Prop. XVI. Theor. XII.

Figure for Corol. 7.

Corol. 7.Si corpus, in Medio cujus densitas est reciproce ut distantia locorum a centro, revolutionem in Curva quacunqueAEBcirca centrum illud fecerit, & Radium primumASin eodem angulo secuerit inBquo prius inA, idque cum velocitate quæ fuerit ad velocitatem suam primam inAreciproce in dimidiata ratione distantiarum a centro (id est utBSad mediam proportionalem interAS&CS:) corpus illud perget innumeras consimiles revolutionesBFC,CGD, &c. facere, & intersectionibus distinguet RadiumASin partesAS,BS,CS,DS&c. continue proportionales. Revolutionum vero tempora erunt ut Perimetri orbitarumAEB,BFC,CGD&c. directe, & velocitates in principiisA,B,C, inverse; id est utAS½,BS½,CS½. Atq; tempus totum, quo corpus perveniet ad centrum, erit ad tempus revolutionis primæ, ut summa omnium continue proportionaliumAS½,BS½,CS½pergentium in infinitum, ad terminum primumAS½; id est ut terminus ille primusAS½ad differentiam duorum primorumAS½-BS½, & quam proxime ut ⅔ASadAB. Unde tempus illud totum expedite invenitur.

Corol. 8.Ex his etiam præterpropter colligere licet motus corporum in Mediis, quorum densitas aut uniformis est, aut aliam quamcunque legem assignatam observat. CentroSintervallis continue proportionalibusSA,SB,SC&c. describecirculos quotcunque, & statue numerum revolutionum inter perimetros duorum quorumvis ex his circulis, in Medio de quo egimus, esse ad numerum revolutionum inter eosdem in Medio proposito, ut Medii propositi densitas mediocris inter hos circulos ad Medii, de quo egimus, densitatem mediocrem inter eosdem quam proxime; Sed & in eadem quoq; ratione esse Tangentem anguli quo Spiralis præfinita, in Medio de quo egimus, secat radiumAS, ad tangentem anguli quo Spiralis nova secat radium eundem in Medio proposito: Atq; etiam ut sunt eorundem angulorum secantes ita esse tempora revolutionum omnium inter circulos eosdem duos quam proxime. Si hæc fiant passim inter circulos binos, continuabitur motus per circulos omnes. Atque hoc pacto haud difficulter imaginari possimus quibus modis ac temporibus corpora in Medio quocunque regulari gyrari debebunt.

Corol. 9.Et quamvis motus excentrici in Spiralibus ad formam Ovalium accedentibus peragantur; tamen concipiendo Spiralium illarum singulas revolutiones eisdem ab invicem intervallis distare, iisdemque gradibus ad centrum accedere cum Spirali superius descripta, intelligemus etiam quomodo motus corporum in hujusmodi Spiralibus peragantur.

Si Medii densitas in locis singulis sit reciproce ut dignitas aliqua distantiæ locorum a centro, sitque vis centripeta reciproce ut distantia in dignitatem illam ducta: dico quod corpus gyrari potest in Spirali, quæ radios omnes a centro illo ductos intersecat in angulo dato.

Demonstratur eadem methodo cum Propositione superiore. Nam si vis centripeta inPsit reciproce ut distantiæSPdignitas quælibetSPn+ 1cujus index estn+ 1; colligetur ut supra, quod tempus quo corpus describit arcum quemvisPQerit utPQ×SP½n& resistentia inPutRr÷ {PQq.×SPn} sive ut ½nVQ÷ {PQ×SPn×SQ}, adeoque ut ½OS÷ {OP×SPn+ 1}. Et propterea densitas inPest reciproce utSPn.

Cæterum hæc Propositio & superiores, quæ ad Media inæqualiter densa spectant, intelligendæ sunt de motu corporum adeo parvorum, ut Medii ex uno corporis latere major densitas quam ex altero non consideranda veniat. Resistentiam quoque cæteris paribus densitati proportionalem esse suppono. Unde in Mediis quorum vis resistendi non est ut densitas, debet densitas eo usque augeri vel diminui, ut resistentiæ vel tollatur excessus vel defectus suppleatur.

Invenire & vim centripetam & Medii resistentiam qua corpus in data Spirali data lege revolvi potest.VideFig. Prop. XV.

Sit spiralis illaPQR. Ex velocitate qua corpus percurrit arcum quam minimumPQdabitur tempus, & ex altitudineTQ, quæ est ut vis centripeta & quadratum temporis dabitur vis. Deinde ex arearum, æqualibus temporum particulis confectarumPSQ&QSR, differentiaRSr, dabitur corporis retardatio, & ex retardatione invenietur resistentia ac densitas Medii.

Data lege vis centripetæ, invenire Medii densitatem in locis singulis, qua corpus datam Spiralem describet.

Ex vi centripeta invenienda est velocitas in locis singulis, deinde ex velocitatis retardatione quærenda Medii densitas: ut in Propositione superiore.

Methodum vero tractandi hæc Problemata aperui in hujus Propositione decima, & Lemmate secundo; & Lectorem in hujusmodi perplexis disquisitionibus diutius detenere nolo. Addenda jam sunt aliqua de viribus corporum ad progrediendum, deque densitate & resistentia Mediorum, in quibus motus hactenus expositi & his affines peraguntur.

De Densitate & compressione Fluidorum, deque Hydrostatica.

Fluidum est corpus omne cujus partes cedunt vi cuicunque illatæ, & cedendo facile movetur inter se.

Fluidi homogenei & immoti, quod in vase quocunque immoto clauditur & undique comprimitur, partes omnes (seposita Condensationis, gravitatis & virium omnium centripetarum consideratione) æqualiter premuntur undique, & absque omni motu a pressione illa orto permanent in locis suis.

Figure for Prop. XIX.

Cas. 1.In vase sphæricoABCclaudatur & uniformiter comprimatur fluidum undique: dico quod ejusdem pars nulla ex illa pressione movebitur. Nam si pars aliquaDmoveatur, necesse est ut omnes ejusmodi partes, ad eandem a centro distantiam undique consistentes, simili motu simul moveantur; atq; hoc adeo quia similis & æqualis est omnium pressio, & motus omnis exclusus supponitur, nisi qui a pressione illa oriatur. Atqui non possunt omnes ad centrum propius accedere, nisi fluidum ad centrum condensetur; contra Hypothesin. Non possunt longius ab eo recederenisi fluidum ad circumferentiam condensetur; etiam contra Hypothesin. Non possunt servata sua a centro distantia moveri in plagam quamcunq; quia pari ratione movebuntur in plagam contrariam; in plagas autem contrarias non potest pars eadem eodem tempore moveri. Ergo fluidi pars nulla de loco suo movebitur.Q. E. D.

Cas. 2.Dico jam quod fluidi hujus partes omnes sphæricæ æqualiter premuntur undique: sit enimEFpars sphærica fluidi, & si hæc undiq; non premitur æqualiter, augeatur pressio minor, usq; dum ipsa undiq; prematur æqualiter; & partes ejus, per casum primum, permanebunt in locis suis. Sed ante auctam pressionem permanebunt in locis suis, per casum eundum primum, & additione pressionis novæ movebuntur de locis suis, per definitionem Fluidi. Quæ duo repugnant. Ergo falso dicebatur quod SphæraEFnon undique premebatur æqualiter.Q. E. D.

Cas. 3.Dico præterea quod diversarum partium sphæricarum æqualis sit pressio. Nam partes sphæricæ contiguæ se mutuo premunt æqualiter in puncto contactus, per motus Legem III. Sed & per Casum secundum, undiq; premuntur eadem vi. Partes igitur duæ quævis sphæricæ non contiguæ, quia pars sphærica intermedia tangere potest utramque, prementur eadem vi.Q. E. D.

Cas. 4.Dico jam quod fluidi partes omnes ubiq; premuntur æqualiter. Nam partes duæ quævis tangi possunt a partibus Sphæricis in punctis quibuscunque, & ibi partes illas Sphæricas æqualiter premunt, per Casum 3. & vicissim ab illis æqualiter premuntur, per Motus Legem Tertiam.Q. E. D.

Cas. 5.Cum igitur fluidi pars quælibetGHIin fluido reliquo tanquam in vase claudatur, & undique prematur æqualiter, partes autem ejus se mutuo æqualiter premant & quiescant inter se; manifestum est quod Fluidi cujuscunqueGHI, quodundique premitur æqualiter, partes omnes se mutuo premunt æqualiter, & quiescunt inter se.Q. E. D.

Cas. 6.Igitur si Fluidum illud in vase non rigido claudatur, & undique non prematur æqualiter, cedet idem pressioni fortiori, per Definitionem Fluiditatis.

Cas. 7.Ideoque in vase rigido Fluidum non sustinebit pressionem fortiorem ex uno latere quam ex alio, sed eidem cedet, idq; in momento temporis, quia latus vasis rigidum non persequitur liquorem cedentem. Cedendo autem urgebit latus oppositum, & sic pressio undique ad æqualitatem verget. Et quoniam Fluidum, quam primum a parte magis pressa recedere conatur, inhibetur per resistentiam vasis ad latus oppositum; reducetur pressio undique ad æqualitatem in momento temporis absque motu locali; & subinde, partes fluidi, per Casum quintum, se mutuo prement æqualiter, & quiescent inter se.Q. E. D.

Corol.Unde nec motus partium fluidi inter se, per pressionem fluido ubivis in externa superficie illatam, mutari possunt nisi, quatenus aut figura superficiei alicubi mutatur, aut omnes fluidi partes intensius vel remissius sese premendo difficilius vel facilius labuntur inter se.

Si Fluidi Sphærici, & in æqualibus a centro distantiis homogenei, fundo sphærico concentrico incumbentis partes singulæ versus centrum totius gravitent; sustinet fundum pondus Cylindri, cujus basis æqualis est superficiei fundi, & altitudo eadem quæ Fluidi incumbentis.

Figure for Prop. XX.

SitDHMsuperficies fundi, &AEIsuperficies superior fluidi. Superficiebus sphæricis innumerisBFK,CGLdistinguatur fluidum in Orbes concentricos æqualiter crassos; & concipe vim gravitatis agere solummodo in superficiem superiorem Orbis cujusque, & æquales esse actiones in æquales partes superficierum omnium. Premitur ergo superficies supremaAEvi simplici gravitatis propriæ, qua & omnes Orbis supremi partes & superficiessecundaBFK(per Prop. XIX.) premuntur. Premitur præterea superficies secundaBFKvi propriæ gravitatis, quæ addita vi priori facit pressionem duplam. Hac pressione & insuper vi propriæ gravitatis, id est pressione tripla, urgetur superficies tertiaCGL. Et similiter pressione quadrupla urgetur superficies quarta, quintupla quinta & sic deinceps. Pressio igitur qua superficies unaquæque urgetur, non est ut quantitas solida fluidi incumbentis, sed ut numerus Orbium ad usque summitatem fluidi; & æquatur gravitati Orbis infimi multiplicatæ per numerum Orbium: hoc est gravitati solidi cujus ultima ratio ad Cylindrum præfinitum, (si modo Orbium augeatur numerus & minuatur crassitudo in infinitum, sic ut actio gravitatis a superficie infima ad supremam continua reddatur) fiet ratio æqualitatis. Sustinet ergo superficies infima pondus cylindri præfiniti.Q. E. D.Et simili argumentatione patet Propositio, ubi gravitas decrescit in ratione quavis assignata distantiæ a centro, ut & ubi Fluidum sursum rarius est, deorsum densius.Q. E. D.

Corol. 1.Igitur fundum non urgetur a toto fluidi incumbentis pondere, sed eam solummodo ponderis partem sustinet quæ in Propositione describitur; pondere reliquo a fluidi figura fornicata sustentato.

Corol. 2.In æqualibus autem a centro distantiis eadem semper est pressionis quantitas, sive superficies pressa sit Horizonti parallela vel perpendicularis vel obliqua; sive fluidum a superficie pressa sursum continuatum surgat perpendiculariter secundum lineam rectam, vel serpit oblique per tortas cavitates & canales, easque regulares vel maxime irregulares, amplas vel angustissimas. Hisce circumstantiis pressionem nil mutari colligitur, applicando demonstrationem Theorematis hujus ad Casus singulos Fluidorum.

Corol. 3.Eadem Demonstratione colligitur etiam (per Prop. XIX.) quod fluidi gravis partes nullum, ex pressione ponderis incumbentis, acquirunt motum inter se, si modo excludatur motus qui ex condensatione oriatur.

Corol. 4.Et propterea si aliud ejusdem gravitatis specificæ corpus, quod sit condensationis expers, submergatur in hoc fluido, id ex pressione ponderis incumbentis nullum acquiret motum: non descendet, non ascendet, non cogetur figuram suam mutare. Si Sphæricum est manebit sphæricum, non obstante pressione; si quadratum est manebit quadratum: idq; sive molle sit, sive fluidissimum; sive fluido libere innatet, sive fundo incumbat. Habet enim fluidi pars quælibet interna rationem corporis submersi, & par est ratio omnium ejusdemmagnitudinis, figuræ & gravitatis specificæ submersorum corporum. Si corpus submersum servato pondere liquesceret & indueret formam fluidi; hoc, si prius ascenderet vel descenderet vel ex pressione figuram novam indueret, etiam nunc ascenderet vel descenderet vel figuram novam induere cogeretur: id adeo quia gravitas ejus cæteræque motuum causæ permanent. Atqui, per Cas. 5. Prop. XIX. jam quiesceret & figuram retineret. Ergo & prius.

Corol. 5.Proinde corpus quod specifice gravius est quam Fluidum sibi contiguum subsidebit, & quod specifice levius est ascendet, motumque & figuræ mutationem consequetur, quantum excessus ille vel defectus gravitatis efficere possit. Namque excessus ille vel defectus rationem habet impulsus, quo corpus, alias in æquilibrio cum fluidi partibus constitutum, urgetur; & comparari potest cum excessu vel defectu ponderis in lance alterutra libræ.

Corol. 6.Corporum igitur in fluidis constitutorum duplex est Gravitas: altera vera & absoluta, altera apparens, vulgaris & comparativa. Gravitas absoluta est vis tota qua corpus deorsum tendit: relativa & vulgaris est excessus gravitatis quo corpus magis tendit deorsum quam fluidum ambiens. Prioris generis Gravitate partes fluidorum & corporum omnium gravitant in locissuis: ideoque conjunctis ponderibus componunt pondus totius. Nam totum omne grave est, ut in vasis liquorum plenis experiri licet; & pondus totius æquale est ponderibus omnium partium, ideoque ex iisdem componitur. Alterius generis gravitate corpora non gravitant in locis suis, id est inter se collata non prægravant, sed mutuos ad descendendum conatus impedientia permanent in locis suis, perinde ac si gravia non essent. Quæ in Aere sunt & non prægravant, Vulgus gravia non judicat. Quæ prægravant vulgus gravia judicat, quatenus ab Aeris pondere non sustinentur. Pondera vulgi nihil aliud sunt quam excessus verorum ponderum supra pondus Aeris. Unde & vulgo dicuntur levia, quæ sunt minus gravia, Aerique prægravanti cedendo superiora petunt. Comparative levia sunt non vere, quia descendunt in vacuo. Sic & in Aqua, corpora, quæ ob majorem vel minorem gravitatem descendunt vel ascendunt, sunt comparative & apparenter gravia vel levia, & eorum gravitas vel levitas comparativa & apparens est excessus vel defectus quo vera eorum gravitas vel superat gravitatem aquæ vel ab ea superatur. Quæ vero nec prægravando descendunt, nec prægravanti cedendo ascendunt, etiamsi veris suis ponderibus adaugeant pondus totius, comparative tamen & in sensu vulgi non gravitant in aqua. Nam similis est horum Casuum Demonstratio.

Corol. 7.Quæ de gravitate demonstrantur, obtinent in aliis quibuscunque viribus centripetis.

Corol. 8.Proinde si Medium, in quo corpus aliquod movetur, urgeatur vel a gravitate propria, vel ab alia quacunq; vi centripeta, & corpus ab eadem vi urgeatur fortius: differentia virium est vis illa motrix, quam in præcedentibus Propositionibus ut vim centripetam consideravimus. Sin corpus a vi illa urgeatur levius, differentia virium pro vi centrifuga haberi debet.

Corol. 9.Cum autem fluida premendo corpora inclusa non mutent eorum Figuras externas, patet insuper, per Corollaria Prop. XIX. quod non mutabunt situm partium internarum inter se: proindeque, si Animalia immergantur, & sensatio omnis amotu partium oriatur; nec lædent corporibus immersis, nec sensationem ullam excitabunt, nisi quatenus hæc corpora a compressione ne condensari possunt. Et par est ratio cujuscunque corporum Systematis fluido comprimente circundati. Systematis partes omnes iisdem agitabuntur motibus, ac si in vacuo constituerentur, ac solam retinerent gravitatem suam comparativam, nisi quatenus fluidum vel motibus earum nonnihil resistat, vel ad easdem compressione conglutinandas requiratur.

Sit Fluidi cujusdam densitas compressioni proportionalis, & partes ejus a vi centripeta distantiis suis a centro reciproce proportionali deorsum trahantur: dico quod si distantiæ illæ sumantur continue proportionales, densitates fluidi in iisdem distantiis erunt etiam continue proportionales.

Figure for Prop. XXI.

DesignetATVfundum Sphæricum cui fluidum incumbit,Scentrum,SA,SB,SC,SD,SE, &c. distantias continue proportionales. Erigantur perpendiculaAH,BI,CK,DL,EM, &c. quæ sint ut densitates Medii in locisA,B,C,D,E; & specificæ gravitates in iisdem locis erunt utAH÷AS,BI÷BS,CK÷CS, &c. vel, quod perinde est, utAH÷AB,BI÷BC,CK÷CD&c. Finge primum has gravitates uniformiter continuari abAadB, aBadC, aCadD&c. factis per gradus decrementis in punctisB,C,D&c. Et hæ gravitates ductæ in altitudinesAB,BC,CD&c. conficient pressionesAH,BI,CK, quibus fundumATV(juxta Theorema XIV.) urgetur. Sustinet ergo particulaApressiones omnesAH,BI,CK,DL, pergendo in infinitum; & particulaBpressiones omnes præter primamAH; & particulaComnes præter duas primasAH,BI; & sic deinceps:adeoque particulæ primæAdensitasAHest ad particulæ secundæBdensitatemBIut summa omniumAH+BI+CK+DL, in infinitum, ad summam omniumBI+CK+DL, &c. EtBIdensitas secundæB, est adCKdensitatem tertiæC, ut summa omniumBI+CK+DL, &c. ad summam omniumCK+DL, &c. Sunt igitur summæ illæ differentiis suisAH,BI,CK, &c. proportionales, atque adeo continue proportionales per hujus Lem. I. proindeq; differentiæAH,BI,CK, &c. summis proportionales, sunt etiam continue proportionales. Quare cum densitates in locisA,B,Csint utAH,BI,CK, &c. erunt etiam hæ continue proportionales. Pergatur per saltum, & (ex æquo) in distantiisSA,SC,SEcontinue proportionalibus, erunt densitatesAH,CK,EMcontinue proportionales. Et eodem argumento in distantiis quibusvis continue proportionalibusSA,SD,SQdensitatesAH,DL,QTerunt continue proportionales. Coeant jam punctaA,B,C,D,E, &c. eo ut progressio gravitatum specificarum a fundoAad summitatem Fluidi continua reddatur, & in distantiis quibusvis continue proportionalibusSA,SD,SQ, densitatesAH,DL,QT, semper existentes continue proportionales, manebunt etiamnum continue proportionales.Q. E. D.

Figure for Corol.

Corol.Hinc si detur densitas Fluidi in duobus locis, putaA&E, colligi potest ejus densitas in alio quovis locoQ. CentroS, Asymptotis rectangulisSQ,SXdescribatur Hyperbola secans perpendiculaAH,EM,QTina,e,q, ut & perpendiculaHX,MY,TZad asymptotonSXdemissa inh,m, &t. Fiat areaZYmtZad aream datamYmhXut area dataEeqQad aream datamEeaA; & lineaZtproducta abscindet lineamQTdensitati proportionalem. Namque si lineæSA,SE,SQsunt continue proportionales, eruntareæEeqQ,EeaAæquales, & inde areæ his proportionalesYmtZ,XhmYetiam æquales & lineæSX,SY,SZid estAH,EM,QTcontinue proportionales, ut oportet. Et si lineæSA,SE,SQobtinent alium quemvis ordinem in serie continue proportionalium, lineæAH,EM,QT, ob proportionales areas Hyperbolicas, obtinebunt eundem ordinem in alia serie quantitatum continue proportionalium.

Sit Fluidi cujusdam densitas compressioni proportionalis, & partes ejus a gravitate quadratis distantiarum suarum a centro reciproce proportionali deorsum trahantur: dico quod si distantiæ sumantur in progressione Musica, densitates Fluidi in his distantiis erunt in progressione Geometrica.

Figure for Prop. XXII.

DesignetScentrum, &SA,SB,SC,SD,SEdistantias in Progressione Geometrica. Erigantur perpendiculaAH,BI,CK, &c. quæ sint ut Fluidi densitates in locisA,B,C,D,E, &c. & ipsius gravitates specificæ in iisdem locis eruntAH÷SAq.,BI÷SBq.,CK÷SCq., &c. Finge has gravitates uniformiter continuari, primam abAadB, secundam aBadC, tertiam aCadD, &c. Et hæ ductæ in altitudinesAB,BC,CD,DE, &c. vel, quod perinde est, in distantiasSA,SB,SC, &c. altitudinibus illis proportionales, conficientexponentes pressionumAH÷SA,BI÷SB,CK÷SC, &c. Quare cum densitates sint ut harum pressionum summæ, differentiæ densitatumAH-BI,BI-CK, &c. erunt ut summarum differentiæAH÷SA,BI÷SB,CK÷SC, &c. CentroSAsymptotisSA,SXdescribatur Hyperbola quævis, quæ secet perpendiculaAH,BI,CK, &c. ina,b,c; ut & perpendicula ad AsymptotonSXdemissaHt,Iu,Kwinh,i,k; & densitatum differentiætu,uw, &c. erunt utAH÷SA,BI÷SB, &c. Et rectangulatu×th,uw×ui, &c. seutp,uq, &c. utAH×th÷SAutBI×ui÷SB, &c. id est utAa,Bb&c. Est enim ex natura HyperbolæSAadAHvelSt, utthadAa, adeoqueAH×th÷SAæqualeAa. Et simili argumento estBI×ui÷SBæqualisBb, &c. Sunt autemAa,Bb,Cc, &c. continue proportionales, & propterea differentiis suisAa-Bb,Bb-Cc, &c. proportionales; ideoque differentiis hisce proportionalia sunt rectangulatp,uq, &c. ut & summis differentiarumAa-CcvelAa-Ddsummæ rectangulorumtp+uq, veltp+uq+wr. Sunto ejusmodi termini quam plurimi, & summa omnium differentiarum, putaAa-Ff, erit summæ omnium rectangulorum, putazthn, proportionalis. Augeatur numerus terminorum & minuantur distantiæ punctorumA,B,C, &c. in infinitum, & rectangula illa evadent æqualia areæ Hyperbolicæzthn, adeoque huic areæ proportionalis est differentiaAa-Ff. Sumantur jam distantiæ quælibet, putaSA,SD,SFin Progressione Musica, & differentiæAa-Dd,Dd-Fferunt æquales; & propterea differentiis hisce proportionales areæthlx,xlnzæquales erunt inter se, & densitatesSt,Sx,Sz, id estAH,DL,FN, continue proportionales.Q. E. D.

Corol.Hinc si dentur Fluidi densitates duæ quævis, putaAH&CK, dabitur areathkwharum differentiætwrespondens; & inde invenietur densitasFNin altitudine quacunqueSF, sumendo areamthnzad aream illam datamthkwut est differentiaAa-Ffad differentiamAa-Cc.

Simili argumentatione probari potest, quod si gravitas particularum Fluidi diminuatur in triplicata ratione distantiarum a centro; & quadratorum distantiarumSA,SB,SC, &c. reciproca (nempeSA cub.÷SAq.,SA cub.÷SBq.,SA cub.÷SCq.) sumantur in progressione Arithmetica; densitatesAH,BI,CK, &c. erunt in progressione Geometrica. Et si gravitas diminuatur in quadruplicata ratione distantiarum, & cuborum distantiarum reciproca (putaSA qq.÷SA cub.,SA qq.÷SB cub.,SA qq.÷SC cub.) sumantur in progressione Arithmetica; densitatesAH,BI,CK, &c. erunt in progressione Geometrica. Et sic in infinitum. Rursus si gravitas particularum Fluidi in omnibus distantiis eadem sit, & distantiæ sint in progressione Arithmetica, densitates erunt in progressione Geometrica, uti Vir Cl.\Edmundus Halleiusinvenit. Si gravitas sit ut distantia, & quadrata distantiarum sint in progressione Arithmetica, densitates erunt in progressione Geometrica. Et sic in infinitum. Hæc ita se habent ubi Fluidi compressione condensati densitas est ut vis compressionis, vel, quod perinde est, spatium a Fluido occupatum reciproce ut hæc vis. Fingi possunt aliæ condensationis leges, ut quod cubus vis comprimentis sit ut quadrato-quadratum densitatis, seu triplicata ratio Vis æqualis quadruplicatæ rationi densitatis. Quo in casu, si gravitas est reciproce ut quadratum distantiæ a centro, densitas erit reciproce ut cubus distantiæ. Fingatur quod cubus vis comprimentis sit ut quadrato-cubus densitatis, & si gravitas est reciproce ut quadratum distantiæ, densitas erit reciproce insesquiplicata ratione distantiæ. Fingatur quod vis comprimens sit in duplicata ratione densitatis, & gravitas reciproce in ratione duplicata distantiæ, & densitas erit reciproce ut distantia. Casus omnes percurrere longum esset.

Particulæ viribus quæ sunt reciproce proportionales distantiis centrorum suorum se mutuo fugientes componunt Fluidum Elasticum, cujus densitas est compressioni proportionalis. Et vice versa, si Fluidi ex particulis se mutuo fugientibus compositi densitas sit ut compressio, vires centrifugæ particularum sunt reciproce proportionales distantiis centrorum.

Figure for Prop. XXIII.

Includi intelligatur Fluidum in spatio cubicoACE, dein compressione redigi in spatium cubicum minusace; & particularum similem situm inter se in utroque spatio obtinentium distantiæ erunt ut cuborum lateraAB,ab; & Medii densitates reciproce ut spatia continentiaAB cub.&ab cub.In latere cubi majorisABCDcapiatur quadratumDPæquale lateri cubi minorisdb; & ex Hypothesi, pressio qua quadratumDPurget Fluidum inclusum, erit ad pressionem qua latus illud quadratumdburget Fluidum inclusum, ut Medii densitates ad invicem, hoc estab cub.adAB cub.Sed pressio qua quadratumDBurget Fluidum inclusum, est ad pressionem qua quadratumDPurget idem Fluidum, ut quadratumDBad quadratumDP, hoc est utAB quad.adab quad.Ergo ex æquo pressio qua latusDBurget Fluidum, est ad pressionem qua latusdburget Fluidum, utabadAB. PlanisFGH,fghper media cuborum ductis distinguatur Fluidum in duas partes, & hæ se mutuo prement iisdemviribus, quibus premuntur a planisAC,ac, hoc est in proportioneabadAB: adeoque vires centrifugæ, quibus hæ pressiones sustinentur, sunt in eadem ratione. Ob eundem particularum numerum similemq; situm in utroque cubo, vires quas particulæ omnes secundum planaFGH,fghexercent in omnes, sunt ut vires quas singulæ exercent in singulas. Ergo vires, quas singulæ exercent in singulas secundum planumFGHin cubo majore, sunt ad vires quas singulæ exercent in singulas secundum planumfghin cubo minore utabadAB, hoc est reciproce ut distantiæ particularum ad invicem.Q. E. D.

Et vice versa, si vires particularum singularum sunt reciproce ut distantiæ, id est reciproce ut cuborum lateraAB,ab; summæ virium erunt in eadem ratione, & pressiones laterumDB,dbut summæ virium; & pressio quadratiDPad pressionem laterisDButab quad.adAB quad.Et ex æquo pressio quadratiDPad pressionem laterisdbutab cub.adAB cub.id est vis compressionis ad vim compressionis ut densitas ad densitatem.Q. E. D.

Simili argumento si particularum vires centrifugæ sint reciproce in duplicata ratione distantiarum inter centra, cubi virium comprimentium erunt ut quadrato-quadrata densitatum. Si vires centrifugæ sint reciproce in triplicata vel quadruplicata ratione distantiarum, cubi virium comprimentium erunt ut quadrato-cubi vel cubo-cubi densitatum. Et universaliter, siDponatur pro distantia, &Epro densitate Fluidi compressi, & vires centrifugæ sint reciproce ut distantiæ dignitas quælibetDn, cujus index est numerusn; vires comprimentes erunt ut latera cubica DignitatisEn+ 2, cujus index est numerusn+ 2; & contra. Intelligenda vero sunt hæc omnia de particularum Viribus centrifugis quæ terminantur in particulis proximis, aut non longe ultra diffunduntur. Exemplum habemus in corporibus Magneticis.Horum Virtus attractiva terminatur fere in sui generis corporibus sibi proximis. Magnetis virtus per interpositam laminam ferri contrahitur, & in lamina fere terminatur. Nam corpora ulteriora non tam a Magnete quam a lamina trahuntur. Ad eundem modum si particulæ fugant alias sui generis particulas sibi proximas, in particulas autem remotiores virtutem nullam nisi forte per particulas intermedias virtute illa auctas exerceant, ex hujusmodi particulis componentur Fluida de quibus actum est in hac propositione. Quod si particulæ cujusq; virtus in infinitum propagetur, opus erit vi majori ad æqualem condensationem majoris quantitatis Fluidi. Ut si particula unaquæq; vi sua, quæ sit reciproce ut distantia locorum a centro suo, fugat alias omnes particulas in infinitum; Vires quibus Fluidum in vasis similibus æqualiter comprimi & condensari possit, erunt ut quadrata diametrorum vasorum: ideoque vis, qua Fluidum in eodem vase comprimitur, erit reciproce ut latus cubicum quadrato-cubi densitatis. An vero Fluida Elastica ex particulis se mutuo fugantibus constent, Quæstio Physica est. Nos proprietatem Fluidorum ex ejusmodi particulis constantium Mathematice demonstravimus, ut Philosophis ansam præbeamus Quæstionem illam tractandi.

De Motu & resistentia Corporum Funependulorum.

Quantitates materiæ in corporibus funependulis, quorum centra oscillationum a centro suspensionis æqualiter distant, sunt in ratione composita ex ratione ponderum & ratione duplicata temporum oscillationum in vacuo.

Nam velocitas, quam data vis in data materia dato tempore generare potest, est ut vis & tempus directe, & materia inverse.Quo major est vis vel majus tempus vel minor materia, eo major generabitur velocitas. Id quod per motus Legem secundam manifestum est. Jam vero si pendula ejusdem sint longitudinis, vires motrices in locis a perpendiculo æqualiter distantibus sunt ut pondera: ideoque si corpora duo oscillando describant arcus æquales, & arcus illi dividantur in partes æquales; cum tempora quibus corpora describant singulas arcuum partes correspondentes sint ut tempora oscillationum totarum, erunt velocitates ad invicem in correspondentibus oscillationum partibus, ut vires motrices & tota oscillationum tempora directe & quantitates materiæ reciproce: adeoque quantitates materiæ ut vires & oscillationum tempora directe & velocitates reciproce. Sed velocitates reciproce sunt ut tempora, atque adeo tempora directe & velocitates reciproce sunt ut quadrata temporum, & propterea quantitates materiæ sunt ut vires motrices & quadrata temporum, id est ut pondera & quadrata temporum.Q. E. D.

Corol. 1.Ideoque si tempora sunt æqualia, quantitates materiæ in singulis corporibus erunt ut pondera.

Corol. 2.Si pondera sunt æqualia, quantitates materiæ erunt ut quadrata temporum.

Corol. 3.Si quantitates materiæ æquantur, pondera erunt reciproce ut quadrata temporum.

Corol. 4.Unde cum quadrata temporum cæteris paribus sint ut longitudines pendulorum; si & tempora & quantitates materiæ æqualia sunt, pondera erunt ut longitudines pendulorum.

Corol. 5.Et universaliter, quantitas materiæ pendulæ est ut pondus & quadratum temporis directe, & longitudo penduli inverse.

Corol. 6.Sed & in Medio non resistente quantitas Materiæ pendulæ est ut pondus comparativum & quadratum temporis directe & longitudo penduli inverse. Nam pondus comparativum est vis motrix corporis in Medio quovis gravi, ut supra explicui; adeoque idem præstat in tali Medio non resistente atque pondus absolutum in vacuo.

Corol. 7.Et hinc liquet ratio tum comparandi corpora inter se, quoad quantitatem materiæ in singulis, tum comparandi pondera ejusdem corporis in diversis locis, ad cognoscendam variationem gravitatis. Factis autem experimentis quam accuratissimis inveni semper quantitatem materiæ in corporibus singulis eorum ponderi proportionalem esse.

Corpora Funependula quæ in Medio quovis resistuntur in ratione momentorum temporis, quæque in ejusdem gravitatis specificæ Medio non resistente moventur, oscillationes in Cycloide eodem tempore peragunt, & arcuum partes proportionales simul describunt.

Figure for Prop. XXV.

SitABCycloidis arcus, quem corpusDtempore quovis in Medio non resistente oscillando describit. Bisecetur idem inC, ita utCsit infimum ejus punctum; & erit vis acceleratrix qua corpus urgetur in loco quovisDveldvelEut longitudo arcusCDvelCdvelCE. Exponatur vis illa per eundem arcum; & cum resistentia sit ut momentum temporis, adeoque detur, exponatur eadem per datam arcus Cycloidis partemCO, & sumatur arcusOdin ratione ad arcumCDquam habet arcusOBad arcumCB: & vis qua corpus indurgetur in Medio resistente, cum sit excessus visCdsupra resistentiamCO, exponetur per arcumOd, adeoque erit ad vim qua corpusDurgetur in Medio non resistente, in locoD, ut arcusOdad arcumCD; & propterea etiam in locoBut arcusOBad arcumCB. Proinde si corpora duo,D,dexeant de locoB& his viribus urgeantur: cum vires sub initio sint ut arcusCB&OB, erunt velocitates primæ & arcus primo descripti in eadem ratione. Sunto arcus illiBD&Bd, & arcus reliquiCD,Oderunt in eadem ratione. Proinde vires ipsisCD,Odproportionales manebunt in eadem ratione ac sub initio, & propterea corpora pergent arcus in eadem ratione simul describere. Igitur vires & velocitates & arcus reliquiCD,Odsemper erunt ut arcus totiCD,OB, & propterea arcus illi reliqui simul describentur. Quare corpora duoD,dsimul pervenient ad locaC&O, alterum quidem in Medio non resistente ad locumC, & alterum in Medio resistente ad locumO. Cum autem velocitates inC&Osint ut arcusCB&OB; erunt arcus quos corpora ulterius pergendo simul describunt, in eadem ratione. Sunto illiCE&Oe. Vis qua corpusDin Medio non resistente retardatur inEest utCE, & vis qua corpusdin Medio resistente retardatur ineest ut summa visCe& resistentiæCO, id est utOe; ideoque vires, quibus corpora retardantur, sunt ut arcubusCE,Oeproportionales arcusCB,OB; proindeque velocitates in data illa ratione retardatæ manent in eadem illa data ratione. Velocitates igitur & arcus iisdem descripti semper sunt ad invicem in data illa ratione arcuumCB&OB; & propterea si sumantur arcus totiAB,aBin eadem ratione, corporaD,dsimul describent hos arcus, & in locisA&amotum omnem simul amittent. Isochronæ sunt igitur oscillationes totæ, & arcubus totisBA,BEproportionales sunt arcuum partes quælibetBD,BdvelBE,Bequæ simul describuntur.Q. E. D.

Corol.Igitur motus velocissimus in Medio resistente non incidit in punctum infimumC, sed reperitur in puncto illoO, quo arcus totus descriptusaBbisecatur. Et corpus subinde pergendo ada, iisdem gradibus retardatur quibus antea accelerabatur indescensusuo aBadO.

Corporum Funependulorum, quæ resistuntur in ratione velocitatum, oscillationes in Cycloide sunt Isochronæ.

Nam si corpora duo a centris suspensionum æqualiter distantia, oscillando describant arcus inæquales, & velocitates in arcuum partibus correspondentibus sint ad invicem ut arcus toti; resistentiæ velocitatibus proportionales erunt etiam ad invicem ut iidem arcus. Proinde si viribus motricibus a gravitate oriundis, quæ sint ut iidem arcusauferantur, conferantur vel addantur hæ resistentiæ, erunt differentiæ vel summæ ad invicem in eadem arcuum ratione: cumque velocitatum incrementa vel decrementa sint ut hæ differentiæ vel summæ, velocitates semper erunt ut arcus toti: Igitur velocitates, si sint in aliquo casu ut arcus toti, manebunt semper in eadem ratione. Sed in principio motus, ubi corpora incipiunt descendere & arcus illos describere, vires, cum sint arcubus proportionales, generabunt velocitates arcubus proportionales. Ergo velocitates semper erunt ut arcus toti describendi, & propterea arcus illi simul describentur.Q. E. D.

Si corpora Funependula resistuntur in duplicata ratione velocitatum, differentiæ inter tempora oscillationum in Medio resistente ac tempora oscillationum in ejusdem gravitatis specificæ Medio non resistente, erunt arcubus oscillando descriptis proportionales, quam proxime.

Nam pendulis æqualibus in Medio resistente describantur arcus inæqualesA,B; resistentia corporis in arcuA, erit ad resistentiam corporis in parte correspondente arcusB, in duplicata ratione velocitatum, id est utA quad.adB quad.quamproxime. Si resistentia in arcuBesset ad resistentiam in arcuAut rectangulumABadA quad.tempora in arcubusA&Bforent æqualiaper Propositionem superiorem. Ideoque resistentiaA quad.in arcuA, velABin arcuB, efficit excessum temporis in arcuAsupra tempus in Medio non resistente; & resistentiaBBefficit excessum temporis in arcuBsupra tempus in Medio non resistente. Sunt autem excessus illi ut vires efficientesAB&BBquam proxime, id est ut arcusA&B.Q. E. D.

Corol. 1.Hinc ex oscillationum temporibus, in Medio resistente in arcubus inæqualibus factarum, cognosci possunt tempora oscillationum in ejusdem gravitatis specificæ Medio non resistente. Nam si verbi gratia arcus sit altero duplo major, differentia temporum erit ad excessum temporis in arcu minore supra tempus in Medio non resistente, ut differentia arcuum ad arcum minorem.

Corol. 2.Oscillationes breviores sunt magis Isochronæ, & brevissimæ iisdem temporibus peraguntur ac in Medio non resistente, quam proxime. Earum vero quæ in majoribus arcubus fiunt, tempora sunt paulo majora, propterea quod resistentia in descensu corporis qua tempus producitur, major sit pro ratione longitudinis in descensu descriptæ, quam resistentia in ascensu subsequente qua tempus contrahitur. Sed & tempus oscillationum tam brevium quam longarum nonnihil produci videtur per motum Medii. Nam corpora tardescentia paulo minus resistuntur pro ratione velocitatis, & corpora accelerata paulo magis quam quæ uniformiter progrediuntur: id adeo quia Medium, eo quem a corporibus accepit motu, in eandem plagam pergendo, in priore casu magis agitatur, in posteriore minus; ac proinde magis vel minus cum corporibus motis conspirat. Pendulis igitur in descensu magis resistit, in ascensu minus quam pro ratione velocitatis, & ex utraque causa tempus producitur.

Si corpus Funependulum in Cycloide oscillans resistitur in ratione momentorum temporis, erit ejus resistentia ad vim gravitatis utexcessus arcus descensu toto descripti supra arcum ascensu subsequente descriptum, ad penduli longitudinem duplicatam.

DesignetBCarcum descensu descriptum,Caarcum ascensu descriptum, &Aadifferentiam arcuum: & stantibus quæ in Propositione XXV. constructa & demonstrata sunt, erit vis qua corpus oscillans urgetur in loco quovisD, ad uim resistentia ut arcusCDad arcumCO, qui semissis est differentiæ illiusAa. Ideoque vis qua corpus oscillans urgetur in Cycloidis principio seu puncto altissimo, id est vis gravitatis, erit ad resistentiam ut arcus Cycloidis inter punctum illud supremum & punctum infimumCad arcumCO; id est (si arcus duplicentur) ut Cycloidis totius arcus, seu dupla penduli longitudo, ad arcumAa.Q. E. D.

Posito quod corpus in Cycloide oscillans resistitur in duplicata ratione velocitatis: invenire resistentiam in locis singulis.

Back to Index Next