Figure for Prop. IV.
E loco quovisDegrediatur Projectile secundum lineam quamvis rectamDP, & per longitudinemDPexponatur ejusdem velocitas sub initio motus. A punctoPad lineam HorizontalemDCdemittatur perpendiculumPC, & seceturDCinAut sitDAadACut resistentia Medii ex motu in altitudinem sub initio orta, ad vim gravitatis; vel (quod perinde est) ut sit rectangulum subDA&DPad rectangulum subAC&CPut resistentia tota sub initio motus ad vim Gravitatis. Describatur Hyperbola quævisGTBSsecans erecta perpendiculaDG,ABinG&B; & compleatur parallelogrammumDGKC, cujus latusGKsecetABinQ. Capiatur lineaNin ratione adQBquaDCsit adCP; & ad rectæDCpunctum quodvisRerecto perpendiculoRT, quod Hyperbolæ inT, & rectisGK,DPint&Voccurrat; in eo capeVræqualemtGT÷N, & Projectile temporeDRTGperveniet ad punctumr, describens curvam lineamDraF, quam punctumrsemper tangit; perveniens autem ad maximam altitudinemain perpendiculoAB, & postea semperappropinquans ad AsymptotonPLC. Estq; velocitas ejus in puncto quovisrut Curvæ TangensrL.Q. E. I.
Est enimNadQButDCadCPseuDRadRV, adeoq;RVæqualisDR×QB÷N, &Rr(id estRV-Vrseu {DR×QB-tGT} ÷N) æqualis {DR×AB-RDGT} ÷N. Exponatur jam tempus per areamRDGT, & (per Legum Corol. 2.) distinguatur motus corporis in duos, unum ascensus, alterum ad latus. Et cum resistentia sit ut motus, distinguetur etiam hæc in partes duas partibus motus proportionales & contrarias: ideoq; longitudo a motu ad latus descripta erit (per Prop. II. hujus) ut lineaDR, altitudo vero (per Prop. III. hujus) ut areaDR×AB-RDGT, hoc est, ut lineaRr. Ipso autem motus initio areaRDGTæqualis est rectanguloDR×AQ, ideoq; linea illaRr(seu {DR×AB-DR×AQ} ÷N) tunc est adDRutAB-AQ(seuQB) adN, id est utCPadDC; atq; adeo ut motus in altitudinem ad motum in longitudinem sub initio. Cum igiturRrsemper sit ut altitudo, acDRsemper ut longitudo, atq;RradDRsub initio ut altitudo ad longitudinem: necesse est utRrsemper sit adDRut altitudo ad longitudinem, & propterea ut corpus moveatur in lineaDraF, quam punctumrperpetuo tangit. Q. E. D.
Corol. 1.Hinc si verticeD, DiametroDEdeorsum producta, & latere recto quod sit ad 2DPut resistentia tota, ipsomotus initio, ad vim gravitatis, Parabola construatur: velocitas quacum corpus exire debet de locoDsecundum rectamDP, ut in Medio uniformi resistente describat CurvamDraF, ea ipsa erit quacum exire debet de eodem locoD, secundum eandem rectamDR, ut in spatio non resistente describat Parabolam. Nam Latus rectum Parabolæ hujus, ipso motus initio, estDV quad.÷Vr&VresttGT÷NseuDR×Tt÷ 2N. Recta autem, quæ, si duceretur, HyperbolamGTBtangeret inG, parallela est ipsiDK, ideoq;TtestCK×DR÷DC, &NeratQB×DC÷CP. Et proptereaVrestDRq.×CK×CP÷ {2CDq.×QB}, id est (ob proportionalesDR&DC,DV&DP)DVq.×CK×CP÷ {2DPq.×QB}, & Latus rectumDV quad.÷Vrprodit 2DPq.×QB÷ {CK×CP}, id est (ob proportionalesQB&CK,DA&AC) 2DPq.×DA÷ {AC×CP}, adeoq; ad 2DPutDP×DAadPC×AC; hoc est ut resistentia ad gravitatem. Q. E. D.
Corol. 2.Unde si corpus de loco quovisD, data cum velocitate, secundum rectam quamvis positione datamDPprojiciatur; & resistentia Medii ipso motus initio detur, inveniri potest CurvaDraF, quam corpus idem describet. Nam ex data velocitate datur latus rectum Parabolæ, ut notum est. Et sumendo 2DPad latus illud rectum ut est vis Gravitatis ad vim resistentiæ, daturDP. Dein secandoDCinA, ut sitCP×ACadDP×DAin eadem illa ratione Gravitatis ad resistentiam, dabitur punctumA. Et inde datur CurvaDraF.
Corol. 3.Et contra, si datur curvaDraF, dabitur & velocitas corporis & resistentia Medii in locis singulisr. Nam exdata rationeCP×ACadDP×DA, datur tum resistentia Medii sub initio motus, tum latus rectum Parabolæ: & inde datur etiam velocitas sub initio motus. Deinde ex longitudine tangentisrL, datur & huic proportionalis velocitas, & velocitati proportionalis resistentia in loco quovisr.
Corol. 4.Cum autem longitudo 2DPsit ad latus rectum Parabolæ ut gravitas ad resistentiam inD; & ex aucta Velocitate augeatur resistentia in eadem ratione, at latus rectum Parabolæ augeatur in ratione illa duplicata: patet longitudinem 2DPaugeri in ratione illa simplici, adeoq; velocitati semper proportionalem esse, neq; ex anguloCDPmutato augeri vel minui, nisi mutetur quoq; velocitas.
Figure for Corol. 5.
Corol. 5.Unde liquet methodus determinandi CurvamDraFex Phænomenis quamproxime, & inde colligendi resistentiam & velocitatem quacum corpus projicitur. Projiciantur corpora duo similia & æqualia eadem cum velocitate, de locoD, secundum angulos diversosCDP,cDp(minuscularum literarum locis subintellectis) & cognoscantur locaF,f, ubi incidunt in horizontale planumDC. Tum, assumpta quacunq; longitudine proDPvelDp, fingatur quod resistentia inDsit ad gravitatem in ratione qualibet, & exponatur ratio illa per longitudinem quamvisSM. Deinde per computationem, ex longitudine illa assumptaDP, inveniantur longitudinesDF,Df, ac de rationeFf÷DFper calculum inventa, auferatur ratio eadem per experimentum inventa, & exponatur differentia per perpendiculumMN. Idem fac iterum ac tertio, assumendo semper novam resistentiæ ad gravitatem rationemSM, & colligendo novam differentiamMN. Ducantur autem differentiæ affirmativæ ad unam partem rectæSM, & negativæ ad alteram; & per punctaN,N,Nagatur curva regularisNNNsecans rectamSMMMinX, & eritSXvera ratio resistentiæ ad gravitatem, quam invenire oportuit. Ex hac ratione colligenda est longitudoDFper calculum; & longitudo quæ sit ad assumptam longitudinemDPut modo inventa longitudoDFad longitudinem eandem per experimentum cognitam, erit vera longitudoDP. Qua inventa, habetur tum Curva LineaDraFquam corpus describit, tum corporis velocitas & resistentia in locis singulis.
Cæterum corpora resisti in ratione velocitatis Hypothesis est magis Mathematica quam Naturalis. Obtinet hæc ratio quamproxime ubi corpora in Mediis rigore aliquo præditis tardissime moventur. In Mediis autem quæ rigore omni vacant (uti posthac demonstrabitur) corpora resistuntur in duplicata ratione velocitatum. Actione corporis velocioris communicatur eidem Medii quantitati, tempore minore, motus major in ratione majoris velocitatis, adeoq; tempore æquali (ob majorem Medii quantitatem perturbatam) communicatur motus in duplicata ratione major, estq; resistentia (per motus Legem 2. & 3.) ut motus communicatus. Videamus igitur quales oriantur motus ex hac lege Resistentiæ.
De motu corporum quibus resistitur in duplicata ratione velocitatum.
Si corpori resistitur in velocitatis ratione duplicata, & sola vi insita per Medium similare movetur, tempora vero sumantur in progressione Geometrica a minoribus terminis ad majores pergente: dico quod velocitates initio singulorum temporum sunt in eadem progressione Geometrica inverse, & quod spatia sunt æqualia quæ singulis temporibus describuntur.
Si corpori resistitur in velocitatis ratione duplicata, & sola vi insita per Medium similare movetur, tempora vero sumantur in progressione Geometrica a minoribus terminis ad majores pergente: dico quod velocitates initio singulorum temporum sunt in eadem progressione Geometrica inverse, & quod spatia sunt æqualia quæ singulis temporibus describuntur.
Figure for Prop. V.
Nam quoniam quadrato velocitatis proportionalis est resistentia Medii, & resistentiæ proportionale est decrementum velocitatis; si tempus in particulas innumeras æquales dividatur, quadrata velocitatum singulis temporum initiis erunt velocitatum earundem differentiisproportionalia. Sunto temporis particulæ illæAK,KL,LM, &c. in rectaCDsumptæ, & erigantur perpendiculaAB,Kk,Ll,Mm, &c. HyperbolæBklmG, centroCAsymptotis rectangulisCD,CHdescriptæ occurrentia inB,k,l,m, &c. & eritABadKkutCKadCA, & divisimAB-KkadKkutAKadCA, & vicissimAB-KkadAKutKkadCA, adeoq; utAB×KkadAB×CA. Unde cumAK&AB×CAdentur, eritAB-KkutAB×Kk; & ultimo, ubi coeuntAB&Kk, utABq.Et simili argumentoeruntKk-Ll,Ll-Mm, &c. utKkq.,Llq.&c. Linearum igiturAB,Kk,Ll,Mmquadrata sunt ut earundem differentiæ, & idcirco cum quadrata velocitatum fuerint etiam ut ipsarum differentiæ, similis erit ambarum progressio. Quo demonstrato, consequens est etiam ut areæ his lineis descriptæ sint in progressione consimili cum spatiis quæ velocitatibus describuntur. Ergo si velocitas initio primi temporisAKexponatur per lineamAB, & velocitas initio secundiKLper lineamKk, & longitudo primo tempore descripta per arcamAKkB, velocitates omnes subsequentes exponentur per lineas subsequentesLl,Mm, &c. & longitudines descriptæ per areasKl,Lm, &c. & composite, si tempus totum exponatur per summam partium suarumAM, longitudo tota descripta exponetur per summam partium suarumAMmB. Concipe jam tempusAMita dividi in partesAK,KL,LM, &c. ut sintCA,CK,CL,CM, &c. in progressione Geometrica, & erunt partes illæ in eadem progressione, & velocitatesAB,Kk,Ll,Mm, &c. in progressione eadem inversa, atq; spatia descriptaAk,Kl,Lm, &c. æqualia. Q. E. D.
Corol. 1.Patet ergo quod si tempus exponatur per Asymptoti partem quamvisAD, & velocitas in principio temporis per ordinatim applicatamAB; velocitas in fine temporis exponetur per ordinatamDG, & spatium totum descriptum per aream Hyperbolicam adjacentemABGD; necnon spatium quod corpus aliquod eodem temporeAD, velocitate primaABin Medio non resistente describere posset, per rectangulumAB×AD.
Corol. 2.Unde datur spatium in Medio resistente descriptum, capiendo illud ad spatium quod velocitate uniformiABin Medio non resistente simul describi posset, ut est area HyperbolicaABGDad rectangulumAB×AD.
Corol. 3.Datur etiam resistentia Medii, statuendo eam ipso motus initio æqualem esse vi uniformi centripetæ, quæ, in cadente corpore, temporeAC, in Medio non resistente, generare posset velocitatemAB. Nam si ducaturBTquæ tangat HyperbolaminB, & occurrat Asymptoto inT; rectaATæqualis erit ipsiAC, & tempus exponet quo resistentia prima uniformiter continuata tollere posset velocitatem totamAB.
Corol. 4.Et inde datur etiam proportio hujus resistentiæ ad vim gravitatis, aliamve quamvis datam vim centripetam.
Corol. 5.Et viceversa, si datur proportio resistentiæ ad datam quamvis vim centripetam, datur tempusAC, quo vis centripeta resistentiæ æqualis generare possit velocitatem quamvisAB; & inde datur punctumBper quod Hyperbola AsymptotisCH,CDdescribi debet; ut & spatiumABGD, quod corpus incipiendo motum suum cum velocitate illaAB, tempore quovisAD, in Medio similari resistente describere potest.
Figure for Prop. VI.
Corpora Sphærica homogenea & æqualia, resistentiis in duplicata ratione velocitatum impedita, & solis viribus insitis incitata, temporibus quæ sunt reciproce ut velocitates sub initio, describunt semper æqualia spatia, & amittunt partes velocitatum proportionales totis.
Corpora Sphærica homogenea & æqualia, resistentiis in duplicata ratione velocitatum impedita, & solis viribus insitis incitata, temporibus quæ sunt reciproce ut velocitates sub initio, describunt semper æqualia spatia, & amittunt partes velocitatum proportionales totis.
Asymptotis rectangulisCD,CHdescripta Hyperbola quavisBbEesecante perpendiculaAB,ab,DE,de, inB,b,E,e, exponantur velocitates initiales per perpendiculaAB,DE, & tempora per lineasAa,Dd. Est ergo utAaadDdita (per Hypothesin)DEadAB, & ita (ex natura Hyperbolæ)CAadCD; & componendo, itaCaadCd. Ergo areæABba,DEed, hoc est spatia descripta æquantur inter se, & velocitates primæAB,DEsunt ultimisab,de, & propterea (dividendo) partibus etiam suis amissisAB-ab,DE-deproportionales. Q. E. D.
Corpora Sphærica quibus resistitur in duplicata ratione velocitatum, temporibus quæ sunt ut motus primi directe & resistentiæ primæ inverse, amittent partes motuum proportionales totis, & spatia describent temporibus istis in velocitates primas ductis proportionalia.
Corpora Sphærica quibus resistitur in duplicata ratione velocitatum, temporibus quæ sunt ut motus primi directe & resistentiæ primæ inverse, amittent partes motuum proportionales totis, & spatia describent temporibus istis in velocitates primas ductis proportionalia.
Namq; motuum partes amissæ sunt ut resistentiæ & tempora conjunctim. Igitur ut partes illæ sint totis proportionales, debebit resistentia &tempusconjunctim esse ut motus. Proinde tempus erit ut Motus directe & resistentia inverse. Quare temporum particulis in ea ratione sumptis, corpora amittent semper particulas motuum proportionales totis, adeoq; retinebunt velocitates in ratione prima. Et ob datam velocitatum rationem, describent semper spatia quæ sunt ut velocitates primæ & tempora conjunctim. Q. E. D.
Corol. 1.Igitur si æquivelocia corpora resistuntur in duplicata ratione diametrorum, Globi homogenei quibuscunq; cum velocitatibus moti, describendo spatia diametris suis proportionalia, amittent partes motuum proportionales totis. Motus enim Globi cujusq; erit ut ejus velocitas & Massa conjunctim, id est ut velocitas & cubus diametri; resistentia (per Hypothesin) erit ut quadratum diametri & quadratum velocitatis conjunctim; & tempus (per hanc Propositionem) est in ratione priore directe & ratione posteriore inverse, id est ut diameter directe & velocitas inverse; adeoq; spatium (tempori & velocitati proportionale) est ut diameter.
Corol. 2.Si æquivelocia corpora resistuntur in ratione sesquialtera diametrorum: Globi homogenei quibuscunq; cum velocitatibus moti, describendo spatia in sesquialtera rationediametroruminverse, amittent partes motuum proportionales totis. Nam tempus augetur in ratione resistentiæ diminutæ, & spatium augetur in ratione temporis.
Corol. 3.Et universaliter, si æquivelocia corpora resistuntur in ratione dignitatis cujuscunq; diametrorum, spatia quibus Globi homogenei, quibuscunq; cum velocitatibus moti, amittent partes motuum proportionales totis, erunt ut cubi diametrorum ad dignitatem illam applicata. Sunto diametriD&E; & si resistentiæ sint utDn&En, spatia quibus amittent partes motuum proportionales totis, erunt utD3 -n&E3 -n. Igitur describendo spatia ipsisD3 -n&E3 -nproportionalia, retinebunt velocitates in eadem ratione ad invicem ac sub initio.
Corol. 4.Quod si Globi non sint homogenei, spatium a Globo densiore descriptum augeri debet in ratione densitatis. Motus enim sub pari velocitate major est in ratione densitatis, & tempus (per hanc Propositionem) augetur in ratione motus directe, ac spatium descriptum in ratione temporis.
Corol. 5.Et si Globi moveantur in Mediis diversis, spatium in Medio, quod cæteris paribus magis resistit, diminuendum erit in ratione majoris resistentiæ. Tempus enim (per hanc Propositionem) diminuetur in ratione resistentiæ, & spatium in ratione temporis.
Momentum Genitæ æquatur momentis Terminorum singulorum generantium in eorundem laterum indices dignitatum & coefficientia continue ductis.
Momentum Genitæ æquatur momentis Terminorum singulorum generantium in eorundem laterum indices dignitatum & coefficientia continue ductis.
Genitam voco quantitatem omnem quæ ex Terminis quibuscunq; in Arithmetica per multiplicationem, divisionem, & extractionem radicum; in Geometria per inventionem vel contentorum & laterum, vel extremarum & mediarum proportionalium absq; additione & subductione generatur. Ejusmodiquantitates sunt Facti, Quoti, Radices, rectangula, quadrata, cubi, latera quadrata, latera cubica & similes. Has quantitates ut indeterminatas & instabiles, & quasi motu fluxuve perpetuo crescentes vel decrescentes hic considero, & eorum incrementa vel decrementa momentanea sub nomine momentorum intelligo: ita ut incrementa pro momentis addititiis seu affirmativis, ac decrementa pro subductitiis seu negativis habeantur. Cave tamen intellexeris particulas finitas. Momenta, quam primum finitæ sunt magnitudinis, desinunt esse momenta. Finiri enim repugnat aliquatenus perpetuo eorum incremento vel decremento. Intelligenda sunt principia jamjam nascentia finitarum magnitudinum. Neq; enim spectatur in hoc Lemmate magnitudo momentorum, sed prima nascentium proportio. Eodem recidit si loco momentorum usurpentur vel velocitates incrementorum ac decrementorum, (quas etiam motus, mutationes & fluxiones quantitatum nominare licet) vel finitæ quævis quantitates velocitatibus hisce proportionales. Termini autem cujusq; Generantis coefficiens est quantitas, quæ oritur applicando Genitam ad hunc Terminum.
Igitur sensus Lemmatis est, ut si quantitatum quarumcunq; perpetuo motu crescentium vel decrescentiumA,B,C, &c. Momenta, vel mutationum velocitates dicantura,b,c, &c. momentum vel mutatio rectanguliABfueritAb+aB, & contentiABCmomentum fueritABc+AbC+aBC: & dignitatumA2,A3,A4,A1/2,A3/2,A1/3,A2/3, 1 ÷A, 1 ÷A2, & 1 ÷A1/2momenta 2Aa, 3aA2, 4aA3,1/2aA-1/2,3/2aA1/2,1/3aA-2/3,2/3aA-1/3, -aA-2, -2aA-3, & -1/2aA-3/2respective. Et generaliter ut dignitatis cujuscunq;An÷mmomentum fueritn÷maA(n-m) ÷m. Item ut GenitæA quad.×Bmomentum fuerit 2aAB+A2b; & GenitæA3B4C2momentum 3aA2B4C2+ 4A3bB3C2+ 2A3B4Cc; & GenitæA3÷B2siveA3B-2momentum 3aA2B-2- 2A3bB-3: & sic in cæteris. Demonstratur vero Lemma in hunc modum.
Cas. 1.Rectangulum quodvis motu perpetuo auctumAB, ubi de lateribusA&Bdeerant momentorum dimidia ½a& ½b, fuitA- ½ainB- ½b, seuAB- ½aB- ½Ab+ ¼ab; & quam primum lateraA&Balteris momentorum dimidiis aucta sunt, evaditA+ ½ainB+ ½bseuAB+ ½aB+ ½Ab+ ¼ab. De hoc rectangulo subducatur rectangulum prius, & manebit excessusaB+Ab. Igitur laterum incrementis totisa&bgeneratur rectanguli incrementumaB+Ab. Q. E. D.
Cas. 2.PonaturABæqualeG, & contentiABCseuGCmomentum (per Cas. 1.) eritgC+Gc, id est (si proG&gscribanturAB&aB+Ab)aBC+AbC+ABc. Et par est ratio contenti sub lateribus quotcunq;. Q. E. D.
Cas. 3.PonanturA,B,Cæqualia; & ipsiusA2, id est rectanguliAB, momentumaB+Aberit 2aA, ipsius autemA3, id est contentiABC, momentumaBC+AbC+ABcerit 3aA2. Et eodem argumento momentum dignitatis cujuscunq;AnestnaAn- 1. Q. E. D.
Cas. 4.Unde cum 1 ÷AinAsit 1, momentum ipsius 1 ÷Aductum inA, una cum 1 ÷Aducto inaerit momentum ipsius 1, id est nihil. Proinde momentum ipsius 1 ÷AseuA-1est -a÷A2. Et generaliter cum 1 ÷AninAnsit 1, momentum ipsius 1 ÷Anductum inAnuna cum 1 ÷AninnaAn- 1erit nihil. Et propterea momentum ipsius 1 ÷AnseuA-nerit -na÷An+ 1. Q. E. D.
Cas. 5.Et cumA½inA½sitA, momentum ipsiusA½in 2A½erita, per Cas. 3: ideoq; momentum ipsiusA½erita÷ 2A½sive2aA-½. Et generaliter si ponaturAm÷næqualemB, eritAmæqualeBn, ideoq;maAm- 1æqualenbBn- 1, &maA-1æqualenbB-1seunb÷Am÷n, adeoq; {m÷n}aA(m-n) ÷næqualeb, id est æquale momento ipsiusAm÷n. Q. E. D.
Cas. 6.Igitur Genitæ cujuscunq;AmBnmomentum est momentum ipsiusAmductum inBn, una cum momento ipsiusBnducto inAm, id estmaAm- 1+nbBn- 1; idq; sive dignitatum indicesm&nsint integri numeri vel fracti, sive affirmativi vel negativi. Et par est ratio contenti sub pluribus dignitatibus. Q. E. D.
Corol. 1.Hinc in continue proportionalibus, si terminus unus datur, momenta terminorum reliquorum erunt ut iidem termini multiplicati per numerum intervallorum inter ipsos & terminum datum. SuntoA,B,C,D,E,Fcontinue proportionales; & si detur terminusC, momenta reliquorum terminorum erunt inter se ut -2A, -B,D, 2E, 3F.
Corol. 2.Et si in quatuor proportionalibus duæ mediæ dentur, momenta extremarum erunt ut eædem extremæ. Idem intelligendum est de lateribus rectanguli cujuscunq; dati.
Corol. 3.Et si summa vel differentia duorum quadratorum detur, momenta laterum erunt reciproce ut latera.
In literis quæ mihi cum Geometra peritissimoG. G. Leibnitioannis abhinc decem intercedebant, cum significarem me compotem esse methodi determinandi Maximas & Minimas, ducendiTangentes, & similia peragendi, quæ in terminis surdis æque ac in rationalibus procederet, & literis transpositis hanc sententiam involventibus [Data æquatione quotcunq; fluentes quantitates involvente, fluxiones invenire, & vice versa] eandem celarem: rescripsit Vir Clarissimus se quoq; in ejusmodi methodum incidisse, & methodum suam communicavit a mea vix abludentem præterquam in verborum & notarum formulis. Utriusq; fundamentum continetur in hoc Lemmate.
Si corpus in Medio uniformi, Gravitate uniformiter agente, recta ascendat vel descendat, & spatium totumdescriptumdistinguatur in partes æquales, inq; principiis singularum partium (addendo resistentiam Medii ad vim gravitatis, quando corpus ascendit, vel subducendo ipsam quando corpus descendit) colligantur vires absolutæ; dico quod vires illæ absolutæ sunt in progressione Geometrica.
Si corpus in Medio uniformi, Gravitate uniformiter agente, recta ascendat vel descendat, & spatium totumdescriptumdistinguatur in partes æquales, inq; principiis singularum partium (addendo resistentiam Medii ad vim gravitatis, quando corpus ascendit, vel subducendo ipsam quando corpus descendit) colligantur vires absolutæ; dico quod vires illæ absolutæ sunt in progressione Geometrica.
Figure for Prop. VIII.
Exponatur enim vis gravitatis per datam lineamAC; resistentia per lineam indefinitamAK; vis absoluta in descensu corporis per differentiamKC; velocitas corporis per lineamAP(quæ sit media proportionalis interAK&AC, ideoq; in dimidiata ratione resistentiæ) incrementum resistentiæ data temporis particula factum per lineolamKL, & contemporaneum velocitatis incrementum per lineolamPQ; & centroCAsymptotis rectangulisCA,CHdescribatur Hyperbola quævisBNS, erectis perpendiculisAB,KN,LO,PR,QSoccurrens inB,N,O,R,S. QuoniamAKest utAPq., erit hujus momentumKLut illius momentum 2APQ, id est utAPinKC. Nam velocitatis incrementumPQ, per motus Leg. 2. proportionale est vi generantiKC. Componatur ratio ipsiusKLcum ratione ipsiusKN, & fiet rectangulumKL×KNutAP×KC×KN; hoc est, ob datum rectangulumKC×KN, utAP. Atqui areæ HyperbolicæKNOLad rectangulumKL×KNratio ultima, ubi coeunt punctaK&L, est æqualitatis. Ergo area illa Hyperbolica evanescens est utAP. Componitur igitur area tota HyperbolicaABOLex particulisKNOLvelocitatiAPsemper proportionalibus, & propterea spatio velocitate ista descripto proportionalis est. Dividatur jam area illa in partes æqualesABMI,IMNK,KNOL, &c. & vires absolutæAC,IC,KC,LC, &c. erunt in progressione Geometrica. Q. E. D. Et simili argumento, in ascensu corporis, sumendo, ad contrariam partem punctiA, æquales areasABmi,imnk,knol, &c. constabit quod vires absolutæAC,iC,kC,lC, &c. sunt continue proportionales. Ideoq; si spatia omnia in ascensu & descensu capiantur æqualia; omnes vires absolutælC,kC,iC,AC,IC,KC,LC, &c. erunt continue proportionales. Q. E. D.
Corol. 1.Hinc si spatium descriptum exponatur per aream HyperbolicamABNK; exponi possunt vis gravitatis, velocitas corporis & resistentia Medii per lineasAC,AP&AKrespective; & vice versa.
Corol. 2.Et velocitatis maximæ, quam corpus in infinitum descendendo potest unquam acquirere, exponens est lineaAC.
Corol. 3.Igitur si in data aliqua velocitate cognoscatur resistentia Medii, invenietur velocitas maxima, sumendo ipsam ad velocitatem illam datam in dimidiata ratione, quam habet vis Gravitatis ad Medii resistentiam illam cognitam.
Corol. 4.Sed & particula temporis, quo spatii particula quam minimaNKLOin descensu describitur, est ut rectangulumKN×PQ. Nam quoniam spatiumNKLOest ut velocitas ducta in particulam temporis; erit particula temporis ut spatium illud applicatum ad velocitatem, id est ut rectangulum quam minimumKN×KLapplicatum adAP. Erat supraKLutAP×PQ. Ergo particula temporis est utKN×PQ, vel quod perinde est, utPQ÷CK. Q. E. D.
Corol. 5.Eodem argumento particula temporis, quo spatii particulankloin ascensu describitur, est utpq÷Ck.
Positis jam demonstratis, dico quod si Tangentes angulorum sectoris Circularis & sectoris Hyperbolici sumantur velocitatibus proportionales, existente radio justæ magnitudinis: erit tempus omne ascensus futuri ut sector Circuli, & tempus omne descensus præteriti ut sector Hyperbolæ.
Positis jam demonstratis, dico quod si Tangentes angulorum sectoris Circularis & sectoris Hyperbolici sumantur velocitatibus proportionales, existente radio justæ magnitudinis: erit tempus omne ascensus futuri ut sector Circuli, & tempus omne descensus præteriti ut sector Hyperbolæ.
RectæAC, qua vis gravitatis exponitur, perpendicularis & æqualis ducaturAD. CentroDsemidiametroADdescribatur tum circuli QuadransAtE, tum Hyperbola rectangulaAVZaxem habensAX, verticem principalemA& AsymptotonDC. JunganturDp,DP, & erit sector circularisAtDut tempus ascensus omnis futuri; & Sector HyperbolicusATDut tempus descensus omnis præteriti, si modo Sectorem tangentesAp&APsint velocitates.
Figure for Prop. IX.
Cas. 1.Agatur enimDvqabscindens SectorisADt& trianguliADpmomenta, seu particulas quam minimas simul descriptastDv&pDq. Cum particulæ illæ, ob angulum communemD, sunt in duplicata ratione laterum, erit particulatDvutqDp÷pD quad.SedpD quad.estAD quad.+Ap quad.id estAD quad.+Ak×ADseuAD×Ck; &qDpest ½AD×pq. Ergo Sectoris particulavDtest utpq÷Ck, id est, per Corol. 5, Prop. VIII. ut particula temporis. Et componendo fit summa particularum omniumtDvin SectoreADt, ut summa particularum temporis singulis velocitatis decrescentisApparticulis amissispqrespondentium, usq; dum velocitas illa in nihilum diminuta evanuerit; hoc est, Sector totusADtest ut ascensus totius futuri tempus. Q. E. D.
Cas. 2.AgaturDQVabscindens tum SectorisDAV, tum trianguliDAQparticulas quam minimasTDV&PDQ; & erunt hæ particulæ ad invicem utDTq.adDPq.id est (siTX&APparallelæ sint) utDXq.adDAq.velTXq.adAPq.& divisim utDXq.-TXq.adADq.-APq.Sed ex natura HyperbolæDXq.-TXq.estADq., & per HypothesinAPq.estAD×AK. Ergo particulæ sunt ad invicem utADq.adADq.-AD×AK; id est utADadAD-AKseuACadCK: ideoq; Sectoris particulaTDVestPDQ×AC÷CK, atq; adeo ob datasAC&AD, utPQ÷CK; & propterea per Corol. 5. Prop.VIII. Lib. II. ut particula temporis incremento velocitatisPQrespondens. Et componendo fit summa particularum temporis, quibus omnes velocitatisAPparticulæPQgenerantur, ut summa particularum SectorisADT, id est tempus totum ut Sector totus. Q. E. D.
Corol. 1.Hinc siABæquetur quartæ parti ipsiusAC, spatiumABRP, quod corpus tempore quovisATDcadendo describit, erit ad spatium quod corpus semisse velocitatis maximæAC, eodem tempore uniformiter progrediendo describere potest, ut areaABRP, qua spatium cadendo descriptum exponitur, ad areamATDqua tempus exponitur. Nam cum sitACadAPutAPadAK, erit 2APQæqualeAC×KL(per Corol. 1. Lem. II. hujus) adeoq;KLadPQut 2APadAC, & indeLKNadPQ× ½ADseuDPQut 2AP×KNad ½AC×AD. Sed eratDPQadDTVutCKadAC. Ergo ex æquoLKNest adDTVut 2AP×KN×CKad ½AC cub.; id est, ob æqualesCKN& ¼ACq., utAPadAC; hoc est ut velocitas corporis cadentis ad velocitatem maximam quam corpus cadendo potest acquirere. Cum igitur arearumABKN&AVDmomentaLKN&DTVsunt ut velocitates, erunt arearum illarum partes omnes simul genitæ ut spatia simul descripta, ideoq; areæ totæ ab initio genitæABKN&AVDut spatia tota ab initio descensus descripta. Q. E. D.
Corol. 2.Idem consequitur etiam de spatio quod in ascensu describitur. Nimirum quod spatium illud omne sit ad spatium, uniformi cum velocitateACeodem tempore descriptum, ut est areaABnkad SectoremADt.
Corol. 3.Velocitas corporis temporeATDcadentis est ad velocitatem, quam eodem tempore in spatio non resistente acquireret, ut triangulumAPDad Sectorem HyperbolicumATD. Nam velocitas in Medio non resistente foret ut tempusATD, & in Medio resistente est utAP, id est ut triangulumAPD. Et velocitates illæ initio descensus æquantur inter se, perinde ut areæ illæATD,APD.
Corol. 4.Eodem argumento velocitas in ascensu est ad velocitatem, qua corpus eodem tempore in spatio non resistente omnem suum ascendendi motum amittere posset, ut triangulumApDad Sectorem circularemAtD, sive ut rectaApad arcumAt.
Corol. 5.Est igitur tempus quo corpus in Medio resistente cadendo velocitatemAPacquirit, ad tempus quo velocitatem maximamACin spatio non resistente cadendo acquirere posset, ut SectorADTad triangulumADC: & tempus, quo velocitatemApin Medio resistente ascendendo possit amittere, ad tempus quo velocitatem eandem in spatio non resistente ascendendo posset amittere, ut arcusAtad ejus TangentemAp.
Corol. 6.Hinc ex dato tempore datur spatium ascensu vel descensu descriptum. Nam corporis in infinitum descendentis datur velocitas maxima, per Corol. 2. & 3. Theor. VI, Lib. II. indeq; datur & spatium quod semisse velocitatis illius dato tempore describi potest, & tempus quo corpus velocitatem illam in spatio non resistente cadendo posset acquirere. Et sumendo SectoremADTvelADtad triangulumADCin ratione temporum; dabitur tum velocitasAPvelAp, tum areaABKNvelABkn, quæ est ad Sectorem ut spatium quæsitum ad spatium jam ante inventum.
Corol. 7.Et regrediendo, ex dato ascensus vel descensus spatioABnkvelABNK, dabitur tempusADtvelADT.
Tendat uniformis vis gravitatis directe ad planum Horizontis, sitq; resistentia ut medii densitas & quadratum velocitatis conjunctim: requiritur tum Medii densitas in locis singulis, quæ faciat ut corpus in data quavis linea curva moveatur, tum corporis velocitas in iisdem locis.
Tendat uniformis vis gravitatis directe ad planum Horizontis, sitq; resistentia ut medii densitas & quadratum velocitatis conjunctim: requiritur tum Medii densitas in locis singulis, quæ faciat ut corpus in data quavis linea curva moveatur, tum corporis velocitas in iisdem locis.
Figure for Prop. X.
SitAKplanum illud plano Schematis perpendiculare;ACKlinea curva;Ccorpus in ipsa motum; &FCfrecta ipsamtangens inC. Fingatur autem corpusCnunc progredi abAadKper lineam illamACK, nunc vero regredi per eandem lineam; & in progressu impediri a Medio, in regressu æque promoveri, sic ut in iisdem locis eadem semper sit corporis progredientis & regredientis velocitas. Æqualibus autem temporibus describat corpus progrediens arcum quam minimumCG, & corpus regrediens arcumCg; & sintCH,Chlongitudines æquales rectilineæ, quas corpora de locoCexeuntia, his temporibus, absq; Medii & Gravitatis actionibus describerent: & a punctisC,G,g, ad planum horizontaleAKdemittantur perpendiculaCB,GD,gd, quorumGDacgdtangenti occurrant inF&f. Per Medii resistentiam fit ut corpus progrediens, vice longitudinisCH, describat solummodo longitudinemCF; & per vim gravitatis transfertur corpus deFinG: adeoq; lineolaHFvi resistentiæ, & lineolaFGvi gravitatis simul generantur. Proinde (per Lem. X. Lib. I.) lineolaFGest ut vis gravitatis & quadratum temporis conjunctim, adeoq; (ob datam gravitatem) ut quadratum temporis; & lineolaHFut resistentia & quadratum temporis, hoc est ut resistentia & lineolaFG. Et inde resistentia fit utHFdirecte &FGinverse, sive utHF÷FG. Hæc ita se habent in lineolis nascentibus. Nam in lineolis finitæ magnitudinis hæ rationes non sunt accuratæ.
Et simili argumento estfgut quadratum temporis, adeoq; ob æqualia tempora æquatur ipsiFG; & impulsus quo corpus regrediens urgetur est uthf÷fg. Sed impulsus corporis regredientis& resistentia progredientis ipso motus initio æquantur, adeoq; & ipsis proportionaleshf÷fg&HF÷FGæquantur; & propterea ob æqualesfg&FG, æquantur etiamhf&HF, suntq; adeoCF,CH(velCh) &Cfin progressione Arithmetica, & indeHFsemidifferentia est ipsarumCf&CF; & resistentia quæ supra fuit utHF÷FG, est ut {Cf-CF} ÷FG.
Est autem resistentia ut Medii densitas & quadratum velocitatis. Velocitas autem ut descripta longitudoCFdirecte & tempus√FGinverse, hoc est utCF÷√FG, adeoq; quadratum velocitatis utCFq.÷FG. Quare resistentia, ipsiq; proportionalis {Cf-CF} ÷FGest ut Medii densitas & utCFq.÷FGconjunctim; & inde Medii densitas ut {Cf-CF} ÷FGdirecte &CFq.÷FGinverse, id est ut {Cf-CF} ÷CFq.Q. E. I.
Corol. 1.Et hinc colligitur, quod si inCfcapiaturCkæqualisCF, & ad planum horizontaleAKdemittatur perpendiculumki, secans curvamACKinl; fiet Medii densitas ut {FG-kl} ÷ {CF×FG+kl}. Erit enimfCadkCut √fgseu √FGad √kl, & divisimfkadkC, id estCf-CFadCFut √FG- √klad √kl; hoc est (si ducatur terminus uterq; in √FG+ √kl) utFG-kladkl+ √FG×kl, sive adFG+kl. Nam ratio prima nascentiumkl+ √FG×kl&FG+klest æqualitatis. Scribatur itaq; {FK-Kl} ÷ {FK+Kl} pro {Cf-CF} ÷CF; & Medii densitas, quæ fuit ut {Cf-CF} ÷CF quad.evadet ut {FG-kl} ÷ {CF×FG+kl}.
Corol. 2.Unde cum 2HF&Cf-CFæquentur, &FG&kl(ob rationem æqualitatis) componant 2FG; erit 2HFadCFutFG-klad 2FG; et indeHFadFG, hoc est resistentia ad gravitatem, ut rectangulumCFinFG-klad 4FG quad.
Corol. 3.Et hinc si curva linea definiatur per relationem inter basem seu abscissamAB& ordinatim applicatamBC; (ut moris est) & valor ordinatim applicatæ resolvatur in seriem convergentem: Problema per primos seriei terminos expedite solvetur: ut in Exemplis sequentibus.
Exempl. 1.Sit LineaACKsemicirculus super diametroAKdescriptus, & requiratur Medii densitas quæ faciat ut Projectile in hac linea moveatur.
Bisecetur semicirculi diameterAKinO; & dicOKn,OBa,BCe, &BDvelBio: & eritDGq.seuOGq.-ODq.æqualenn-aa- 2ao-ooseuee- 2ao-oo; & radice per methodum nostram extracta, fietDG=e-ao÷e-oo÷ 2e-aaoo÷ 2e3-ao3÷ 2e3-a3o3÷ 2e5&c. Hic scribaturnnproee+aa& evadetDG=e-ao÷e-nnoo÷ 2e3-anno3÷ 2e5&c.
Hujusmodi Series distinguo in terminos successivos in hunc modum. Terminum primum appello in quo quantitas infinite parvaonon extat; secundum in quo quantitas illa extat unius dimensionis; tertium in quo extat duarum, quartum in quo trium est, & sic in infinitum. Et primus terminus, qui hic este, denotabit semper longitudinem ordinatæBCinsistentis ad indefinitæ quantitatis initiumB; secundusterminus qui hic estao÷e, denotabit differentiam interBC&DF, id est lineolamIF, quæ abscinditur complendo parallelogrammumBC-ID, atq; adeo positionem TangentisCFsemper determinat: ut in hoc casu capiendoIFadICut estao÷eadoseuaade. Terminus tertius, qui hic estnnoo÷ 2e3designabit lineolamFG, quæ jacet inter Tangentem & Curvam, adeoq; determinat angulum contactusFCG, seu curvaturam quam curva linea habet inC. Si lineola illaFGfinitæ est magnitudinis, designabitur per terminum tertium una cum subsequentibus in infinitum. At si lineola illa minuatur in infinitum, termini subsequentes evadent infinite minores tertio, ideoq; negligi possunt. Terminus quartus, qui hic estanno3÷ 2e5, exhibet variationem Curvaturæ; quintus variationem variationis, & sic deinceps. Unde obiter patet usus non contemnendus harum Serierum in solutione Problematum, quæ pendent a Tangentibus & curvatura Curvarum.
PrætereaCFest latus quadratum exCIq.&IFq.hoc est exBDq.& quadrato termini secundi. Estq;FG+klæqualis duplo termini tertii, &FG-klæqualis duplo quarti. Nam valor ipsiusDGconvertitur in valorem ipsiusil, & valor ipsiusFGin valorem ipsiuskl, scribendoBiproBD, seu -opro +o. Proinde cumFGsit -nnoo÷ 2e3-anno3÷ 2e5&c. eritkl= -nnoo÷ 2e3+anno3÷ 2e5, &c. Et horum summa est -nnoo÷e3, differentia -anno3÷e5. Terminum quintum & sequentes hic negligo, ut infinite minores quam qui in hoc Problemate considerandi veniant. Itaq; si designetur Series universaliter his terminis ±Qo-Roo-So3&c. eritCFæqualis √oo+QQoo,FG+klæqualis 2Roo, &FG-klæqualis 2So3. ProCF,FG+kl&FG-klscribanturhi earum valores, & Medii densitas quæ erat ut {FG-kl} ÷ {CFinFG+kl} jam fiet utS÷ {R√1 +QQ}. Deducendo igitur Problema unumquodq; ad seriem convergentem, & hic proQ,R&Sscribendo terminos seriei ipsis respondentes; deinde etiam ponendo resistentiam Medii in loco quovisGesse ad Gravitatem utS√1 +QQad 2RR, & velocitatem esse illam ipsam quacum corpus, de locoCsecundum rectamCFegrediens, in Parabola, diametrumCB& latus rectum {1 +QQ} ÷Rhabente, deinceps moveri posset, solvetur Problema.
Sic in Problemate jam solvendo, si scribantur √1 +aa÷eeseun÷epro √1 +QQ,nn÷ 2e3proR, &ann÷ 2e3proS, prodibit Medii densitas uta÷ne, hoc est (ob datamn) uta÷eseuOB÷BC, id est ut Tangentis longitudo illaCT, quæ ad semidiametrumOLipsiAKnormaliter insistentem terminatur, & resistentia erit ad gravitatem utaadn, id est utOBad circuli semidiametrumOK, velocitas autem erit ut √2BC. Igitur si corpusCcerta cum velocitate, secundum lineam ipsiOKparallelam, exeat de locoL, & Medii densitas in singulis locisCsit ut longitudo tangentisCT, & resistentia etiam in loco aliquoCsit ad vim gravitatis utOBadOK; corpus illud describet circuli quadrantemLCK. Q. E. I.
At si corpus idem de locoAsecundum lineam ipsiAKperpendicularem egrederetur, sumenda essetOBseuaad contrarias partes centriO, & propterea signum ejus mutandum esset, & scribendum -apro +a. Quo pacto prodiret Medii densitas ut -a÷e. Negativam autem densitatem (hoc est quæ motus corporum accelerat) Natura non admittit, & propterea naturaliter fieri non potest ut corpus ascendendo abAdescribat circuli quadrantemAL. Ad hunc effectum deberet corpus a Medio impellente accelerari, non a resistente impediri.
Exempl. 2.Sit lineaALCKParabola, axem habensOLhorizontiAKperpendicularem, & requiratur Medii densitas quæ faciat ut projectile in ipsa moveatur.
Ex natura Parabolæ, rectangulumADKæquale est rectangulo sub ordinataDG& recta aliqua data: hoc est, si dicantur recta illab,ABa,AKc,BCe&BDo; rectanguluma+oinc-a-oseuac-aa- 2ao+co-ooæquale est rectangulobinDG, adeoq;DGæquale {ac-aa} ÷b+ {{c- 2a} ÷b}o-oo÷b. Jam scribendus esset hujus seriei secundus terminus {{c - 2a} ÷b}oproQo, & ejus coefficiens {c - 2a} ÷bproQ; tertius item terminusoo÷bproRoo, & ejus coefficiens 1 ÷bproR. Cum vero plures non sint termini, debebit quarti terminiSo3coefficiensSevanescere, & propterea quantitasS÷ {R√1 +QQ} cui Medii densitas proportionalis est, nihil erit. Nulla igitur Medii densitate movebitur Projectile in Parabola, uti olim demonstravitGalilæus. Q. E. I.