Figure for Prop. LXXXVIII.
CorporisRSTVparticulæA,Btrahant corpusculum aliquodZviribus quæ, si particulæ æquantur inter se, sint ut distantiæAZ,BZ; sin particulæ statuantur inæquales, sint ut hæ particulæ in distantias suasAZ,BZrespective ductæ. Et exponantur hæ vires per contenta illaA×AZ&B×BZ. JungaturAB, & secetur ea inGut sitAGadBGut particulaBad particulamA; & eritGcommune centrum gravitatis particularumA&B. VisA×AZper Legum Corol. 2. resolvitur in viresA×GZ&A×AG, & visB×BZin viresB×GZ&B×BG. Vires autemA×AG&B×BG, ob proportionalesAadB&BGadAG, æquantur, adeoq;, cum dirigantur in partes contrarias, se mutuo destruunt. Restant viresA×GZ&B×GZ. Tendunt hæ abZversus centrumG, & vimA+B×GZcomponunt; hoc est, vim eandem ac si particulæ attractivæA&Bconsisterent in eorum communi gravitatis centroG, globum ibi componentes.
Eodem argumento si adjungatur particula tertiaC; & componatur hujus vis cum viA+B×GZtendente ad centrumG, vis inde oriunda tendet ad commune centrum gravitatis globi illiusG& particulæC; hoc est, ad commune centrum gravitatis trium particularumA,B,C; & eadem erit ac si globus & particulaCconsisterent in centro illo communi, globum majorem ibi componentes. Et sic pergitur in infinitum. Eadem est igitur vis tota particularum omnium corporis cujuscunq;RSTVac si corpus illud, servato gravitatis centro, figuram globi indueret. Q. E. D.
Corol.Hinc motus corporis attractiZidem erit ac si corpus attrahensRSTVesset Sphæricum: & propterea si corpus illud attrahens vel quiescat, vel progrediatur uniformiter in directum, corpus attractum movebitur in Ellipsi centrum habente in attrahentis centro gravitatis.
Si Corpora sint plura ex particulis æqualibus constantia, quarum vires sunt ut distantiæ locorum a singulis: vis ex omnium viribus composita, qua corpusculum quodcunq; trahitur, tendet ad trahentium commune centrum gravitatis, & eadem erit ac si trahentia illa, servato gravitatis centro communi, coirent & in globum formarentur.
Si Corpora sint plura ex particulis æqualibus constantia, quarum vires sunt ut distantiæ locorum a singulis: vis ex omnium viribus composita, qua corpusculum quodcunq; trahitur, tendet ad trahentium commune centrum gravitatis, & eadem erit ac si trahentia illa, servato gravitatis centro communi, coirent & in globum formarentur.
Demonstratur eodem modo, atq; Propositio superior.
Corol.Ergo motus corporis attracti idem erit ac si corpora trahentia, servato communi gravitatis centro, coirent & in globum formarentur. Ideoq; si corporum trahentium commune gravitatis centrum vel quiescit, vel progreditur uniformiter in linea recta, corpus attractum movebitur in Ellipsi, centrum habente in communi illo trahentium centro gravitatis.
Si ad singula circuli cujuscunq; puncta tendant vires centripetæ decrescentes in quacunq; distantiarum ratione: invenire vim qua corpusculum attrahitur ubivis in recta quæ ad planum circuli per centrum ejus perpendicularis consistit.
Si ad singula circuli cujuscunq; puncta tendant vires centripetæ decrescentes in quacunq; distantiarum ratione: invenire vim qua corpusculum attrahitur ubivis in recta quæ ad planum circuli per centrum ejus perpendicularis consistit.
Figure for Prop. XC.
CentroAintervallo quovisAD, in plano cui rectaAPperpendicularis est, describi intelligatur circulus; & invenienda sit vis qua corpus quodvisPin eundem attrahitur. A circuli puncto quovisEad corpus attractumPagatur rectaPE: In rectaPAcapiaturPFipsiPEæqualis, & erigatur NormalisFK, quæ sit ut vis qua punctumEtrahit corpusculumP. Sitq;IKLcurva linea quam punctumKperpetuo tangit. Occurrat eadem circuli plano inL. InPAcapiaturPHæqualisPD, & erigatur perpendiculumHIcurvæ prædictæ occurrens inI; & erit corpusculiPattractio in circulum ut areaAHILducta in altitudinemAP. Q. E. I.
Etenim inAEcapiatur linea quam minimaEe. JungaturPe, & inPAcapiaturPfipsiPeæqualis. Et quoniam vis, qua annuli punctum quodvisEtrahit ad se corpusP, ponitur esse utFK, & inde vis qua punctum illud trahit corpusPversusAest utAP×FK÷PE, & vis qua annulus totus trahit corpusPversusA, ut annulus &AP×FK÷PEconjunctim; annulus autem iste est ut rectangulum sub radioAE& latitudineEe, & hoc rectangulum (ob proportionalesPE&AE,Ee&cE) æquatur rectanguloPE×cEseuPE×Ff; erit vis qua annulus iste trahit corpusPversusAutPE×Ff&AP×FK÷PEconjunctim, id est, ut contentumFf×AP×FK, sive ut areaFKkfducta inAP. Et propterea summa virium, quibus annuli omnes in circulo, qui centroA& intervalloADdescribitur, trahunt corpusPversusA, est ut area totaAHIKLducta inAP. Q. E. D.
Corol. 1.Hinc si vires punctorum decrescunt in duplicata distantiarum ratione, hoc est, si sitFKut 1 ÷PF quad., atq; adeo areaAHIKLut {1 ÷PA} - {1 ÷PH}; erit attractio corpusculiPin circulum 1 - {PA÷PH}, id est, utAH÷PH.
Corol. 2.Et universaliter, si vires punctorum ad distantiasDsint reciproce ut distantiarum dignitas quælibetDn, hoc est, si sitFKut 1 ÷Dn, adeoq; areaAHIKLut {1 ÷PAn- 1} - {1 ÷PHn- 1}; erit attractio corpusculiPin circulum ut {1 ÷PAn- 2} - {PA÷PHn- 1}.
Corol. 3.Et si diameter circuli augeatur in infinitum, & numerusnsit unitate major; attractio corpusculiPin planum totum infinitum erit reciproce utPAn- 2, propterea quod terminus alterPA÷PHn- 1evanescet.
Invenire attractionem corpusculi siti in axe solidi, ad cujus puncta singula tendunt vires centripetæ in quacunq; distantiarum ratione decrescentes.
Invenire attractionem corpusculi siti in axe solidi, ad cujus puncta singula tendunt vires centripetæ in quacunq; distantiarum ratione decrescentes.
Figure for Prop. XCI.
In solidumADEFGtrahatur corpusculumP, situm in ejus axeAB. Circulo quolibetRFSad hunc axem perpendiculari secetur hoc solidum, & in ejus diametroFS, in plano aliquoPALKBper axem transeunte, capiatur (per Prop. XC.) longitudoFKvi qua corpusculumPin circulum illum attrahitur proportionalis. Tangat autem punctumKcurvam lineamLKI, planis extimorum circulorumAL&BIoccurrentem inA&B; & erit attractio corpusculiPin solidum ut areaLABI. Q. E. D.
Corol. 1.Unde si solidum Cylindrus sit, parallelogrammoADEBcirca axemABrevoluto descriptus, & vires centripetæ in singula ejus puncta tendentes sint reciproce ut quadrata distantiarum a punctis: erit attractio corpusculiPin hunc Cylindrum utBA-PE+PD. Nam ordinatim applicataFK(per Corol. 1. Prop. XC.) erit ut 1 -PF÷PR. Hujus pars 1 ducta in longitudinemAB, describit aream 1 ×AB; & pars alteraPF÷PRducta in longitudinemPB, describit aream 1 inPE-AD(id quod ex curvæLKIquadratura facile ostendi potest:) & similiter pars eadem ducta in longitudinemPAdescribit aream 1 inPD-AD, ductaq; in ipsarumPB,PAdifferentiamABdescribit arearum differentiam 1 inPE-PD. De contento primo 1 ×ABauferatur contentum postremum 1 inPE-PD, & restabit areaLABIæqualis 1 inAB-PE+PD. Ergo vis huic areæ proportionalis est utAB-PE+PD.
Figure for Corol. 2.
Corol. 2.Hinc etiam vis innotescit qua SphæroisAGBCDattrahit corpus quodvisP, exterius in axe suoABsitum. SitNKRMSectio Conica cujus ordinatim applicataER, ipsiPEperpendicularis, æquetur semper longitudiniPD, quæ ducitur ad punctum illudD, in quo applicata ista Sphæroidem secat. A Sphæroidis verticibusA,Bad ejus axemABerigantur perpendiculaAK,BMipsisAP,BPæqualia respective, & propterea Sectioni Conicæ occurrentia inK&M; & junganturKMauferens ab eadem segmentumKMRK. Sit autem Sphæroidis centrumS& semidiameter maximaSC: & vis qua Sphærois trahit corpusPerit ad vim qua Sphæra, diametroABdescripta, trahit idem corpus, ut
Et eodem computando fundamento invenire licet vires segmentorum Sphæroidis.
Figure for Corol. 3.
Corol. 3.Quod si corpusculum intra Sphæroidem in data quavis ejusdem diametro collocetur; attractio erit ut ipsius distantia a centro. Id quod facilius colligetur hoc argumento. SitAGOFSphærois attrahens,Scentrum ejus &Pcorpus attractum. Per corpus illudPagantur tum semidiameterSPA, tum rectæ duæ quævisDE,FGSphæroidi hinc inde occurrentes inD&E,F&G: Sintq;PCM,HLNsuperficies Sphæroidum duarum interiorum, exteriori similium & concentricarum, quarum priortranseat per corpusP& secet rectasDE&FGinB&C, posterior secet easdem rectas inH,I&K,L. Habeant autem Sphæroides omnes axem communem, & erunt rectarum partes hinc inde interceptæDP&BE,FP&CG,DH&IE,FK&LGsibi mutuo æquales; propterea quod rectæDE,PB&HIbisecantur in eodem puncto, ut & rectæFG,PC&KL. Concipe jamDPF,EPGdesignare Conos oppositos, angulis verticalibusDPF,EPGinfinite parvis descriptos, & lineas etiamDH,EIinfinite parvas esse; & Conorum particulæ Sphæroidum superficiebus abscissæDHKF,GLIE, ob æqualitatem linearumDH,EI, erunt ad invicem ut quadrata distantiarum suarum a corpusculoP, & propterea corpusculum illud æqualiter trahent. Etpariratione, si superficiebus Sphæroidum innumerarum similium concentricarum & axem communem habentium dividantur spatiaDPF,EGCBin particulas, hæ omnes utrinq; æqualiter trahent corpusPin partes contrarias. Æquales igitur sunt vires coniDPF& segmenti ConiciEGCB, & per contrarietatem se mutuo destruunt. Et par est ratio virium materiæ omnis extra Sphæroidem intimamPCBM. Trahitur igitur corpusPa sola Sphæroide intimaPCBM, & propterea (per Corol. 3. Prop. LXXII.) attractio ejus est ad vim, qua corpusAtrahitur a Sphæroide totaAGOD, ut distantiaPSad distantiamAS. Q. E. I.
Dato corpore attractivo, invenire rationem decrementi virium centripetarum in ejus puncta singula tendentium.
Dato corpore attractivo, invenire rationem decrementi virium centripetarum in ejus puncta singula tendentium.
E corpore dato formanda est Sphæra vel Cylindrus aliavefigura regularis, cujus lex attractionis, cuivis decrementi rationi congruens (per Prop. LXXX. LXXXI. & XCI.) inveniri potest. Dein factis experimentis invenienda est vis attractionis in diversis distantiis, & lex attractionis in totum inde patefacta dabit rationem decrementi virium partium singularum, quam invenire oportuit.
Si solidum ex una parte planum, ex reliquis autem partibus infinitum, constet ex particulis æqualibus æqualiter attractivis, quarum vires in recessu a solido decrescunt in ratione potestatis cujusvis distantiarum plusquam quadraticæ, & vi solidi totius corpusculum ad utramvis plani partem constitutum trahatur: dico quod solidi vis illa attractiva, in recessu ab ejus superficie plana, decrescet in ratione potestatis, cujus latus est distantia corpusculi a plano, & Index ternario minor quam Index potestatis distantiarum.
Si solidum ex una parte planum, ex reliquis autem partibus infinitum, constet ex particulis æqualibus æqualiter attractivis, quarum vires in recessu a solido decrescunt in ratione potestatis cujusvis distantiarum plusquam quadraticæ, & vi solidi totius corpusculum ad utramvis plani partem constitutum trahatur: dico quod solidi vis illa attractiva, in recessu ab ejus superficie plana, decrescet in ratione potestatis, cujus latus est distantia corpusculi a plano, & Index ternario minor quam Index potestatis distantiarum.
Figure for Prop. XCIII.
Cas. 1.SitLGlplanum quo Solidum terminatur. Jaceat autem solidum ex parte plani hujus versusI, inq; plana innumeramHM,nIN&c. ipsiGLparallela resolvatur. Et primo collocetur corpus attractumCextra solidum. Agatur autemCGHIplanis illis innumeris perpendicularis, & decrescant vires attractivæ punctorum solidi in ratione potestatis distantiarum, cujus index sit numerusnternario non minor. Ergo (per Corol. 3. Prop. XC) vis qua planum quodvismHMtrahit punctumCest reciproce utCHn- 2. In planomHMcapiatur longitudoHMipsiCHn- 2reciproce proportionalis, & erit vis illa utHM. Similiter in planis singulislGL,nIN,oKO&c.capiantur longitudinesGL,IN,KO&c. ipsisCGn- 2,CIn- 2,CKn- 2&c. reciproce proportionales; & vires planorum eorundem erunt ut longitudines captæ, adeoq; summa virium ut summa longitudinum, hoc est, vis solidi totius ut areaGLOKin infinitum versusOKproducta. Sed area illa per notas quadraturarum methodos est reciproce utCGn- 3, & propterea vis solidi totius est reciproce utCGn- 3Q. E. D.
Cas. 2.Collocetur jam corpusculumCex parte planilGLintra solidum, & capiatur distantiaCKæqualis distantiæCG. Et solidi parsLGloKO, planis parallelislGL,oKOterminata, corpusculumCin medio situm nullam in partem trahet, contrariis oppositorum punctorum actionibus se mutuo per æqualitatem tollentibus. Proinde corpusculumCsola vi solidi ultra planumOKsiti trahitur. Hæc autem vis (per Casum primum) est reciproce utCKn- 3, hoc est (ob æqualesCG,CK) reciproce utCGn- 3. Q. E. D.
Corol. 1.Hinc si solidumLGINplanis duobus infinitis parallelisLG,INutrinq; terminetur; innotescit ejus vis attractiva, subducendo de vi attractiva solidi totius infinitiLGKOvim attractivam partis ulteriorisNIKO, in infinitum versusKOproductæ.
Corol. 2.Si solidi hujus infiniti pars ulterior, quando attractio ejus collata cum attractione partis citerioris nullius pene est momenti, rejiciatur: attractio partis illius citerioris augendo distantiam decrescet quam proxime in ratione potestatisCGn- 3.
Corol. 3.Et hinc si corpus quodvis finitum & ex una parte planum trahat corpusculum e regione medii illius plani, & distantia inter corpusculum & planum collata cum dimensionibuscorporis attrahentis perexigua sit, constet autem corpus attrahens ex particulis homogeneis, quarum vires attractivæ decrescunt in ratione potestatis cujusvis plusquam quadruplicatæ distantiarum; vis attractiva corporis totius decrescet quamproxime in ratione potestatis, cujus latus sit distantia illa perexigua, & Index ternario minor quam Index potestatis prioris. De corpore ex particulis constante, quarum vires attractivæ decrescunt in ratione potestatis triplicatæ distantiarum, assertio non valet, propterea quod, in hoc casu, attractio partis illius ulterioris corporis infiniti in Corollario secundo, semper est infinite major quam attractio partis citerioris.
Si corpus aliquod perpendiculariter versus planum datum trahatur, & ex data lege attractionis quæratur motus corporis: Solvetur Problema quærendo (per Prop. XXVII.) motum corporis recta descendentis ad hoc planum, & (per Legum Corol. 2.) componendo motum istum cum uniformi motu, secundum lineas eidem plano parallelas facto. Et contra, si quæratur Lex attractionis in planum secundum lineas perpendiculares factæ ea conditione ut corpus attractum in data quacunq; curva linea moveatur, solvetur Problema operando ad exemplum Problematis tertii.
Operationes autem contrahi solent resolvendo ordinatim applicatas in series convergentes. Ut si ad basemAin angulo quovis dato ordinatim applicetur longitudoB, quæ sit ut basis dignitas quælibetAm÷n; & quæratur vis qua corpus, secundum positionem ordinatim applicatæ, vel in basem attractum vel a basi fugatum, moveri possit in curva linea quam ordinatim applicata termino suo superiore semper attingit; Suppono basem augeriparte quam minimaO, & ordinatim applicatamA+Om÷nresolvo in Seriem infinitam
atq; hujus termino in quoOduarum est dimensionum, id est termino {mm-mn} ÷ 2nnO2A(m- 2n)÷nvim proportionalem esse suppono. Est igitur vis quæsita ut {mm-mn} ÷nnA(m- 2n)÷n, vel quod perinde est, ut {mm-mn} ÷nnB(m- 2n)÷m. Ut si ordinatim applicata Parabolam attingat, existentem= 2, &n= 1: fiet vis ut data 2B0, adeoq; dabitur. Data igitur vi corpus movebitur in Parabola, quemadmodumGalilæusdemonstravit. Quod si ordinatim applicata Hyperbolam attingat, existentem= 0 - 1, &n= 1; fiet vis ut2B3: adeoq; vi, quæ situt cubusordinatim applicatæ, corpus movebitur in Hyperbola. Sed missis hujusmodi Propositionibus, pergo ad alias quasdam de motu, quas nondum attigi.
De motu corporum minimorum, quæ viribus centripetis ad singulas magni alicujus corporis partes tendentibus agitantur.
Figure for Prop. XCIV.
Si media duo similaria, spatio planis parallelis utrinq; terminato, distinguantur ab invicem, & corpus in transitu per hoc spatium attrahatur vel impellatur perpendiculariter versus medium alterutrum, neq; ulla alia vi agitetur vel impediatur; Sit autem attractio, in æqualibus ab utroq; plano distantiis ad eandem ipsius partem captis, ubiq; eadem: dico quod sinus incidentiæ in planum alterutrum erit ad sinum emergentiæ ex plano altero in ratione data.
Si media duo similaria, spatio planis parallelis utrinq; terminato, distinguantur ab invicem, & corpus in transitu per hoc spatium attrahatur vel impellatur perpendiculariter versus medium alterutrum, neq; ulla alia vi agitetur vel impediatur; Sit autem attractio, in æqualibus ab utroq; plano distantiis ad eandem ipsius partem captis, ubiq; eadem: dico quod sinus incidentiæ in planum alterutrum erit ad sinum emergentiæ ex plano altero in ratione data.
Cas. 1.SuntoAa,Bbplana duo parallela. Incidat corpus in planum priusAasecundam lineamGH, ac toto suo per spatium intermedium transitu attrahatur vel impellatur versus medium incidentiæ, eaq; actione describat lineam curvamHI, & emergat secundum lineamIK. Ad planum emergentiæBberigatur perpendiculumIM, occurrens tum lineæ incidentiæGHproductæ inM, tum plano incidentiæAainR; & linea emergentiæKIproducta occurratHMinL. CentroLintervalloLIdescribatur circulus, secans tamHMinP&Q, quamMIproductam inN; & primo si attractio vel impulsus ponatur uniformis, erit (ex demonstratisGalilæi) curvaHIParabola, cujus hæc est proprietas, ut rectangulum sub dato latere recto & lineaIMæquale sitHMquadrato; sed & lineaHMbisecabitur inL. Unde si adMIdemittatur perpendiculumLO, æquales eruntMO,OR; & additis æqualibusIO,ON, fient totæ æqualesMN,IR. Proinde cumIRdetur, datur etiamMN, estq; rectangulumNMIad rectangulum sub latere recto &IM, hoc est, adHMq., in data ratione. Sed rectangulumNMIæquale est rectanguloPMQ, id est, differentiæ quadratorumMLq.&PLq.seuLIq.; &HMq.datam rationem habet ad sui ipsius quartam partemLMq.: ergo datur ratioMLq.-LIq.adMLq., & divisim, ratioLIq.adMLq., & ratio dimidiataLIadML. Sed in omni trianguloLMI, sinus angulorum sunt proportionales lateribus oppositis. Ergo datur ratio sinus anguli incidentiæLMRad sinum anguli emergentiæLIR. Q. E. D.
Figure for Corol. 2. and Prop. XCV.
Cas. 2.Transeat jam corpus successive per spatia plura parallelis planis terminata,AabB,BbcC&c. & agitetur vi quæ sit in singulis separatim uniformis, at in diversis diversa; & per jam demonstrata, sinus incidentiæ in planum primumAaerit ad sinum emergentiæ ex plano secundoBb, in data ratione; & hic sinus, qui est sinus incidentiæ in planum secundumBb, erit adsinum emergentiæ ex plano tertioCc, in data ratione; & hic sinus ad sinum emergentiæ ex plano quartoDd, in data ratione; & sic in infinitum: & ex æquo sinus incidentiæ in planum primum ad sinum emergentiæ ex plano ultimo in data ratione. Minuatur jam planorum intervalla & augeatur numerus in infinitum, eo ut attractionis vel impulsus actio secundum legem quamcunq; assignatam continua reddatur; & ratio sinus incidentiæ in planum primum ad sinum emergentiæ ex plano ultimo, semper data existens, etiamnum dabitur. Q. E. D.
Iisdem positis; dico quod velocitas corporis ante incidentiam est ad ejus velocitatem post emergentiam, ut sinus emergentiæ ad sinum incidentiæ.
Iisdem positis; dico quod velocitas corporis ante incidentiam est ad ejus velocitatem post emergentiam, ut sinus emergentiæ ad sinum incidentiæ.
CapianturAH,Idæquales, & erigantur perpendiculaAG,dKoccurrentia lineis incidentiæ & emergentiæGH,IK, inG&K. InGHcapiaturTHæqualisIK, & ad planumAademittatur normaliterTv. Et per Legum Corol. 2. distinguatur motus corporis in duos, unum planisAa,Bb,Cc&c. perpendicularem, alterum iisdem parallelum. Vis attractionis vel impulsus agendo secundum lineas perpendiculares nil mutat motum secundum parallelas, & propterea corpus hoc motu conficiet æqualibus temporibus æqualia illa secundum parallelas intervalla, quæ sunt inter lineamAG& punctumH, interq; punctumI& lineamdK; hoc est, æqualibus temporibus describet lineasGH,IK. Proinde velocitas ante incidentiam est ad velocitatem post emergentiam, utGHadIKvelTH, id est, utAHvelIdadvH, hoc est (respectu radiiTHvelIK) ut sinus emergentiæ ad sinum incidentiæ. Q. E. D.
Iisdem positis & quod motus ante incidentiam velocior sit quam postea: dico quod corpus, inclinando lineam incidentiæ, reflectetur tandem, & angulus reflexionis fiet æqualis angulo incidentiæ.
Iisdem positis & quod motus ante incidentiam velocior sit quam postea: dico quod corpus, inclinando lineam incidentiæ, reflectetur tandem, & angulus reflexionis fiet æqualis angulo incidentiæ.
Figure for Prop. XCVI.
Nam concipe corpus inter plana parallelaAa,Bb,Cc&c. describere arcus Parabolicos, ut supra; sintq; arcus illiHP,PQ,QR, &c. Et sit ea lineæ incidentiæGHobliquitas ad planum primumAa, ut sinus incidentiæ sit ad radium circuli, cujus est sinus, in ea ratione quam habet idem sinus incidentiæ ad sinum emergentiæ ex planoDd, in spatiumDdeE: & ob sinum emergentiæ jam factum æqualem radio, angulus emergentiæ erit rectus, adeoq; linea emergentiæ coincidet cum planoDd. Perveniat corpus ad hoc planum in punctoR; & quoniam linea emergentiæ coincidit cum eodem plano, perspicuum est quod corpus non potest ultra pergere versus planumEe. Sed nec potest idem pergere in linea emergentiæRd, propterea quod perpetuo attrahitur vel impellitur versus medium incidentiæ. Revertetur itaq; inter planaCc,Dddescribendo arcum ParabolæQRq, cujus vertex principalis (juxta demonstrataGalilæi) est inR; secabit planumCcin eodem angulo inq, ac prius inQ; dein pergendo in arcubus parabolicisqp,ph&c. arcubus prioribusQP,PHsimilibus & æqualibus, secabit reliqua plana in iisdem angulis inp,h&c. ac prius inP,H&c. emergetq; tandem eadem obliquitate inh, qua incidit inH. Concipe jamplanorumAa,Bb,Cc,Dd,Eeintervalla in infinitum minui & numerum augeri, eo ut actio attractionis vel impulsus secundum legem quamcunq; assignatam continua reddatur; & angulus emergentiæ semper angulo incidentiæ æqualis existens, eidem etiamnum manebit æqualis. Q. E. D.
Figure for Scholium.
Harum attractionum haud multum dissimiles sunt Lucis reflexiones & refractiones, factæ secundum datam Secantium rationem, ut invenitSnellius, & per consequens secundum datam Sinuum rationem, ut exposuitCartesius. Namq; Lucem successive propagari & spatio quasi decem minutorum primorum a Sole ad Terram venire, jam constat per Phænomena SatellitumJovis, Observationibus diversorum Astronomorum confirmata. Radii autem in aere existentes (uti dudumGrimaldus, luce per foramen in tenebrosum cubiculum admissa, invenit, & ipse quoq; expertus sum) in transitu suo prope corporum vel opacorum vel perspicuorum angulos (quales sunt nummorum ex auro, argento & ære cusorum termini rectanguli circulares, & cultrorum, lapidum aut fractorum vitrorum acies) incurvantur circum corpora, quasi attracti in eadem; & ex his radiis, qui in transitu illo propius accedunt ad corpora incurvantur magis, quasi magis attracti, ut ipse etiam diligenter observavi. In figura designatsaciem cultri vel cunei cujusvisAsB; &gowog,fnvnf,emtme,dlsldsunt radii, arcubusowo,nvn,mtm,lslversus cultrum incurvati; idq; magis vel minus pro distantia eorum a cultro. Cum autem talis incurvatio radiorum fiat in aere extra cultrum, debebunt etiam radii, qui incidunt in cultrum, prius incurvari in aere quam cultrum attingunt. Et par est ratio incidentium invitrum. Fit igitur refractio, non in puncto incidentiæ, sed paulatim per continuam incurvationem radiorum, factam partim in aere antequam attingunt vitrum, partim (ni fallor) in vitro, postquam illud ingressi sunt: uti in radiisckzkc,biyib,ahxhaincidentibus adr,q,p, & interk&z,i&y,h&xincurvatis, delineatum est. Igitur ob analogiam quæ est inter propagationem radiorum lucis & progressum corporum, visum est Propositiones sequentes in usus opticos subjungere; interea de natura radiorum (utrum sint corpora necne) nihil omnino disputans, sed trajectorias corporum trajectoriis radiorum persimiles solummodo determinans.
Posito quod sinus incidentiæ in superficiem aliquam sit ad sinum emergentiæ in data ratione, quodq; incurvatio viæ corporum juxta superficiem illam fiat in spatio brevissimo, quod ut punctum considerari possit; determinare superficiem quæ corpuscula omnia de loco dato successive manantia convergere faciat ad alium locum datum.
Posito quod sinus incidentiæ in superficiem aliquam sit ad sinum emergentiæ in data ratione, quodq; incurvatio viæ corporum juxta superficiem illam fiat in spatio brevissimo, quod ut punctum considerari possit; determinare superficiem quæ corpuscula omnia de loco dato successive manantia convergere faciat ad alium locum datum.
Figure for Prop. XCVII.
SitAlocus a quo corpuscula divergunt;Blocus in quem convergere debent;CDEcurva linea quæ circa axemABrevoluta describat superficiem quæsitam;D,Ecurvæ illius puncta duo quævis; &EF,EGperpendicula in corporis viasAD,DBdemissa. Accedat punctumDad punctumE; & lineæDFquaADaugetur, ad lineamDGquaDBdiminuitur, ratio ultima erit eadem quæ sinus incidentiæ ad sinum emergentiæ. Datur ergo ratio incrementi lineæADad decrementum lineæDB; & propterea si in axeABsumatur ubivis punctumC, per quod curvaCDEtransire debet, & capiatur ipsiusACincrementumCM, ad ipsiusBCdecrementumCNin data ratione; centrisq;A,B, & intervallisAM,BNdescribantur circuli duo se mutuo secantes inD: punctum illudDtanget curvam quæsitamCDE, eandemq; ubivis tangendo determinabit. Q. E. I.
Corol. 1.Faciendo autem ut punctumAvelBnunc abeat in infinitum, nunc migret ad alteras partes punctiC, habebuntur figuræ illæ omnes quasCartesiusin Optica & Geometria ad refractiones exposuit. Quarum inventionem cumCartesiusmaximi fecerit & studiose celaverit, visum fuit hic propositione exponere.
Figure for Corol. 2. and Prop. XCVIII.
Corol. 2.Si corpus in superficiem quamvisCD, secundum lineam rectamADlege quavis ductam incidens, emergat secundum aliam quamvis rectamDK, & a punctoCduci intelligantur lineæ curvæCP,CQipsisAD,DKsemper perpendiculares: erunt incrementa linearumPD,QD, atq; adeo lineæ ipsæPD,QD, incrementis istis genitæ, ut sinus incidentiæ & emergentiæ ad invicem: & contra.
Iisdem positis, & circa axem AB descripta superficie quacunq; attractiva CD, regulari vel irregulari, per quam corpora de loco dato A exeuntia transire debent: invenire superficiem secundam attractivam EF, quæ corpora illa ad locum datum B convergere faciat.
Iisdem positis, & circa axem AB descripta superficie quacunq; attractiva CD, regulari vel irregulari, per quam corpora de loco dato A exeuntia transire debent: invenire superficiem secundam attractivam EF, quæ corpora illa ad locum datum B convergere faciat.
JunctaABsecet superficiem primam inC& secundam inE,punctoDutcunq; assumpto. Et posito sinu incidentiæ in superficiem primam ad sinum emergentiæ ex eadem, & sinu emergentiæ e superficie secunda ad sinum incidentiæ in eandem, ut quantitas aliqua dataMad aliam datamN; produc tumABadGut sitBGadCEutM-NadN, tumADadHut sitAHæqualisAG, tum etiamDFadKut sitDKadDHutNadM. JungeKB, & centroDintervalloDHdescribe circulum occurrentemKBproductæ inL, ipsiq;DLparallelam ageBF: & punctumFtanget lineamEF, quæ circa axemABrevoluta describet superficiem quæsitam. Q. E. F.
Nam concipe lineasCP,CQipsisAD,DFrespective, & lineasER,ESipsisFB,FDubiq; perpendiculares esse, adeoq;QSipsiCEsemper æqualem; & erit (per Corol. 2. Prop. XCVII.)PDadQDutMadN, adeoq; utDLadDKvelFBadFK; & divisim utDL-FBseuPH-PD-FBadFDseuFQ-QD; & composite utHP-FBadFQ, id est (ob æqualesHP&CG,QS&CE)CE+BG-FRadCE-FS. Verum (ob proportionalesBGadCE&M-NadN) est etiamCE+BGadCEutMadN: adeoq; divisimFRadFSutMadN, & propterea per Corol. 2. Prop. XCVII. superficiesEFcogit corpus in se secundum lineamDFincidens pergere in lineaFR, ad locumB. Q. E. D.
Eadem methodo pergere liceret ad superficies tres vel plures. Ad usus autem Opticos maxime accommodatæ sunt figuræ Sphæricæ. Si Perspicillorum vitra Objectiva ex vitris duobusSphærice figuratis & Aquam inter se claudentibus conflentur, fieri potest ut a refractionibus aquæ errores refractionum, quæ fiunt in vitrorum superficiebus extremis, satis accurate corrigantur. Talia autem vitra Objectiva vitris Ellipticis & Hyperbolicis præferenda sunt, non solum quod facilius & accuratius formari possint, sed etiam quod penicillos radiorum extra axem vitri sitos accuratius refringant. Verum tamen diversa diversorum radiorum refrangibilitas impedimento est, quo minus Optica per figuras vel Sphæricas vel alias quascunq; perfici possit. Nisi corrigi possint errores illinc oriundi, labor omnis in cæteris corrigendis imperite collocabitur.
De Motu corporum quibus resistitur in ratione velocitatis.
Corporis, cui resistitur in ratione velocitatis, motus ex resistentia amissus est ut spatium movendo confectum.
Corporis, cui resistitur in ratione velocitatis, motus ex resistentia amissus est ut spatium movendo confectum.
Nam cum motus singulis temporis particulis amissus sit ut velocitas, hoc est ut itineris confecti particula: erit componendo motus toto tempore amissus ut iter totum. Q. E. D.
Corol.Igitur si corpus gravitate omni destitutum in spatiis liberis sola vi insita moveatur, ac detur tum motus totus sub initio, tum etiam motus reliquus post spatium aliquod confectum, dabitur spatium totum quod corpus infinito tempore describere potest. Erit enim spatium illud ad spatium jam descriptum ut motus totus sub initio ad motus illius partem amissam.
Quantitates differentiis suis proportionales, sunt continue proportionales.
Quantitates differentiis suis proportionales, sunt continue proportionales.
SitAadA-ButBadB-C&CadC-D&c. & dividendo fietAadButBadC&CadD&c. Q. E. D.
Si corpori resistitur in ratione velocitatis, & sola vi insita per Medium similare moveatur, sumantur autem tempora æqualia: velocitates in principiis singulorum temporum sunt in progressione Geometrica, & spatia singulis temporibus descripta sunt ut velocitates.
Si corpori resistitur in ratione velocitatis, & sola vi insita per Medium similare moveatur, sumantur autem tempora æqualia: velocitates in principiis singulorum temporum sunt in progressione Geometrica, & spatia singulis temporibus descripta sunt ut velocitates.
Cas. 1.Dividatur tempus in particulas æquales, & si ipsis particularum initiis agat vis resistentiæ impulsu unico, quæ sit ut velocitas, erit decrementum velocitatis singulis temporis particulis ut eadem velocitas. Sunt ergo velocitates differentiis suis proportionales, & propterea (per Lem. I. Lib. II.) continue proportionales. Proinde si ex æquali particularum numero componantur tempora quælibet æqualia, erunt velocitates ipsis temporum initiis, ut termini in progressione continua, qui per saltum capiuntur, omisso passim æquali terminorum intermediorum numero. Componuntur autem horum terminorum rationes ex æqualibus rationibus terminorum intermediorum æqualiter repetitis, & propterea sunt æquales. Igitur velocitates his terminis proportionales, sunt in progressione Geometrica. Minuantur jam æquales illæ temporum particulæ, & augeatur earum numerus in infinitum, eo ut resistentiæ impulsus reddatur continuus, & velocitates in principiis æqualium temporum, semper continue proportionales, erunt in hoc etiam Casu continue proportionales. Q. E. D.
Figure for Prop. II.
Cas. 2.Et divisim velocitatum differentiæ, hoc est earum partes singulis temporibus amissæ, sunt ut totæ: Spatia autem singulis temporibus descripta sunt ut velocitatum partes amissæ, (per Prop. I. Lib. II.) & propterea etiam ut totæ. Q. E. D.
Corol.Hinc si Asymptotis rectangulisADC,CHdescribatur HyperbolaBG, sintq;AB,DGad AsymptotonACperpendiculares, & exponatur tum corporis velocitas tum resistentia Medii, ipso motus initio, per lineam quamvis datamAC, elapso autem tempore aliquo per lineam indefinitamDC: exponi potest tempus per areamABGD, & spatium eo tempore descriptum per lineamAD. Nam si area illa per motum punctiDaugeatur uniformiter ad modum temporis, decrescet rectaDCin ratione Geometrica ad modum velocitatis, & partes rectæACæqualibus temporibus descriptæ decrescent in eadem ratione.
Figure for Prop. III.
Corporis, cui dum in Medio similari recta ascendit vel descendit, resistitur in ratione velocitatis, quodq; ab uniformi gravitate urgetur, definire motum.
Corporis, cui dum in Medio similari recta ascendit vel descendit, resistitur in ratione velocitatis, quodq; ab uniformi gravitate urgetur, definire motum.
Corpore ascendente, exponatur gravitas per datum quodvis rectangulumBC, & resistentia Medii initio ascensus per rectangulumBDsumptum ad contrarias partes. Asymptotis rectangulisAC,CH, per punctumBdescribatur Hyperbola secans perpendiculaDE,deinG,g; & corpus ascendendo, temporeDGgd, describet spatiumEGge, temporeDGBAspatium ascensus totiusEGB, temporeAB2G2Dspatium descensusBF2G, atq; tempore2D2G2g2dspatium descensus2GF2e2g: & velocitates corporis (resistentiæ Medii proportionales) in horum temporum periodis eruntABED,ABed, nulla,ABF2D,AB2e2drespective; atq; maxima velocitas, quam corpus descendendo potest acquirere, eritBC.
Figure for Prop. III.
Resolvatur enim rectangulumAHin rectangula innumeraAk,Kl,Lm,Mn, &c. quæ sint ut incrementa velocitatum æqualibus totidem temporibus facta; & erunt nihil,Ak,Al,Am,An, &c. ut velocitates totæ, atq; adeo (per Hypothesin) ut resistentia Medii in principio singulorum temporum æqualium. FiatACadAKvelABHCadABkK, ut vis gravitatis ad resistentiam in principio temporis secundi, deq; vi gravitatis subducantur resistentiæ, & manebuntABHC,KkHC,LlHC,NnHC, &c. ut vires absolutæ quibus corpus in principio singulorum temporum urgetur, atq; adeo (per motus Legem II.) ut incrementa velocitatum, id est, ut rectangulaAk,Kl,Lm,Mn&c; & propterea (per Lem. I. Lib. II.) in progressione Geometrica. Quare si rectæKk,Ll,Mm,Nn&c. productæ occurrant Hyperbolæ inq,r,s,t&c. erunt areæABqK,KqrL,LrsM,MstN&c. æquales, adeoq; tum temporibus tum viribus gravitatis semper æqualibus analogæ. Est autem areaABqK(per Corol. 3. Lem. VII. & Lem. VIII. Lib. I.) ad areamBkqutKqad ½kqseuACad ½AK, hoc est ut vis gravitatis ad resistentiam in medio temporis primi. Et simili argumento areæqKLr,rLMs,sMNt, &c. sunt ad areasqklr,rlms,smnt&c. ut vires gravitatis ad resistentias in medio temporis secundi,tertii, quarti, &c. Proinde cum areæ æqualesBAKq,qKLr,rLMs,sMNt, &c. sint viribus grauitatis analogæ, erunt areæBkq,qklr,rlms,smnt, &c. resistentiis in mediis singulorum temporum, hoc est, (per Hypothesin) velocitatibus, atq; adeo descriptis spatiis analogæ. Sumantur analogarum summæ, & erunt areæBkq,Blr,Bms,Bnt, &c. spatiis totis descriptis analogæ; necnon areæABqK,ABrL,ABsM,ABtN, &c. temporibus. Corpus igitur inter descendendum, tempore quovisABrL, describit spatiumBlr, & temporeLrtNspatiumrlnt. Q. E. D. Et similis est demonstratio motus expositi in ascensu. Q. E. D.
Corol. 1.Igitur velocitas maxima, quam corpus cadendo potest acquirere, est ad velocitatem dato quovis tempore acquisitam, ut vis data gravitatis qua perpetuo urgetur, ad excessum vis hujus supra vim qua in fine temporis illius resistitur.
Corol. 2.Tempore autem aucto in progressione Arithmetica, summa velocitatis illius maximæ ac velocitatis in ascensu (atq; etiam earundem differentia in descensu) decrescit in progressione Geometrica.
Corol. 3.Sed & differentiæ spatiorum, quæ in æqualibus temporum differentiis describuntur, decrescunt in eadem progressione Geometrica.
Corol. 4.Spatium vero a corpore descriptum differentia est duorum spatiorum, quorum alterum est ut tempus sumptum ab initio descensus, & alterum ut velocitas, quæ etiam ipso descensus initio æquantur inter se.
Posito quod vis gravitatis in Medio aliquo similari uniformis sit, ac tendat perpendiculariter ad planum Horizontis; definire motum Projectilis, in eodem resistentiam velocitati proportionalem patientis.
Posito quod vis gravitatis in Medio aliquo similari uniformis sit, ac tendat perpendiculariter ad planum Horizontis; definire motum Projectilis, in eodem resistentiam velocitati proportionalem patientis.