Figure for Prop. LXX.
Si ad Sphæricæ superficiei puncta singula tendant vires æquales centripetæ decrescentes in duplicata ratione distantiarum a punctis: dico quod corpusculum intra superficiem constitutum his viribus nullam in partem attrahitur.
Si ad Sphæricæ superficiei puncta singula tendant vires æquales centripetæ decrescentes in duplicata ratione distantiarum a punctis: dico quod corpusculum intra superficiem constitutum his viribus nullam in partem attrahitur.
SitHIKLsuperficies illa Sphærica, &Pcorpusculum intus constitutum. PerPagantur ad hanc superficiem lineæ duæHK,IL, arcus quam minimosHI,KLintercipientes; & ob triangulaHPI,LPK(per Corol. 3. Lem. VII.) similia, arcus illi erunt distantiisHP,LPproportionales, & superficiei Sphæricæ particulæ quævis, adHI&KLrectis per punctumPtranseuntibus undiq; terminatæ, erunt in duplicata illa ratione. Ergo viresharum particularum in corpusPexercitæ sunt inter se aquales. Sunt enim ut particulæ directe & quadrata distantiarum inverse. Et hæ duæ rationes componunt rationem æqualitatis. Attractiones igitur in contrarias partes æqualiter factæ se mutuo destruunt. Et simili argumento attractiones omnes per totam Sphæricam superficiem a contrariis attractionibus destruuntur. Proinde corpusPnullam in partem his attractionibus impellitur. Q. E. D.
Iisdem positis, dico quod corpusculum extra Sphæricam superficiem constitutum attrahitur ad centrum Sphæræ, vi reciproce proportionali quadrato distantiæ suæ ab eodem centro.
Iisdem positis, dico quod corpusculum extra Sphæricam superficiem constitutum attrahitur ad centrum Sphæræ, vi reciproce proportionali quadrato distantiæ suæ ab eodem centro.
Figures for Prop. LXXI.
SintAHKB,ahkbæquales duæ superficies Sphæricæ, centrisS,s, diametrisAB,abdescriptæ, &P,pcorpuscula sita extrinsecus in diametris illis productis. Agantur a corpusculis lineæPHK,PIL,phk,pil, auferentes a circulis maximisAHB,ahb, æquales arcus quam minimosHK,hk&HL,hl: Et ad eas demittantur perpendiculaSD,sd;SE,se;IR,ir; quorumSD,sdsecentPL,plinF&f. Demittantur etiam ad diametros perpendiculaIQ,iq; & ob æqualesDS&ds,ES&es, & angulos evanescentesDPE&dpe, lineæPE,PF&pe,pf& lineolæDF,dfpro æqualibus habeantur: quippe quarum ratio ultima, angulis illisDPE,dpesimul evanescentibus, est æqualitatis. His itaq; constitutis, eritPIadPFutRIadDF, &pfadpiutDFveldfadri; & ex æquoPI×pfadPF×piutRIadri, hoc est (per Corol. 3. Lem. VII.) ut arcusIHad arcumih. RursusPIadPSutIQadSE, &psadpiutSEvelseadiq; & ex æquoPI×psadPS×piutIQadiq. Et conjunctis rationibusPI quad.×pf×psadpi quad.×PF×PS, utIH×IQadih×iq; hoc est, ut superficies circularis, quam arcusIHconvolutione semicirculiAKBcirca diametrumABdescribet, ad superficiem circularem, quam arcusihconvolutione semicirculiakbcirca diametrumabdescribet. Et vires, quibus hæ superficies secundum lineas ad se tendentes attrahunt corpusculaP&p, sunt (per Hypothesin) ut ipsæ superficies applicatæ ad quadrata distantiarum suarum a corporibus, hoc est, utpf×psadPF×PS. Suntq; hæ vires ad ipsarum partes obliquas quæ (facta per Legum Corol. 2 resolutione virium) secundum lineasPS,psad centra tendunt, utPIadPQ, &piadpq; id est (ob similia triangulaPIQ&PSF,piq&psf) utPSadPF&psadpf. Unde ex æquo fit attractio corpusculi hujusPversusSad attractionem corpusculipversuss, utPF×pf×ps÷PSadpf×PF×PS÷ps, hoc es utps quad.adPS quad.Et simili argumento vires, quibus superficies convolutione arcuumKL,kldescriptæ trahunt corpuscula, erunt utps quad.adPS quad.; inq; eadem ratione erunt vires superficierum omnium circularium in quas utraq; superficies Sphærica, capiendo sempersd=SD&se=SE, distingui potest. Et per Compositionem, vires totarum superficierum Sphæricarum in corpuscula exercitæ erunt in eadem ratione.Q. E. D.
Si ad Spheræ cujusvis puncta singula tendant vires æquales centripetæ decrescentes in duplicata ratione distantiarum a punctis, ac detur ratio diametri Spheræ ad distantiam corpusculi a centro ejus; dico quod vis qua corpusculum attrahitur proportionalis erit semi-diametro Sphæræ.
Si ad Spheræ cujusvis puncta singula tendant vires æquales centripetæ decrescentes in duplicata ratione distantiarum a punctis, ac detur ratio diametri Spheræ ad distantiam corpusculi a centro ejus; dico quod vis qua corpusculum attrahitur proportionalis erit semi-diametro Sphæræ.
Nam concipe corpuscula duo seorsim a Sphæris duabus attrahi, & distantias a centris proportionales esse diametris, Sphæras autem resolvi in particulas similes & similiter positas ad corpuscula. Hinc attractiones corpusculi unius, factæ versus singulas particulas Sphæræ unius, erunt ad attractiones alterius versus analogas totidem particulas Sphæræ alterius, in ratione composita ex ratione particularum directe & ratione duplicata distantiarum inverse. Sed particulæ sunt ut Sphæræ, hoc est in ratione triplicata diametrorum, & distantiæ sunt ut diametri, & ratio prior directe una cum ratione posteriore bis inverse est ratio diametri ad diametrum. Q. E. D.
Corol. 1.Hinc si corpuscula in circulis circa Sphæras ex materia æqualiter attractiva constantes revolvantur, sintq; distantiæ a centris Sphærarum proportionales earundem diametris; tempora periodica erunt æqualia.
Corol. 2.Et vice versa, si tempora periodica sunt æqualia; distantiæ erunt proportionales diametris. Constant hæc duo per Corol. 3. Theor. IV.
Figure for Prop. LXXIII.
Si ad sphæræ alicujus datæ puncta singula tendant æquales vires centripetæ decrescentes in duplicata ratione distantiarum a punctis: dico quod corpusculum intra Sphæram constitutum attrahitur vi proportionali distantiæ suæ ab ipsius centro.
Si ad sphæræ alicujus datæ puncta singula tendant æquales vires centripetæ decrescentes in duplicata ratione distantiarum a punctis: dico quod corpusculum intra Sphæram constitutum attrahitur vi proportionali distantiæ suæ ab ipsius centro.
In SphæraABCD, centroSdescripta, locetur corpusculumP, & centro eodemSintervalloSPconcipe Sphæram interioremPEQFdescribi. Manifestum est, per Theor. XXX. quod Sphæricæ superficies concentricæ, ex quibus Sphærarum differentiaAEBFcomponitur, attractionibus per attractiones contrarias destructis, nil agunt in corpusP. Restat sola attractio Sphæræ interiorisPEQF. Et per Theor. XXXII, hæc est ut distantiaPS. Q. E. D.
Superficies ex quibus solida componuntur, hic non sunt pure Mathematicæ, sed Orbes adeo tenues ut eorum crassitudo instar nihili sit; nimirum Orbes evanescentes ex quibus Sphæra ultimo constat, ubi Orbium illorum numerus augetur & crassitudo minuitur in infinitum, juxta Methodum sub initio in Lemmatis generalibus expositam. Similiter per puncta, ex quibus lineæ, superficies & solida componi dicuntur, intelligendæ sunt particulæ æquales magnitudinis contemnendæ.
Iisdem positis, dico quod corpusculum extra Sphæram constitutum attrahitur vi reciproce proportionali quadrato distantiæ suæ ab ipsius centro.
Iisdem positis, dico quod corpusculum extra Sphæram constitutum attrahitur vi reciproce proportionali quadrato distantiæ suæ ab ipsius centro.
Nam distinguatur Sphæra in superficies Sphæricas innumeras concentricas, & attractiones corpusculi a singulis superficiebus oriundæ erunt reciproce proportionales quadrato distantiæ corpusculi a centro, per Theor. XXXI. Et componendo, fiet summa attractionum, hoc est attractio Sphæræ totius, in eadem ratione. Q. E. D.
Corol. 1.Hinc in æqualibus distantiis a centris homogenearum Sphærarum, attractiones sunt ut Sphæræ. Nam per Theor. XXXII. si distantiæ sunt proportionales diametris Sphærarum, vires erunt ut diametri. Minuatur distantia major in illa ratione, & distantiis jam factis æqualibus, augebitur attractio in duplicata illa ratione, adeoq; erit ad attractionem alteram in triplicata illa ratione, hoc est in ratione Sphærarum.
Corol. 2.In distantiis quibusvis attractiones sunt ut Sphæræ applicatæ ad quadrata distantiarum.
Corol. 3.Si corpusculum extra Sphæram homogeneam positum trahitur vi reciproce proportionali quadrato distantiæ suæ ab ipsius centro, constet autem Sphæra ex particulis attractivis; decrescet vis particulæ cujusq; in duplicata ratione distantiæ a particula.
Si ad Sphæræ datæ puncta singula tendant vires æquales centripetæ decrescentes in duplicata ratione distantiarum a punctis, dico quod Sphæra quævis alia similaris attrahitur vi reciproce proportionali quadrato distantiæ centrorum.
Si ad Sphæræ datæ puncta singula tendant vires æquales centripetæ decrescentes in duplicata ratione distantiarum a punctis, dico quod Sphæra quævis alia similaris attrahitur vi reciproce proportionali quadrato distantiæ centrorum.
Nam particulæ cujusvis attractio est reciproce ut quadratum distantiæ ejus a centro Sphæræ trahentis, (per Theor. XXXI,) &propterea eadem est ac si vis tota attrahens manaret de corpusculo unico sito in centro hujus Sphæræ. Hæc autem attractio tanta est quanta foret vicissim attractio corpusculi ejusdem, si modo illud a singulis Sphæræ attractæ particulis eadem vi traheretur qua ipsas attrahit. Foret autem illa corpusculi attractio (per Theor. XXXIV) reciproce proportionalis quadrato distantiæ ejus a centro Sphæræ; adeoq; huic æqualis attractio Sphæræ est in eadem ratione. Q. E. D.
Corol. 1.Attractiones Sphærarum, versus alias Sphæras homogeneas, sunt ut Sphæræ trahentes applicatæ ad quadrata distantiarum centrorum suorum a centris earum quas attrahunt.
Corol. 2.Idem valet ubi Sphæra attracta etiam attrahit. Namq; hujus puncta singula trahent singula alterius, eadem vi qua ab ipsis vicissim trahuntur, adeoq; cum in omni attractione urgeatur (per Legem 3.) tam punctum attrahens, quam punctum attractum, geminabitur vis attractionis mutuæ, conservatis proportionibus.
Corol. 3.Eadem omnia, quæ superius de motu corporum circa umbilicum Conicarum Sectionum demonstrata sunt, obtinent ubi Sphæra attrahens locatur in umbilico & corpora moventur extra Sphæram.
Corol. 4.Ea vero quæ de motu corporum circa centrum Conicarum Sectionum demonstrantur, obtinent ubi motus peraguntur intra Sphæram.
Si Sphæræ in progressu a centro ad circumferentiam (quod materiæ densitatem & vim attractivam) utcunq; dissimilares, in progressu vero per circuitum ad datam omnem a centro distantiam sunt undiq; similares, & vis attractiva puncti cujusq; decrescit in duplicata ratione distantiæ corporis attracti: dico quod vis tota qua hujusmodi Sphæra una attrahit aliam sit reciproce proportionalis quadrato distantiæ centrorum.
Si Sphæræ in progressu a centro ad circumferentiam (quod materiæ densitatem & vim attractivam) utcunq; dissimilares, in progressu vero per circuitum ad datam omnem a centro distantiam sunt undiq; similares, & vis attractiva puncti cujusq; decrescit in duplicata ratione distantiæ corporis attracti: dico quod vis tota qua hujusmodi Sphæra una attrahit aliam sit reciproce proportionalis quadrato distantiæ centrorum.
Figure for Prop. LXXVI.
Sunto Sphæræ quotcunq; concentricæ similaresAB,CD,EF&c. quarum interiores additæ exterioribus componant materiam densiorem versus centrum, vel subductæ relinquant tenuiorem; & hæ, per Theor. XXXV, trahent Sphæras alias quotcunq; concentricas similaresGH,IK,LM, &c. singulæ singulas, viribus reciproce proportionalibus quadrato distantiæSP. Et componendo vel dividendo, summa virium illarum omnium, vel excessus aliquarum supra alias, hoc est, vis qua Sphæra tota ex concentricis quibuscunq; vel concentricarum differentiis compositaAB, trahit totam ex concentricis quibuscunq; vel concentricarum differentiis compositamGH, erit in eadem ratione. Augeatur numerus Sphærarum concentricarum in infinitum sic, ut materiæ densitas una cum vi attractiva, in progressu a circumferentia ad centrum, secundum Legem quamcunq; crescat vel decrescat: & addita materia non attractiva compleatur ubivis densitas deficiens, eo ut Sphæræ acquirant formam quamvis optatam; & vis qua harum una attrahet alteram erit etiamnum (per argumentum superius) in eadem illa distantiæ quadratæ ratione inversa. Q. E. D.
Corol. 1.Hinc si ejusmodi Sphæræ complures sibi invicem per omnia similes se mutuo trahant; attractiones acceleratrices singularum in singulas erunt in æqualibus quibusvis centrorum distantiis ut Sphæræ attrahentes.
Corol. 2.Inq; distantiis quibusvis inæqualibus, ut Sphæræ attrahentes applicatæ ad quadrata distantiarum inter centra.
Corol. 3.Attractiones vero motrices, seu pondera Sphærarum in Sphæras erunt, in æqualibus centrorum distantiis, ut Sphæræ attrahentes & attractæ conjunctim, id est, ut contenta sub Sphæris per multiplicationem producta.
Corol. 4.Inq; distantiis inæqualibus, ut contenta illa applicata ad quadrata distantiarum inter centra.
Corol. 5.Eadem valent ubi attractio oritur a Sphæræ utriusq; virtute attractiva, mutuo exercita in Sphæram alteram. Nam viribus ambabus geminatur attractio, proportione servata.
Corol. 6.Si hujusmodi Sphæræ aliquæ circa alias quiescentes revolvantur, singulæ circa singulas, sintq; distantiæ inter centra revolventium & quiescentium proportionales quiescentium diametris; æqualia erunt tempora periodica.
Corol. 7.Et vicissim, si tempora periodica sunt æqualia, distantiæ erunt proportionales diametris.
Corol. 8.Eadem omnia, quæ superius de motu corporum circa umbilicos Conicarum Sectionum demonstrata sunt, obtinent ubi Sphæra attrahens, formæ & conditionis cujusvis jam descriptæ, locatur in umbilico.
Corol. 9.Ut & ubi gyrantia sunt etiam Sphæræ attrahentes, conditionis cujusvis jam descriptæ.
Si ad singula Sphærarum puncta tendant vires centripetæ proportionales distantiis punctorum a corporibus attractis: dico quod vis composita, qua Sphæræ duæ se mutuo trahent, est ut distantia inter centra Sphærarum.
Si ad singula Sphærarum puncta tendant vires centripetæ proportionales distantiis punctorum a corporibus attractis: dico quod vis composita, qua Sphæræ duæ se mutuo trahent, est ut distantia inter centra Sphærarum.
Figure for Prop. LXXVII.
Cas. 1.SitACBDSphæra,Scentrum ejus,Pcorpusculum attractum,PASBaxis Sphæræ per centrum corpusculi transiens,EF,efplana duo quibus Sphæra secatur, huic axi perpendicularia, & hinc inde æqualiter distantia a centro Sphæræ;Ggintersectiones planorum & axis, &Hpunctum quodvis in planoEF.PunctiHvis centripeta in corpusculumPsecundum lineamPHexercita est ut distantiaPH, & (per Legum Corol. 2.) secundum lineamPG, seu versus centrumS, ut longitudoPG. Igitur punctorum omnium in planoEF, hoc est plani totius vis, qua corpusculumPtrahitur versus centrumS, est ut numerus punctorum ductus in distantiamPG: id est ut contentum sub plano ipsoEF& distantia illaPG. Et similiter vis planief, qua corpusculumPtrahitur versus centrumS, est ut planum illud ductum in distantiam suamPg; sive ut huic æquale planumEFductum in distantiam illamPg; & summa virium plani utriusq; ut planumEFductum in summam distantiarumPG+Pg, id est, ut planum illud ductum in duplam centri & corpusculi distantiamPS, hoc est, ut duplum planumEFductum in distantiamPS, vel ut summa æqualium planorumEF+efducta in distantiam eandem. Et simili argumento, vires omnium planorum in Sphæra tota, hinc inde æqualiter a centro Sphæræ distantium, sunt ut summa planorum ducta in distantiamPS, hoc est, ut Sphæra tota ducta in distantiam centri suiSa corpusculoP. Q. E. D.
Cas. 2.Trahat jam corpusculumPSphæramACBD. Et eodem argumento probabitur quod vis, qua Sphæra illa trahitur, erit ut distantiaPS. Q. E. D.
Cas. 3.Componatur jam Sphæra altera ex corpusculis innumerisP; & quoniam vis, qua corpusculum unumquodq; trahitur, est ut distantia corpusculi a centro Sphæræ primæ ducta in Sphæram eandem, atq; adeo eadem est ac si prodiret tota de corpusculo unico in centro Sphæræ; vis tota qua corpuscula omnia in Sphæra secunda trahuntur, hoc est, qua Sphæra illa tota trahitur, eadem erit ac si Sphæra illa traheretur vi prodeunte decorpusculo unico in centro Sphæræ primæ, & propterea proportionalis est distantiæ inter centra Sphærarum. Q. E. D.
Cas. 4.Trahant Sphæræ se mutuo, & vis geminata proportionem priorem servabit. Q. E. D.
Cas. 5.Locetur jam corpusculumpintra SphæramACBD, & quoniam vis planiefin corpusculum est ut contentum sub plano illo & distantiapg; & vis contraria planiEFut contentum sub plano illo & distantiapG; erit vis ex utraq; composita ut differentia contentorum, hoc est, ut summa æqualium planorum ducta in semissem differentiæ distantiarum, id est, ut summa illa ducta inpS, distantiam corpusculi a centro Sphæræ. Et simili argumento attractio planorum omniumEF,efin Sphæra tota, hoc est attractio Sphæræ totius, est ut summa planorum omnium, seu Sphæra tota, ducta inpSdistantiam corpusculi a centro Sphæræ. Q. E. D.
Cas. 6.Et si ex corpusculis innumerispcomponatur Sphæra nova intra Sphæram prioremACBDsita, probabitur ut prius, quod attractio, sive simplex Sphæræ unius in alteram, sive mutua utriusq; in se invicem, erit ut distantia centrorumpS. Q. E. D.
Si Sphæræ in progressu a centro ad circumferentiam sint utcunq; dissimilares & inæquabiles, in progressu vero per circuitum ad datam omnem a centro distantiam sint undiq; similares; & vis attractiva puncti cujusq; sit ut distantia corporis attracti: dico quod vis tota qua hujusmodi Sphæræ duæ se mutuo trahunt sit proportionalis distantiæ inter centra Sphærarum.
Si Sphæræ in progressu a centro ad circumferentiam sint utcunq; dissimilares & inæquabiles, in progressu vero per circuitum ad datam omnem a centro distantiam sint undiq; similares; & vis attractiva puncti cujusq; sit ut distantia corporis attracti: dico quod vis tota qua hujusmodi Sphæræ duæ se mutuo trahunt sit proportionalis distantiæ inter centra Sphærarum.
Demonstratur ex Propositione præcedente, eodem modo quo Propositio LXXVII. ex Propositione LXXV. demonstrata fuit.
Corol.Quæ superius in Propositionibus X. & LXIV. de motu corporum circa centra Conicarum Sectionum demonstrata sunt, valent ubi attractiones omnes fiunt vi Corporum Sphæricorum, conditionis jam descriptæ, suntq; corpora attracta Sphæræ conditionis ejusdem.
Attractionum Casus duos insigniores jam dedi expositos; nimirum ubi vires centripetæ decrescunt in duplicata distantiarum ratione, vel crescunt in distantiarum ratione simplici; efficientes in utroq; Casu ut corpora gyrentur in Conicis Sectionibus, & componentes corporum Sphæricorum vires centripetas eadem lege in recessu a centro decrescentes vel crescentes cum seipsis. Quod est notatu dignum. Casus cæteros, qui conclusiones minus elegantes exhibent, sigillatim percurrere longum esset: Malim cunctos methodo generali simul comprehendere ac determinare, ut sequitur.
Si describantur centroScirculus quilibetAEB,(Vide Fig. Prop. sequentis)& centroPcirculi duoEF,ef, secantes priorem inE,e, lineamq;PSinF,f; & adPSdemittantur perpendiculaED,ed: dico quod si distantia arcuumEF,efin infinitum minui intelligatur, ratio ultima lineæ evanescentisDdad lineam evanescentemFfea sit, quæ lineæPEad lineamPS.
Si describantur centroScirculus quilibetAEB,(Vide Fig. Prop. sequentis)& centroPcirculi duoEF,ef, secantes priorem inE,e, lineamq;PSinF,f; & adPSdemittantur perpendiculaED,ed: dico quod si distantia arcuumEF,efin infinitum minui intelligatur, ratio ultima lineæ evanescentisDdad lineam evanescentemFfea sit, quæ lineæPEad lineamPS.
Nam si lineaPesecet arcumEFinq; & rectaEe, quæ cum arcu evanescenteEecoincidit, producta occurrat rectæPSinT; & abSdemittatur inPEnormalisSG: ob similia triangulaEDT,edt,EDS; eritDdadEe, utDTadETseuDEadES, & ob triangulaEqe,ESG(per Lem. VIII. & Corol. 3. Lem. VII.) similia, eritEeadqeseuFf, utESadSG, & ex æquoDdadFfutDEadSG; hoc est (ob similia triangulaPDE,PGS) utPEadPS. Q. E. D.
Si superficies ob latitudinem infinite diminutam jamjam evanescensEFfe, convolutione sui circa axemPS, describat solidum Sphæricum concavo-convexum, ad cujus particulas singulas æquales tendant æquales vires centripetæ: dico quod vis, qua solidum illud trahit corpusculum situm inP, est in ratione composita ex ratione solidiDEq.×Ff& ratione vis qua particula data in locoFftraheret idem corpusculum.
Si superficies ob latitudinem infinite diminutam jamjam evanescensEFfe, convolutione sui circa axemPS, describat solidum Sphæricum concavo-convexum, ad cujus particulas singulas æquales tendant æquales vires centripetæ: dico quod vis, qua solidum illud trahit corpusculum situm inP, est in ratione composita ex ratione solidiDEq.×Ff& ratione vis qua particula data in locoFftraheret idem corpusculum.
Figure for Prop. LXXIX.
Nam si primo consideremus vim superficiei SphæricæFE, quæ convolutione arcusFEgeneratur, & lineadeubivis secatur inr; erit superficiei pars annularis, convolutione arcusrEgenita, ut lineolaDd, manente Sphæræ radioPE, (uti demonstravitArchimedesin Lib. de Sphæra & Cylindro.) Et hujus vis secundum lineasPEvelPrundiq; in superficie conica sitas exercita, ut hæc ipsa superficiei pars annularis; hoc est, ut lineolaDd, vel quod perinde est, ut rectangulum sub dato Sphæræ radioPE& lineola illaDd: at secundum lineamPSad centrumStendentem minor, in rationePDadPE, adeoq; utPD×Dd. Dividi jam intelligatur lineaDFin particulas innumeras æquales, quæ singulæ nominenturDd; & superficiesFEdividetur in totidem æquales annulos, quorum vires erunt ut summa omniumPD×Dd, hoc est, cum lineolæ omnesDdsibi invicem æquentur, adeoq; pro datis haberi possint, ut summa omniumPDducta inDd, id est, ut ½PFq.- ½PDq.sive ½PEq.- ½PDq.vel ½DEq.ductum inDd; hoc est, si negligatur data ½Dd, utDE quad.Ducatur jam superficiesFEin altitudinemFf; & fiet solidiEFfevis exercita in corpusculumPutDEq.×Ff: puta si detur vis quam particula aliqua dataFfin distantiaPFexercet in corpusculumP. At si vis illa non detur, fiet vis solidiEFfeut solidumDEq.×Ff& vis illa non data conjunctim. Q. E. D.
Si ad Sphæræ alicujusAEB, centroSdescriptæ, particulas singulas æquales tendant æquales vires centripetæ, & ad Sphæræ axemAB, in quo corpusculum aliquodPlocatur, erigantur de punctis singulisDperpendiculaDE, Sphæræ occurrentia inE, & in ipsis capiantur longitudinesDN, quæ sint ut quantitasDEq. × PS ÷ PE& vis quam Sphæræ particula sita in axe ad distantiamPEexercet in corpusculumPconjunctim: dico quod vis tota, qua corpusculumPtrahitur versus Sphæram, est ut area comprehensa sub axe SphæræAB& linea curvaANB, quam punctumNperpetuo tangit.
Si ad Sphæræ alicujusAEB, centroSdescriptæ, particulas singulas æquales tendant æquales vires centripetæ, & ad Sphæræ axemAB, in quo corpusculum aliquodPlocatur, erigantur de punctis singulisDperpendiculaDE, Sphæræ occurrentia inE, & in ipsis capiantur longitudinesDN, quæ sint ut quantitasDEq. × PS ÷ PE& vis quam Sphæræ particula sita in axe ad distantiamPEexercet in corpusculumPconjunctim: dico quod vis tota, qua corpusculumPtrahitur versus Sphæram, est ut area comprehensa sub axe SphæræAB& linea curvaANB, quam punctumNperpetuo tangit.
Etenim stantibus quæ in Lemmate & Theoremate novissimo constructa sunt, concipe axem SphæræABdividi in particulas innumeras æqualesDd, & Sphæram totam dividi in totidem laminas Sphæricas concavo-convexasEFfe; & erigatur perpendiculumdn. Per Theorema superius, vis qua laminaEFfetrahit corpusculumPest utDEq.×Ff& vis particulæ unius ad distantiamPEvelPFexercita conjunctim. Est autem perLemma novissimum,DdadFfutPEadPS, & indeFfæqualisPS×Dd÷PE; &DEq.×FfæqualeDdinDEq.×PS÷PE, & propterea vis laminæEFfeest utDdinDEq.×PS÷PE& vis particulæ ad distantiamPFexercita conjunctim, hoc est (ex Hypothesi) utDN×Dd, seu area evanescensDNnd. Sunt igitur laminarum omnium vires in corpusPexercitæ, ut areæ omnesDNnd, hoc est Sphæræ vis tota ut area totaABNA. Q. E. D.
Corol. 1.Hinc si vis centripeta, ad particulas singulas tendens, eadem semper maneat in omnibus distantiis, & fiatDNutDEq.×PS÷PE: erit vis tota qua corpusculum a Sphæra attrahitur, ut areaABNA.
Corol. 2.Si particularum vis centripeta sit reciproce ut distantia corpusculi a se attracti, & fiatDNutDEq.×PS÷PEq.: erit vis qua corpusculumPa Sphæra tota attrahitur ut areaABNA.
Corol. 3.Si particularum vis centripeta sit reciproce ut cubus distantiæ corpusculi a se attracti, & fiatDNutDEq.×PS÷PEqq.: erit vis qua corpusculum a tota Sphæra attrahitur ut areaABNA.
Corol. 4.Et universaliter si vis centripeta ad singulas Sphæræ particulas tendens ponatur esse reciproce ut quantitasV, fiat autemDNut {DEq.×PS} ÷ {PE×V}; erit vis qua corpusculum a Sphæra tota attrahitur ut areaABNA.
Figure for Prop. LXXIX.
Stantibus jam positis, mensuranda est AreaABNA.
Stantibus jam positis, mensuranda est AreaABNA.
A punctoPducatur rectaPHSphæram tangens inH, & ad axemPABdemissa NormaliHI, biseceturPIinL; & erit(per Prop. 12, Lib. 2. Elem.)PEq.æqualePSq.+SEq.+ 2PSD. Est autemSEq.seuSHq.(ob similitudinem triangulorumSPH,SHI) æquale rectanguloPSI. ErgoPEq.æquale est contento subPS&PS+SI+ 2SD, hoc est, subPS& 2LS+ 2SD, id est, subPS& 2LD. PorroDE quad.æquale estSEq.-SDq.seuSEq.-LSq.+ 2SLD-LDq.id est,SLD-LDq.-ALB. NamLSq.-SEq.seuLSq.-SAq.(per Prop. 6 Lib. 2. Elem) æquatur rectanguloALB. Scribatur itaq; 2SLD-LDq.-ALBproDEq.& quantitas {DEq.×PS} ÷ {PE×V}, quæ secundum Corollarium quartum Propositionis præcedentis est ut longitudo ordinatim applicatæDN, resolvet sese in tres partes
Figure for Exempl. 1.
ubi si proVscribatur ratio inversa vis centripetæ, & proPEmedium proportionale interPS& 2LD; tres illæ partes evadent ordinatim applicatæ linearum totidem curvarum, quarum areæ per Methodos vulgatas innotescunt. Q. E. F.
Exempl. 1.Si vis centripeta ad singulas Sphæræ particulas tendens sit reciproce ut distantia; proVscribe distantiamPE, dein 2PS×LDproPEq., & fietDNutSL- ½LD-ALB÷ 2LD.PoneDNæqualem duplo ejus 2SL-LD-ALB÷LD: & ordinatæ pars data 2SLducta in longitudinemABdescribet aream rectangulam 2SL×AB; & pars indefinitaLDducta normaliter in eandem longitudinem per motum continuum, ea lege ut inter movendum crescendo vel decrescendo æquetur semper longitudiniLD, describet aream {LBq.-LAq.} ÷ 2, id est, areamSL×AB; quæ subducta de area priore 2SL×ABrelinquit areamSL×AB. Pars autem tertiaALB÷LDducta itidem per motum localem normaliter in eandem longitudinem, describet aream Hyperbolicam; quæ subducta de areaSL×ABrelinquet aream quæsitamABNA. Unde talis emergit Problematis constructio. Ad punctaL,A,Berige perpendiculaLl,Aa,Bb, quorumAaipsiLB, &BbipsiLAæquetur. AsymptotisLl,LB, per punctaa,bdescribatur Hyperbolaab. Et acta chordabaclaudet areamabaareæ quæsitæABNAæqualem.
Figure for Exempl. 2.
Exempl. 2.Si vis centripeta ad singulas Sphæræ particulas tendens sit reciproce ut cubus distantiæ, vel (quod perinde est) ut cubus ille applicatus ad planum quodvis datum; scribePE cub.÷ 2ASq.proV, dein 2PS×LDproPEq.; & fietDNut
id est (ob continue proportionalesPS,AS,SI) ut
Si ducantur hujus partestres in longitudinemAB, primaLSI÷LDgenerabit aream Hyperbolicam; secunda ½SIaream ½AB×SI; tertiaALB×SI÷ 2LDq.aream
id est ½AB×SI. De prima subducatur summa secundæ ac tertiæ, & manebit area quæsitaABNA. Unde talis emergit Problematis constructio. Ad punctaL,A,S,Berige perpendiculaLl,Aa,Ss,Bb, quorumSsipsiSIæquetur, perq; punctumsAsymptotisLl,LBdescribatur Hyperbolaasboccurrens perpendiculisAa,Bbina&b; & rectangulum 2ASIsubductum de area HyperbolicaAasbBrelinquet aream quæsitamABNA.
Exempl. 3.Si Vis centripeta, ad singulas Sphæræ particulas tendens, decrescit in quadruplicata ratione distantiæ a particulis, scribePE4÷ 2AS3proV, dein √2PS×LDproPE, & fietDNut
Cujus tres partes ductæ in longitudinemAB, producunt Areas totidem,viz.
Et hæ post debitam reductionem, subductis posterioribus de priori, evadunt 8SI cub.÷ 3LI. Igitur vis tota, qua corpusculumPin Sphæræ centrum trahitur, est utSI cub.÷PI, id est reciproce utPS cub.×PI. Q. E. I.
Eadem Methodo determinari potest attractio corpusculi siti intra Sphæram, sed expeditius per Theorema sequens.
In Sphæra centroSintervalloSAdescripta, si capianturSI,SA,SPcontinue proportionales: dico quod corpusculi intra Sphæram in loco quovisIattractio est ad attractionem ipsius extra Sphæram in locoP, in ratione composita ex dimidiata ratione distantiarum a centroIS,PS& dimidiata ratione virium centripetarum, in locis illisP&I, ad centrum tendentium.
In Sphæra centroSintervalloSAdescripta, si capianturSI,SA,SPcontinue proportionales: dico quod corpusculi intra Sphæram in loco quovisIattractio est ad attractionem ipsius extra Sphæram in locoP, in ratione composita ex dimidiata ratione distantiarum a centroIS,PS& dimidiata ratione virium centripetarum, in locis illisP&I, ad centrum tendentium.
Figure for Prop. LXXXII.
Ut si vires centripetæ particularum Sphæræ sint reciproce ut distantiæ corpusculi a se attracti; vis, qua corpusculum situm inItrahitur a Sphæra tota, erit ad vim qua trahitur inP, in ratione composita ex dimidiata ratione distantiæSIad distantiamSP& ratione dimidiata vis centripetæ in locoI, a particula aliqua in centro oriundæ, ad vim centripetam in locoPab eadem in centro particula oriundam, id est, ratione dimidiata distantiarumSI,SPad invicem reciproce. Hæ duæ rationes dimidiatæ componunt rationem æqualitatis, & propterea attractiones inI&Pa Sphæra tota factæ æquantur. Simili computo, si vires particularum Sphæræ sunt reciproce in duplicata ratione distantiarum, colligetur quod attractio inIsit ad attractionem inP, ut distantiaSPad SphæræsemidiametrumSA: Si vires illæ sunt reciproce in triplicata ratione distantiarum, attractiones inI&Perunt ad invicem utSP quad.adSA quad.; si in quadruplicata, utSP cub.adSA cub.Unde cum attractio inP, in hoc ultimo casu, inventa fuit reciproce utPS cub.×PI, attractio inIerit reciproce utSA cub.×PI, id est (ob datumSA cub.) reciproce utPI. Et similis est progressus in infinitum. Theorema vero sic demonstratur.
Stantibus jam ante constructis, & existente corpore in loco quovisP, ordinatim applicataDNinventa fuit ut {DEq.×PS} ÷ {PE×V}. Ergo si agaturIE, ordinata illa ad alium quemvis locumI, mutatis mutandis, evadet ut {DEq.×IS} ÷ {IE×V}. Pone vires centripetas, e Sphæræ puncto quovisEmanantes, esse ad invicem in distantiisIE,PE, utPEnadIEn, (ubi numerusndesignet indicem potestatumPE&IE) & ordinatæ illæ fient ut {DEq.×PS} ÷ {PE×PEn} & {DEq.×IS} ÷ {IE×IEn}, quarum ratio ad invicem est utPS×IE×IEnadIS×PE×PEn. Quoniam ob similia triangulaSPE,SEI, fitIEadPEutISadSEvelSA; pro rationeIEadPEscribe rationemISadSA; & ordinatarum ratio evadetPS×IEnadSA×PEn. SedPSadSAdimidiata est ratio distantiarumPS,SI; &IEnadPEndimidiata est ratio virium in distantiisPS,IS. Ergo ordinatæ, & propterea areæ quas ordinatæ describunt, hisq; proportionales attractiones, sunt in ratione composita ex dimidiatis illis rationibus. Q. E. D.
Figure for Prop. LXXXIII.
Invenire vim qua corpusculum in centro Sphæræ locatum ad ejus segmentum quodcunq; attrahitur.
Invenire vim qua corpusculum in centro Sphæræ locatum ad ejus segmentum quodcunq; attrahitur.
SitPcorpus in centro Sphæræ, &RBSDsegmentum ejus planoRDS& superficie SphæricaRBScontentum. Superficie SphæricaEFGcentroPdescripta seceturDBinF, ac distinguatur segmentum in partesBREFGS,FEDG. Sit autem superficies illa non pure Mathematica, sed Physica, profunditatem habens quam minimam. Nominetur ista profunditasO, & erit hæc superficies (per demonstrataArchimedis) utPF×DF×O. Ponamus præterea vires attractivas particularum Sphæræ esse reciproce ut distantiarum dignitas illa cujus Index estn; & vis qua superficiesFEtrahit corpusPerit utDF×O÷PFn- 1. Huic proportionale sit perpendiculumFNductum inO; & area curvilineaBDLIB, quam ordinatim applicataFNin longitudinemDBper motum continuum ducta describit, erit ut vis tota qua segmentum totumRBSDtrahit corpusP. Q. E. I.
Invenire vim qua corpusculum, extra centrum Sphæræ in axe segmenti cujusvis locatum, attrahitur ab eodem segmento.
Invenire vim qua corpusculum, extra centrum Sphæræ in axe segmenti cujusvis locatum, attrahitur ab eodem segmento.
A segmentoEBKtrahatur corpusP(Vide Fig. Prop. 79. 80. 81.) in ejus axeADBlocatum. CentroPintervalloPEdescribatur superficies SphæricaEFK, qua distinguatur segmentum in partes duasEBKF&EFKD. Quæratur vis partis prioris per Prop. LXXXI. & vis partis posterioris per Prop. LXXXIII.; & summa virium erit vis segmenti totiusEBKD. Q. E. I.
Explicatis attractionibus corporum Sphæricorum, jam pergere liceret ad leges attractionum aliorum quorundam ex particulis attractivis similiter constantium corporum; sed ista particulatim tractare minus ad institutum spectat. Suffecerit Propositiones quasdam generaliores de viribus hujusmodi corporum, deq; motibus inde oriundis, ob eorum in rebus Philosophicis aliqualem usum, subjungere.
De Corporum etiam non Sphæricorum viribus attractivis.
Si corporis attracti, ubi attrahenti contiguum est, attractio longe fortior sit, quam cum vel minimo intervallo separantur ab invicem: vires particularum trahentis, in recessu corporis attracti, decrescunt in ratione plusquam duplicata distantiarum a particulis.
Si corporis attracti, ubi attrahenti contiguum est, attractio longe fortior sit, quam cum vel minimo intervallo separantur ab invicem: vires particularum trahentis, in recessu corporis attracti, decrescunt in ratione plusquam duplicata distantiarum a particulis.
Nam si vires decrescunt in ratione duplicata distantiarum a particulis; attractio versus corpus Sphæricum, propterea quod (per Prop. LXXIV.) sit reciproce ut quadratum distantiæattracti corporis a centro Sphæræ, haud sensibiliter augebitur ex contactu; atq; adhuc minus augebitur ex contactu, si attractio in recessu corporis attracti decrescat in ratione minore. Patet igitur Propositio de Sphæris attractivis. Et par est ratio Orbium Sphæricorum concavorum corpora externa trahentium. Et multo magis res constat in Orbibus corpora interius constituta trahentibus, cum attractiones passim per Orbium cavitates ab attractionibus contrariis (per Prop. LXX.) tollantur, ideoq; vel in ipso contactu nullæ sunt. Quod si Sphæris hisce Orbibusq; Sphæricis partes quælibet a loco contactus remotæ auferantur, & partes novæ ubivis addantur: mutari possunt figuræ horum corporum attractivorum pro lubitu, nec tamen partes additæ vel subductæ, cum sint a loco contactus remotæ, augebunt notabiliter attractionis excessum qui ex contactu oritur. Constat igitur Propositio de corporibus figurarum omnium. Q. E. D.
Si particularum, ex quibus corpus attractivum componitur, vires in recessu corporis attracti decrescunt in triplicata vel plusquam triplicata ratione distantiarum a particulis: attractio longe fortior erit in contactu, quam cum attrahens & attractum intervallo vel minimo separantur ab invicem.
Si particularum, ex quibus corpus attractivum componitur, vires in recessu corporis attracti decrescunt in triplicata vel plusquam triplicata ratione distantiarum a particulis: attractio longe fortior erit in contactu, quam cum attrahens & attractum intervallo vel minimo separantur ab invicem.
Nam attractionem in accessu attracti corpusculi ad hujusmodi Sphæram trahentem augeri in infinitum, constat per solutionem Problematis XLI. in Exemplo secundo ac tertio exhibitam. Idem, per Exempla illa & Theorema XLI inter se collata, facile colligitur de attractionibus corporum versus Orbes concavo-convexos, sive corpora attracta collocentur extra Orbes, sive intra in eorum cavitatibus. Sed & addendo vel auferendo his Sphæris & Orbibus ubivis extra locum contactus materiam quamlibet attractivam, eo ut corpora attractiva induant figuram quamvis assignatam, constabit Propositio de corporibus universis. Q. E. D.
Si corpora duo sibi invicem similia & ex materia æqualiter attractiva constantia seorsim attrahant corpuscula sibi ipsis proportionalia & ad se similiter posita: attractiones acceleratrices corpusculorum in corpora tota erunt ut attractiones acceleratrices corpusculorum in eorum particulas totis proportionales & in totis similiter positas.
Si corpora duo sibi invicem similia & ex materia æqualiter attractiva constantia seorsim attrahant corpuscula sibi ipsis proportionalia & ad se similiter posita: attractiones acceleratrices corpusculorum in corpora tota erunt ut attractiones acceleratrices corpusculorum in eorum particulas totis proportionales & in totis similiter positas.
Nam si corpora distinguantur in particulas, quæ sint totis proportionales & in totis similiter sitæ; erit, ut attractio in particulam quamlibet unius corporis ad attractionem in particulam correspondentem in corpore altero, ita attractiones in particulas singulas primi corporis ad attractiones in alterius particulas singulas correspondentes; & componendo, ita attractio in totum primum corpus ad attractionem in totum secundum. Q. E. D.
Corol. 1.Ergo si vires attractivæ particularum, augendo distantias corpusculorum attractorum, decrescant in ratione dignitatis cujusvis distantiarum: attractiones acceleratrices in corpora tota erunt ut corpora directe & distantiarum dignitates illæ inverse. Ut si vires particularum decrescant in ratione duplicata distantiarum a corpusculis attractis, corpora autem sint utA cub.&B cub.adeoq; tum corporum latera cubica, tum corpusculorum attractorum distantiæ a corporibus, utA&B: attractiones acceleratrices in corpora erunt utA cub.÷A quad.&B cub.÷B quad.id est, ut corporum latera illa cubicaA&B. Si vires particularum decrescant in ratione triplicata distantiarum a corpusculis attractis; attractiones acceleratrices in corpora tota erunt utA cub.÷A cub.&B cub.÷B cub.id est, æquales. Si vires decrescant in ratione quadruplicata, attractiones in corpora erunt utA cub.÷Aqq.&B cub.÷Bqq.id est, reciproce ut latera cubicaA&B. Et sic in cæteris.
Corol. 2.Unde vicissim, ex viribus quibus corpora similia trahunt corpuscula ad se similiter posita, colligi potest ratio decrementi virium particularum attractivarum in recessu corpusculi attracti; si modo decrementum illud sit directe vel inverse in ratione aliqua distantiarum.
Si particularum æqualium corporis cujuscunq; vires attractivæ sint ut distantiæ locorum a particulis: vis corporis totius tendet ad ipsius centrum gravitatis; & eadem erit cum vi globi ex materia consimili & æquali constantis & centrum habentis in ejus centro gravitatis.
Si particularum æqualium corporis cujuscunq; vires attractivæ sint ut distantiæ locorum a particulis: vis corporis totius tendet ad ipsius centrum gravitatis; & eadem erit cum vi globi ex materia consimili & æquali constantis & centrum habentis in ejus centro gravitatis.