Solem in altitudineSP, utSPadSμ: Cometa pondere quod habet in altitudineSNeodem tempore, in Solem cadendo, describet spatiumAIq.÷ 4Sμ, id est spatium longitudiniIμvelMμæquale.Q. E. D.

Cometæ in Parabola moventis Trajectoriam ex datis tribus observationibus determinare.

Problema hocce longe difficillimum multimodè aggressus, composui Problemata quædam in Libro primo quæ ad ejus solutionem spectant. Postea solutionem sequentem paulò simpliciorem excogitavi.

Seligantur tres observationes æqualibus temporum intervallis ab invicem quamproximè distantes. Sit autem temporis intervallum illud ubi Cometa tardius movetur paulo majus altero, ita videlicet ut temporum differentia sit ad summam temporum ut summatemporumad dies plus minus sexcentos. Si tales observationes non præsto sint, inveniendus est novus Cometæ locus per Lemma sextum.

Figure for Lemma VIII.

DesignentSSolem,T,t,τtria loca Terræ in orbe magno,TA,tB,τCobservatas tres longitudines Cometæ,Vtempus inter observationem primam & secundam,Wtempus inter secundam actertiam,Xlongitudinem quam Cometa toto illo tempore ea cum velocitate quam habet in mediocri Telluris à Sole distantia, describere posset, &tVperpendiculum in chordamTτ. In longitudine mediatBsumatur utcunque punctumB, & inde versus SolemSducatur lineaBE, quæ sit ad SagittamtV, ut contentum subSB&Stquadrato ad cubum hypotenusæ trianguli rectanguli, cujus latera suntSB& tangens latitudinis Cometæ in observatione secunda ad radiumtB. Et per punctumEagatur rectaAEC, cujus partesAE,ECad rectasTA&τCterminatæ, sint ad invicem ut temporaV&W: Tum per punctaA,B,C, duc circumferentiam circuli, eamque biseca ini, ut & chordamACinI. Age occultamSisecantemACinλ, & comple parallelogrammumiIλμ. CapeIσæqualem 3Iλ, & per SolemSage occultamσξæqualem 3Sσ+ 3iλ. Et deletis jam literisA,E,C,I, à punctoBversus punctumξducoccultam novamBE, quæ sit ad prioremBEin duplicata ratione distantiæBSad quantitatemSμ+ ⅓iλ. Et per punctumEiterum duc rectamAECeadem lege ac prius, id est, ita ut ejus partesAE&ECsint ad invicem ut tempora inter observationes,V&W.

AdACbisectam inIerigantur perpendiculaAM,CN,IO, quarumAM&CNsint tangentes latitudinum in observatione prima ac tertia ad radiosTA&τα. JungaturMNsecansIOinO. Constituatur rectangulumiIλμut prius. InIAproducta capiaturIDæqualisSμ+ ⅔iλ, & agatur occultaOD. Deinde inMNversusNcapiaturMP, quæ sit ad longitudinem supra inventamXin dimidiata ratione mediocris distantiæ Telluris à Sole (seu semidiametri orbis magni) ad distantiamOD. Et inACcapiaturCGipsiNPæqualis, ita ut punctaG&Pad easdem partes rectæNCjaceant.

Eadem methodo qua punctaE,A,C,G, ex assumpto punctoBinventa sunt, inveniantur ex assumptis utcunque punctis aliisb&βpuncta novae,a,c,g, &ε,α,κ,γ. Deinde si perG,g,γducatur circumferentia circuliGgγsecans rectamτCinZ: eritZlocus Cometæ in plano Eclipticæ. Et si inAC,ac,ακcapianturAF,af,αφipsisCG,cg,κγrespectivè æquales, & per punctaF,f,φducatur circumferentia circuliFfφsecans rectamATinX; erit punctumXalius Cometæ locus in plano Eclipticæ. Ad punctaX&Zerigantur tangentes latitudinum Cometæ ad radiosTX&τZ; & habebuntur loca duo Cometæ in orbe proprio. Denique (per Prop. XIX. Lib. I.) umbilicoS, per loca illa duo describatur Parabola, & hæc erit Trajectoria Cometæ.Q. E. I.

Constructionis hujus demonstratio ex Lemmatibus consequitur: quippe cum rectaACsecetur inEin ratione temporum, per Lemma VIII: &BEper Lem. XI. sit pars rectæBSin plano Eclipticæ arcuiABC& chordæAEGinterjecta; &MP(per Lem. VIII.) longitudo sit chordæ arcus, quem Cometa in orbe proprio inter observationem primam ac tertiam describere debet, ideoque ipsiMNæqualis fuerit, si modòBsit verus Cometæ locus in plano Eclipticæ.

Cæterum punctaB,b,βnon quælibet, sed vero proxima eligere convenit. Si angulusAQtin quo vestigium orbis in plano Eclipticæ descriptum secabit rectamtBpræterpropter innotescat, in angulo illo ducenda erit recta occultaAC, quæ sit ad4/3Ttin dimidiata rationeStadSQ. Et agendo rectamSEBcujus parsEBæquetur longitudiniVt, determinabitur punctumBquod prima vice usurpare licet. Tum rectâACdeletâ & secundum præcedentem constructionem iterum ductâ, & inventâ insuper longitudineMP; intBcapiatur punctumb, ea lege, ut siTA,TCse mutuò secuerint inY, sit distantiaYbad distantiamYBin ratione composita ex rationeMNadMP& ratione dimidiataSBadSb. Et eadem methodo inveniendum erit punctum tertiumβ; si modò operationem tertiò repetere lubet. Sed hac methodo operationes duæ ut plurimum suffecerint. Nam si distantiaBbperexigua obvenerit, postquam inventa sunt punctaF,f&G,g, actæ rectæFf&Gg, secabuntTA&τCin punctis quæsitisX&Z.

Proponatur Cometa anni 1680. Hujus motum àFlamstedioobservatum Tabula sequens exhibet.

Tem. appar

Temp. verū

Long. Solis

Long. Cometæ

Lat. Cometæ

1680December12

4. 46

4. 46. 00

Capricorni1. 53. 2

Capricorni6. 33. 0

8. 26. 0

6. 32½

6. 36. 59

11. 8. 10

Aquarii5. 7. 38

21. 45. 30

6. 12

6. 17. 52

14. 10. 49

18. 49. 10

25. 23. 24

5. 14

5. 20. 44

16. 10. 38

28. 24. 6

27. 00. 57

7. 55

8. 03. 2

19. 20. 56

Piscium13. 11. 45

28. 10. 05

8. 2

8. 10. 26

20. 22. 20

17. 37. 5

28. 11. 12

1681January5

5. 51

6. 1. 38

26. 23. 19

Arietis8. 49. 10

26. 15. 26

6. 49

7. 0. 53

Aquarii0. 29. 54

18. 43. 18

24. 12. 42

5. 54

6. 6. 10

1. 28. 34

20. 40. 57

23. 44. 00

6. 56

7. 8. 55

4. 34. 6

25. 59. 34

22. 17. 36

7. 44

7. 58. 42

16. 45. 58

Tauri9. 55. 48

17. 56. 54

8. 07

8. 21. 53

21. 50. 9

Tauri13. 19. 36

16. 40. 57

February2

6. 20

6. 34. 51

24. 47. 4

15. 13. 48

16. 02. 02

6. 50

7. 4. 41

27. 49. 51

16. 59. 52

15. 27. 23

In his observationibusFlamstediuseâ usus est diligentiâ, ut postquam bis observasset distantiam Cometæ à Stella aliqua fixa, deinde etiam distantiam bis ab alia stella fixa, rediret ad stellam priorem & distantiam Cometæ ab eadem iterum observaret, idque bis, ac deinde ex distantiæ illius incremento vel decremento tempori proportionali colligeret distantiam tempore intermedio, quando distantia à stella altera observabatur. Ex hujusmodi observationibus loca Cometæ festinanter computataFlamstediusprimò cum amicis communicavit, & postea easdem ad examen revocatas calculo diligentiore correxit. Nos loca correcta hic descripsimus.

His adde observationes quasdam è nostris.

Temp. appar.

Cometæ Longit.

Com. Lat.

Febru.25

8h. 30′

Tauri26. 19′. 22″

12. 46⅞

8 . 15

27. 4 . 28

12. 36

Mart.1

11 . 0

27. 53 . 8

12. 24¾

8 . 0

28. 12 . 29

12. 19½

11 . 30

29. 20 . 51

12. 2⅔

8 . 30

Geminorum0. 43 . 2

11.443/5

Hæ observationes Telescopio septupedali, & Micrometro filisque in foco Telescopii locatis paractæ sunt: quibus instrumentis & positiones fixarum inter se & positiones Cometæ ad fixas determinavimus. DesignetAstellam in sinistro calcaneo Persei (Bayeroο)Bstellam sequentem in sinistro pede (Bayeroζ) &C,D,E,F,G,H,I,K,L,M,Nstellas alias minores in eodem pede. SintqueP,Q,R,S,Tloca Cometæ in observationibus supra descriptis: & existente distantiâABpartium 807/12, eratACpartium 52¼,BC585/6,AD575/12,BD826/11,CD23⅔,AE294/7,CE57½,DE4911/12,AK38⅔,BK43,CK315/9,FK29,FB23,FC36¼,AH186/7,DH535/11,BN465/12,CN31⅓,BL455/12,NL315/7.LMerat adLBut 2 ad 9 & producta transibat per stellamH. His determinabantur positiones fixarum inter se.

Back to Index Next