Figure for Lemma XVI.
Cas. 1.Sunto puncta illa dataA,B,C& punctum quartumZ, quod invenire oportet: Ob datam differentiam linearumAZ,BZ, locabitur punctumZin Hyperbola cujus umbilici suntA&B, & axis transversus differentia illa data. Sit axis illeMN. CapePMadMAut estMNadAB, & erectoPRperpendiculari adAB, demissoq;ZRperpendiculari adPR, erit ex natura hujus HyperbolæZRadAZut estMNadAB. Simili discursu punctumZlocabitur in alia Hyperbola, cujus umbilici suntA,C& axis transversus differentia interAZ&CZ, duciq; potestQSipsiACperpendicularis, ad quam si ab Hyperbolæ hujus puncto quovisZdemittatur normalisZS, hæc fuerit adAZut est differentia interAZ&CZadAC. Dantur ergo rationes ipsarumZR&ZSadAZ, & idcirco datur earundemZR&ZSratio ad invicem; adeoq; rectisRP,SQconcurrentibus inT, locabitur punctumZin rectaTZpositione data. Eadem Methodo per Hyperbolam tertiam, cujus umbilici suntB&C& axis transversus differentia rectarumBZ,CZ, inveniri potest alia recta in qua punctumZlocatur. Habitis autem duobus locis rectilineis, habetur punctum quæsitumZin earum intersectione,Q. E. I.
Cas. 2.Si duæ ex tribus lineis, putaAZ&BZæquantur, punctumZlocabitur in perpendiculo bisecante distantiamAB, & locus alius rectilineus invenietur ut supra.Q. E. I.
Cas. 3.Si omnes tres æquantur, locabitur punctumZin centro circuli per punctaA,B,Ctranseuntis.Q. E. I.
Solvitur etiam hoc Lemma problematicum per Librum. TactionumApolloniiaVietarestitutum.
Figure for Prop. XXI.
Trajectoriam circa datum umbilicum describere, quæ transibit per puncta data & rectas positione datas continget.
Trajectoriam circa datum umbilicum describere, quæ transibit per puncta data & rectas positione datas continget.
Detur umbilicusS, punctumP, & tangensTR, & inveniendus sit umbilicus alterH. Ad tangentem demitte perpendiculumST, & produc idem adY, ut sitTYæqualisST, & eritYHæqualis axi transverso. JungeSP,HP& eritSPdifferentia interHP& axem transversum. Hoc modo si dentur plures tangentesTR, vel plura punctaP, devenietur semper ad lineas totidemYH, velPH, a dictis punctisYvelPad umbilicumHductas, quæ vel æquantur axibus, vel datis longitudinibusSPdifferunt ab iisdem, atq; adeo quæ vel æquantur sibi invicem, vel datas habent differentias; & inde, per Lemma superius, datur umbilicus ille alterH. Habitis autem umbilicis una cum axis longitudine (quæ vel estYH, vel si Trajectoria Ellipsis est,PH+SP; sin HyperbolaPH-SP) habetur Trajectoria.Q. E. I.
Figure for Scholium.
Casus ubi dantur tria puncta sic solvitur expeditius. Dentur punctaB,C,D. JunctasBC,CDproduc adE,F, ut sitEBadECutSBadSC, &FCadFDutSCadSD. AdEFductam & productam demitte normalesSG,BH, inq;GSinfinite producta capeGAadAS&GaadaSut estHBadBS; & eritAvertex, &Aaaxis transversus Trajectoriæ: quæ, perinde utGAminor, æqualis vel major fuerit quamAS, erit Ellipsis, Parabola vel Hyperbola; punctoain primo casu cadente ad eandem partem lineæGKcum punctoA; in secundo casuabeunte ininfinitum; in tertio cadente ad contrariam partem lineæGK. Nam si demittantur adGFperpendiculaCI,DK, eritICadHButECadEB, hoc est utSCadSB; & vicissimICadSCutHBadSB, seuGAadSA. Et simili argumento probabitur esseKDadSDin eadem ratione. Jacent ergo punctaB,C,Din Conisectione circa umbilicumSita descripta, ut rectæ omnes ab umbilicoSad singula Sectionis puncta ductæ, sint ad perpendicula a punctis iisdem ad rectamGKdemissa in data illa ratione.
Methodo haud multum dissimili hujus problematis solutionem tradit Clarissimus GeometraDe la Hire, Conicorum suorum Lib. VIII. Prop. XXV.
Inventio orbium ubi umbilicus neuter datur.
Figure for Lemma XVII.
Si a datæ conicæ sectionis puncto quovisP, ad Trapezii alicujusABCD, in Conica illa sectione inscripti, latera quatuor infinite productaAB,CD,AC,DB, totidem rectæPQ,PR,PS,PTin datis angulis ducantur, singulæ ad singula: rectangulum ductarum ad opposita duo lateraPQ×PR, erit ad rectangulum ductarum ad alia duo latera oppositaPS×PTin data ratione.
Si a datæ conicæ sectionis puncto quovisP, ad Trapezii alicujusABCD, in Conica illa sectione inscripti, latera quatuor infinite productaAB,CD,AC,DB, totidem rectæPQ,PR,PS,PTin datis angulis ducantur, singulæ ad singula: rectangulum ductarum ad opposita duo lateraPQ×PR, erit ad rectangulum ductarum ad alia duo latera oppositaPS×PTin data ratione.
Cas. 1.Ponamus imprimis lineas ad opposita latera ductas parallelas esse alterutri reliquorum laterum, putaPQ&PRlateriAC, &PSacPTlateriAB. Sintq; insuper latera duo ex oppositis, putaAC&BD, parallela. Et recta quæ bisecat parallela illa latera erit una ex diametris Conicæ sectionis, & bisecabit etiamRQ. SitOpunctum in quoRQbisecatur, & eritPOordinatim applicata ad diametrum illam. ProducPOadKut sitOKæqualisPO, & eritOKordinatim applicata ad contrarias partes diametri. Cum igitur punctaA,B,P&Ksint ad Conicam sectionem, &PRsecetABin dato angulo, erit (per Prop. 17 & 18 Lib. IIIApollonii) rectangulumPQKad rectangulumAQBin data ratione. SedQK&PRæquales sunt, utpote æqualiumOK,OP, &OQ,ORdifferentiæ, & inde etiamrectangulaPQK&PQ×PRæqualia sunt; atq; adeo rectangulumPQ×PRest ad rectangulumAQB, hoc est ad rectangulumPS×PTin data ratione.Q. E. D.
Figure for Cas. 2.
Cas. 2.Ponamus jam Trapezii latera oppositaAC&BDnon esse parallela. AgeBdparallelamAC& occurrentem tum rectæSTint, tum Conicæ sectioni ind. JungeCdsecantemPQinr, & ipsiPQparallelam ageDMsecantemCdinM&ABinN. Jam ob similia triangulaBTt,DBN, estBtseuPQadTtutDNadNB. Sic &Rrest adAQseuPSutDMadAN. Ergo ducendo antecedentes in antecedentes & consequentes in consequentes, ut rectangulumPQinRrest ad rectangulumTtinPS, ita rectangulumNDMest ad rectangulumANB, & (per Cas. 1) ita rectangulumQPrest ad rectangulumSPt, ac divisim ita rectangulumQPRest ad rectangulumPS×PT.Q. E. D.
Figure for Cas. 3.
Cas. 3.Ponamus deniq; lineas quatuorPQ,PR,PS,PTnon esse parallelas lateribusAC,AB, sed ad ea utcunq; inclinatas. Earum vice agePq,Prparallelas ipsiAC; &Ps,Ptparallelas ipsiAB; & propter datos angulos triangulorumPQq,PRr,PSs,PTt, dabuntur rationesPQadPq,PRadPr,PSadPs&PTadPt, atq; adeo rationes compositæPQinPRadPqinPr, &PSinPTadPsinPt. Sed per superius demonstrata, ratioPqinPradPsinPtdata est: Ergo & ratioPQinPRadPSinPT.Q. E. D.
Iisdem positis, si rectangulum ductarum ad opposita duo latera TrapeziiPQ×PRsit ad rectangulum ductarum ad reliqua duo lateraPS×PTin data ratione; punctumP, a quo lineæ ducuntur, tanget Conicam sectionem circa Trapezium descriptam.
Iisdem positis, si rectangulum ductarum ad opposita duo latera TrapeziiPQ×PRsit ad rectangulum ductarum ad reliqua duo lateraPS×PTin data ratione; punctumP, a quo lineæ ducuntur, tanget Conicam sectionem circa Trapezium descriptam.
Figure for Lemma XVIII.
Per punctaA,B,C,D& aliquod infinitorum punctorumP, putap, concipe Conicam sectionem describi: dico punctumPhanc semper tangere. Si negas, jungeAPsecantem hanc Conicam sectionem alibi quam inPsi fieri potest, puta inb. Ergo si ab his punctisp&bducantur in datis angulis ad latera Trapezii rectæpq,pr,ps,pt&bk,br,bſ,bd; erit utbk×br adbd×bſita (per Lemma XVII)pq×pradps×pt& ita (per hypoth.)PQ×PRadPS×PT. Est & propter similitudinem TrapeziorumbkAſ,PQAS, utbkadbſitaPQadPS. Quare applicando terminos prioris propositionis ad terminos correspondentes hujus, eritbr adbdutPRadPT. Ergo Trapezia æquiangulaDrbd,DRPTsimilia sunt, & eorum diagonalesDb,DPpropterea coincidunt. Incidit itaq;bin intersectionem rectarumAP,DPadeoq; coincidit cum punctoP. Quare punctumP, ubicunq; sumatur, incidit in assignatam Conicam sectionem.Q. E. D.
Corol.Hinc si rectæ tresPQ,PR,PSa puncto communiPad alias totidem positione datas rectasAB,CD,AC, singulæ ad singulas, in datis angulis ducantur, sitq; rectangulum sub duabus ductisPQ×PRad quadratum tertii,PS quad.in data ratione: punctumP, a quibus rectæ ducuntur, locabitur in sectione Conica quæ tangit lineasAB,CDinA&C& contra. Nam coeat lineaBDcum lineaACmanente positione triumAB,CD,AC; dein coeat etiam lineaPTcum lineaPS: & rectangulumPS×PTevadetPS quad.rectæq;AB,CDquæ curvam in punctisA&B,C&Dsecabant, jam Curvam in punctis illis coeuntibus non amplius secare possunt sed tantum tangent.
Nomen Conicæ sectionis in hoc Lemmate late sumitur, ita ut sectio tam rectilinea per verticem Coni transiens, quam circularis basi parallela includatur. Nam si punctumpincidit in rectam, qua quævis ex punctis quatuorA,B,C,Djunguntur, Conica sectio vertetur in geminas rectas, quarum una est recta illa in quam punctumpincidit, & altera recta qua alia duo ex punctis quatuor junguntur. Si trapezii anguli duo oppositi simul sumpti æquentur duobus rectis, & lineæ quatuorPQ,PR,PS,PTducantur ad latera ejus vel perpendiculariter vel in angulis quibusvis æqualibus, sitq; rectangulum sub duabus ductisPS×PRæquale rectangulo sub duabus aliisPS×PT, Sectio conica evadet Circulus. Idem fiet si lineæ quatuor ducantur in angulis quibusvis & rectangulum sub duabus ductisPQ×PRsit ad rectangulum sub aliis duabusPS×PTut rectangulum sub sinubus angulorumS,T, in quibus duæ ultimæPS,PTducuntur, ad rectangulum sub sinubus angulorumQ,R, in quibus duæ primæPQ,PRducuntur. Cæteris in casibus Locus punctiPerit aliqua trium figurarum quæ vulgo nominantur Sectiones Conicæ. Vice autem TrapeziiABCDsubstitui potest quadrilaterum cujus latera duo opposita se mutuo instar diagonalium decussant. Sed & e punctis quatuorA,B,C,Dpossunt unum vel duo abire in infinitum, eoq; pacto latera figuræ quæ ad puncta illa convergunt,evadere parallela: quo in casu sectio conica transibit per cætera puncta, & in plagas parallelarum abibit in infinitum.
Figure for Lemma XIX.
Invenire punctumP, a quo si rectæ quatuorPQ,PR,PS,PTad alias totidem positione datas rectasAB,CD,AC,BDsingulæ ad singulas in datis angulis ducantur, rectangulum sub duabus ductis,PQ×PR, sit ad rectangulum sub aliis duabus,PS×PT, in data ratione.
Invenire punctumP, a quo si rectæ quatuorPQ,PR,PS,PTad alias totidem positione datas rectasAB,CD,AC,BDsingulæ ad singulas in datis angulis ducantur, rectangulum sub duabus ductis,PQ×PR, sit ad rectangulum sub aliis duabus,PS×PT, in data ratione.
LineæAB, CD, ad quas rectæ duæPQ,PR, unum rectangulorum continentes ducuntur, conveniant cum aliis duabus positione datis lineis in punctisA,B,C,D. Ab eorum aliquoAage rectam quamlibetAH, in qua velis punctumPreperiri. Secet ea lineas oppositasBD,CD, nimirumBDinH&CDinI, & ob datos omnes angulos figuræ, dabuntur rationesPQadPA&PAadPS, adeoq; ratioPQadPS. Auferendo hanc a data rationePQ×PRadPS×PT, dabitur ratioPRadPT, & addendo datas rationesPIadPR, &PTadPHdabitur ratioPIadPHatq; adeo punctumP.Q. E. I.
Corol. 1.Hinc etiam ad Loci punctorum infinitorumPpunctum quodvisDtangens duci potest. Nam chordaPDubi punctaPacDconveniunt, hoc est, ubiAHducitur per punctumD, tangens evadit. Quo in casu, ultima ratio evanescentiumIP&PHinvenietur ut supra. Ipsi igiturADduc parallelamCF, occurrentemBDinF, & in ea ultima ratione sectam inE,&DEtangens erit, propterea quodCF& evanescensIHparallelæ sunt, & inE&Psimiliter sectæ.
Figure for Corol. 2.
Corol. 2.Hinc etiam Locus punctorum omniumPdefiniri potest. Per quodvis punctorumA,B,C,D, putaA, duc Loci tangentemAE, & per aliud quodvis punctumBduc tangenti parallelamBFoccurrentem Loco inF. Invenietur autem punctumFper Lemma superius. BisecaBFinG, & actaAGdiameter erit ad quamBG&FGordinatim applicantur. HæcAGoccurrat Loco inH, & eritAHlatus transversum, ad quod latus rectum est utBGq.adAGH. SiAGnullibi occurrit Loco, lineaAHexistente infinita, Locus erit Parabola & latus rectum ejusBGq.÷AG. Sin ea alicubi occurrit, Locus Hyperbola erit ubi punctaA&Hsita sunt ad easdem partes ipsiusG: & Ellipsis, ubiGintermedium est, nisi forte angulusAGBrectus sit & insuperBG quad.æquale rectanguloAGH, quo in casu circulus habebitur.
Atq; ita Problematis veterum de quatuor lineis abEuclideincæpti & abApolloniocontinuati non calculus, sed compositio Geometrica, qualem Veteres quærebant, in hoc Corollario exhibetur.
Si parallelogrammum quodvisASPQangulis duobus oppositisA&Ptangit sectionem quamvis Conicam in punctisA&P, & lateribus unius angulorum illorum infinite productisAQ,ASoccurrit eidem sectioni Conicæ inB&C; a punctis autemoccursuumB&Cad quintum quodvis sectionis Conicæ punctumDagantur rectæ duæBD,CDoccurrentes alteris duobus infinite productis parallelogrammi lateribusPS,PQinT&R: erunt semper abscissæ laterum partesPR&PTad invicem in data ratione. Et contra, si partes illæ abscissæ sunt ad invicem in data ratione, punctumDtanget Sectionem Conicam per puncta quatuorA,B,P,Ctranseuntem.
Si parallelogrammum quodvisASPQangulis duobus oppositisA&Ptangit sectionem quamvis Conicam in punctisA&P, & lateribus unius angulorum illorum infinite productisAQ,ASoccurrit eidem sectioni Conicæ inB&C; a punctis autemoccursuumB&Cad quintum quodvis sectionis Conicæ punctumDagantur rectæ duæBD,CDoccurrentes alteris duobus infinite productis parallelogrammi lateribusPS,PQinT&R: erunt semper abscissæ laterum partesPR&PTad invicem in data ratione. Et contra, si partes illæ abscissæ sunt ad invicem in data ratione, punctumDtanget Sectionem Conicam per puncta quatuorA,B,P,Ctranseuntem.
Figure for Lemma XX.
Cas. 1.JunganturBP,CP& a punctoDagantur rectæ duæDG,DE, quarum priorDGipsiABparallela sit & occurratPB,PQ,CAinH,I,G; alteraDEparallela sit ipsiAC& occurratPC,PS,ABinF,K,E: & erit (per Lemma XVII.) rectangulumDE×DFad rectangulumDG×DHin ratione data. Sed estPQadDEseuIQ, utPBadHB, adeoq; utPTadDH; & vicissimPQadPTutDEadDH. Est &PRadDFutRCadDC, adeoq; utIGvelPSadDG, & vicissimPRadPSutDFadDG; & conjunctis rationibus fit rectangulumPQ×PRad rectangulumPS×PTut rectangulumDE×DFad rectangulumDG×DH, atq; adeo in data ratione. Sed danturPQ&PS& propterea ratioPRadPTdatur.Q. E. D.
Cas. 2.Quod siPR&PTponantur in data ratione ad invicem, tunc simili ratiocinio regrediendo, sequetur esse rectangulumDE×DFad rectangulumDG×DHin ratione data, adeoq; punctumD(per Lemma XVIII.) contingere Conicam sectionem transeuntem per punctaA,B,P,C.Q. E. D.
Corol. 1.Hinc si agaturBCsecansPQinr, & inPTcapiaturPtin ratione adPrquam habetPTadPR, eritBtTangensConicæ sectionis ad punctumB. Nam concipe punctumDcoire cum punctoBita ut, chordaBDevanescente,BTTangens evadet; &CDacBTcoincident cumCB&Bt.
Corol. 2.Et vice versa siBtsit Tangens, & ad quodvis Conicæ sectionis punctumDconveniantBD,CDeritPRadPTutPradPt. Et contra, si sitPRadPTutPradPt, convenientBD,CDad Conicæ sectionis punctum aliquodD.
Corol. 3.Conica sectio non secat Conicam sectionem in punctis pluribus quam quatuor. Nam, si fieri potest, transeant duæ Conicæ sectiones per quinq; punctaA,B,C,D,P, easq; secet rectaBDin punctisD,d, & ipsamPQsecet rectaCdin r. ErgoPRest adPTutPr adPT, hoc est,PR&Pr sibi invicem æquantur, contra Hypothesin.
Figure for Lemma XXI.
Si recta duæ mobiles & infinitæBM,CMper data punctaB,C, ceu polos ductæ, concursu suoMdescribant tertiam positione datam rectamMN; & aliæ duæ infinitæ rectæBD,CDcum prioribus duabus ad puncta illa dataB,C, datos angulosMBD,MCDefficientes ducantur; dico quod hæ duæBD,CDconcursu suoDdescribentsectionemConicam. Et vice versa, si rectæBD,CDconcursu suoDdescribant Sectionem Conicam per punctaB,C,Atranseuntem, & harum concursus tunc incidit in ejus punctum aliquodA, cum alteræ duæBM,CMcoincidunt cum lineaBC, punctumMcontinget rectam positione datam.
Si recta duæ mobiles & infinitæBM,CMper data punctaB,C, ceu polos ductæ, concursu suoMdescribant tertiam positione datam rectamMN; & aliæ duæ infinitæ rectæBD,CDcum prioribus duabus ad puncta illa dataB,C, datos angulosMBD,MCDefficientes ducantur; dico quod hæ duæBD,CDconcursu suoDdescribentsectionemConicam. Et vice versa, si rectæBD,CDconcursu suoDdescribant Sectionem Conicam per punctaB,C,Atranseuntem, & harum concursus tunc incidit in ejus punctum aliquodA, cum alteræ duæBM,CMcoincidunt cum lineaBC, punctumMcontinget rectam positione datam.
Nam in rectaMNdetur punctumN, & ubi punctum mobileMincidit in immotumN, incidat punctum mobileDin immotumP. JungeCN,BN,CP,BP, & a punctoPage rectasPT,PRoccurrentes ipsisBD,CDinT&R, & facientes angulumBPTæqualem anguloBNM& angulumCPRæqualem anguloCNM. Cum ergo (ex Hypothesi) æquales sint anguliMBD,NBP, ut & anguliMCD,NCP: aufer communesNBD&MCP, & restabunt æqualesNBM&PBT,NCM&PCR: adeoq; triangulaNBM,PBTsimilia sunt, ut & triangulaNCM,PCR. QuarePTest adNMutPBadNB, &PRadNMutPCadNC. ErgoPT&PRdatam habent rationem adNM, proindeq; datam rationem inter se, atq; adeo, per Lemma XX, punctumP(perpetuus rectarum mobilumBT&CRconcursus) contingit sectionem Conicam.Q. E. D.
Et contra, si punctumDcontingit sectionem Conicam transeuntem per punctaB,C,A, & ubi rectæBM,CMcoincidunt cum rectaBC, punctum illudDincidit in aliquod sectionis punctumA; ubi vero punctumDincidit successive in alia duo quævis sectionis punctap,P, punctum mobileMincidit successive in puncta immobilian,N: per eademn,Nagatur rectanN, & hæc erit Locus perpetuus puncti illius mobilisM. Nam, si fieri potest, versetur punctumMin linea aliqua curva. Tanget ergo punctumDsectionem Conicam per puncta quinq;C,p,P,B,A, transeuntem, ubi punctumMperpetuo tangit lineam curvam. Sed & ex jam demonstratis tanget etiam punctumDsectionem Conicam per eadem quinq; punctaC,p,P,B,A, transeuntem, ubi punctumMperpetuo tangit lineam rectam. Ergo duæ sectiones Conicæ transibunt per eadem quinq; puncta, contra Corol. 3. Lem. XX. Igitur punctumMversari in linea curva absurdum est.Q. E. D.
Trajectoriam per data quinq; puncta describere.
Trajectoriam per data quinq; puncta describere.
Figure for Prop. XXII.
Dentur puncta quinq;A,B,C,D,P. Ab eorum aliquoAad alia duo quævisB,C, quæ poli nominentur, age rectasAB,AChisq; parallelasTPS,PRQper punctum quartumP. Deinde a polis duobusB,Cage per punctum quintumDinfinitas duasBDT,CRD, novissime ductisTPS,PRQ(priorem priori & posteriorem posteriori)occurrentesinT&R. Deniq; de rectisPT,PR, acta rectatripsiTRparallela, abscindequasvisPt,PripsisPT,PRproportionales, & si per earum terminost,r& polosB,CactæBt,Crconcurrant ind, locabitur punctum illuddin Trajectoria quæsita. Nam punctum illudd(per Lem. XX) versatur in Conica Sectione per puncta quatuorA,B,P,Ctranseunte; & lineisRr,Ttevanescentibus, coit punctumdcum punctoD. Transit ergo sectio Conica per puncta quinq;A,B,C,D,P.Q. E. D.
Figure for Idem aliter.
E punctis datis junge tria quævisA,B,C, & circum duo eorumB,Cceu polos, rotando angulos magnitudine datosABC,ACB, applicentur cruraBA,CAprimo ad punctumDdeinde ad punctumP, & notentur punctaM,Nin quibus altera cruraBL,CLcasu utroq; se decussant. Agatur recta infinitaMN, & rotentur anguli illi mobiles circum polos suosB,C, ea lege utcrurumBL,CLvelBM,CMintersectio, quæ jam sitm, incidat semper in rectam illam infinitamMN, &crurumBA,CA, velBD,CDintersectio, quæ jam sitd, Trajectoriam quæsitamPADdBdelineabit. Nam punctumdper Lem. XXI continget sectionem Conicam per punctaB,Ctranseuntem & ubi punctummaccedit ad punctaL,M,N, punctumd(per constructionem) accedet ad punctaA,D,P. Describetur itaq; sectio Conica transiens per puncta quinq;A,B,C,D,P.Q. E. F.
Corol. 1.Hinc rectæ expedite duci possunt quæ trajectoriam in punctis quibusvis datisB,Ctangent. In casu utrovis accedat punctumdad punctumC& rectaCdevadet tangens quæsita.
Corol. 2.Unde etiam Trajectoriarum centra, diametri & latera recta inveniri possunt, ut in Corollario secundo Lemmatis XIX.
Constructio in casu priore evadet paulo simplicior jungendoBP, & in ea si opus est producta, capiendoBpadBPut estPRadPT, & perpagendo rectam infinitampDipsiSPTparallelam, inq; ea capiendo semperpDæqualemPr, & agendo rectasBD,Crconcurrentes ind. Nam cum sintPradPt,PRadPT,pBadPB,pDadPtin eadem ratione, eruntpD&Prsemper æquales. Hac methodo puncta Trajectoriæ inveniuntur expeditissime, nisi mavis Curvam, ut in casu secundo, describere Mechanice.
Trajectoriam describere quæ per data quatuor puncta transibit, & rectam continget positione datam.
Trajectoriam describere quæ per data quatuor puncta transibit, & rectam continget positione datam.
Cas. 1.Dentur tangensHB, punctum contactusB, & alia tria punctaC,D,P. JungeBC, & agendoPSparallelamBH, &PQparallelamBC, comple parallelogrammumBSPQ. AgeBDsecantemSPinT, &CDsecantemPQinR. Deniq; agendo quamvistripsiTRparallelam, dePQ,PSabscindePr,PtipsisPR,PTproportionales respective; & actarumCr,Btconcursusd(per Corol. 2. Lem. XX) incidet semper in Trajectoriam describendam.
Figure for Prop. XXIII.
Revolvatur tum angulus magnitudine datusCBHcirca polumB, tum radius quilibet rectilineus & utrinq; productusDCcirca polumC. Notentur punctaM,Nin quibus anguli crusBCsecat radium illum ubi crus alterumBHconcurrit cum eodem radio in punctisD&P. Deinde ad actam infinitamMNconcurrant perpetuo radius illeCPvelCD& anguli crusCB, &cruris alteriusBHconcursus cum radio delineabit Trajectoriam quæsitam.
Figure for Idem aliter.
Figure for Cas. 2.
Nam si in constructionibus Problematis superioris accedat punctumAad punctumB, lineæCA&CBcoincident, & lineaABin ultimo suo situ fiet tangensBH, atq; adeo constructiones ibi positæ evadent eædem cum constructionibus hic descriptis. Delineabit igitur crurisBHconcursus cum radio sectionem Conicam per punctaC,D,Ptranseuntem, & rectamBHtangentem in punctoB.Q. E. F.
Cas. 2.Dentur puncta quatuorB,C,D,Pextra tangentemHIsita. Junge binaBD,CPconcurrentia inG, tangentiq; occurrentia inH&I. Secetur tangens inA, ita ut sitHAadAI, ut est rectangulum sub media proportionali interBH&HD& media proportionali interCG&GP, ad rectangulum sub media proportionali interPI&IC& media proportionali interDG&GB, & eritApunctum contactus. Nam si rectæPIparallelaHXtrajectoriam secet in punctis quibusvisX&Y: erit (ex Conicis)HA quad.adAI quad.ut rectangulumXHYad rectangulumBHD(seu rectangulumCGPad rectangulumDGB) & rectangulumBHDad rectangulumPICconjunctim. Invento autem contactus punctoA, describetur Trajectoria ut in casu primo.Q. E. F.Capi autem potest punctumAvel inter punctaH&I, vel extra; & perinde Trajectoria dupliciter describi.
Trajectoriam describere quæ transibit per data tria puncta & rectas duas positione datas continget.
Trajectoriam describere quæ transibit per data tria puncta & rectas duas positione datas continget.
Figure for Prop. XXIV.
Dentur tangentesHI,KL& punctaB,C,D. AgeBDtangentibus occurrentem in punctisH,K&CDtangentibus occurrentem in punctisI,L. Actas ita seca inR&S, ut sitHRadKRut est media proportionalis interBH&HDad mediam proportionalem interBK&KD; &ISadLSut est media proportionalis interCI&IDad mediam proportionalem interCL&LD. AgeRSsecantem tangentes inA&P, & eruntA&Ppuncta contactus. Nam siA&Psint Puncta contactuum ubivis in tangentibus sita, &per punctorumH,I,K,LquodvisIagatur rectaIYtangentiKLparallela & occurrens curvæ inX&Y, & in ea sumaturIZmedia proportionalis interIX&IY: erit, ex Conicis, rectangulumXIY(seuIZ quad.) adLP quad.ut rectangulumCIDad rectangulumCLD; id est (per constructionem) utSI quad.adSL quad.atq; adeoIZadLPutSIadSL. Jacent ergo punctaS,P,Zin una recta. Porro tangentibus concurrentibus inG, erit (ex Conicis) rectangulumXIY(seuIZ quad.) adIA quad.utGP quad.adGA quad., adeoq;IZadIAutGPadGA. Jacent ergo punctaP,Z&Ain una recta, adeoq; punctaS,P&Asunt in una recta. Et eodem argumento probabitur quod punctaR,P&Asunt in una recta. Jacent igitur puncta contactusA&Pin rectaSR.Hisce autem inventis, Trajectoria describetur ut in casu primo Problematis superioris.Q. E. F.
Figuras in alias ejusdem generis figuras mutare.
Figuras in alias ejusdem generis figuras mutare.
Figure for Lemma XXII.
Transmutanda sit figura quævisHGI. Ducantur pro lubitu rectæ duæ parallelæAO,BLtertiam quamvis positione datamABsecantes inA&B, & a figuræ puncto quovisG, ad rectamABducaturGD, ipsiOAparallela. Deinde a puncto aliquoOin lineaOAdato ad punctumDducatur rectaOD, ipsiBLoccurrens ind; & a puncto occursus erigatur rectagd, datum quemvis angulum cum rectaBLcontinens, atq; eam habens rationem adOdquam habetGDadOD; & eritgpunctum in figura novahgipunctoGrespondens. Eadem ratione puncta singula figuræ primæ dabunt puncta totidem figuræ novæ. Concipe igitur punctumGmotu continuo percurrere puncta omnia figuræ primæ, & punctumgmotu itidem continuo percurret puncta omnia figuræ novæ & eandem describet. Distinctionis gratia nominemusDGordinatam primam,dgordinatam novam;BDabscissam primam,Bdabscissam novam;Opolum,ODradium abscindentem,OAradium ordinatum primum &Oa(quo parallelogrammumOABacompletur) radium ordinatum novum.
Dico jam quod si punctumGtangit rectam lineam positione datam, punctumgtanget etiam lineam rectam positione datam.Si punctumGtangit Conicam sectionem, punctumgtanget etiam conicam sectionem. Conicis sectionibus hic circulum annumero. Porro si punctumGtangit lineam tertii ordinis Analytici, punctumgtanget lineam tertii itidem ordinis; & sic de curvis lineis superiorum ordinum: Lineæ duæ erunt ejusdem semper ordinis Analytici quas punctaG,gtangunt. Etenim ut estadadOAita suntOdadOD,dgadDG, &ABadAD; adeoq;ADæqualis estOA×AB÷ad&DGæqualis estOA×dg÷ad. Jam si punctumDtangit rectam lineam, atq; adeo in æquatione quavis, qua relatio inter abscissamAD& ordinatamDGhabetur, indeterminatæ illæAD&DGad unicam tantum dimensionem ascendunt, scribendo in hac æquationeOA×AB÷adproAD, &OA×dg÷adproDG, producetur æquatio nova, in qua abscissa novaad& ordinata nouadgad unicam tantum dimensionem ascendent, atq; adeo quæ designat lineam rectam. SinAD&DG(vel earum alterutra) ascendebant ad duas dimensiones in æquatione prima, ascendent itidemad&dgad duas in æquatione secunda. Et sic de tribus vel pluribus dimensionibus. Indeterminatæad,dgin æquatione secunda &AD,DGin prima ascendent semper ad eundem dimensionum numerum, & propterea lineæ, quas punctaG,gtangunt, sunt ejusdem ordinis Analytici.
Dico præterea quod si recta aliqua tangat lineam curvam infigura prima; hæc recta translata tanget lineam curvam in figura nova: & contra. Nam si Curvæ puncta quævis duo accedunt ad invicem & coeunt in figura prima, puncta eadem translata coibunt in figura nova, atq; adeo rectæ, quibus hæc puncta junguntur simul, evadent curvarum tangentes in figura utraq;. Componi possent harum assertionum Demonstrationes more magis Geometrico. Sed brevitati consulo.
Igitur si figura rectilinea in aliam transmutanda est, sufficit rectarum intersectiones transferre, & per easdem in figura nova lineas rectas ducere. Sin curvilineam transmutare oportet, transferenda sunt puncta, tangentes & aliæ rectæ quarum ope Curva linea definitur. Inservit autem hoc Lemma solutioni difficiliorum Problematum, transmutando figuras propositas in simpliciores. Nam rectæ quævis convergentes transmutantur in parallelas, adhibendo pro radio ordinato primoAOlineam quamvis rectam, quæ per concursum convergentium transit; id adeo quia concursus ille hoc pacto abit in infinitum, lineæ autem parallelæ sunt quæ ad punctum infinite distans tendunt. Postquam autem Problema solvitur in figura nova, si per inversas operationes transmutetur hæc figura in figuram primam, habebitur Solutio quæsita.
Utile est etiam hoc Lemma in solutione Solidorum problematum. Nam quoties duæ sectiones conicæ obvenerint, quarum intersectione Problema solvi potest, transmutare licet unum earum in circulum. Recta item & sectio Conica in constructione planorum problematum vertuntur in rectam & circulum.
Trajectoriam describere quæ per data duo puncta transibit & rectas tres continget positione datas.
Trajectoriam describere quæ per data duo puncta transibit & rectas tres continget positione datas.
Figure for Prop. XXV.
Per concursum tangentium quarumvis duarum cum se invicem, & concursum tangentis tertiæ cum recta illa, quæ per puncta duodata transit, age rectam infinitam; eaq; adhibita pro radio ordinato primo, transmutetur figura, per Lemma superius, in figuram novam. In hac figura tangentes illæ duæ evadent parallelæ, & tangens tertia fiet parallela rectæ per puncta duo transeunti. Suntohi,kltangentes duæ parallelæ,iktangens tertia, &hlrecta huic parallela transiens per puncta illaa,b, per quæ Conica sectio in hac figura nova transire debet, & parallelogrammumhiklcomplens. Secentur rectæhi,ik,klinc,d&e, ita ut sithcad latus quadratum rectanguliahb,icadid, &keadkdut est summa rectarumhi&klad summam trium linearum quarum prima est rectaik, & alteræ duæ sunt latera quadrata rectangulorumahb&alb: Et eruntc,d,epuncta contactus. Etenim, ex Conicis, sunthcquadratum ad rectangulumahb, &icquadratum adidquadratum, &kequadratum adkdquadratum, &elquadratum adalbrectangulum in eadem ratione, & proptereahcad latus quadratum ipsiusahb,icadid,keadkd&elad latus quadratum ipsiusalbsunt in dimidiata illa ratione, & composite, in data ratione omnium antecedentiumhi&klad omnes consequentes, quæ sunt latus quadratum rectanguliahb& rectaik& latus quadratum rectangulialb. Habentur igitur ex data illa ratione puncta contactusc,d,e, in figura nova. Per inversas operationes Lemmatis novissimi transferantur hæc puncta in figuram primam & ibi, per casum primum Problematis XIV, describetur Trajectoria.Q. E. F.Cæterum perinde ut punctaa,bjacent vel inter punctah,l, vel extra, debent punctac,d,evel inter punctah,i,k,lcapi, vel extra. Si punctoruma,balterutrum cadit inter punctah,l, & alterum extra, Problema impossibile est.
Trajectoriam describere quæ transibit per punctum datum & rectas quatuor positione datas continget.
Trajectoriam describere quæ transibit per punctum datum & rectas quatuor positione datas continget.
Ab intersectione communi duarum quarumlibet tangentium ad intersectionem communem reliquarum duarum agatur recta infinita, & eadem pro radio ordinato primo adhibita, transmutetur figura (per Lem. XXII) in figuram novam, & Tangentes binæ, quæ ad radium ordinatum concurrebant, jam evadent parallelæ. Sunto illæhi&kl,ik&hlcontinentes parallelogrammumhikl. Sitq;ppunctum in hac nova figura, puncto in figura prima dato respondens. Per figuræ centrumOagaturpq, & existenteOqæqualiOperitqpunctum alterum per quod sectio Conica in hac figura nova transire debet. Per Lemmatis XXII operationem inversam transferatur hoc punctum in figuram primam, & ibi habebuntur puncta duo per quæ Trajectoria describenda est. Per eadem vero describi potest Trajectoria illa per Prob. XVII.Q. E. F.