Figure for Prop. XXXII.
Posito quod vis centripeta sit reciproce proportionalis quadrato distantiæ locorum a centro, spatia definire quæ corpus recta cadendo datis temporibus describit.
Posito quod vis centripeta sit reciproce proportionalis quadrato distantiæ locorum a centro, spatia definire quæ corpus recta cadendo datis temporibus describit.
Cas. 1.Si corpus non cadit perpendiculariter describet id sectionem aliquam Conicam cujus umbilicus inferior congruit cum centro. Id ex Propositionibus XI, XII, XIII & earum Corollariis constat. Sit sectio illa ConicaARPB& umbilicus inferiorS. Et primo si Figura illa Ellipsis est, super hujus axe majoreABdescribatur semicirculusADB, & per corpus decidens transeat rectaDPCperpendicularis ad axem; actisq;DS,PSerit areaASDareæASPatq; adeo etiam tempori proportionalis. Manente axeABminuatur perpetuo latitudo Ellipseos, & semper manebit areaASDtempori proportionalis. Minuatur latitudo illa in infinitum, & orbeAPBjam coincidente cum axeAB& umbilicoScum axis terminoB, descendet corpus in rectaAC, & areaABDevadet tempori proportionalis. Dabitur itaq; spatiumAC, quod corpus de locoAperpendiculariter cadendo tempore dato describit, si modo tempori proportionalis capiatur areaABD, & a punctoDad rectamABdemittatur perpendicularisDC.Q. E. I.
Figure for Cas. 2. and 3.
Cas. 2.Sin figura superiorRPBHyperbola est, describatur ad eandem diametrum principalemABHyperbola rectangulaBD: & quoniam areæCSP,CBfP,SPfBsunt ad areasCSD,CBED,SDEB, singulæ ad singulas, in data ratione altitudinumCP,CD; & areaSPfBproportionalis est tempori quo corpusPmovebitur per arcumPB, erit etiam areaSDEBeidem tempori proportionalis. Minuatur latus rectum HyperbolæRPBin infinitum manente latere transverso, & coibit arcusPBcum rectaCB, & umbilicusScum verticeB& rectaSDcum rectaBD. Proinde areaBDEBproportionalis erit tempori quo corpusCrecto descensu describit lineamCB.Q. E. I.
Cas. 3.Et simili argumento si figuraRPBParabola est, & eodem vertice principaliBdescribatur alia ParabolaBED, quæ semper maneat data, interea dum Parabola prior in cujus perimetro corpusPmovetur, diminuto & in nihilum redacto ejus Latere recto, conveniat cum lineaCB, fiet segmentum ParabolicumBDEBproportionale tempori quo corpus illudPvelCdescendet ad centrumB.Q. E. I.
Positis jam inventis, dico quod corporis cadentis velocitas in loco quovisCest ad velocitatem corporis centroBintervalloBCcirculum describentis, in dimidiata ratione quamCA, distantia corporis a Circuli vel Hyperbolæ vertice ulterioreA, habet ad figuræ semidiametrum principalem ½AB.
Positis jam inventis, dico quod corporis cadentis velocitas in loco quovisCest ad velocitatem corporis centroBintervalloBCcirculum describentis, in dimidiata ratione quamCA, distantia corporis a Circuli vel Hyperbolæ vertice ulterioreA, habet ad figuræ semidiametrum principalem ½AB.
Figure for Prop. XXXIII.
Namq; ob proportionalesCD,CP, lineaABcommunis est utriusq; figuræRPB,DEBdiameter. Bisecetur eadem inO, & agatur rectaPTquæ tangat figuramRPBinP, atq; etiam secet communem illam diametrumAB(si opus est productam) inT; sitq;SYad hanc rectam &BQad hanc diametrum perpendicularis, atq; figuræRPBlatus rectum ponaturL. Constat per Cor. 9. Theor. VIII. quod corporis in lineaRPBcirca centrumSmoventis velocitas in loco quovisPsit ad velocitatem corporis intervalloSPcirca idem centrum circulum describentis in dimidiata ratione rectanguli ½L×SPadSYquadratum. Est autem ex ConicisACBadCPq.ut 2AOadL, adeoq; 2CPq.×AO÷ACBæqualeL. Ergo velocitates illæ sunt ad invicem in dimidiata rationeCPq.×AO×SP÷ACBadSY quad.Porro ex Conicis estCOadBOutBOadTO, & composite vel divisim utCBadBT. Unde dividendo vel componendo fitBO- uel +COadBOutCTadBT, id estACadAOutCPadBQ; indeq;CPq.×AO×SP÷ACBæquale estBQq.×AC×SP÷ {AO×BC}. Minuatur jam in infinitum figuræRPBlatitudoCP, sic ut punctumPcoeat cum punctoC, punctumq;Scum punctoB, & lineaSPcum lineaBC, lineaq;SYcum lineaBQ; & corporis jam recta descendentis in lineaCBvelocitas fiet ad velocitatem corporis centroBinterualloBCcirculum describentis, in dimidiata ratione ipsiusBQq.×AC×SP÷ {AO×BC} adSYq.hoc est (neglectis æqualitatis rationibusSPadBC&BQq.adSYq.) in dimidiata rationeACadAO.Q. E. D.
Corol.PunctisB&Scoeuntibus, fitTCadSTutACadAO.
Si figuraBEDParabola est, dico quod corporis cadentis velocitas in loco quovisCæqualis est velocitati qua corpus centroBdimidio intervalli suiBCcirculum uniformiter describere potest.
Si figuraBEDParabola est, dico quod corporis cadentis velocitas in loco quovisCæqualis est velocitati qua corpus centroBdimidio intervalli suiBCcirculum uniformiter describere potest.
Figure for Prop. XXXIV.
Nam corporis ParabolamRPBcirca centrumSdescribentis velocitas in loco quovisS(per Corol. 7. Theor. VIII) æqualis est velocitati corporis dimidio intervalliSPcirculum circa idemSuniformiter describentis. Minuatur Parabolæ latitudoCPin infinitum eo, ut arcus ParabolicusPfBcum rectaCB, centrumScum verticeB, & interuallumSPcum intervalloBPcoincidat, & constabit Propositio.Q. E. D.
Iisdem positis, dico quod area figuræDES, radio indefinitoSDdescripta, æqualis sit areæ quam corpus, radio dimidium lateris recti figuræDESæquante, circa centrumSuniformiter gyrando, eodem tempore describere potest.
Iisdem positis, dico quod area figuræDES, radio indefinitoSDdescripta, æqualis sit areæ quam corpus, radio dimidium lateris recti figuræDESæquante, circa centrumSuniformiter gyrando, eodem tempore describere potest.
Figure for Prop. XXXV.
Nam concipe corpusCquam minima temporis particula lineolamCccadendo describere, & interea corpus aliudK, uniformiter in circuloOKkcirca centrumSgyrando, arcumKkdescribere. Erigantur perpendiculaCD,cdoccurrentia figuræDESinD,d. JunganturSD,SK,Sk& ducaturDdaxiASoccurrens inT, & ad eam demittatur perpendiculumSY.
Cas. 1.Jam si figuraDESCirculus est vel Hyperbola, bisecetur ejus transversa diameterASinO, & eritSOdimidium Lateris recti. Et quoniam estTCadTDutCcadDd, &TDadTSutCDadSY, erit ex æquoTCadTSutCD×CcadSY×Dd. Sed per Corol. Prop. 33. estTCadSTutACadAO, puta si in coitu punctorumD,dcapiantur linearum rationes ultimæ. ErgoACest adAO, id est adSK, utCD×CcadSY×Dd. Porro corporis descendentis velocitas inCest ad velocitatem corporis circulum intervalloSCcirca centrumSdescribentis in dimidiata rationeACadAOvelSK(per Theor. IX.) Et hæc velocitas ad velocitatem corporis describentis circulumOKkin dimidiata rationeSKadSCper Cor. 6. Theor. IV. & ex æquo velocitas prima ad ultimam, hoc est lineolaCcad arcumKkin dimidiata rationeACadSC, id est in rationeACadCD. Quare estCD×CcæqualeAC×Kk, & proptereaACadSKutAC×KkadSY×Dd, indeq;SK×KkæqualeSY×Dd, & ½SK×Kkæquale ½SY×Dd, id est areaKSkæqualis areæSDd. Singulis igitur temporis particulis generantur arearum duarum particulæKSk,SDd, quæ, si magnitudo earum minuatur & numerus augeatur in infinitum, rationem obtinent æqualitatis, & propterea (per Corollarium Lemmatis IV) areæ totæ simul genitæ sunt semper æquales.Q. E. D.
Figure for Cas. 2.
Cas. 2.Quod si figuraDESParabola sit, invenietur ut supraCD×Ccesse adSY×DdutTCadST, hoc est ut 2 ad 1, adeoq; ¼CD×Ccæqualem esse ½SY×Dd. Sed corporiscadentis velocitas inCæqualis est velocitati qua circulus intervallo ½SCuniformiter describi possit (per Theor. X.) Et hæc velocitas ad velocitatem qua circulus radioSKdescribi possit, hoc est, lineolaCcad arcumKkest in dimidiata rationeSKad ½Sc, id est, in rationeSKad ½CD, per Corol. 6. Theorem. IV. Quare est ½SK×Kkæquale ¼CD×Cc, adeoq; æquale ½SY×Dd, hoc est, areaKSkæqualis AreæSDd, ut supra.Quod erat demonstrandum.
Figure for Prop. XXXVI.
Corporis de loco datoAcadentis determinare tempora descensus.
Corporis de loco datoAcadentis determinare tempora descensus.
Super diametroAS(distantia corporis a centro sub initio) describe semicirculumADS, ut & huic æqualem semicirculumOKHcirca centrumS. De corporis loco quovisCerige ordinatim applicatamCD. JungeSD, & areæASDæqualem constitue SectionemOSK. Patet per Theor. XI, quod corpus cadendo describet spatiumACeodem tempore quo corpus aliud uniformiter circa centrumSgyrando, describere potest arcumOK.Quod erat faciendum.
Corporis de loco dato sursum vel deorsum projecti definire tempora ascensus vel descensus.
Corporis de loco dato sursum vel deorsum projecti definire tempora ascensus vel descensus.
Figure for Prop. XXXVII.
Exeat corpus de loco datoGsecundum lineamASGcum velocitate quacunq;. In duplicata ratione hujus velocitatis ad uniformem in circulo velocitatem, qua corpus ad intervallum datumSGcirca centrumSrevolvi posset, capeCAad ½AS. Si ratio illa est numeri binarii ad unitatem, punctumAcadet ad infinitam distantiam, quo in casu Parabola uerticeS, axeSC, latere quovis recto describenda est. Patet hoc per Theorema X. Sin ratio illa minor vel major est quam 2 ad 1, priore casu Circulus, posteriore Hyperbola rectangula super diametroSAdescribi debet. Patet per Theorema IX. Tum centroS, intervallo æquante dimidium lateris recti, describatur circulusHKk, & ad corporis ascendentis vel descendentis loca duo quævisG,C, erigantur perpendiculaGI,CDoccurrentia Conicæ Sectioni vel circulo inIacD. Dein junctisSI,SD, fiant segmentisSEIS,SEDSSectoresHSK,HSkæquales, & per Theorema XI. corpusGdescribet spatiumGCeodem tempore quo corpusKdescribere potest arcumKk. Q. E. F.
Posito quod vis centripeta proportionalis sit altitudini seu distantiæ locorum a centro, dico quod cadentium tempora, velocitates & spatia descripta sunt arcubus arcuumq; sinibus versis & sinibus rectis respective proportionales.
Posito quod vis centripeta proportionalis sit altitudini seu distantiæ locorum a centro, dico quod cadentium tempora, velocitates & spatia descripta sunt arcubus arcuumq; sinibus versis & sinibus rectis respective proportionales.
Figure for Prop. XXXVIII.
Cadat corpus de loco quovisAsecundum rectamAS; & centro viriumS, intervalloAS, describatur circuli quadransAE, sitq;CDsinus rectus arcuscujusvisAD, & corpusA, temporeAD, cadendo describet spatiumAC, inq; locoCacquisierit velocitatemCD. Demonstratur eodem modo ex Propositione X. quo Propositio XXXII. ex Propositione XI. demonstrata fuit. Q. E. D.
Corol. 1.Hinc æqualia sunt tempora quibus corpus unum de locoAcadendo provenit ad centrumS, & corpus aliud revolvendo describit arcum quadrantalemADE.
Corol. 2.Proinde æqualia sunt tempora omnia quibus corpora de locis quibusvis ad usq; centrum cadunt. Nam revolventium tempora omnia periodica (per Corol. 3. Prop. IV.) æquantur.
Posita cujuscunq; generis vi centripeta, & concessis figurarum curvilinearum quadraturis, requiritur corporis recta ascendentis vel descendentis tum velocitas in locis singulis, tum tempus quo corpus ad locum quemvis perveniet: Et contra.
Posita cujuscunq; generis vi centripeta, & concessis figurarum curvilinearum quadraturis, requiritur corporis recta ascendentis vel descendentis tum velocitas in locis singulis, tum tempus quo corpus ad locum quemvis perveniet: Et contra.
Figure for Prop. XXXIX.
De loco quovisAin rectaADECcadat corpusE, deq; loco ejusEerigatur semper perpendicularisEG, vi centripetæ in loco illo ad centrumCtendenti proportionalis: Sitq;BFGlinea curva quam punctumGperpetuo tangit. Coincidat autemEGipso motus initio cum perpendiculariAB, & erit corporis velocitas in loco quovisEut areæ curvilineæABGElatus quadratum.Q. E. I.InEGcapiaturEMlateri quadrato areæABGEreciproce proportionalis, & sitALMlinea curva quam punctumMperpetuo tangit, & erit tempus quo corpus cadendo describit lineamAEut area curvilineaALME.Quod erat Inveniendum.
Etenim in rectaAEcapiatur linea quam minimaDEdatæ longitudinis, sitq;DLFlocus lineæEMGubi corpus versabatur inD; & si ea sit vis centripeta, ut areaABGElatus quadratum sit ut descendentis velocitas, erit area ipsa in duplicata ratione velocitatis, id est, si pro velocitatibus inD&EscribanturV&V+I, erit areaABFDutV2, & areaABGEutV2+ 2VI+I2, & divisim areaDFGEut 2VI+I2, adeoq;DFGE÷DEut {2I×V+ ½I} ÷DE, id est, si primæ quantitatum nascentium rationes sumantur, longitudoDFut quantitas 2I×V÷DE, adeoq; etiam ut quantitatis hujus dimidiumI×V÷DE. Est autem tempus quo corpus cadendo describit lineolamDE, ut lineola illa directe & velocitasVinverse, estq; vis ut velocitatis incrementumIdirecte & tempus inverse, adeoq; si primæ nascentium rationes sumantur, utI×V÷DE, hoc est, ut longitudoDF. Ergo vis ipsiDFvelEGproportionalis facit corpus ea cum velocitate descendere quæ sit ut areæABGElatus quadratum. Q. E. D.
Porro cum tempus, quo quælibet longitudinis datæ lineolaDEdescribatur, sit ut velocitas, adeoq; ut areæABFDlatus quadratum inverse; sitq;DL, atq; adeo areæ nascensDLME, ut idem latus quadratum inverse: erit tempus ut areaDLME, & summa omnium temporum ut summa omnium arearum, hoc est (per Corol. Lem. IV.) tempus totum quo lineaAEdescribitur ut area totaAME. Q. E. D.
Corol. 1.SiPsit locus de quo corpus cadere debet, ut, urgente aliqua uniformi ui centripeta nota (qualis vulgo supponitur gravitas) velocitatem acquirat in locoDæqualem velocitati quam corpus aliud vi quacunq; cadens acquisivit eodem locoD, & in perpendiculariDFcapiaturDR, quæ sit adDFut vis illa uniformis ad vim alteram in locoD, & compleatur rectangulumPDRQ, eiq; æqualis abscindatur areaABFD; eritAlocus de quo corpus alterum cecidit. Namq; completo rectanguloEDRS, cum sit areaABFDad areamDFGEutVVad 2V×I, adeoq; ut ½VadI, id est, ut semissis velocitatis totius ad incrementum velocitatis corporis vi inæquabili cadentis; & similiter areaPQRDad areamDRSEut semissis velocitatis totius ad incrementum velocitatis corporis uniformi vi cadentis; sintq; incrementa illa (ob æqualitatem temporum nascentium) ut vires generatrices, id est ut ordinatim applicatæDF,DR, adeoq; ut areæ nascentesDFGE,DRSE; erunt (ex æquo) areæ totæABFD,PQRDad invicem ut semisses totarum velocitatum, & propterea (ob æqualitatem velocitatum) æquantur.
Corol. 2.Unde si corpus quodlibet de loco quocunq;Ddata cum velocitate vel sursum vel deorsum projiciatur, & detur lex vis centripetæ, invenietur velocitas ejus in alio quovis locoe, erigendo ordinatameg, & capiendo velocitatem illam ad velocitatem in locoDut est latus quadratum rectanguliPQRDarea curvilineaDFgevel aucti, si locuseest locoDinferior, vel diminuti, si is superior est, ad latus quadratum rectanguli soliusPQRD, id est ut √PQRD+ vel -DFgead √PQRD.
Corol. 3.Tempus quoq; innotescet erigendo ordinatamemreciproce proportionalem lateri quadrato exPQRD+ vel -DFge, & capiendo tempus quo corpus descripsit lineamDead tempus quo corpus alterum vi uniformi cecidit aP& cadendo pervenit adD, ut area curvilineaDLmead rectangulum 2PD×DL. Namq; tempus quo corpus vi uniformi descendens descripsit lineamPDest ad tempus quo corpus idem descripsit lineamPEin dimidiata rationePDadPE, id est (lineolaDEjamjam nascente) in rationePDadPD+ ½DEseu 2PDad 2PD+DE, & divisim, ad tempus quo corpus idem descripsit lineolamDEut 2PDadDE, adeoq; ut rectangulum 2PE×DLad areamDLME; estq; tempus quo corpus utrumq; descripsit lineolamDEad tempus quo corpus alterum inæquabili motu descripsit lineamDeut areaDLMEad areamDLme, & ex æquo tempus primum ad tempus ultimum ut rectangulum 2PD×DLad areamDLme.
De Inventione Orbium in quibus corpora viribus quibuscunq; centripetis agitata revolventur.
Si corpus, cogente vi quacunq; centripeta, moveatur utcunq;, & corpus aliud recta ascendat vel descendat, sintq; eorum velocitates in aliquo æqualium altitudinum casu æquales, velocitates eorum in omnibusæqualibusaltitudinibus erunt æquales.
Si corpus, cogente vi quacunq; centripeta, moveatur utcunq;, & corpus aliud recta ascendat vel descendat, sintq; eorum velocitates in aliquo æqualium altitudinum casu æquales, velocitates eorum in omnibusæqualibusaltitudinibus erunt æquales.
Figure for Prop. XL.
Descendat corpus aliquod abAperD,E, ad centrumC, & moveatur corpus aliud aVin linea curvaVIKk. CentroCintervallis quibusvis describantur circuli concentriciDI,EKrectæACinD&E, curvæq;VIKinI&Koccurrentes. JungaturICoccurrens ipsiKEinN; & inIKdemittatur perpendiculumNT; sitq; circumferentiarum circulorum intervallumDEvelINquam minimum, & habeant corpora inD&Ivelocitates æquales. Quoniam distantiæCD,CIæquantur, erunt vires centripetæ inD&Iæquales. Exponantur hæ vires per æquales lineolasDE,IN; & si vis unaIN, per Legum Corol. 2. resolvatur in duasNT&IT, visNT, agendo secundum lineamNTcorporis cursuiITKperpendicularem, nil mutabit velocitatem corporis in cursu illo, sed retrahet solummodo corpus a cursu rectilineo, facietq; ipsum de Orbis tangente perpetuo deflectere, inq; via curvilineaITKk, progredi. In hoc effectu producendo vis illa tota consumetur: vis autem alteraIT, secundum corporis cursum agendo, tota accelerabit illud, ac dato tempore quam minimo accelerationem generabit sibi ipsi proportionalem. Proinde corporum inD&Iaccelerationes æqualibus temporibus factæ (si sumantur linearum nascentiumDE,IN,IK,IT,NTrationes primæ) sunt ut lineæDE,IT: temporibus autem inæqualibus ut lineæ illæ & tempora conjunctim. Tempora ob æqualitatem velocitatum sunt ut viæ descriptæDE&IK, adeoq; accelerationes, in cursu corporum per lineasDE&IK, sunt utDE&IT,DE&IKconjunctim, id est utDE quad.&IT×IKrectangulum. Sed rectangulumIT×IKæquale estIN quadrato, hoc est, æqualeDE quadrato& propterea accelerationes in transitu corporum aD&IadE&Kæquales generantur. Æquales igitur sunt corporum velocitates inE&K& eodemargumento semper reperientur æquales in subsequentibus æqualibus distantiis. Q. E. D. Sed & eodem argumento corpora æquivelocia & æqualiter a centro distantia, in ascensu ad æquales distantias æqualiter retardabuntur. Q. E. D.
Corol. 1.Hinc si corpus vel funipendulum oscilletur, vel impedimento quovis politissimo & perfecte lubrico cogatur in linea curva moveri, & corpus aliud recta ascendat vel descendat, sintq; velocitates eorum in eadem quacunq; altitudine æquales: erunt velocitates eorum in aliis quibuscunq; æqualibus altitudinibus æquales. Namq; impedimento vasis absolute lubrici idem præstatur quod vi transversaNT. Corpus eo non retardatur, non acceleratur, sed tantum cogitur de cursu rectilineo discedere.
Corol. 2.Hinc etiam si quantitasPsit maxima a centro distantia, ad quam corpus vel oscillans vel in Trajectoria quacunq; revolvens, deq; quovis trajectoriæ puncto, ea quam ibi habet velocitate sursum projectum ascendere possit; sitq; quantitasAdistantia corporis a centro in alio quovis Orbis puncto, & vis centripeta semper sit ut ipsiusAdignitas quælibetAn- 1, cujus Indexn- 1 est numerus quilibetnunitate diminutus; velocitas corporis in omni altitudineAerit ut √nPn-nAn, atq; adeo datur. Namq; velocitas ascendentis ac descendentis (per Prop. XXXIX.) est in hac ipsa ratione.
Posita cujuscunq; generis vi centripeta & concessis figurarum curvilinearum quadraturis, requiruntur tum Trajectoriæ in quibus corpora movebuntur, tum tempora motuum in Trajectoriis inventis.
Posita cujuscunq; generis vi centripeta & concessis figurarum curvilinearum quadraturis, requiruntur tum Trajectoriæ in quibus corpora movebuntur, tum tempora motuum in Trajectoriis inventis.
Figure for Prop. XLI.
Tendat vis quælibet ad centrumC& invenienda sit TrajectoriaVITKk. Detur circulusVXYcentroCintervallo quovisCVdescriptus, centroq; eodem describantur alii quivis circuliID,KEtrajectoriam secantes inI&Krectamq;CVinD&E. Age tum rectamCNIXsecantem circulosKE,VYinN&X, tum rectamCKYoccurrentem circuloVXYinY. Sint autem punctaI&Ksibi invicem vicinissima, & pergat corpus abVperI,T&Kadk; sitq;Aaltitudo illa de qua corpus aliud cadere debet ut in locoDvelocitatem acquirat æqualem velocitati corporis prioris inI; & stantibus quæ in Propositione XXXIX, quoniam lineolaIK, dato tempore quam minimo descripta, est ut velocitas atq; adeo ut latus quadratum areæABFD, & triangulumICKtempori proportionale datur, adeoq;KNest reciproce ut altitudoIC, id est, si detur quantitas aliquaQ, & altitudoICnomineturA, utQ÷A; quam nominemusZ. Ponamus eam esse magnitudinem ipsiusQut sit √ABFDin aliquo casu adZut estIKadKN, & erit semper √ABFDadZutIKadKN, &ABFDadZZutIK quad.adKN quad.& divisimABFD-ZZadZZutIN quad.adKN quad.adeoq; √ABFD-ZZadZutINadKN, & proptereaA×KNæqualeQ×IN÷ √ABFD-ZZ. Unde cumYX×XCsit adA×KNin duplicata rationeYCadKC, erit rectang.YX×XCæqualeQ×IN×CX quad.÷AA√ABFD-ZZ. Igitur si in perpendiculoDFcapiantur semperDb,DcipsisQ÷ 2√ABFD-ZZ&Q×CX quad.÷ 2AA√ABFD-ZZæquales respective, & describantur curvæ lineæab,cdquas punctab,cperpetuo tangunt; deq; punctoVad lineamACerigatur perpendiculumVadabscindens areas curvilineasVDba,VDdc, & erigantur etiam ordinatæEz,Ex: quoniam rectangulumDb×INseuDbzEæquale est dimidio rectanguliA×KN, seu trianguloICK; & rectangulumDc×INseuDc×Eæquale est dimidio rectanguliYXinCX, seu trianguloXCY; hoc est, quoniam arearumVDba,VICæquales semper sunt nascentes particulæDbzE,ICK, & arearumVDcd,VCXæquales semper sunt nascentes particulæDExc,XCY, erit area genitaVDbaæqualis areæ genitæ,VIC, adeoq; tempori proportionalis, & area genitaVDdcæqualis Sectori genitoVCX. Dato igitur tempore quovis ex quo corpus discessit de locoV, dabitur area ipsi proportionalisVDba, & inde dabitur corporis altitudoCDvelCI; & areaVDcd, eiq; æqualis SectorVCXuna cum ejus anguloVCI. Datis autem anguloVCI& altitudineCIdatur locusI, in quo corpus completo illo tempore reperietur. Q. E. I.
Corol. 1.Hinc maximæ minimæq; corporum altitudines, id est Apsides Trajectoriarum expedite inveniri possunt. Incidunt enim Apsides in puncta illa in quibus rectaICper centrum ducta incidit perpendiculariter in TrajectoriamVIK: id quod fit ubi rectæIK&NKæquantur, adeoq; ubi areaABFDæqualis estZZ.
Corol. 2.Sed & angulusKIN, in quo Trajectoria alibi secat lineam illamIC, ex data corporis altitudineICexpedite invenitur,nimirum capiendo sinum ejus ad radium utKNadIK, id est utZad latus quadratum areæABFD.
Figures for Corol. 3.
Corol. 3.Si centroC& vertice principaliVdescribatur sectio quælibet ConicaVRS, & a quovis ejus punctoRagatur TangensRToccurrens axi infinite productoCVin punctoT; dein junctaCRducatur rectaCP, quæ æqualis sit abscissæCT, angulumq;VCPSectoriVCRproportionalem constituat; tendat autem ad centrumCvis centripeta cubo distantiæ locorum a centro reciproce proportionalis, & exeat corpus de locoVjusta cum velocitate secundum lineam rectæCVperpendicularem: progredietur corpus illud in Trajectoria quam punctumPperpetuo tangit; adeoq; si conica sectioCVRSHyperbola sit, descendet idem ad centrum: Sin ea Ellipsis sit, ascendet illud perpetuo & abibit in infinitum. Et contra, si corpus quacunq; cum velocitate exeat de locoV, & perinde ut incæperit vel oblique descendere ad centrum, vel ab eo oblique ascendere, figuraCVRSvel Hyperbola sit vel Ellipsis, inveniri potest Trajectoria augendo vel minuendo angulumVCPin data aliqua ratione. Sed et vi centripeta in centrifugam versa, ascendet corpus oblique in TrajectoriaVPQquæ invenitur capiendo angulumVCPSectori EllipticoCVRCproportionalem, & longitudinemCPlongitudiniCTæqualem: ut supra. Consequuntur hæc omnia exPropositione præcedente, per Curvæ cujusdam quadraturam, cujus inventionem ut satis facilem brevitatis gracia missam facio.
Data lege vis centripetæ, requiritur motus corporis de loco dato data cum velocitate secundum datam rectam egressi.
Data lege vis centripetæ, requiritur motus corporis de loco dato data cum velocitate secundum datam rectam egressi.
Stantibus quæ in tribus Propositionibus præcedentibus: exeat corpus de locoIsecundum lineolamIT, ea cum velocitate quam corpus aliud, vi aliqua uniformi centripeta, de locoPcadendo acquirere posset inD: sitq; hæc vis uniformis ad vim qua corpus primum urgetur inI, utDRadDF. Pergat autem corpus versusk; centroq;C& intervalloCkdescribatur circuluskeoccurrens rectæPDine, & erigantur curvarumALMm,BFGg,abzv,dcxwordinatim applicatæem,eg,ev,ew. Ex dato rectanguloPDRQ, dataq; lege vis centripetæ qua corpus primum agitatur, dantur curvæ lineæBFGg,ALMm, per constructionem Problematis XXVIII. & ejusCorol. 1.Deinde ex dato anguloCITdatur proportio nascentiumIK,KN& inde, per constructionem Prob. XXVIII, datur quantitasQ, una cum curvis lineisabzv,dcxw: adeoq; completo tempore quovisDbve, datur tum corporis altitudoCevelCk, tum areaDcwe, eiq; æqualis SectorXCy, angulusq;XCy& locuskin quo corpus tunc versabitur. Q. E. I.
Supponimus autem in his Propositionibus vim centripetam in recessu quidem a centro variari secundum legem quamcunq; quam quis imaginari potest, in æqualibus autem a centro distantiis esse undiq; eandem. Atq; hactenus corporum in Orbibus immobilibus consideravimus. Superest ut de motu eorum in Orbibus qui circa centrum virium revolvuntur adjiciamus pauca.
De Motu Corporum in Orbibus mobilibus, deq; motu Apsidum.
Efficiendum est ut corpus in Trajectoria quacunq; circa centrum virium revolvente perinde moveri possit, atq; corpus aliud in eadem Trajectoria quiescente.
Efficiendum est ut corpus in Trajectoria quacunq; circa centrum virium revolvente perinde moveri possit, atq; corpus aliud in eadem Trajectoria quiescente.
In OrbeVPKpositione dato revolvatur corpusPpergendo aVversusK. A centroCagatur semperCp, quæ sit ipsiCPæqualis, angulumq;VCpanguloVCPproportionalem constituat; & area quam lineaCpdescribit erit ad areamVCPquam lineaCPdescribit, ut velocitas lineæ describentisCpad velocitatem lineæ describentisCP; hoc est, ut angulusVCpad angulumVCP, adeoq; in data ratione, & propterea tempori proportionalis. Cum area tempori proportionalis sit quam lineaCpin plano immobili describit, manifestum est quod corpus, cogente justæ quantitatis vi centripeta, revolvi possit una cum punctopin curva illa linea quam punctum idempratione jam exposita describit in plano immobili. Fiat angulusVCvanguloPCp, & lineaCvlineæCV, atq; figuravCpfiguræVCPæqualis, & corpus inpFigure for Prop. XLIII. & XLIV.semper existens movebitur in perimetro figuræ revolventisvCp, eodemq; tempore describet arcum ejusvpquo corpus aliudParcum ipsi similem & æqualemVPin figura quiescenteVPKdescribere potest. Quæratur igitur, per Corollarium Propositionis VI, vis centripeta qua corpus revolvi possit in curva illa linea quam punctumpdescribit in plano immobili, & solvetur Problema. Q. E. F.
Differentia virium, quibus corpus in Orbe quiescente, & corpus aliud in eodem Orbe revolvente æqualiter moveri possunt, est in triplicata ratione communis altitudinis inverse.
Differentia virium, quibus corpus in Orbe quiescente, & corpus aliud in eodem Orbe revolvente æqualiter moveri possunt, est in triplicata ratione communis altitudinis inverse.
Partibus orbis quiescentisVP,PKsunto similes & æquales orbis revolventis partesvp,pk. A punctokin rectam,pCdemitte perpendiculumkr, idemq; produc adm, ut sitmradkrut angulusVCpad angulumVCP. Quoniam corporum altitudinesPC&pC,KC&kCsemper æquantur, manifestum est quod si corporum in locisP&pexistentium distinguantur motus singuli (per Legum Corol. 2.) in binos, (quorum hi versus centrum, sive secundum lineasPC,pC; alteri prioribus transversi secundum lineas ipsisPC,pCperpendiculares determinantur) motus versus centrum erunt æquales, & motus transversus corporisperit ad motum transversum corporisP, ut motus angularis lineæpCad motum angularem lineæPC, id est ut angulusVCpad angulumVCP. Igitur eodem tempore quo corpusPmotu suo utroq; pervenit ad punctumK, corpuspæquali in centrum motu æqualiter movebitur aPversusC, adeoq; completo illo tempore reperietur alicubi in lineamkr, quæ per punctumkin lineampCperpendicularis est; & motu transverso acquiret distantiam a lineapC, quæ sit ad distantiam quam corpus alterum acquirit a lineaPC, ut est hujus motus transversus ad motumtransversum alterius. Quare cumkræqualis sit distantiæ quam corpus alterum acquirit a lineapC, sitq;mradkrut angulusVCpad angulumVCP, hoc est, ut motus transversus corporispad motum transversum corporisP, manifestum est quod corpuspcompleto illo tempore reperietur in locom. Hæc ita se habebunt ubi corporaP&pæqualiter secundum lineaspC&PCmoventur, adeoq; æqualibus viribus secundum lineas illas urgentur. Capiatur autem anguluspCnad angulumpCkut est angulusVCpad angulumVCP, sitq;nCæqualiskC, & corpuspcompleto illo tempore revera reperietur inn; adeoq; vi majore urgetur, si modo angulusmCpangulokCpmajor est, id est si orbisVpkmovetur in consequentia, & minore, si orbis regreditur; estq; virium differentia ut locorum intervallummn, per quod corpus illudpipsius actione, dato illo temporis spatio transferri debet. CentroCintervalloCnvelCkdescribi intelligetur circulus secans lineasmr,mnproductas ins&t, & erit rectangulummn×mtæquale rectangulomk×ms, adeoq;mnæqualemk×ms÷mt. Cum autem triangulapCk,pCndentur magnitudine, suntkr&mr, earumq; differentiamk& summamsreciproce ut altitudopC, adeoq; rectangulummk×msest reciproce ut quadratum altitudinispC. Est &mtdirecte ut ½mt, id est ut altitudopC. Hæ sunt primæ rationes linearum nascentium; & hinc fitmk×ms÷mt, idest lineola nascensmn, eiq; proportionalis virium differentia reciproce ut cubus altitudinispC. Q. E. D.
Corol. 1.Hinc differentia virium in locisP&pvelK&kest ad vim qua corpus motu circulari revolvi posset abradk, eodem tempore quo corpusPin orbe immobili describit arcumPK, utmk×msadrkquadratum; hoc est si capiantur datæ quantitatesF,Gin ea ratione ad invicem quam habet angulusVCPad angulumVCp, utGq.-Fq.adFq.Et propterea, si centroCintervallo quovisCPvelCpdescribatur Sector circularis æqualis areæ totiVPC, quam corpusPtempore quovis in orbe immobili revolvens radio ad centrum ducto descripsit, differentia virium, quibus corpusPin orbe immobili & corpuspin orbe mobili revolvuntur, erit ad vim centripetam qua corpus aliquod radio ad centrum ducto Sectorem illum, eodem tempore quo descripta sit areaVPC, uniformiter describere potuisset, utGq.-Fq.adFq.Namq; sector ille & areapCksunt ad invicem ut tempora quibus describuntur.
Corol. 2.Si orbisVPKEllipsis sit umbilicum habensC& Apsidem summamV; eiq; similis & æqualis ponatur Ellipsisvpk, ita ut sit semperpcæqualisPC, & angulusVCpsit ad angulumVCPin data rationeGadF; pro altitudine autemPCvelpcscribaturA, & pro Ellipseos latere recto ponatur 2R: erit vis qua corpus in Ellipsi mobili revolvi potest, utFq.÷Aq.+ {RGq.-RFq.} ÷A cub.& contra. Exponatur enim vis qua corpus revolvatur in immota Ellipsi per quantitatemFq.÷Aq., & vis inVeritFq.÷CV quad.Vis autem qua corpus in circulo ad distantiamCVea cum velocitate revolvi posset quam corpus in Ellipsi revolvens habet inV, est ad vim qua corpus in Ellipsi revolvens urgetur in ApsideV, ut dimidium lateris recti Ellipseos ad circuli semidiametrumCV, adeoq; valetRFq.÷CV cub.: & vis quæ sit ad hanc utGq.-Fq.adFq., valet {RGq.-RFq.} ÷CV cub.: estq; hæc vis (per hujus Corol. 1.) differentia virium quibus corpusPin Ellipsi immotaVPK, & corpuspin Ellipsi mobilivpkrevolvuntur. Unde cum (per hanc Prop.) differentia illa in alia quavis altitudineAsit ad seipsam in altitudineCVut 1 ÷A cub.ad 1 ÷CV cub., eadem differentia in omni altitudineAvalebit {RGq.-RFq.} ÷A cub.Igitur ad vimFq.÷Aq.qua corpus revolvi potest in Ellipsi immobiliVPK, addatur excessus {RGq.-RFq.} ÷A cub.& componetur vis totaFq.÷Aq.+ {RGq.-RFq.} ÷A cub.qua corpus in Ellipsi mobilivpkiisdem temporibus revolvi possit.
Corol. 3.Ad eundem modum colligetur quod, si orbis immobilisVPKEllipsis sit centrum habens in virium centroC; eiq; similis, æqualis & concentrica ponatur Ellipsis mobilisvpk, sitq; 2REllipseos hujus latus rectum, & 2Tlatus transversum atq; angulusVCpsemper sit ad angulumVCPutGadF; vires quibus corpora in Ellipsi immobili & mobili temporibus æqualibus revolvi possunt, erunt utFq.A÷T cub.&Fq.A÷T cub.+ {RGq.-RFq.} ÷A cub.respective.
Figure for Corol. 6.
Corol. 4.Et universaliter, si corporis altitudo maximaCVnomineturT, & radius curvaturæ quam OrbisVPKhabet inV, id est radius circuli æqualiter curvi, nomineturR, & vis centripeta qua corpus in Trajectoria quacunq; immobiliVPKrevolvi potest, in locoVdicatur {Fq.÷Tq.}V, atq; aliis in locisPindefinite dicaturX, altitudineCPnominataA, & capiaturGadFin data ratione anguliVCpad angulumVCP: erit vis centripeta qua corpus idem eosdem motus in eadem Trajectoriavpkcirculariter mota temporibus iisdem peragere potest, ut summa viriumX+ {VRGq.-VRFq.} ÷A cub.
Corol. 5.Dato igitur motu corporis in Orbe quocunq; immobili, augeri vel minui potest ejus motus angularis circa centrum virium in ratione data, & inde inveniri novi orbes immobiles in quibus corpora novis viribus centripetis gyrentur.
Corol. 6.Igitur si ad rectamCVpositione datam erigatur perpendiculumVPlongitudinis indeterminatæ, jungaturq;PC, & ipsi æqualis agaturCp, constituens angulumVCp, qui sit ad angulumVCPin data ratione; vis qua corpus gyrari potest in Curva illaVpkquam punctumpperpetuo tangit, erit reciproce ut cubus altitudinisCp. Nam corpusP, per vim inertiæ, nulla alia vi urgente, uniformiter progredi potest in rectaVP. Addatur vis in centrumC, cubo altitudinisCPvelCpreciproce proportionalis, & (per jam demonstrata) detorquebitur motus ille rectilineus in lineam curvamVpk. Est autem hæc CurvaVpkeadem cum Curva illaVPQin Corol. 3. Prop. XLI inventa, in qua ibi diximus corpora hujusmodi viribus attracta oblique ascendere.
Orbium qui sunt Circulis maxime finitimi requiruntur motus Apsidum.
Orbium qui sunt Circulis maxime finitimi requiruntur motus Apsidum.
Problema solvitur Arithmetice faciendo ut orbis, quem corpus in Ellipsi mobili, ut in Propositionis superioris Corol. 2. vel 3. revolvens, describit in plano immobili, accedat ad formam orbis cujus Apsides requiruntur, & quærendo Apsides orbis quem corpus illud in plano immobili describit. Orbes autem eandem acquirent formam, si vires centripetæ quibus describuntur, inter secollatæ, in æqualibus altitudinibus reddantur proportionales. Sit punctumVApsis summa, & scribanturTpro altitudine maximaCV,Apro altitudine quavis aliaCPvelCp, &Xpro altitudinum differentiaCV-CP; & vis qua corpus in Ellipsi circa umbilicum ejusC(ut in Corollario 2.) revolvente movetur, quæq; in Corollario 2. erat utFq.÷Aq.+ {RGq.-RFq.} ÷A cub.id est ut {Fq. A+RGq.-RFq.} ÷A cub., substituendoT-XproA, erit ut {RGq.-RFq.+TFq.-Fq.X} ÷A cub.Reducenda similiter est vis alia quævis centripeta ad fractionem cujus denominator sitA cub.& numeratores, facta homologorum terminorum collatione, statuendi sunt analogi. Res Exemplis parebit.
Exempl. 1.Ponamus vim centripetam uniformem esse, adeoq; utA cub.÷A cub., sive (scribendoT-XproAin Numeratore) ut {T cub.- 3Tq.X+ 3TXq.-X cub.} ÷A cub.; & collatis Numeratorum terminis correspondentibus, nimirum datis cum datis & non datis cum non datis, fietRGq.-RFq.+TFq.adT cub.ut -Fq.Xad -3Tq.X+ 3TXq.-X cub.sive ut -Fq.ad -3Tq.+ 3TX-Xq.Jam cum Orbis ponatur circulo quam maxime finitimus, coeat orbis cum circulo; & ob factasR,Tæquales, atq;Xin infinitum diminutam, rationes ultimæ eruntRGq.adT cub.ut -Fq.ad -3Tq.seuGq.adTq.utFq.ad 3Tq.& vicissimG quadrat.adF quadrat.utT quad.ad 3T quad.id est, ut 1 ad 3; adeoq;GadF, hoc est angulusVCpad angulumVCPut 1 ad √3. Ergo cum corpus in Ellipsi immobili, ab Apside summa ad Apsidem imam descendendo conficiat angulumVCP(ut ita dicam) graduum 180; corpus aliud in Ellipsi mobili, atq; adeo in orbe immobili de quo agimus, ab Abside summa ad Apsidem imam descendendo conficiet angulumVCpgraduum 180 ÷ √3: idadeo ob similitudinem orbis hujus, quem corpus agente uniformi vi centripeta describit, & orbis illius quem corpus in Ellipsi revolvente gyros peragens describit in plano quiescente. Per superiorem terminorum collationem similes redduntur hi orbes, non universaliter, sed tunc cum ad formam circularem quam maxime appropinquant. Corpus igitur uniformi cum vi centripeta in orbe propemodum circulari revolvens, inter Apsidem summam & Apsidem imam conficiet semper angulum 180 ÷ √3 graduum, seu 103gr.55m.ad centrum; perveniens ab Apside summa ad Apsidem imam, ubi semel confecit hunc angulum, & inde ad Apsidem summam rediens, ubi iterum confecit eundem angulum, & sic deinceps in infinitum.
Exempl. 2.Ponamus vim centripetam esse ut altitudinisAdignitas quælibetAn- 3seuAn÷A3: ubin- 3 &nsignificant dignitatum indices quoscunq; integros vel fractos, rationales vel irrationales, affirmativos vel negativos. Numerator illeAnseuT-Xnin seriem indeterminatam per Methodum nostram Serierum convergentium reducta, evaditTn-nXTn- 1+ {nn-n}÷2Xq.Tn- 2&c. Et collatis hujus terminis cum terminis Numeratoris alteriusRGq.-RFq.+TFq.-Fq.X, fitRGq.-RFq.+TFq.adTnut -Fq.ad -nTn- 1+ {nn-n}÷2XTn- 2&c. Et sumendo rationes ultimas ubi orbes ad formam circularem accedunt, fitRGq.adTnut -Fq.ad -nTn- 1, seuGq.adTn- 1utFq.adnTn- 1, & vicissimGq.adFq.utTn- 1adnTn- 1id est ut 1 adn; adeoq;GadF, id est angulusVCpad angulumVCP, ut 1 ad √n. Quare cum angulusVCP, in descensucorporis ab Apside summa ad Apsidem imam in Ellipsi confectus, sit graduum 180, conficietur angulusVCp, in descensu corporis ab Apside summa ad Apsidem imam in Orbe propemodum circulari, quem corpus quodvis vi centripeta dignitatiAn- 3proportionali describit, æqualis angulo graduum 180 ÷ √n; & hoc angulo repetito corpus redibit ab Apside ima ad Apsidem summam, & sic deinceps in infinitum. Ut si vis centripeta sit ut distantia corporis a centro, id est utAseuA4÷A3, eritnæqualis 4 & √4 æqualis 2; adeoq; angulus inter Apsidem summam & Apsidem imam æqualis 180 ÷ 2gr.seu 90gr.Completa igitur quarta parte revolutionis unius corpus perveniet ad Apsidem imam, & completa alia quarta parte ad Apsidem summam, & sic deinceps per vices in infinitum. Id quod etiam ex Propositione X. manifestum est. Nam corpus urgente hac vi centripeta revolvetur in Ellipsi immobili, cujus centrum est in centro virium. Quod si vis centripeta sit reciproce ut distantia, id est directe ut 1 ÷AseuA2÷A3, eritn= 2, adeoq; inter Apsidem summam & imam angulus erit graduum 180 ÷ √2 seu 127gr.17min.& propterea corpus tali vi revolvens, perpetua anguli hujus repetitione, vicibus alternis ab Apside summa ad imam & ab ima ad summam perveniet in æternum. Porro si vis centripeta sit reciproce ut Latus quadrato-quadratum undecimæ dignitatis Altitudinis, id est reciproce utA11/4, adeoq; directe ut 1 ÷A11/4seu utA¼÷A3eritnæqualis ¼, & 180 ÷ √ngr.æqualis 360gr.& propterea corpus de Apside summa discedens & subinde perpetuo descendens, perveniet ad Apsidem imam ubi complevit revolutionem integram, dein perpetuo ascensu complendo aliam revolutionem integram, redibit ad Apsidem summam: & sic per vices in æternum.
Exempl. 3.Assumentesm&npro quibusvis indicibus dignitatum Altitudinis, &b,cpro numeris quibusvis datis, ponamus vim centripetam esse ut {bAm+cAn} ÷A cub.id est ut {binT-Xm+cinT-Xn} ÷A cub.seu (per eandem Methodum nostram Serierum convergentium) ut
& collatis numeratorum terminis, fietRGq.-RFq.+TFq.adbTm+cTn, ut -Fq.ad -mbTm- 1-ncTn- 1+ {mm-m}÷2XTm- 2+ {nn-n}÷2XTn- 2&c. Et sumendo rationes ultimas quæ prodeunt ubi orbes ad formam circularem accedunt, fitGq.adbTm- 1+cTn- 1, utFq.admbTm- 1+ncTn- 1, & vicissimGq.adFq.utbTm- 1+cTn- 1admbTm- 1+ncTn- 1. Quæ proportio, exponendo altitudinem maximamCVseuTArithmetice per unitatem, fitGq.adFq.utb+cadmb+nc, adeoq; ut 1 ad {mb+nc} ÷ {b+c}. Unde estGadF, id est angulusVCpad angulumVCP, ut 1 ad √{{mb+nc} ÷ {b+c}}. Et propterea cum angulusVCPinter Apsidem summam & Apsidem imam in Ellipsi immobili sit 180gr.erit angulusVCpinter easdem Apsides, in Orbe quem corpus vi centripeta quantitati {bAm+cAn} ÷A cub.proportionali describit, æqualis angulo graduum 180 √{{b+c} ÷ {mb+nc}}. Et eodem argumento si vis centripeta sit ut {bAm-cAn} ÷A cub., angulus inter Apsides invenietur 180 √{{b-c} ÷ {mb-nc}} graduum. Nec secus resolvetur Problema incasibus difficilioribus. Quantitas cui vis centripeta proportionalis est, resolvi semper debet in series convergentes denominatorem habentesA cub.Dein pars data Numeratoris hujusRGq.-RFq.+TFq.-Fq.Xad partem non datam in eadem ratione ponendæ sunt: Et quantitates superfluas delendo, scribendoq; unitatem proT, obtinebitur proportioGadF.
Corol. 1.Hinc si vis centripeta sit ut aliqua altitudinis dignitas, inveniri potest dignitas illa ex motu Apsidum; & contra. Nimirum si motus totus angularis, quo corpus redit ad Apsidem eandem, sit ad motum angularem revolutionis unius, seu graduum 360, ut numerus aliquismad numerum aliumn, & altitudo nomineturA: erit vis ut altitudinis dignitas illaAnn/mm- 3, cujus Index estnn/mm- 3. Id quod per Exempla secunda manifestum est. Unde liquet vim illam in majore quam triplicata altitudinis ratione decrescere non posse: Corpus tali vi revolvens deq; Apside discedens, si cæperit descendere, nunquam perveniet ad Apsidem imam seu altitudinem minimam, sed descendet usq; ad centrum, describens curvam illam lineam de qua egimus in Corol. 3. Prop. XLI. Sin cæperit illud de Apside discedens vel minimum ascendere, ascendet in infinitum, neq; unquam perveniet ad Apsidem summam. Describet enim curvam illam lineam de qua actum est in eodem Corol. & in Corol. 6. Prop. XLIV. Sic & ubi vis in recessu a centro decrescit in majori quam triplicata ratione altitudinis, corpus de Apside discedens, perinde ut cæperit descendere vel ascendere, vel descendet ad centrum usq; vel ascendet in infinitum. At si vis in recessu a centro vel decrescat in minori quam triplicata ratione altitudinis, vel crescat in altitudinis ratione quacunq; Corpus nunquam descendet ad centrum usq; sed ad Apsidem imam aliquando perveniet: & contra, si corpus de Apside ad Apsidem alternis vicibus descendens & ascendens nunquam appellat ad centrum, Vis in recessu a centro aut augebitur, aut inminore quam triplicata altitudinis ratione decrescet: & quo citius corpus de Apside ad Apsidem redierit, eo longius ratio virium recedet a ratione illa triplicata. Ut si corpus revolutionibus 8 vel 4 vel 2 vel 11/2de Apside summa ad Apsidem summam alterno descensu & ascensu redierit, hoc est, si fueritmadnut 8 vel 4 vel 2 vel 11/2ad 1, adeoq;nn/mm- 3 ualeat1/64- 3 vel1/16- 3 vel1/4- 3 vel4/9- 3, erit vis utA1/64- 3velA1/16- 3velA1/4- 3velA4/9- 3, id est reciproce utA3 -1/64velA3 -1/16velA3 -1/4velA3 -4/9. Si corpus singulis revolutionibus redierit ad Apsidem eandem immotam, eritmadnut 1 ad 1, adeoq;Ann/mm- 3æqualisA-2seu 1 ÷A2, & propterea decrementum virium in ratione duplicata altitudinis, ut in præcedentibus demonstratum est. Si corpus partibus revolutionis unius vel tribus quartis, vel duabus tertiis, vel una tertia, vel una quarta, ad Apsidem eandem redierit, eritmadnut3/4vel2/3vel1/3vel1/4ad 1, adeoq;Ann/mm- 3æqualisA16/9- 3velA9/4- 3velA9 - 3velA16 - 3& propterea Vis aut reciproce utA11/9velA3/4, aut directe utA6velA13. Deniq; si Corpus pergendo ab Apside summa ad Apsidem summam confecerit revolutionem integram, & præterea gradus tres, adeoq; Apsis illa singulis corporis revolutionibus confecerit in Consequentia gradus tres, eritmadnut 363gr.ad 360gr.adeoq;Ann/mm- 3erit æqualeA-265707÷131769, & propterea Vis centripeta reciproce utA265707÷131769seuA24/243. Decrescit igitur Vis centripeta in ratione paulo majore quam duplicata, sed quæ vicibus 603/4propius ad duplicatam quam ad triplicatam accedit.
Corol. 2.Hinc etiam si corpus, vi centripeta quæ sit reciproce ut quadratum altitudinis, revolvatur in Ellipsi umbilicum habente in centro virium, & huic vi centripetæ addatur vel auferatur vis alia quævis extranea; cognosci potest (per Exemplatertia) motus Apsidum qui ex vi illa extranea orietur: & contra. Ut si vis qua corpus revolvitur in Ellipsi sit ut 1 ÷A2, & vis extranea ablata utcA, adeoq; vis reliqua ut {A-cA4} ÷A3; erit (in Exemplis tertiis)Aæqualis 1 &næqualis 4, adeoq; angulus revolutionis inter Apsides æqualis angulo graduum 180√{{1 -c} ÷ {1 - 4c}}. Ponatur vim illam extraneam esse 357,45vicibus minorem quam vis altera qua corpus revolvitur in Ellipsi, id estcesse 100 ÷ 35745, & 180√{{1 -c} ÷ {1 - 4c}} evadet 180√{35645 ÷ 35345} seu 180,7602, id est 180gr.45m.37s.Igitur corpus de Apside summa discedens, motu angulari 180gr.45m.37s.perveniet ad Apsidem imam, & hoc motu duplicato ad Apsidem summam redibit: adeoq; Apsis summa singulis revolutionibus progrediendo conficiet 1gr.31m.14s.
Hactenus de motu corporum in orbibus quorum plana per centrum virium transeunt. Superest ut motus etiam determinemus in planis excentricis. Nam Scriptores qui motum gravium tractant, considerare solent ascensus & descensus ponderum, tam obliquos in planis quibuscunq; datis, quam perpendiculares: & pari jure motus corporum viribus quibuscunq; centra petentium, & planis excentricis innitentium hic considerandus venit. Plana autem supponimus esse politissima & absolute lubrica ne corpora retardent. Quinimo in his demonstrationibus, vice planorum quibus corpora incumbunt quasq; tangunt incumbendo, usurpamus plana his parallela, in quibus centra corporum moventur & orbitas movendo describunt. Et eadem lege motus corporum in superficiebus curvis peractos subinde determinamus.