Figure for Prop. LXIV.
Trahat jam corpus tertiumSpriora duoT&Lviribus acceleratricibusST,SL, & ab ipsis vicissim trahatur. VisSTper Legum Corol. 2. resolvitur in viresSD,DT; & visSLin viresSD,DL. Vires autemDT,DL, quæ sunt ut ipsarum summaTL, atq; adeo ut vires acceleratrices quibus corporaT&Lse mutuo trahunt, additæ his viribus corporumT&L, prior priori & posterior posteriori, componunt vires distantiisDTacDLproportionales, ut prius, sed viribus prioribus majores; adeoq; (per Corol. 1. Prop. X. & Corol. 1 & 7. Prop. IV.) efficiunt ut corpora illa describant Ellipses ut prius, sed motu celeriore. Vires reliquæ acceleratricesSD&SD, actionibus motricibusSD×T&SD×L, quæ sunt ut corpora, trahendo corpora illa æqualiter & secundum lineasTI,LK, ipsiDSparallelas, nil mutant situs earum ad invicem, sed faciunt ipsa æqualiter accedere ad lineamIK; quam ductam concipe per medium corporisS, & lineæDSperpendicularem. Impedietur autem iste ad lineamIKaccessusfaciendo ut Systema corporumT&Lex una parte, & corpusSex altera, justis cum velocitatibus, gyrentur circa commune gravitatis centrumC. Tali motu corpusS(eo quod summa virium motriciumSD×T&SD×L, distantiæCSproportionalium, trahitur versus centrumC) describit Ellipsin circa idemC; & punctumDob proportionalesCS,CDdescribet Ellipsin consimilem, e regione. Corpora autemT&Lviribus motricibusSD×T&SD×L, (prius priore, posterius posteriore) æqualiter & secundum lineas parallelasTI&LK(ut dictum est) attracta, pergent (per Legum Corollarium quintum & sextum) circa centrum mobileDEllipses suas describere, ut prius. Q. E. I.
Addatur jam corpus quartumV, & simili argumento concludetur hoc & punctumCEllipses circa omnium commune centrum gravitatisBdescribere; manentibus motibus priorum corporumT,L&Scirca centraD&C, sed paulo acceleratis. Et eadem methodo corpora plura adjungere licebit. Q. E. I.
Hæc ita se habent ubi corporaT&Ltrahunt se mutuo viribus acceleratricibus majoribus vel minoribus quam trahunt corpora reliqua pro ratione distantiarum. Sunto mutuæ omnium attractiones acceleratrices ad invicem ut distantiæ ductæ in corpora trahentia, & ex præcedentibus facile deducetur quod corpora omnia æqualibus temporibus periodicis Ellipses varias, circa omnium commune gravitatis centrumB, in plano immobili describunt. Q. E. I.
Corpora plura quorum vires decrescunt in duplicata rationedistantiarum ab eorundem centris, moveri posse inter se in Ellipsibus, & radiis ad umbilicos ductis Areas describere temporibus proportionales quam proxime.
Corpora plura quorum vires decrescunt in duplicata rationedistantiarum ab eorundem centris, moveri posse inter se in Ellipsibus, & radiis ad umbilicos ductis Areas describere temporibus proportionales quam proxime.
In Propositione superiore demonstratus est casus ubi motus plures peraguntur in Ellipsibus accurate. Quo magis recedit lex virium a lege ibi posita, eo magis corpora perturbabunt mutuos motus, neq; fieri potest ut corpora secundum legem hic positam se mutuo trahentia moveantur in Ellipsibus accurate, nisi servando certam proportionem distantiarum ab invicem. In sequentibus autem casibus non multum ab Ellipsibus errabitur.
Cas. 1.Pone corpora plura minora circa maximum aliquod ad varias ab eo distantias revolvi, tendantq; ad singula vires absolutæ proportionales iisdem corporibus. Et quoniam omnium commune gravitatis centrum (per Legum Corol. quartum.) vel quiescet vel movebitur uniformiter in directum, fingamus corpora minora tam parva esse, ut corpus maximum nunquam distet sensibiliter ab hoc centro: & maximum illud vel quiescet vel movebitur uniformiter in directum, absq; errore sensibili; minora autem revolventur circa hoc maximum in Ellipsibus, atq; radiis ad idem ductis describent areas temporibus proportionales; nisi quatenus errores inducuntur, vel per errorem maximi a communi illo gravitatis centro, vel per actiones minorum corporum in se mutuo. Diminui autem possunt corpora minora usq; donec error iste & actiones mutuæ sint datis quibusvis minores, atq; adeo donec orbes cum Ellipsibus quadrent, & areæ respondeant temporibus, absq; errore qui non sit minor quovis dato. Q. E. O.
Cas. 2.Fingamus jam Systema corporum minorum modo jam descripto circa maximum revolventium, aliudve quodvis duorum circum se mutuo revolventium corporum Systema progredi uniformiter in directum, & interea vi corporis alterius longe maximi & ad magnam distantiam siti urgeri ad latus. Et quoniam æquales vires acceleratrices, quibus corpora secundum lineas parallelas urgentur, non mutant situs corporum ad invicem, sed utSystema totum, servatis partium motibus inter se, simul transferatur efficiunt: manifestum est quod ex attractionibus in corpus maximum, nulla prorsus orietur mutatio motus attractorum inter se, nisi vel ex attractionum acceleratricum inæqualitate, vel ex inclinatione linearum ad invicem, secundum quas attractiones fiunt. Pone ergo attractiones omnes acceleratrices in corpus maximum esse inter se reciproce ut quadrata distantiarum, & augendo corporis maximi distantiam, donec rectarum ab hoc ad reliqua ductarum minores sint differentiæ & inclinationes ad invicem quam datæ quævis, perseverabunt motus partium Systematis inter se absq; erroribus qui non sint quibusvis datis minores. Et quoniam, ob exiguam partium illarum ab invicem distantiam, Systema totum ad modum corporis unius attrahitur, movebitur idem hac attractione ad modum corporis unius; hoc est, centro suo gravitatis describet circa corpus maximum, Sectionem aliquam Conicam (viz.Hyperbolam vel Parabolam attractione languida, Ellipsim fortiore,) & Radio ad maximum ducto, verret areas temporibus proportionales, absq; ullis erroribus, nisi quas partium distantiæ (perexiguæ sane & pro lubitu minuendæ) valeant efficere. Q. E. O.
Simili argumento pergere licet ad casus magis compositos in infinitum.
Corol. 1.In casu secundo; quo propius accedit corpus omnium maximum ad Systema duorum vel plurium, eo magis turbabuntur motus partium Systematis inter se, propterea quod linearum a corpore maximo ad has ductarum jam major est inclinatio ad invicem, majorq; proportionis inæqualitas.
Corol. 2.Maxime autem turbabuntur, ponendo quod attractiones acceleratrices partium Systematis versus corpus omnium maximum, non sint ad invicem reciproce ut quadrata distantiarum a corpore illo maximo; præsertim si proportionis hujus inæqualitas major sit quam inæqualitas proportionis distantiarum a corpore maximo: Nam si vis acceleratrix, æqualiter & secundum lineasparallelas agendo, nil perturbat motus inter se, necesse est ut ex actionis inæqualitate perturbatio oriatur, majorq; sit vel minor pro majore vel minore inæqualitate. Excessus impulsuum majorum agendo in aliqua corpora & non agendo in alia, necessario mutabunt situm eorum inter se. Et hæc perturbatio addita perturbationi, quæ ex linearum inclinatione & inæqualitate oritur, majorem reddet perturbationem totam.
Corol. 3.Unde si Systematis hujus partes in Ellipsibus vel Circulis sine perturbatione insigni moveantur, manifestum est, quod eædem a viribus acceleratricibus ad alia corpora tendentibus, aut non urgentur nisi levissime, aut urgentur æqualiter & secundum lineas parallelas quamproxime.
Si corpora tria, quorum vires decrescunt in duplicata ratione distantiarum, se mutuo trahant, & attractiones acceleratrices binorum quorumcunq; in tertium sint inter se reciproce ut quadrata distantiarum; minora autem circa maximum in plano communi revolvantur: Dico quod interius circa intimum & maximum, radiis ad ipsum ductis, describet areas temporibus magis proportionales, & figuram ad formam Ellipseos umbilicum in concursu radiorum habentis magis accedentem, si corpus maximum his attractionibus agitetur, quam si maximum illud vel a minoribus non attractum quiescat, vel multo minus vel multo magis attractum aut multo minus aut multo magis agitetur.
Si corpora tria, quorum vires decrescunt in duplicata ratione distantiarum, se mutuo trahant, & attractiones acceleratrices binorum quorumcunq; in tertium sint inter se reciproce ut quadrata distantiarum; minora autem circa maximum in plano communi revolvantur: Dico quod interius circa intimum & maximum, radiis ad ipsum ductis, describet areas temporibus magis proportionales, & figuram ad formam Ellipseos umbilicum in concursu radiorum habentis magis accedentem, si corpus maximum his attractionibus agitetur, quam si maximum illud vel a minoribus non attractum quiescat, vel multo minus vel multo magis attractum aut multo minus aut multo magis agitetur.
Liquet fere ex demonstratione Corollarii secundi Propositionis præcedentis; sed argumento magis distincto & latius cogente sic evincitur.
Figure for Prop. LXVI.
Cas. 1.Revolvantur corpora minoraP&Qin eodem plano circa maximumS, quorumPdescribat orbem interioremPAB, &QexterioremQE. SitQKmediocris distantia corporumP&Q; & corporisPversusQattractio acceleratrix in mediocri illa distantia exponatur per eandem. In duplicata rationeQKadQPcapiaturQLadQK, & eritQLattractio acceleratrix corporisPversusQin distantia quavisQP. JungePS, eiq; parallelam ageLMoccurrentemQSinM, & attractioQLresolvetur (per Legum Corol. 2.) in attractionesQM,LM. Et sic urgebitur corpusPvi acceleratrice triplici: una tendente adS& oriunda a mutua attractione corporumS&P. Hac vi sola corpusP, circum corpusSsive immotum, sive hac attractione agitatum, describere deberet & areas, radioPStemporibus proportionales, & Ellipsin cui umbilicus est in centro corporisS. Patet hoc per Prob. VI. & Corollaria Theor. XXI. Vis altera est attractionisLM, quæ quoniam tendit aPadS, superaddita vi priori coincidet cum ipsa, & sic faciet ut areæ etiamnum temporibus proportionales describantur per Corol. 3. Theor. XXI. At quoniam non est quadrato distantiæPSreciproce proportionalis, componet ea cum vi priore vim ab hac proportione aberrantem, idq; eo magis quo major est proportio hujus vis ad vim priorem, cæteris paribus. Proinde cum (per Corol. 1. Prob. VIII. & Corol. 2. Theor. XXI.) vis qua Ellipsis circa umbilicum S describitur tendere debeat ad umbilicum illum, & esse quadrato distantiæPSreciproce proportionalis; vis illa composita aberrando ab hac proportione, faciet ut OrbisPABaberret a forma Ellipseos umbilicum habentis inS; idq; eo magis quo major est aberratio ab hac proportione; atq; adeo etiam quo major est proportio vis secundæLMad vim primam, cæteris paribus. Jam vero vis tertiaQM, trahendo corpusPsecundum lineam ipsiQSparallelam, componet cum viribus prioribus vim quæ non amplius dirigitur aPinS, quæq; ab hac determinatione tantomagis aberrat, quanto major est proportio hujus tertiæ vis ad vires priores, cæteris paribus; atq; adeo quæ faciet ut corpusP, radioSP, areas non amplius temporibus proportionales describet, atq; aberratio ab hac proportionalitate ut tanto major sit, quanto major est proportio vis hujus tertiæ ad vires cæteras. Orbis veroPABaberrationem a forma Elliptica præfata hæc vis tertia duplici de causa adaugebit, tum quod non dirigitur aPadS, tum etiam quod non sit proportionalis quadrato distantiæPS. Quibus intellectis, manifestum est quod areæ temporibus tum maxime fiunt proportionales, ubi vis tertia, manentibus viribus cæteris, fit minima; & quod OrbisPABtum maxime accedit ad præfatam formam Ellipticam, ubi vis tam secunda quam tertia, sed præcipue vis tertia, fit minima, vi prima manente.
Exponatur corporisSattractio acceleratrix versusQper lineamQN; & si attractiones acceleratricesQM,QNæquales essent, hæ trahendo corporaS&Pæqualiter & secundum lineas parallelas, nil mutarent situm eorum ad invicem. Iidem jam forent corporum illorum motus inter se (par Legum Corol. 6.) ac si hæ attractiones tollerentur. Et pari ratione si attractioQNminor esset attractioneQM, tolleret ipsa attractionisQMpartemQN, & maneret pars solaMN, qua temporum & arearum proportionalitas & Orbitæ forma illa Elliptica perturbaretur. Et similiter si attractioQNmajor esset attractioneQM, oriretur ex differentia solaMNperturbatio proportionalitatis & Orbitæ. Sic per attractionemQNreducitur semper attractio tertia superiorQMad attractionemMN, attractione prima & secunda manentibus prorsus immutatis: & propterea areæ ac tempora ad proportionalitatem, & OrbitaPABad formam præfatam Ellipticam tum maxime accedunt, ubi attractioMNvel nulla est, vel quam fieri possit minima; hoc est ubi corporumP&Sattractiones acceleratrices, factæ versus corpusQ, accedunt quantum fieri potest ad æqualitatem; id est ubi attractioQNnon est nulla, neq; minor minima attractionum omniumQM, sed inter attractionumomniumQMmaximam & minimam quasi mediocris, hoc est, non multo major neq; multo minor attractioneQK. Q. E. D.
Cas. 2.Revolvantur jam corpora minoraP,Qcirca maximumSin planis diversis, & visLM, agendo secundum lineamPSin plano OrbitæPABsitam, eundem habebit effectum ac prius, neq; corpusPde plano Orbitæ suæ deturbabit. At vis alteraNM, agendo secundum lineam quæ ipsiQSparallela est, (atq; adeo, quando corpusQversatur extra lineam Nodorum, inclinatur ad planum OrbitæPAB;) præter perturbationem motus in longitudinem jam ante expositam, inducet perturbationem motus in latitudinem, trahendo corpusPde plano suæ Orbitæ. Et hæc perturbatio in dato quovis corporumP&Sad invicem situ, erit ut vis illa generansMN, adeoq; minima evadet ubiMNest minima, hoc est (uti jam exposui) ubi attractioQNnon est multo major neq; multo minor attractioneQK.Q. E. D.
Corol. 1.Ex his facile colligitur quod si corpora plura minoraP,Q,R&c. revolvantur circa maximumS: motus corporis intimiPminime perturbabitur attractionibus exteriorum, ubi corpus maximumSpariter a cæteris, pro ratione virium acceleratricum, attrahitur & agitatur atq; cæteri a se mutuo.
Corol. 2.In Systemate vero trium corporumS,P,Q; si attractiones acceleratrices binorum quorumcunq; in tertium sint ad invicem reciproce ut quadrata distantiarum, corpusPradioPSaream circa corpusSvelocius describet prope conjunctionemA& oppositionemB, quam prope quadraturasC,D. Namq; vis omnis qua corpusPurgetur & corpusSnon urgetur, quæq; non agit secundum lineamPS, accelerat vel retardat descriptionem areæ, perinde ut ipsa in antecedentia vel in consequentia dirigitur. Talis est visNM. Hæc in transitu corporisPaCadAtendit in antecedentia, motumq; accelerat; dein usq; adDin consequentia, & motum retardat; tum in antecedentia usq; adB, & ultimo inconsequentiatranseundo aBadC.
Corol. 3.Et eodem argumento patet quod corpusP, cæterisparibus, velocius movetur in Conjunctione & Oppositione quam in Quadraturis.
Corol. 4.Orbita corporisPcæteris paribus curvior est in quadraturis quam in Conjunctione & Oppositione. Nam corpora velociora minus deflectunt a recto tramite. Et præterea visNM, in Conjunctione & Oppositione, contraria est vi qua corpusStrahit corpusP, adeoq; vim illam minuit; corpus autemPminus deflectet a recto tramite, ubi minus urgetur in corpusS.
Corol. 5.Unde corpusP, cæteris paribus, longius recedet a corporeSin quadraturis, quam in Conjunctione & Oppositione. Hæc ita se habent excluso motu Excentricitatis. Nam si Orbita corporisPexcentrica sit, Excentricitas ejus (ut mox in hujus Corol. 9. ostendetur) evadet maxima ubi Apsides sunt in Syzygiis; indeq; fieri potest ut corpusP, ad Apsidem summam appellans, absit longius a corporeSin Syzygiis quam in Quadraturis.
Corol. 6.Quoniam vis centripeta corporis centralisS, qua corpusPretinetur in Orbe suo, augetur in quadraturis per additionem visLM, ac diminuitur in Syzygiis per ablationem visKL, & ob magnitudinem visKL, magis diminuitur quam augeatur, est autem vis illa centripeta (per Corol. 2, Prop. IV.) in ratione composita ex ratione simplici radiiSPdirecte & ratione duplicata temporis periodici inverse: patet hanc rationem compositam diminui per actionem visKL, adeoq; tempus periodicum, si maneat Orbis radiusSP, augeri, idq; in dimidiata ratione qua vis illa centripeta diminuitur: auctoq; adeo vel diminuto hoc Radio, tempus periodicum augeri magis, veldiminui minus quam in Radii hujus ratione sesquiplicata, per Corol. 6. Prop. IV. Si vis illa corporis centralis paulatim languesceret, corpusPminus semper & minus attractum perpetuo recederet longius a centroS; & contra, si vis illa augeretur, accederet propius. Ergo si actio corporis longinquiQ, qua vis illa diminuitur, augeatur ac diminuatur per vices, augebitur simul ac diminuetur RadiusSPper vices, & tempus periodicum augebitur ac diminuetur in ratione composita ex ratione sesquiplicata Radii & ratione dimidiata qua vis illa centripeta corporis centralisSper incrementum vel decrementum actionis corporis longinquiQdiminuitur vel augetur.
Corol. 7.Ex præmissis consequitur etiam quod Ellipseos a corporePdescriptæ axis seu Apsidum linea, quoad motum angularem progreditur & regreditur per vices, sed magis tamen progreditur, & in singulis corporis revolutionibus per excessum progressionis fertur in consequentia. Nam vis qua corpusPurgetur in corpusSin Quadraturis, ubi visMNevanuit, componitur ex viLM& vi centripeta qua corpusStrahit corpusP. Vis priorLM, si augeatur distantiaPS, augetur in eadem fere ratione cum hac distantia, & vis posterior decrescit in duplicata illa ratione, adeoq; summa harum virium decrescit in minore quam duplicata ratione distantiæPS, & propterea, per Corol. 1. Prop. XLV. facit Augem seu Apsidem summam regredi. In Conjunctione vero & Oppositione, vis qua corpusPurgetur in corpusSdifferentia est inter vim qua corpusStrahit corpusP& vimKL; & differentia illa, propterea quod visKLaugetur quamproxime in ratione distantiæPS, decrescit in majore quam duplicata ratione distantiæPS, adeoq; per Corol. 1. Prop. XLV. facit Augem progredi. In locis inter Syzygias & Quadraturas, pendet motus Augis ex causa utraq; conjunctim, adeo ut pro hujus vel alterius excessu progrediatur ipsa vel regrediatur. Unde cum visKLin Syzygiis sit quasiduplo major quamvisLMin quadraturis, excessus in tota revolutione erit penes vimKL, transferetq; Augem singulisrevolutionibus in consequentia. Veritas autem hujus & præcedentis Corollarii facilius intelligetur concipiendo Systema corporum duorumS,Pcorporibus pluribusQ,Q,Q&c. in OrbeQEconsistentibus, undiq; cingi. Namq; horum actionibus actio ipsiusSminuetur undiq;, decrescetq; in ratione plusquam duplicata distantiæ.
Corol. 8.Cum autem pendeat Apsidum progressus vel regressus a decremento vis centripetæ facto in majori vel minori quam duplicata ratione distantiæSP, in transitu corporis ab Apside ima ad Apsidem summam; ut & a simili incremento in reditu ad Apsidem imam; atq; adeo maximus sit ubi proportio vis in Apside summa ad vim in Apside ima maxime recedit a duplicata ratione distantiarum inversa: manifestum est quod Apsides in Syzygiis suis, per vim ablatitiamKLseuNM-LM, progredientur velocius, inq; Quadraturis suis tardius recedent per vim addititiamLM. Ob diuturnitatem vero temporis quo velocitas progressus vel tarditas regressus continuatur, fit hæc inæqualitas longe maxima.
Corol. 9.Si corpus aliquod vi reciproce proportionali quadrato distantiæ suæ a centro, revolveretur circa hoc centrum in Ellipsi, & mox, in descensu ab Apside summa seu Auge ad Apsidem imam, vis illa per accessum perpetuum vis novæ augeretur in ratione plusquam duplicata distantiæ diminutæ: Manifestum est quod corpus, perpetuo accessu vis illius novæ impulsum semper in centrum, magis vergeret in hoc centrum, quam si urgeretur vi sola crescente in duplicata ratione distantiæ diminutæ, adeoq; Orbem describeret Orbe Elliptico interiorem, & in Apside ima propius accederet ad centrum quam prius. Orbis igitur, accessuhujus vis novæ, fiet magis excentricus. Si jam vis, in recessu corporis ab Apside ima ad Apsidem summam, decresceret iisdem gradibus quibus ante creverat, rediret corpus ad distantiam priorem, adeoq; si vis decrescat in majori ratione, corpus jam minus attractum ascendet ad distantiam majorem & sic Orbis Excentricitas adhuc magis augebitur. Igitur si ratio incrementi & decrementi vis centripetæ singulis revolutionibus augeatur, augebitur semper Excentricitas; & e contra, diminuetur eadem si ratio illa decrescat. Jam vero in Systemate corporumS,P,Q, ubi Apsides orbisPABsunt in quadraturis, ratio illa incrementi ac decrementi minima est, & maxima fit ubi Apsides sunt in Syzygiis. Si Apsides constituantur in quadraturis ratio prope Apsides minor est, & prope Syzygias major quam duplicata distantiarum, & ex ratione illa majori oritur Augis motus velocissimus, uti jam dictum est. At si consideretur ratio incrementi vel decrementi totius in progressu inter Apsides, hæc minor est quam duplicata distantiarum. Vis in Apside ima est ad vim in Apside summa in minore quam duplicata ratione distantiæ Apsidis summæ ab umbilico Ellipseos ad distantiam Apsidis imæ ab eodem umbilico: & e contra, ubi Apsides constituuntur in Syzygiis, vis in Apside ima est ad vim in Apside summa in majore quam duplicata ratione distantiarum. Nam viresLMin Quadraturis additæ viribus corporisScomponunt vires in ratione minore, & viresKLin Syzygiis subductæ viribus corporisSrelinquunt vires in ratione majore. Est igitur ratio decrementi & incrementi totius in transitu inter Apsides, minima in quadraturis, maxima in Syzygiis: & propterea in transitu Apsidum a quadraturis ad Syzygias perpetuo augetur, augetq; ExcentricitatemEllipseos; inq; transitu a Syzygiis ad quadraturas perpetuo diminuitur, & Excentricitatem diminuit.
Corol. 10.Ut rationem ineamus errorum in latitudinem, fingamus planum OrbisQESimmobile manere; & ex errorum exposita causa manifestum est, quod ex viribusNM,ML, quæ suntcausa illa tota, visMLagendo semper secundum planum OrbisPAB, nunquam perturbat motus in latitudinem, quodq; visNMubi Nodi sunt in Syzygiis, agendo etiam secundum idem Orbis planum, non perturbat hos motus; ubi vero sunt in Quadraturis eos maxime perturbat, corpusq;Pde plano Orbis sui perpetuo trahendo, minuit inclinationem plani in transitu corporis a quadraturis ad Syzygias, augetq; vicissim eandem in transitu a Syzygiis ad quadraturas. Unde fit ut corpore in Syzygiis existente inclinatio evadat omnium minima, redeatq; ad priorem magnitudinem circiter, ubi corpus ad Nodum proximum accedit. At si Nodi constituantur in Octantibus post quadraturas, id est interC&A,D&B, intelligetur ex modo expositis quod, in transitu corporisPa Nodo alterutro ad gradum inde nonagesimum, inclinatio plani perpetuo minuitur; deinde in transitu per proximos 45 gradus, usq; ad quadraturam proximam, inclinatio augetur, & postea denuo in transitu per alios 45 gradus, usq; ad nodum proximum, diminuitur. Magis itaq; diminuitur inclinatio quam augetur, & propterea minor est semper in nodo subsequente quam in præcedente. Et simili ratiocinio inclinatio magis augetur quam diminuitur, ubi nodi sunt in Octantibus alteris interA&D,B&C. Inclinatio igitur ubi Nodi sunt in Syzygiis est omnium maxima. In transitu eorum a Syzygiis ad quadraturas, in singulis corporis ad Nodos appulsibus, diminuitur, fitq; omnium minima ubi nodi sunt in quadraturis & corpus in Syzygiis: dein crescit iisdem gradibus quibus antea decreverat, Nodisq; ad Syzygias proximas appulsis ad magnitudinem primam revertitur.
Corol. 11.Quoniam corpusPubi nodi sunt in quadraturis perpetuo trahitur de plano Orbis sui, idq; in partem versusQ, in transitu suo a nodoCper ConjunctionemAad nodumD; & in contrariam partem in transitu a nodoDper OppositionemBad nodumC; manifestum est quod in motu suo a nodoC, corpus perpetuo recedit ab Orbis sui plano primoCD, usq; dum perventum est ad nodum proximum; adeoq; in hoc nodo, longissime distans a plano illo primoCD, transit per planum OrbisQES,non in plani illius Nodo alteroD, sed in puncto quod inde vergit ad partes corporisQ, quodq; proinde novus est Nodi locus in anteriora vergens. Et simili argumento pergent Nodi recedere in transitu Corporis de hoc nodo in nodum proximum. Nodi igitur in quadraturis constituti perpetuo recedunt, in Syzygiis (ubi motus in latitudinem nil perturbatur) quiescunt; in locis intermediis conditionis utriusq; participes recedunt tardius, adeoq; semper vel retrogradi vel stationarii singulis revolutionibus feruntur in antecedentia.
Corol. 12.Omnes illi in his Corollariis descripti errores sunt paulo majores in conjunctione CorporumP,Qquam in eorum Oppositione, idq; ob majores vires generantesNM&ML.
Corol. 13.Cumq; rationes horum Corollariorum non pendeant a magnitudine corporisQ, obtinent præcedentia omnia, ubi corporisQtanta statuitur magnitudo ut circa ipsum revolvatur corporum duorumS&PSystema. Et ex aucto corporeQ, auctaq; adeo ipsius vi centripeta, a qua errores corporisPoriuntur, evadent errores illi omnes (paribus distantiis) majores in hoc casu quam in altero, ubi corpusQcircum Systema corporumP&Srevolvitur.
Corol. 14.Cum autem viresNM,ML, ubi corpusQlonginquum est, sint quamproxime ut visQK& ratioPSadQSconjunctim, hoc est, si detur tum distantiaPS, tum corporisQvis absoluta, utQS cub.reciproce; sint autem vires illæNM,MLcausæ errorum & effectuum omnium de quibus actum est in præcedentibus Corollariis: manifestum est quod effectus illi omnes, stante corporumS&PSystemate, sint quamproxime in ratione composita ex ratione directa vis absolutæ corporisQ& ratione triplicata inversa distantiæQS. Unde si Systema corporumS&Prevolvatur circa corpus longinquumQ, vires illæNM,ML& earum effectus erunt (per Corol. 2. & 6. Prop. IV.) reciproce in duplicata ratione temporis periodici. Et inde si magnitudo corporisQproportionalis sit ipsius vi absolutæ, erunt vires illæNM,ML& earum effectus directe ut cubus diametri apparentis longinqui corporisQe corporeSspectati, & vice versa. Namq; hæ rationes eædem sunt atq; ratio superior composita.
Corol. 15.Et quoniam si, manentibus OrbiumQE&PABforma, proportionibus & inclinatione ad invicem, mutetur eorum magnitudo, & si corporumQ&Svel maneant vel mutentur vires in data quavis ratione, hæ vires (hoc est vis corporisS, qua corpusPde recto tramite in OrbitamPABdeflectere, & vis corporisQ, qua corpus idemPde Orbita illa deviare cogitur) agunt semper eodem modo & eadem proportione: necesse est ut similes & proportionales sint effectus omnes & proportionalia effectuum tempora; hoc est, ut errores omnes lineares sint ut Orbium diametri, angulares vero iidem qui prius, & errorum linearium similium vel angularium æqualium tempora ut Orbium tempora periodica.
Corol. 16.Unde, si dentur Orbium formæ & inclinatio ad invicem, & mutentur utcunq; corporum magnitudines, vires & distantiæ; ex datis erroribus & errorum temporibus in uno Casu colligi possunt errores & errorum tempora in alio quovis, quam proxime: Sed brevius hac Methodo. ViresNM,MLcæteris stantibus sunt ut RadiusSP, & harum effectus periodici (per Corol. 2, Lem. X) ut vires & quadratum temporis periodici corporisPconjunctim. Hi sunt errores lineares corporisP; & hinc errores angulares e centroSspectati (id est tam motus Augis & Nodorum, quam omnes in longitudinem & latitudinem errores apparentes) sunt in qualibet revolutione corporisP, ut quadratum temporis revolutionis quam proxime. Conjungantur hæ rationes cum rationibus Corollarii 14. & in quolibet corporumS,P,QSystemate, ubiPcircumSsibi propinquum, &ScircumQlonginquum revolvitur, errores angulares corporisP, de centroSapparentes, erunt, in singulis revolutionibus corporis illiusP, ut quadratum temporis periodici corporisPdirecte & quadratum temporis periodici corporisSinverse. Et inde motus mediusAugis erit in data ratione ad motum medium Nodorum; & motus uterq; erit ut tempus periodicum corporisPdirecte & quadratum temporis periodici corporisSinverse. Augendo vel minuendo Excentricitatem & Inclinationem OrbisPABnon mutantur motus Augis & Nodorumsensibiliter, nisi ubi eædem sunt nimis magnæ.
Corol. 17.Cum autem lineaLMnunc major si nunc minor quam radiusPS, Exponatur vis mediocrisLMper radium illumPS, & erit hæc ad vim mediocremQKvelQN(quam exponere licet perQS) ut longitudoPSad longitudinemQS. Est autem vis mediocrisQNvelQS, qua corpus retinetur in orbe suo circumQ, ad vim qua corpusPretinetur in Orbe suo circumS, in ratione composita ex ratione radiiQSad radiumPS, & ratione duplicata temporis periodici corporisPcircumSad tempus periodicum corporisScircumQ. Et ex æquo, vis mediocrisLM, ad vim qua corpusPretinetur in Orbe suo circumS(quave corpus idemPeodem tempore periodico circum punctum quodvis immobileSad distantiamPSrevolvi posset) est in ratione illa duplicata periodicorum temporum. Datis igitur temporibus periodicis una cum distantiaPS, datur vis mediocrisLM; & ea data datur etiam visMNquamproxime per analogiam linearumPS,MN.
Corol. 18.Iisdem legibus quibus corpusPcircum corpusSrevolvitur, fingamus corpora plura fluida circum idemSad æquales ab ipso distantias moveri; deinde ex his contiguis factis conflari annulum fluidum, rotundum ac corporiSconcentricum; & singulæ annuli partes, motus suos omnes ad legem corporisPperagendo, propius accedent ad corpusS, & celerius movebuntur in Conjunctione & Oppositione ipsarum & corporisQ, quam in Quadraturis. Et Nodi annuli hujus seu intersectiones ejus cum plano Orbitæ corporisQvelS, quiescent in Syzygiis; extra Syzygias vero movebuntur in antecedentia, & velocissime quidem in Quadraturis, tardius aliis in locis. Annuli quoq; inclinatiovariabitur, & axis ejus singulis revolutionibus oscillabitur, completaq; revolutione ad pristinum situm redibit, nisi quatenus per præcessionem Nodorum circumfertur.
Corol. 19.Fingas jam globum corporisSex materia non fluida constantem ampliari & extendi usq; ad hunc annulum, & alveo per circuitum excavato continere Aquam, motuq; eodem periodico circa axem suum uniformiter revolvi. Hic liquor per vices acceleratus & retardatus (ut in superiore Lemmate) in Syzygiis velocior erit, in Quadraturis tardior quam superficies Globi, & sic fluet in alveo refluetq; ad modum Maris. Aqua revolvendo circa Globi centrum quiescens, si tollatur attractioQ, nullum acquiret motum fluxus & refluxus. Par est ratio Globi uniformiter progredientis in directum & interea revolventis circa centrum suum (per Legum Corol. 5) ut & Globi de cursa rectilineo uniformiter tracti (per Legum Corol. 6.) Accedat autem corpusQ, & ab ipsius inæquabili attractione mox turbabitur Aqua. Etenim major erit attractio aquæ propioris, minor ea remotioris. Vis autemLMtrahet aquam deorsum in Quadraturis, facietq; ipsam descendere usq; ad Syzygias; & visKLtrahet eandem sursum in Syzygiis, sistetq; descensum ejus & faciet ipsam ascendere usq; ad Quadraturas.
Corol. 20.Si annulus jam rigeat & minuatur Globus, cessabit motus fluendi & refluendi; sed Oscillatorius ille inclinationis motus & præcessio Nodorum manebunt. Habeat Globus eundem axem cum annulo, gyrosq; compleat iisdem temporibus, & superficie sua contingat ipsum interius, eiq; inhæreat; & participando motum ejus, compages utriusq; Oscillabitur & Nodi regredientur. Nam Globus, ut mox dicetur, ad suscipiendas impressiones omnes indifferens est. Annuli Globo orbati maximus inclinationis angulus est ubi Nodi sunt in Syzygiis. Inde in progressu Nodorum ad Quadraturas conatur is inclinationem suam minuere, & isto conatu motum imprimit Globo toti. Retinet Globus motum impressum usq; dum annulus conatu contrariomotum hunc tollat, imprimatq; motum novum in contrariam partem: Atq; hac ratione maximus decrescentis inclinationis motus fit in Quadraturis Nodorum, & minimus inclinationis angulus in Octantibus post Quadraturas; dein maximus reclinationis motus in Syzygiis & maximus angulus in Octantibus proximis. Et eadem est ratio Globi annulo nudati, qui in regionibus æquatoris vel altior est paulo quam juxta polos, vel constat ex materia paulo densiore. Supplet enim vicem annuli iste materiæ in æquatoris regionibus excessus. Et quanquam, aucta utcunq; Globi hujus vi centripeta, tendere supponantur omnes ejus partes deorsum, ad modum gravitantium partium telluris, tamen Phænomena hujus & præcedentis Corollarii vix inde mutabuntur.
Corol. 21.Eadem ratione qua materia Globi juxta æquatorem redundans efficit ut Nodi regrediantur, atq; adeo per hujus incrementum augetur iste regressus, per diminutionem vero diminuitur & per ablationem tollitur; si materia plusquam redundans tollatur, hoc est, si Globus juxta æquatorem vel depressior reddatur vel rarior quam juxta polos, orietur motus Nodorum in consequentia.
Corol. 22.Et inde vicissim ex motu Nodorum innotescit constitutio Globi. Nimirum si Globus polos eosdem constanter servat & motus fit in antecedentia, materia juxta æquatorem redundat; si in consequentia, deficit. Pone Globum uniformem & perfecte circinatum in spatiis liberis primo quiescere; dein impetu quocunq; oblique in superficiem suam facto propelli, & motum inde concipere partim circularem, partim in directum. Quoniam Globus iste ad axes omnes per centrum suum transeuntes indifferenter se habet, neq; propensior est in unum axem, unumve axis situm, quam in alium quemvis; perspicuum est quod is axem suum axisq; inclinationem vi propria nunquam mutabit. Impellatur jam Globus oblique in eadem illa superficiei parte qua prius, impulsu quocunq; novo; & cum citior vel serior impulsus effectum nil mutet, manifestum est quod hi duoimpulsus successive impressi eundem producent motum ac si simul impressi fuissent, hoc est eundem ac si Globus vi simplici ex utroq; (per Legum Corol. 2.) composita impulsus fuisset, atq; adeo simplicem, circa axem inclinatione datum. Et par est ratio impulsus secundi facti in locum alium quemvis in æquatore motus primi; ut & impulsus primi facti in locum quemvis in æquatore motus, quem impulsus secundus absq; primo generaret; atq; adeo impulsuum amborum factorum in loca quæcunq;: Generabunt hi eundem motum circularem ac si simul & semel in locum intersectionis æquatorum motuum illorum, quos seorsim generarent, fuissent impressi. Globus igitur homogeneus & perfectus non retinet motus plures distinctos, sed impressos omnes componit & ad unum reducit, & quatenus in se est, gyratur semper motu simplici & uniformi circa axem unicum inclinatione semper invariabili datum. Sed nec vis centripeta inclinationem axis, aut rotationis velocitatem mutare potest. Si Globus plano quocunq; per centrum suum & centrum in quod vis dirigitur transeunte dividi intelligatur in duo hemisphæria, urgebit semper vis illa utrumq; hemisphærium æqualiter, & propterea Globum quoad motum rotationis nullam in partem inclinabit. Addatur vero alicubi inter polum & æquatorem materia nova in formam montis cumulata, & hæc, perpetuo conatu recedendi a centro sui motus, turbabit motum Globi, facietq; polos ejus errare per ipsius superficiem, & circulos circum se punctumq; sibi oppositum perpetuo describere. Neq; corrigetur ista vagationis enormitas, nisi locando montem illum vel in polo alterutro, quo in Casu, per Corol. 21, Nodi æquatoris progredientur; vel in æquatore, qua ratione, per Corol. 20, Nodi regredientur; vel deniq; ex altera axis parte addendo materiam novam, qua mons inter movendum libretur: & hoc pacto Nodi vel progredientur, vel recedent, perinde ut mons & hæcce nova materia sunt vel polo vel æquatori propiores.
Positis iisdem attractionum legibus, dico quod corpus exteriusQ, circa interiorumP,Scommune Gravitatis centrumC, radiis ad centrum illud ductis, describit areas temporibus magis proportionales & Orbem ad formam Ellipseos umbilicum in centro eodem habentis magis accedentem, quam circa corpus intimum & maximumS, radiis ad ipsum ductis, describere potest.
Positis iisdem attractionum legibus, dico quod corpus exteriusQ, circa interiorumP,Scommune Gravitatis centrumC, radiis ad centrum illud ductis, describit areas temporibus magis proportionales & Orbem ad formam Ellipseos umbilicum in centro eodem habentis magis accedentem, quam circa corpus intimum & maximumS, radiis ad ipsum ductis, describere potest.
Nam corporisQattractiones versusS&Pcomponunt ipsius attractionem absolutam, quæ magis dirigitur in corporumS&Pcommune gravitatis centrumC, quam in corpus maximumS, quæq; quadrato distantiæQCmagis est proportionalis reciproce, quam quadrato distantiæQS: ut rem perpendenti facile constabit.
Positis iisdem attractionum legibus, dico quod corpus exteriusQcirca interiorumP&Scommune gravitatis centrumC, radiis ad centrum illud ductis, describit areas temporibus magis proportionales, & Orbem ad formam Ellipseos umbilicum in centro eodem habentis magis accedentem, si corpus intimum & maximum his attractionibus perinde atq; cætera agitetur, quam si id vel non attractum quiescat, vel multo magis aut multo minus attractum aut multo magis aut multo minus agitetur.
Positis iisdem attractionum legibus, dico quod corpus exteriusQcirca interiorumP&Scommune gravitatis centrumC, radiis ad centrum illud ductis, describit areas temporibus magis proportionales, & Orbem ad formam Ellipseos umbilicum in centro eodem habentis magis accedentem, si corpus intimum & maximum his attractionibus perinde atq; cætera agitetur, quam si id vel non attractum quiescat, vel multo magis aut multo minus attractum aut multo magis aut multo minus agitetur.
Figure for Prop. LXVIII.
Demonstratur eodem fere modo cum Prop. LXVI, sed argumento prolixiore, quod ideo prætereo. Suffecerit rem sic æstimare. Ex demonstratione Propositionis novissimæ liquet centrum in quod corpusQconjunctis viribus urgetur, proximum esse communi centro gravitatis illorum duorum. Si coincideret hoc centrum cum centro illo communi, & quiesceret commune centrum gravitatis corporum trium; describerent corpusQexuna parte, & commune centrum aliorum duorum ex altera parte, circa commune omnium centrum quiescens, Ellipses accuratas. Liquet hoc per Corollarium secundum Propositionis LVIII. collatum cum demonstratis in Prop. LXIV. & LXV. Perturbatur iste motus Ellipticus aliquantulum per distantiam centri duorum a centro in quod tertiumQattrahitur. Detur præterea motus communi trium centro, & augebitur perturbatio. Proinde minima est perturbatio, ubi commune trium centrum quiescit, hoc est ubi corpus intimum & maximumSlege cæterorum attrahitur: fitq; major semper ubi trium commune illud centrum, minuendo motum corporisS, moveri incipit & magis deinceps magisq; agitatur.
Corol.Et hinc si corpora plura minora revolvantur circa maximum, colligere licet quod Orbitæ descriptæ propius accedent ad Ellipticas, & arearum descriptiones fient magis æquabiles, si corpora omnia viribus acceleratricibus, quæ sunt ut eorum vires absolutæ directe & quadrata distantiarum inverse, se mutuo trahant agitentq;, & Orbitæ cujusq; umbilicus collocetur in communi centro gravitatis corporum omnium interiorum (nimirum umbilicus Orbitæ primæ & intimæ in centro gravitatis corporis maximi & intimi; ille Orbitæ secundæ, in communi centro gravitatis corporum duorum intimorum; iste tertiæ, in communi centro gravitatis trium interiorum & sic deinceps) quam si corpus intimum quiescat & statuatur communis umbilicus orbitarum Omnium.
In Systemate corporum pluriumA,B,C,D&c. si corpus aliquodAtrahit cætera omniaB,C,D&c. viribus acceleratricibus quæ sunt reciproce ut quadrata distantiarum a trahente; & corpus aliudBtrahit etiam cæteraA,C,D&c. viribus quæ sunt reciproce ut quadrata distantiarum a trahente: erunt absolutæ corporum trahentiumA,Bvires ad invicem, ut sunt ipsa corporaA,B, quorum sunt vires.
In Systemate corporum pluriumA,B,C,D&c. si corpus aliquodAtrahit cætera omniaB,C,D&c. viribus acceleratricibus quæ sunt reciproce ut quadrata distantiarum a trahente; & corpus aliudBtrahit etiam cæteraA,C,D&c. viribus quæ sunt reciproce ut quadrata distantiarum a trahente: erunt absolutæ corporum trahentiumA,Bvires ad invicem, ut sunt ipsa corporaA,B, quorum sunt vires.
Nam attractiones acceleratrices corporum omniumB,C,DversusA, paribus distantiis, sibi invicem æquantur ex hypothesi, & similiter attractiones acceleratrices corporum omnium versusB, paribus distantiis, sibi invicem æquantur. Est autem absoluta vis attractiva corporisAad vim absolutam attractivam corporisB, ut attractio acceleratrix corporum omnium versusAad attractionem acceleratricem corporum omnium versusB, paribus distantiis; & ita est attractio acceleratrix corporisBversusA, ad attractionem acceleratricem corporisAversusB. Sed attractio acceleratrix corporisBversusAest ad attractionem acceleratricem corporisAversusB, ut massa corporisAad massam corporisB; propterea quod vires motrices, quæ (per Definitionem secundam, septimam & octavam) ex viribus acceleratricibus in corpora attracta ductis oriuntur, sunt (per motus Legem tertiam) sibi invicem æquales. Ergo absoluta vis attractiva corporisAest ad absolutam vim attractivam corporisB, ut massa corporisAad massam corporisB. Q. E. D.
Corol. 1.Hinc si singula Systematis corporaA,B,C,D, &c. seorsim spectata trahant cætera omnia viribus acceleratricibus quæ sint reciproce ut Quadrata distantiarum a trahente; erunt corporum illorum omnium vires absolutæ ad invicem ut sunt ipsa corpora.
Corol. 2.Eodem argumento, si singula Systematis corporaA,B,C,D&c. seorsim spectata trahant cætera omnia viribus acceleratricibus quæ sunt vel reciproce vel directe in ratione dignitatis cujuscunq; distantiarum a trahente, quæve secundum legem quamcunq; communem ex distantiis ab unoquoq; trahente definiuntur; constat quod corporum illorum vires absolutæ sunt ut corpora.
Corol. 3.In Systemate corporum, quorum vires decrescunt in ratione duplicata distantiarum, si minora circa maximum in Ellipsibus umbilicum communem in maximi illius centro habentibus quam fieri potest accuratissimis revolvantur, & radiis ad maximum illud ductis describant areas temporibus quam maxime proportionales: erunt corporum illorum vires absolutæ ad invicem, aut accurate aut quamproxime in ratione corporum; & contra. Patet per Corol. Prop. LXVIII. collatum cum hujus Corol. 1.
His Propositionibus manuducimur ad analogiam inter vires centripetas & corpora centralia, ad quæ vires illæ dirigi solent. Rationi enim consentaneum est, ut vires quæ ad corpora diriguntur pendeant ab eorundem natura & quantitate, ut fit in Magneticis. Et quoties hujusmodi casus incidunt, æstimandæ erunt corporum attractiones, assignando singulis eorum particulis vires proprias, & colligendo summas virium. Vocem attractionis hic generaliter usurpo pro corporum conatu quocunq; accedendi ad invicem; sive conatus iste fiat ab actione corporum vel se mutuo petentium, vel per Spiritus emissos se invicem agitantium, sive is ab actione Ætheris aut Aeris mediive cujuscunq; seu corporei seu incorporei oriatur corpora innatantia in se invicem utcunq; impellentis. Eodem sensu generali usurpo vocem impulsus, non species virium & qualitates physicas, sed quantitates & proportiones Mathematicas in hoc Tractatu expendens; ut inDefinitionibus explicui. In Mathesi investigandæ sunt virium quantitates & rationes illæ, quæ ex conditionibus quibuscunq; positis consequentur: deinde ubi in Physicam descenditur, conferendæ sunt hæ rationes cum Phænomenis, ut innotescat quænam virium conditiones singulis corporum attractivorum generibus competant. Et tum demum de virium speciebus, causis & rationibus physicis tutius disputare licebit. Videamus igitur quibus viribus corpora Sphærica, ex particulis modo jam exposito attractivis constantia, debeant in se mutuo agere, & quales motus inde consequantur.
De Corporum Sphæricorum Viribus attractivis.