Lemma XXIV.

Figure for Lemma XXIII.

Si rectæ duæ positione datæAC,BDad data punctaA,Bterminentur, datamq; habeant rationem ad invicem, & rectaCD, qua puncta indeterminataC,Djunguntur secetur in ratione data inK: dico quod punctumKlocabitur in recta positione data.

Concurrant enim rectæAC, BDinE, & inBEcapiaturBGadAEut estBDadAC, sitq;FDæqualisEG, & eritECadGD, hoc est adEFutACadBD, adeoq; in ratione data, & propterea dabitur specie triangulumEFC. SeceturCFinLin rationeCKadCD, & dabitur etiam specie triangulumEFL, proindeq; punctumLlocabitur in rectaELpositione data. JungeLK, & ob datamFD& datam rationemLKadFD, dabiturLK. Huic æqualis capiaturEH, & eritELKHparallelogrammum. Locatur igitur punctumKin parallelogrammi latere positione datoHK.Q. E. D.

Si rectæ tres tangant quamcunq; conisectionem, quarum duæ parallelæ sint ac dentur positione; dico quod sectionis semidiameter hisce duabus parallela, sit media proportionalis inter harum segmenta, punctis contactum & tangenti tertiæ interjecta.

Figure for Lemma XXIV.

SuntoAF,GBparallelæ duæ ConisectionemADBtangentes inA&B;EFrecta tertia Conisectionem tangens inI, & occurrens prioribus tangentibus inF&G; sitq;CDsemidiameter Figuræ tangentibus parallela: Dico quodAF,CD,BGsunt continue proportionales.

Nam si diametri conjugatæAB,DMtangentiFGoccurrant inE&H, seq; mutuo secent inC, & compleatur parallelogrammumIKCL; erit ex natura sectionum Conicarum, utECadCAitaCAadLC, & ita divisimEC-CAadCA-CLseuEAadAL, & compositeEAadEA+ALseuELutECadEC+CAseuEB; adeoq; (ob similitudinem triangulorumEAF,ELI,ECH,EBG)AFadLIutCHadBG. Est itidem ex natura sectionum ConicarumLIseuCKadCDutCDadCHatq; adeo ex æquo perturbateAFadCDutCDadBG.Q. E. D.

Corol. 1.Hinc si tangentes duæFG,PQtangentibus parallelisAF,BGoccurrant inF&G,P&Q, seq; mutuo secent inO, erit (ex æquo perturbate)AFadBQutAPadBG, & divisim utFPadGQ, atq; adeo utFOadOG.

Corol. 2.Unde etiam rectæ duæPG,FQper punctaP&G,F&Qductæ, concurrent ad rectamACBper centrum figuræ & puncta contactuumA,Btranseuntem.

Si parallelogrammi latera quattuor infinite producta tangant sectionem quamcunq; Conicam & abscindantur ad tangentem quamvis quintam; sumantur autem abscisse terminate ad angulos oppositos parallelogrammi: dico quod abscissa unius lateris ad latus illud, ut pars lateris contermini inter punctum contactus & latus tertium, ad abscissam lateris hujus contermini.

Figure for Lemma XXV.

Tangant parallelogrammiMIKLlatera quatuorML,IK,KL,MIsectionem Conicam inA,B,C,D, & secet tangens quintaFQhæc latera inF,Q,H&E: dico quod sitMEadMIutBKadKQ&KHadKLutAMadMF. Nam per Corollarium Lemmatis superioris, estMEadEIutAMseuBKadBQ, & componendoMEadMIutBKadKQ. Q. E. D. ItemKHadHLutBKseuAMadAF, & dividendoKHadKLutAMadMF.Q. E. D.

Corol. 1.Hinc si parallelogrammumIKLMdatur, dabitur rectangulumKQ×ME, ut & huic æquale rectangulumKH×MF. Æquantur enim rectangula illa ob similitudinem triangulorumKQH,MFE.

Corol. 2.Et si sexta ducatur tangenseqtangentibusKI,MIoccurrens ine&q, rectangulumKQ×MEæquabitur rectanguloKq×Me, eritq;KQadMeutKqadME, & divisim utQqadEe.

Corol. 3.Unde etiam siEq,eQjungantur & bisecentur, & recta per puncta bisectionum agatur, transibit hæc per centrum Sectionis Conicæ. Nam cum sitQqadEeutKQadMe, transibit eadem recta per medium omniumEq,eQ,MK; (per Lemma XXIII) & medium rectæMKest centrum Sectionis.

Figure for Prop. XXVII.

Trajectoriam describere quæ rectas quinq; positione datas continget.

Dentur positione tangentesABG,BCF,GCD,FDE,EA. Figuræ quadrilateræ sub quatuor quibusvis contentæABFEdiagonalesAF,BEbiseca, & (per Cor. 3. Lem. XXV) recta per puncta bisectionum acta transibit per centrum Trajectoriæ. Rursus figuræ quadrilateræBGDF, sub alijs quibusvis quatuor tangentibus contentæ, diagonales (ut ita dicam)BD,GFbiseca, & recta per puncta bisectionum acta transibit per centrum sectionis. Dabitur ergo centrum in concursu bisecantium. Sit illudO. Tangenti cuivisBCparallelam ageKL, ad eam distantiam ut centrumOin medio inter parallelas locetur, & actaKLtanget trajectoriam describendam. Secet hæc tangentes alias quasvis duasCD,FDEinL&K. Per tangentium non parallelarumCL,FKcum parallelisCF,KLconcursusC&K,F&LageCK,FLconcurrentes inR, & rectaORducta & producta secabit tangentes parallelasCF,KLin punctis contactuum. Patet hoc per Corol. 2. Lem. XXIV. Eadem methodo invenire licet alia contactuum puncta, & tum demum per Casum 1. Prob. XIV. Trajectoriam describere.Q. E. F.

Problemata, ubi dantur Trajectoriarum vel centra vel Asymptoti includuntur in præcedentibus. Nam datis punctis & tangentibus una cum centro, dantur alia totidem puncta aliæq; tangentes a centro ex altera ejus parte æqualiter distantes. Asymptotos autem pro tangente habenda est, & ejus terminus infinite distans (si ita loqui fas sit) pro puncto contactus. Concipe tangentis cujusvis punctum contactus abire in infinitum, & tangens vertetur in Asymptoton, atq; constructiones Problematis XV & Casus primi Problematis XIV vertentur in constructiones Problematum ubi Asymptoti dantur.

Figure for Scholium.

Postquam Trajectoria descripta est, invenire licet axes & umbilicos ejus hac methodo. In constructione & Figura Lemmatis XXI, fac ut angulorum mobiliumPBN,PCNcruraBP,CPquorum concursu Trajectoria describebatur sint sibi invicem parallela, eumq; servantia situm revolvantur circa polos suosB,Cin figura illa. Interea vero describant altera angulorum illorum cruraCN,BNconcursu suoKvelk, circulumIBKGC. Sit circuli hujus centrumO. Ab hoc centro ad RegulamMN, ad quam altera illa cruraCN,BNinterea concurrebant dum Trajectoria describebatur, demitte normalemOHcirculo occurrentem inK&L. Et ubicrura illa alteraCK,BKconcurrant ad punctum istudKquod Regulæ proprius est, crura primaCP,BPparallela erunt axi majori& perpendicularia minori; & contrarium eveniet si crura eadem concurrunt ad punctum remotiusL. Unde si detur Trajectoriæ centrum, dabuntur axes. Hisce autem datis, umbilici sunt in promptu.

Axium vero quadrata sunt ad invicem utKHadLH, & inde facile est Trajectoriam specie datam per data quatuor puncta describere. Nam si duo ex punctis datis constituantur poliC,B, tertium dabit angulos mobilesPCK,PBK. Tum ob datam specie Trajectoriam, dabitur ratioOHadOK, centroq;O& intervalloOHdescribendo circulum, & per punctum quartum agendo rectam quæ circulum illum tangat, dabitur regulaMNcujus ope Trajectoria describatur. Unde etiam vicissim Trapezium specie datum (si casus quidam impossibiles excipiantur) in data quavis sectione Conica inscribi potest.

Sunt & alia Lemmata quorum ope Trajectoriæ specie datæ, datis punctis & tangentibus, describi possunt. Ejus generis est quod, si recta linea per punctum quodvis positione datum ducatur, quæ datam Conisectionem in punctis duobus intersecet, & intersectionum intervallum bisecetur, punctum bisectionis tanget aliam Conisectionem ejusdem speciei cum priore, atq; axes habentem prioris axibus parallelos. Sed propero ad magis utilia.

Figure for Lemma XXVI.

Trianguli specie & magnitudine dati tres angulos ad rectas totidem positione datas, quæ non sunt omnes parallelæ, singulos ad singulas ponere.

Dantur positione tres rectæ infinitæAB,AC,BC, & oportet triangulumDEFita locare, ut angulus ejusDlineamAB,angulusElineamAC, & angulusFlineamBCtangat. SuperDE,DF&EFdescribe tria circulorum segmentaDRE,DGF,EMF, quæ capiant angulos angulisBAC,ABC,ACBæquales respective. Describantur autem hæc segmenta ad eas partes linearumDE,DF,EFut literæDREDeodem ordine cum literisBACB, literæDGFDeodem cum literisABCA, & literæEMFEeodem cum literisACBAin orbem redeant: deinde compleantur hæcFigure for Lemma XXVI.segmenta in circulos. Secent circuli duo priores se mutuo inG, sintq; centra eorumP&Q. JunctisGP,PQ, capeGaadABut estGPadPQ, & centroG, intervalloGadescribe circulum, qui secet circulum primumDGEina. Jungatur tumaDsecans circulum secundumDFGinb, tumaEsecans circulum tertiumGEcinc. Et compleatur figuraABCdefsimilis & æqualis figuræabcDEF. Dico factum.

Agatur enimFcipsiaDoccurrens inn. JunganturaG,bG,PD,QD& producaturPQadR. Ex constructione est angulusEaDæqualis anguloCAB, & angulusEcFæqualis anguloACB, adeoq; triangulumanctrianguloABCæquiangulum. Ergo angulusancseuFnDanguloABC, adeoq; anguloFbDæqualis est, & propterea punctumnincidit in punctumb. Porro angulusGPQ, qui dimidius est anguli ad centrumGPD, æqualis est angulo ad circumferentiamGaD; & angulusGQR, qui dimidius est complementi anguli ad centrumGQD, æqualis est angulo ad circumferentiamGbD, adeoq; eorum complementaPQG,abGæquantur, suntq; ideo triangulaGPQ,Gabsimilia, &Gaest adabutGPadPQ; id est (ex constructione) utGaadAB. Æquantur itaq;ab&AB, & propterea triangulaabc,ABC, quæ modo similia esse probavimus, sunt etiam æqualia. Unde cum tangant insuper trianguliDEFanguliD,E,Ftrianguliabclateraab,ac,bcrespective, compleri potest figuraABCdeffiguræabcDEFsimilis & æqualis, atq; eam complendo solvetur Problema.Q. E. F.

Corol.Hinc recta duci potest cujus partes longitudine datæ rectis tribus positione datis interjacebunt. Concipe TriangulumDEF, punctoDad latusEFaccedente, & lateribusDE,DFin directum positis, mutari in lineam rectam, cujus pars dataDE, rectis positione datisAB,AC, & pars dataDFrectis positione datisAB,BCinterponi debet; & applicando constructionem præcedentem ad hunc casum solvetur Problema.

Trajectoriam specie & magnitudine datam describere, cujus partes datæ rectis tribus positione datis interjacebunt.

Describenda sit Trajectoria quæ sit similis & æqualis lineæ curvæDEF, quæq; a rectis tribusAB,AC,BCpositione datis, inpartes datis hujus partibusDE&EFsimiles & æquales secabitur.

Figure for Prop. XXVIII.

Age rectasDE,EF,DF, & trianguli hujusDEFpone angulosD,E,Fad rectas illas positione datas: (per Lem. XXVI) Dein circa triangulum describe Trajectoriam curvæDEFsimilem & æqualem.Q. E. F.

Trapezium specie datum describere cujus anguli ad rectas quatuor positione datas (quæ neq; omnes parallelæ sunt, neq; ad commune punctum convergunt) singuli ad singulas consistent.

Figure for Lemma XXVII.

Dentur positione rectæ quatuorABC,AD,BD,CE, quarum prima secet secundam inA, tertiam inB, & quartam inC: & describendum sit Trapeziumfghiquod sit TrapezioFGHIsimile, & cujus angulusf, angulo datoFæqualis, tangat rectamABCcæteriq; angulig,h,icæteris angulis datisG,H,Iæquales tangant cæteras lineasAD,BD,CErespective. JungaturFH, & superFG,FH,FIdescribantur totidem circulorum segmentaFSG,FTH,FVI; quorum primumFSGcapiat angulum æqualem anguloBAD, secundumFTHcapiat angulum æqualem anguloCBE; ac tertiumFVIcapiat angulum æqualem anguloACE.Describi autem debent segmenta ad eas partes linearumFG,FH,FI, ut literarumFSGFidem sit ordo circularis qui literarumBADB, utq; literæFTHFeodem ordine cum literisCBEC, & literæFVIFeodem cum literisACEAin orbem redeant. Compleantur segmenta in circulos, sitq;Pcentrum circuli primiFSG, &Qcentrum secundiFTH. Jungatur & utrinq; producaturPQ, & in ea capiaturQRin ea ratione adPQquam habetBCadAB. Capiatur autemQRad eas partes punctiQut literarumP,Q,Ridem sit ordo circularis atq; literarumA,B,C: centroq;R& intervalloRFdescribatur circulus quartusFNcsecans circulum tertiumFVIinc. JungaturFcsecans circulum primum ina& secundum inb. AganturaG,bH,cI, & figuræabcFGHIsimilis constituatur figuraABCfghi: Eritq; Trapeziumfghiillud ipsum quod constituere oportuit.

Secent enim circuli duo primiFSG,FTHse mutuo inK. JunganturPK,QK,RK,aK,bK,cK& producaturQPadL. Anguli ad circumferentiasFaK,FbK,FcK, sunt semisses angulorumFPK,FQK,FRKad centra, adeoq; angulorum illorum dimidiisLPK,LQK,LRKæquales. Est ergo figuraPQRKfiguræabcKæquiangula & similis, & proptereaabest adbcutPQadQR, id est utABadBC. Angulis insuperFaG,FbH,FcIæquanturfAg,fBh,fCiper constructionem. Ergo figuræabcFGHIfigura similisABCfghicompleri potest. Quo facto Trapeziumfghiconstituetur simile TrapezioFGHI& angulis suisf,g,h,itanget rectasAB,AD,BD,CE.Q. E. F.

Corol.Hinc recta duci potest cujus partes, rectis quatuor positione datis dato ordine interjectæ, datam habebunt proportionem ad invicem. Augeantur anguliFGH,GHIusq; eo, ut rectæFG,GH,HIin directum jaceant, & in hoc casu construendo Problema, ducetur rectafghicujus partesfg,gh,hi, rectis quatuor positione datisAB&AD,AD&BD,BD&CEinterjectæ, erunt ad invicem ut lineæFG,GH,HI, eundemq; servabunt ordinem inter se. Idem vero sic fit expeditius.

ProducanturABadK, &BDadL, ut sitBKadAButHIadGH; &DLadBDutGIadFG; & jungaturKLoccurrens rectæCEini. ProducaturiLadM, ut sitLMadiLutGHadHI, & agatur tumMQipsiLBparallela rectæq;ADoccurrens ing, tumgisecansAB,BDinf,h. Dico factum.

Figure for Corol.

Secet enimMgrectamABinQ, &ADrectamKLinS, & agaturAP, quæ sit ipsiBDparallela & occurratiLinP, & eruntMgadLh(MiadLi,giadhi,AKadBK) &APadBLin eadem ratione. SeceturDLinRut sitDLadRLin eadem illa ratione, & ob proportionalesgSadgM,ASadAP&DSadDL, erit ex æquo utgSadLhitaASadBL&DSadRL; & mixtim,BL-RLadLh-BLutAS-DSadgS-AS. Id estBRadBhutADadAg, adeoq; utBDadgQ. Et vicissimBRadBDutBhadgQseufhadfg. Sed ex constructione estBRadBDutFHadFG. Ergofhest adfgutFHadFG. Cum igitur sit etiamigadihutMiadLi, id est, utIGadIH, patet lineasFI,fiing&h,G&Hsimiliter sectas esse.Q. E. F.

In constructione Corollarii hujus postquam duciturLKsecansCEini, producere licetiEadV, ut sitEVadiEutFHadHI, & agereVfparallelam ipsiBD. Eodem recidit si centroi, intervalloIHdescribatur circulus secansBDinX, producaturiXadY, ut sitiYæqualisIF, & agaturYfipsiBDparallela.

Trajectoriam specie datam describere, quæ a rectis quatuor positione datis in partes secabitur, ordine, specie & proportione datas.

Figure for Prop. XXIX.

Describenda sit Trajectoriafghi, quæ similis sit lineæ curvæFGHI, & cujus partesfg,gh,hiillius partibusFG,GH,HIsimiles & proportionales, rectisAB&AD,AD&BD,BD&ECpositione datis, prima primis, secunda secundis, tertia tertiis interjaceant. Actis rectisFG,GH,HI,FI, describatur Trapeziumfghiquod sit TrapezioFGHIsimile & cujus angulif,g,h,itangant rectas illas positione datasAB,AD,BD,CEsinguli singulas dicto ordine. Dein (per Lem. XXVII) circa hoc Trapezium describatur Trajectoria curvæ lineæFGHIconsimilis.

Figure for Scholium.

Construi etiam potest hoc Problema ut sequitur. JunctisFG,GH,HI,FIproducGFadV, jungeq;FH,IG, & angulisFGH,VFHfac angulosCAK,DALæquales. ConcurrantAK,ALcum rectaBDinK&L, & inde agunturKM,LN, quarumKMconstituat angulumAKMæqualem anguloGHI, sitq; adAKut estHIadGH; &LNconstituat angulumALNæqualem anguloFHI, sitq; adALutHIadFH. Ducantur autemAK,KM,AL,LNad eas partes linearumAD,AK,AL, ut literæCAKMC,ALK,DALNDeodem ordine cum literisFGHIFin orbem redeant, & actaMNoccurrat rectæCEini. Fac angulumiEPæqualem anguloIGF, sitq;PEadEiutFGadGI; & perPagaturQPf, quæ cum rectaAEDcontineat angulumPQEæqualem anguloFIG, rectæq;ABoccurrat inf, & jungaturfi. Agantur autemPE&PQad eas partes linearumCE,PE, ut literarumPEiP&PEQPidem sit ordo circularis qui literarumFGHIF, & si super lineafieodem quoq; literarum ordine constituatur TrapeziumfghiTrapezioFGHIsimile, & circumscribatur Trajectoria specie data, solvetur Problema.

Hactenus de orbibus inveniendis. Superest ut motus corporum orbibus inventis determinemus.

De inventione motuum in Orbibus datis.

Figure for Prop. XXX.

Corporis in data Trajectoria Parabolica moventis, invenire locum ad tempus assignatum.

SitSumbilicus &Avertex principalis Parabolæ, sitq; 4AS×Marea ParabolicaAPS, quæ radioSP, vel post excessum corporis de vertice descripta fuit, vel ante appulsum ejus ad verticem describenda est. Innotescit area illa ex tempore ipsi proportionali. BisecaASinG, erigeq; perpendiculumGHæquale 3M, & circulus centroH, intervalloHSdescriptus secabit Parabolam in loco quæsitoP. Nam demissa ad axem perpendiculariPO, estHGq.+GSq.(=HSq.=HPq.=GOq.+PO-HGq.) =GOq.+HGq.- 2HG×PO+POq.Et deleto utrinq;HGq.fietGSq.=GOq.- 2HG×PO+POq.seu 2HG×PO(=GOq.+POq.-GSq.=AOq.- 2GAO+POq.) =AOq.+ ¾POq.ProAOq.scribeAO×POq.÷ 4AS, & applicatis terminis omnibus ad 3PO, ductisq; in 2AS, fiet4/3GH×AS(=1/6AO×PO+ ½AS×PO= {AO+ 3AS} ÷ 6 ×PO= {4AO- 3SO} ÷ 6 ×PO= areæAPO-SPO) = areæAPS. SedGHerat 3M, & inde4/3HG×ASest 4AS×M. Ergo areaAPSæqualis est 4AS×M.Q. E. D.

Corol. 1.HincGHest adAS, ut tempus quo corpus descripsit arcumAPad tempus quo corpus descripsit arcum inter verticemA& perpendiculum ad axem ab umbilicoSerectum.

Corol. 2.Et circuloASPper corpus movens perpetuo transeunte, velocitas punctiHest ad velocitatem quam corpus habuit in verticeA, ut 3 ad 8; adeoq; in ea etiam ratione est lineaGHad lineam rectam quam corpus tempore motus sui abAadP, ea cum velocitate quam habuit in verticeA, describere posset.

Corol. 3.Hinc etiam viceversa inveniri potest tempus quo corpus descripsit arcum quemvis assignatumAP. JungeAP& ad medium ejus punctum erige perpendiculum rectæGHoccurrens inH.

Nulla extat figura Ovalis cujus area, rectis pro lubitu abscissa, possit per æquationes numero terminorum ac dimensionum finitas generaliter inveniri.

Intra Ovalem detur punctum quodvis, circa quod ceu polum revolvatur perpetuo linea recta, & interea in recta illa exeat punctum mobile de polo, pergatq; semper ea cum velocitate, quæ sit ut rectæ illius intra Ovalem longitudo. Hoc motu punctum illud describet Spiralem gyris infinitis. Jam si area Oualis per finitam æquationem inveniri potest, invenietur etiam per eandem æquationem distantia puncti a polo; quæ huic areæ proportionalis est, adeoq; omnia Spiralis puncta per æquationem finitam inveniri possunt: & propterea rectæ cujusvis positione datæ intersectio cum spirali inveniri etiam potest per æquationem finitam. Atqui recta omnis infinite producta spiralem secat in punctis numero infinitis, & æquatio, qua intersectio aliqua duarum linearum invenitur, exhibet earum intersectiones omnes radicibus totidem,adeoq; ascendit ad tot dimensiones quot sunt intersectiones. Quoniam circuli duo se mutuo secant in punctis duobus, intersectio una non invenitur nisi per æquationem duarum dimensionum, qua intersectio altera etiam inveniatur. Quoniam duarum sectionum Conicarum quatuor esse possunt intersectiones, non potest aliqua earum generaliter inveniri nisi per æquationem quatuor dimensionum, qua omnes simul inveniantur. Nam si intersectiones illæ seorsim quærantur, quoniam eadem est omnium lex & conditio, idem erit calculus in casu unoquoq; & propterea eadem semper conclusio, quæ igitur debet omnes intersectiones simul complecti & indifferenter exhibere. Unde etiam intersectiones Sectionum Conicarum & curvarum tertiæ potestatis, eo quod sex esse possunt, simul prodeunt per æquationes sex dimensionum, & intersectiones duarum curvarum tertiæ potestatis, quia novem esse possunt, simul prodeunt per æquationes dimensionum novem. Id nisi necessario fieret, reducere liceret Problemata omnia Solida ad Plana, & plusquam solida ad solida. Eadem de causa intersectiones binæ rectarum & sectionum Conicarum prodeunt semper per æquationes duarum dimensionum; ternæ rectarum & curvarum tertiæ potestatis per æquationes trium, quaternæ rectarum & curvarum quartæ potestatis per æquationes dimensionum quatuor, & sic ininfinitum. Ergo intersectiones numero infinitæ rectarum, propterea quod omnium eadem est lex & idem calculus, requirunt æquationes numero dimensionum & radicum infinitas, quibus omnes possunt simul exhiberi. Si a polo in rectam illam secantem demittatur perpendiculum, & perpendiculum una cum secante revolvatur circa polum, intersectiones spiralis transibunt in se mutuo, quæq; prima erat seu proxima, post unam revolutionem secunda erit, post duas tertia, & sic deinceps: nec interea mutabitur æquatio nisi pro mutata magnitudine quantitatum per quas positio secantis determinatur. Unde cum quantitates illæ post singulas revolutiones redeunt ad magnitudines primas, æquatio redibit ad formam primam, adeoq; una eademq; exhibebitintersectiones omnes, & propterea radices habebit numero infinitas, quibus omnes exhiberi possunt. Nequit ergo intersectio rectæ & spiralis per æquationem finitam generaliter inveniri, & idcirco nulla extat Ovalis cujus area, rectis imperatis abscissa, possit per talem æquationem generaliter exhiberi.

Eodem argumento, si intervallum poli & puncti, quo spiralis describitur, capiatur Ovalis perimetro abscissæ proportionale, probari potest quod longitudo perimetri nequit per finitam æquationem generaliter exhiberi.

Hinc area Ellipseos, quæ radio ab umbilico ad corpus mobile ducto describitur, non prodit ex dato tempore, per æquationem finitam; & propterea per descriptionem Curuarum Geometrice rationalium determinari nequit. Curvas Geometrice rationales appello quarum puncta omnia per longitudines æquationibus definitas, id est, per longitudinum rationes complicatas, determinari possunt; cæterasq; (ut Spirales, Quadratrices, Trochoides) Geometrice irrationales. Nam longitudines quæ sunt vel non sunt ut numerus ad numerum (quemadmodum in decimo Elementorum) sunt Arithmetice rationales vel irrationales. Aream igitur Ellipseos tempori proportionalem abscindo per Curvam Geometrice irrationalem ut sequitur.

Corporis in data Trajectoria Elliptica moventis invenire locum ad tempus assignatum.

Figure for Prop. XXXI.

EllipseosAPBsitAvertex principalis,Sumbilicus,Ocentrum, sitq;Pcorporis locus inveniendus. ProducOAadGut sitOGadOAutOAadOS. Erige perpendiculumGH, centroq;O& intervalloOGdescribe circulumEFG, & super regulaGH, ceu fundo, progrediatur rotaGEFrevolvendo circa axem suum, & interea puncto suoAdescribendo TrochoidemALI. Quo facto, capeGKin ratione ad rotæ perimetrumGEFG, ut est tempus quo corpus progrediendo abAdescripsit arcumAP, ad tempus revolutionis unius in Ellipsi. Erigatur perpendiculumKLoccurrens Trochoidi inL, & actaLPipsiKGparallela occurret Ellipsi in corporis loco quæsitoP.

Nam centroOintervalloOAdescribatur semicirculusAQB, & arcuiAQoccurratLPproducta inQ, junganturq;SQ,OQ. ArcuiEFGoccurratOQinF, & in eandemOQdemittatur perpendiculumSR. AreaAPSest ut areaAQS, id est, ut differentia inter sectoremOQA& triangulumOQS, sive ut differentia rectangulorum ½Q×AQ& ½OQ×SR, hoc est, ob datam ½OQ, ut differentia inter arcumAQ& rectamSR, adeoq; (ob æqualitatem rationumSRad sinum arcusAQ,OSadOA,OAadOG,AQadGF, & divisimAQ-SRadGF- sin. arc.AQ) utGKdifferentia inter arcumGF& sinum arcusAQ.Q. E. D.

Figure for Scholium.

Cæterum ob difficultatem describendi hanc curvam præstat constructiones vero proximas in praxi Mechanica adhibere. Ellipseos cujusvisAPBsitABaxis major,Ocentrum,Sumbilicus,ODsemiaxis minor, &AKdimidium lateris recti. SeceturASinG, ut sitAGadASutBOadBS; & quæratur longitudoL, quæ sit ad ½GKut estAO quad.ad rectangulumAS×OD. BiseceturOGinC, centroq;C& intervalloCGdescribatur semicirculusGFO. Deniq; capiatur angulusGCFin ea ratione ad angulos quatuor rectos, quam habet tempus datum, quo corpus descripsit arcum quæsitumAP, ad tempus periodicum seu revolutionis unius in Ellipsi: AdAOdemittatur normalisFE, & producatur eadem versusFad usq;N, ut sitENad longitudinemL, ut anguli illius sinusEFad radiumCF; centroq;N& intervalloANdescriptus circulus secabit Ellipsin in corporis loco quæsitoPquam proxime.

Nam completo dimidio temporis periodici, corpusPsemper reperietur in Apside summaB, & completo altero temporis dimidio, redibit ad Apsidem imam, ut oportet. Ubi vero proxime abest ab Apsidibus, ratio prima nascentium sectorumASP,GCF, & ratio ultima evanescentiumBSP&OCF, eadem est rationi Ellipseos totius ad circulum totum. Nam punctisP,F&Nincidentibus in locap,f&naxiABquam proximis; ob æqualesAn,pn, rectanq, quæ ad arcumApperpendicularis est, adeoq; concurrit cum axe in punctoK, bisecat arcumAp. Proinde est ½ApadGnutAKadGK, &ApadGnut 2AKadGK. Est &GnadGfutENadEF, seuLadCF, id est, ut {GK×AOq.} ÷ {2AS×OD} adCF, seuGK×AOq.ad 2AS×OD×CF, & ex æquoApadGfut 2AKadGK+GK×AOq.ad 2AS×OD×CF, id est, utAK×AOq.adAS×OD×CF, hoc est, ob æqualiaAK×AO×ODq.utAO×ODadAS×CF. ProindeAp× ½ASest adGf× ½GCutAO×OD×ASadAS×CF×GC, seuAO×ODadCGq.id est, sector nascensASpad sectorem nascentemGCfutAO×ODadCGq.& propterea ut area Ellipseos totius ad aream circuli totius.Q. E. D.Argumento prolixiore probari potest analogia ultima in Sectoribus evanescentibusBSP,OCF: ideoq; locus punctiPprope Apsides satis accurate inventus est. In quadraturis error quasi quingentesimæ partis areæ Ellipseos totius vel paulo major obvenire solet: qui tamen propemodum evanescet per ulteriorem Constructionem sequentem.

Per punctaG,O, duc arcum circularemGTOjustæ magnitudinis; dein producEFhinc inde adT&Nut sitENadFTut ½LadCF; centroq;N& intervalloANdescribe circulum qui secet Ellipsin inP, ut supra. Arcus autemGTOdeterminabiturquærendo ejus punctum aliquodT; quod constructionem in illo casu accuratam reddet.

Si Ellipseos latus transversum multo majus sit quam latus rectum, & motus corporis prope verticem Ellipseos desideretur, (qui casus in Theoria Cometarum incidit,) educere licet e punctoGrectamGIaxiABperpendicularem, & in ea ratione adGKquam habet areaAVPSad rectangulumAK×AS; dein centroI& intervalloAIcirculum describere. Hic enim secabit Ellipsim in corporis loco quæsitoPquamproxime. Et eadem constructione (mutatis mutandis) conficitur Problema in Hyperbola. Hæ autem constructiones demonstrantur ut supra, & si Figura (vertice ulterioreBin infinitum abeunte) vertatur in Parabolam, migrant in accuratam illam constructionem Problematis XXII.

Figure for Scholium.

Si quando locus illePaccuratius determinandus sit, inveniatur tum angulus quidamB, qui sit ad angulum graduum 57,29578quem arcus radio æqualis subtendit, ut est umbilicorum distantiaSHad Ellipseos diametrumAB; tum etiam longitudo quædamL, quæ sit ad radium in eadem ratione inverse. Quibus semel inventis, Problema deinceps confit per sequentem Analysin. Per constructionem superiorem (vel utcunq; conjecturam faciendo) cognoscatur corporis locusPquam proxime. Demissaq; ad axem Ellipseos ordinatim applicataPR, ex proportione diametrorum Ellipseos, dabitur circuli circumscriptiAQBordinatim applicataRQ, quæ sinus est anguliACQexistenteACradio. Sufficit angulum illum rudi calculo in numeris proximis invenire. Cognoscatur etiam angulus temporiproportionalis, id est, qui sit ad quatuor rectos ut est tempus quo corpus descripsit arcumAP, ad tempus revolutionis unius in Ellipsi. Sit angulus isteN. Tum capiatur & angulusDad angulumB, ut est sinus iste anguliACQad Radium, & angulusEad angulumN-ACQ+D, ut est longitudoLad longitudinem eandemLcosinu anguliACQ+ ½Ddiminutam, ubi angulus iste recto minor est, auctam ubi major. Postea capiatur tumangulusFad angulumB, ut est sinus anguliACQ+Ead radium, tum angulusGad angulumN-ACQ-E+Fut est longitudoLad Longitudinem eandem cosinu anguliACQ+E+ ½Fdiminutam ubi angulus iste recto minor est, auctam ubi major. Tertia vice capiatur angulusHad angulumB, ut est sinus anguliACQ+E+Gad radium; & angulusIad angulumN-ACQ-E-G+H, ut est longitudoLad eandem longitudinem cosinu anguliACQ+E+G+ ½Hdiminutam, ubi angulus iste recto minor est, auctam ubi major. Et sic pergere licet in infinitum. Deniq; capiatur angulusACqæqualis anguloACQ+E+G+I&c. & ex cosinu ejusCr& ordinatapr, quæ est ab sinumqrut Ellipseos axis minor ad axem majorem, habebitur corporis locus correctusp. Siquando angulusN-ACQ+Dnegativus est, debet signum + ipsiusEubiq; mutari in -, & signum - in +. Idem intelligendum est de signis ipsorumG&I, ubi anguliN-ACQ-E+F, &N-ACQ-E-G+Hnegative prodeunt. Convergit autem series infinitaACQ+E+G+Iquam celerrime, adeo ut vix unquam opus fuerit ultra progredi quam ad terminum secundumE. Et fundatur calculus in hoc Theoremate, quod areaAPSsit ut differentia inter arcumAQ& rectam ab umbilicoSin RadiumCQperpendiculariter demissam.

Figure for Scholium.

Non dissimili calculo conficitur Problema in Hyperbola. Sit ejus centrumC, VertexA, UmbilicusS&AsymptotosCK. Cognoscatur quantitas areæAPStempori proportionalis. Sit eaA, & fiat conjectura de positione rectæSP, quæ aream illam abscindat quamproxime. JungaturCP, & abA&Pad Asymptoton aganturAI,PKAsymptoto alteri parallelæ, & per Tabulam Logarithmorum dabitur AreaAIKP, eiq; æqualis areaCPA, quæ subducta de trianguloCPSrelinquet areamAPS. Applicando arearumA&APSsemidifferentiam ½APS- ½Avel ½A- ½APSad lineamSN, quæ ab umbilicoSin tangentemPTperpendicularis est, orietur longitudoPQ. Capiatur autemPQinterA&P, si areaAPSmajor sit areaA, secus ad punctiPcontrarias partes: & punctumQerit locus corporis accuratius. Et computatione repetita invenietur idem accuratius in perpetuum.

Atq; his calculis Problema generaliter confit Analytice. Verum usibus Astronomicis accommodatior est calculus particularis qui sequitur. ExistentibusAO,OB,ODsemiaxibus Ellipseos, (Vide fig. pag. 109. 110.) &Lipsius latere recto, quære tum angulumY, cujus Tangens sit ad Radium ut est semiaxium differentiaAO-ODad eorum summamAO+OD; tum angulumZ, cujus tangens sit ad Radium ut rectangulum sub umbilicorum distantiaSH& semiaxium differentiaAO-ODad triplum rectangulum subOQsemiaxe minore &AO- ¼Ldifferentia intersemiaxem majorem & quartam partem lateris recti. His angulis semel inventis, locus corporis sic deinceps determinabitur. Sume angulumTproportionalem tempori quo arcusBPdescriptus est, seu motui medio (ut loquuntur) æqualem; & angulumV(primam medii motus æquationem) ad angulumY(æquationem maximam primam) ut est sinus anguliTduplicati ad radium; atq; angulumX(æquationem secundam) ad angulumZ(æquationem maximam secundam) ut est sinus versus anguliTduplicati ad radium duplicatum, vel (quod eodem recidit) ut est quadratum sinus anguliTad quadratum Radii. AngulorumT,V,Xvel summæT+X+V, si angulusTrecto minor est, vel differentiæT+X-V, si is recto major est rectisq; duobus minor, æqualem cape angulumBHP(motum medium æquatum;) & siHPoccurrat Ellipsi inP, actaSPabscindet areamBSPtempori proportionalem quamproxime. Hæc Praxis satis expedita videtur, propterea quod angulorum perexiguorumV&X(in minutis secundis, si placet, positorum) figuras duas tresve primas invenire sufficit. Invento autem angulo motus medii æquatiBHP, angulus veri motusHSP& distantiaSPin promptu sunt per methodum notissimam Dris.Sethi WardiEpiscopiSalisburiensismihi plurimum colendi.

Hactenus de motu corporum in lineis curvis. Fieri autem potest ut mobile recta descendat vel recta ascendat, & quæ ad istiusmodi motus spectant, pergo jam exponere.

De Corporum Ascensu & Descensu Rectilineo.

Back to Index Next