Figure for Prop. XXIX.
SitBa(Fig. Prop. XXV.) arcus oscillatione integra descriptus, sitqueCinfimum Cycloidis punctum, &CZsemissis arcus Cycloidis totius, longitudini Penduli æqualis; & quæratur resistentia corporis in loco quovisD. Secetur recta infinitaOQin punctisO,C,P,Qea lege ut (si erigantur perpendiculaOK,CT,PI,QE, centroqueO& AsymptotisOK,OQdescribatur HyperbolaTIGEsecans perpendiculaCT,PI,QEinT,I&E, & per punctumIagaturKFoccurrens AsymptotoOKinK, & perpendiculisCT&QEinL&F) fuerit area HyperbolicaPIEQad aream HyperbolicamPITCut arcusBCdescensu corporis descriptus ad arcumCaascensu descriptum, & areaIEFad areamILTutOQadOC. Dein perpendiculoMNabscindatur area HyperbolicaPINMquæ sit ad aream HyperbolicamPIEQut arcusCZad arcumBCdescensu descriptum. Et si perpendiculoRGabscindatur area HyperbolicaPIGR, quæ sit ad areamPIEQut arcus quilibetCDad arcumBCdescensu toto descriptum: erit resistentia in locoDad vim gravitatis, ut area {OR÷OQ}IEF-IGHad areamPIENM.
Nam cum vires a gravitate oriundæ quibus corpus in locisZ,B,D,aurgetur, sint ut arcusCZ,CB,CD,Ca, & arcus illi sint ut areæPINM,PIEQ,PIGR,PITC; exponatur tum arcus tum vires per has areas respective. Sit insuperDdspatium quam minimum a corpore descendente descriptum, & exponatur idem per aream quam minimamRGgrparallelisRG,rgcomprehensam; & producaturrgadh, ut sintGHhg, &RGgrcontemporanea arearumIGH,PIGRdecrementa. Et areæ {OR÷OQ}IEF-IGHincrementumGHhg- {Rr÷OQ}IEF, seuRr×HG- {Rr÷OQ}IEF, erit ad areæPIGRdecrementumRGgrseuRr×RG, utHG- {IEF÷OQ} adRG; adeoque utOR×HG- {OR÷OQ}IEFadOR×GRseuOP×PI: hoc est (ob æqualiaOR×HG,OR×HR-OR×GR,ORHK-OPIK,PIHR&PIGR+IGH) utPIGR+IGH- {OR÷OQ}IEFadOPIK. Igitur si area {OR÷OQ}IEF-IGHdicaturY, atque areæPIGRdecrementumRGgrdetur, erit incrementum areæYutPIGR-Y.
Quod siVdesignet vim a gravitate oriundam arcui describendoCDproportionalem, qua corpus urgetur inD; &Rpro resistentia ponatur: eritV-Rvis tota qua corpus urgetur inD,adeoque ut incrementum velocitatis in data temporis particula factum. Est autem resistentiaR(per Hypothesin) ut quadratum velocitatis, & inde (per Lem. II.) incrementum resistentiæ ut velocitas & incrementum velocitatis conjunctim, id est ut spatium data temporis particula descriptum &V-Rconjunctim; atque adeo, si momentum spatii detur, utV-R; id est, si pro viVscribatur ejus exponensPIGR, & resistentiaRexponatur per aliam aliquam areamZ, utPIGR-Z.
Igitur areaPIGRper datorum momentorum subductionem uniformiter decrescente, crescunt areaYin rationePIGR-Y, & areaZin rationePIGR-Z. Et propterea si areæY&Zsimul incipiant & sub initio æquales sint, hæ per additionem æqualium momentorum pergent esse æquales, & æqualibus itidem momentis subinde decrescentes simul evanescent. Et vicissim, si simul incipiunt & simul evanescunt, æqualia habebunt momenta & semper erunt æquales: id adeo quia si resistentiaZaugeatur, velocitas una cum arcu illoCa, qui in ascensu corporis describitur, diminuetur; & puncto in quo motus omnis una cum resistentia cessat propius accedente ad punctumC, resistentia citius evanescet quam areaY. Et contrarium eveniet ubi resistentia diminuitur.
Jam vero areaZincipit desinitque ubi resistentia nulla est, hoc est, in principio & fine motus, ubi arcusCD,CDarcubusCB&Caæquantur, adeoque ubi rectaRGincidit in rectasQE&CT. Et areaYseu {OR÷OQ}IEF-IGHincipit desinitque ubi nulla est, adeoque ubi {OR÷OQ}IEF&IGHæqualia sunt: hoc est (per constructionem) ubi rectaRGincidit in rectamQE&CT. Proindeque areæ illæ simul incipiunt & simul evanescunt, & propterea semper sunt æquales. Igitur area {OR÷OQ}IEF-IGHæqualis est areæZ, per quam resistentia exponitur, & propterea est ad areamPINMper quam gravitas exponitur, ut resistentia ad gravitatem.Q. E. D.
Corol. 1.Est igitur resistentia in loco infimoCad vim gravitatis, ut area {OP÷OQ}IEFad areamPINM.
Corol. 2.Fit autem maxima, ubi areaPIHRest ad areamIEFutORadOQ. Eo enim in casu momentum ejus (nimirumPIGR-Y) evadit nullum.
Corol. 3.Hinc etiam innotescit velocitas in locis singulis: quippe quæ est in dimidiata ratione resistentiæ, & ipso motus initio æquatur velocitati corporis in eadem Cycloide absque omni resistentia oscillantis.
Cæterum ob difficilem calculum quo resistentia & velocitas per hanc Propositionem inveniendæ sunt, visum est Propositionem sequentem subjungere, quæ & generalior sit & ad usus Philosophicos abunde satis accurata.
Si rectaaBæqualis sit Cycloidis arcui quem corpus oscillando describit, & ad singula ejus punctaDerigantur perpendiculaDK, quæ sint ad longitudinem Penduli ut resistentia corporis in arcus punctis correspondentibus ad vim gravitatis: dico quod differentia inter arcum descensu toto descriptum, & arcum ascensu toto subsequente descriptum, ducta in arcuumeorundemsemisummam, æqualis erit areæBKaBa perpendiculis omnibusDKoccupatæ, quamproxime.
Si rectaaBæqualis sit Cycloidis arcui quem corpus oscillando describit, & ad singula ejus punctaDerigantur perpendiculaDK, quæ sint ad longitudinem Penduli ut resistentia corporis in arcus punctis correspondentibus ad vim gravitatis: dico quod differentia inter arcum descensu toto descriptum, & arcum ascensu toto subsequente descriptum, ducta in arcuumeorundemsemisummam, æqualis erit areæBKaBa perpendiculis omnibusDKoccupatæ, quamproxime.
Figure for Prop. XXX.
Exponatur enim tum Cycloidis arcus oscillatione integra descriptus, per rectam illam sibi æqualemaB, tum arcus qui describeretur in vacuo per longitudinemAB. BiseceturABinC, & punctumCrepræsentabit infimum Cycloidis punctum, & eritCDut vis a gravitate oriunda, qua corpus inDsecundum Tangentem Cycloidis urgetur, eamque habebit rationem ad longitudinem Penduli quam habet vis inDad vim gravitatis. Exponatur igitur vis illa per longitudinemCD, & vis gravitatis per longitudinem penduli; & si inDEcapiaturDKin ea ratione adlongitudinem penduli quam habet resistentia ad gravitatem, eritDKexponens resistentiæ. CentroC& intervalloCAvelCBconstruatur semicirculus,BEeA.Describatautem corpus tempore quam minimo spatiumDd, & erectis perpendiculisDE, de circumferentiæ occurrentibus inE&e, erunt hæc ut velocitates quas corpus in vacuo, descendendo a punctoB, acquireret in locisD&d. Patet hoc per Prop. LII. Lib. I. Exponantur itaq; hæ velocitates per perpendicula illaDE,de; sitqueDFvelocitas quam acquirit inDcadendo deBin Medio resistente. Et si centroC& intervalloCFdescribatur circulusFfMoccurrens rectisde&ABinf&M, eritMlocus ad quem deinceps absque ulteriore resistentia ascenderet, &dfvelocitas quam acquireret ind. Unde etiam siFgdesignet velocitatis momentum quod corpusD, describendo spatium quam minimumDd, ex resistentia Medii amittit, & sumaturCNæqualisCg: eritNlocus ad quem corpus deinceps absque ulteriore resistentia ascenderet, &MNerit decrementum ascensus ex velocitatis illius amissione oriundum. Addfdemittatur perpendiculumFm, & velocitatisDFdecrementumfga resistentiaDKgenitum, erit ad velocitatis ejusdem incrementumfmaviCDgenitum, ut vis generansDKad vim generantemCD. Sed & ob similia triangulaFmf,Fhg,FDC, estfmadFmseuDd, utCDadDF, & ex æquoFgadDdutDKadDF. ItemFgadFhutCFadDF; & ex æquo perturbateFhseuMNadDdutDKadCF. SumaturDRad ½aButDKadCF, & eritMNadDdutDRad ½aB; ideoque summa omniumMN× ½aB, id estAa× ½aB, æqualis erit summæ omniumDd×DR, id est areæBRrSa, quam rectangula omniaDd×DRseuDRrdcomponunt. BisecenturAa&aBinP&O, & erit ½aBseuOBæqualisCP, ideoqueDRest adDKutCPadCFvelCM, & divisimKRadDRutPMadCP. Ideoque cum punctumM, ubi corpus versatur in medio oscillationis locoO, incidat circiter in punctumP, & priore oscillationis parte versetur interA&P, posteriore autem interP&a, utroque in casu æqualiter a punctoPin partes contrarias errans: punctumKcirca medium oscillationis locum, id est e regione punctiO, puta inV, incidet in punctumR; in priore autem oscillationis parte jacebit interR&E, & in posteriore interR&D, utroque in casu æqualiter a punctoRin partes contrarias errans. Proinde area quam lineaKRdescribit, priore oscillationis parte jacebit extra areamBRSa, posteriore intra eandem, idque dimensionibus hinc inde propemodum æquatis inter se; & propterea in casu priore addita areæBRSa, in posteriore eidem subducta, relinquet areamBKTaareæBRSaæqualem quam proxime. Ergo rectangulumAa× ½aBseuAaO, cum sit æquale areæBRSa, erit etiam æquale areæBKTaquamproxime.Q. E. D.
Corol.Hinc ex lege resistentiæ & arcuumCa,CBdifferentiaAa, colligi potest proportio resistentiæ ad gravitatem quam proxime.
Nam si uniformis sit resistentiaDK, figuraaBKkTrectangulum erit subBa&DK, & inde rectangulum sub ½Ba&Aaæqualis erit rectangulo subBa&DK, &DKæqualis erit ½Aa. Quare cumDKsit exponens resistentiæ, & longitudo penduli exponens gravitatis, erit resistentia ad gravitatem ut ½Aaad longitudinem Penduli; omnino ut in Propositione XXVIII. demonstratum est.
Si resistentia sit ut velocitas, FiguraaBKkTEllipsis erit quam proxime. Nam si corpus, in Medio non resistente, oscillatione integra describeret longitudinemBA, velocitas in loco quovisDforet ut circuli diametroABdescripti ordinatim applicataDE. Proinde cumBain Medio resistente &BAin Medio non resistente, æqualibus circiter temporibus describantur; adeoquevelocitates in singulis ipsiusBapunctis, sint quam proxime ad velocitates in punctis correspondentibus longitudinisBA, ut estBaadBA; erit velocitasDKin Medio resistente ut circuli vel Ellipseos super diametroBadescripti ordinatim applicata; adeoque figuraBKVTaEllipsis, quam proxime. Cum resistentia velocitati proportionalis supponatur, sitOVexponens resistentiæ in puncto MedioO; & Ellipsis, centroO, semiaxibusOB,OVdescripta, figuramaBKVT, eique æquale rectangulumAa×BO, æquabit quam proxime. Est igiturAa×BOadOV×BOut area Ellipseos hujus adOV×BO: id estAaadOVut area semicirculi, ad quadratum radii sive ut 11 and 7 circiter: Et propterea:7/11Aaad longitudinem penduli ut corporis oscillantis resistentia inOad ejusdem gravitatem.
Quod si resistentiaDKsit in duplicata ratione velocitatis, figuraBKTVaParabola erit verticem habensV& axemOV, ideoque æqualis erit duabus tertiis partibus rectanguli subBa&OVquam proxime. Est igitur rectangulum sub ½Ba&Aaæquale rectangulo sub ⅔Ba&OV, adeoqueOVæqualis ¾Aa, & propterea corporis oscillantis resistentia inOad ipsius gravitatem ut ¾Aaad longitudinem Penduli.
Atque has conclusiones in rebus practicis abunde satis accuratas esse censeo. Nam cum Ellipsis vel Parabola congruat cum figuraBKVTain puncto medioV, hæc si ad partem alterutramBKVvelVTaexcedit figuram illam, deficiet ab eadem ad partem alteram, & sic eidem æquabitur quam proxime.
Si corporis oscillantis resistentia in singulis arcuum descriptorum partibus proportionalibus augeatur vel minuatur in data ratione; differentia inter arcum descensu descriptum & arcum subsequente ascensu descriptum, augebitur vel diminuetur in eadem ratione quamproxime.
Si corporis oscillantis resistentia in singulis arcuum descriptorum partibus proportionalibus augeatur vel minuatur in data ratione; differentia inter arcum descensu descriptum & arcum subsequente ascensu descriptum, augebitur vel diminuetur in eadem ratione quamproxime.
Oritur enim differentia illa ex retardatione Penduli perresistentiam Medii, adeoque est ut retardatio tota eique proportionalis resistentia retardans. In superiore Propositione rectangulum sub recta ½aB& arcuum illorumCB,CadifferentiaAa, æqualis erat areæBKT. Et area illa, si maneat longitudoaB, augetur vel diminuitur in ratione ordinatim applicatarumDK; hoc est in ratione resistentiæ, adeoque est ut longitudoaB& resistentia conjunctim. Proindeque rectangulum subAa& ½aBest utaB& resistentia conjunctim, & proptereaAaut resistentia.Q. E. D.
Corol. 1.Unde si resistentia sit ut velocitas, differentia arcuum in eodem Medio erit ut arcus totus descriptus: & contra.
Corol. 2.Si resistentia sit in duplicata ratione velocitatis, differentia illa erit in duplicata ratione arcus totius; & contra.
Corol. 3.Et universaliter, si resistentia sit in triplicata vel alia quavis ratione velocitatis, differentia erit in eadem ratione arcus totius; & contra.
Corol. 4.Et si resistentia sit partim in ratione simplici velocitatis, partim in ejusdem ratione duplicata, differentia erit partim in ratione arcus totius & partim in ejus ratione duplicata; & contra. Eadem erit lex & ratio resistentiæ pro velocitate, quæ est differentiæ illius pro longitudine arcus.
Corol. 5.Ideoque si, pendulo inæquales arcus successive describente, inveniri potest ratio incrementi ac decrementi resistentiæ hujus pro longitudine arcus descripti, habebitur etiam ratio incrementi ac decrementi resistentiæ pro velocitate majore vel minore.
De Motu Fluidorum & resistentia Projectilium.
Si corporum Systemata duo ex æquali particularum numero constent & particulæ correspondentes similes sint, singulæ in uno Systemate singulis in altero, ac datam habeant rationem densitatis ad invicem, & inter se temporibus proportionalibus similiter moveri incipiant, (eæ inter se quæ in uno sunt Systemate & eæ inter se quæ sunt in altero) & si non tangant se mutuo quæ in eodem sunt Systemate, nisi in momentis reflexionum, neque attrahant vel fugent se mutuo, nisi viribus acceleratricibus quæ sint ut particularum correspondentium diametri inverse & quadrata velocitatum directe: dico quod Systematum particulæ ille pergent inter se temporibus proportionalibus similiter moveri; & contra.
Si corporum Systemata duo ex æquali particularum numero constent & particulæ correspondentes similes sint, singulæ in uno Systemate singulis in altero, ac datam habeant rationem densitatis ad invicem, & inter se temporibus proportionalibus similiter moveri incipiant, (eæ inter se quæ in uno sunt Systemate & eæ inter se quæ sunt in altero) & si non tangant se mutuo quæ in eodem sunt Systemate, nisi in momentis reflexionum, neque attrahant vel fugent se mutuo, nisi viribus acceleratricibus quæ sint ut particularum correspondentium diametri inverse & quadrata velocitatum directe: dico quod Systematum particulæ ille pergent inter se temporibus proportionalibus similiter moveri; & contra.
Corpora similia temporibus proportionalibus inter se similiter moveri dico, quorum situs ad invicem in fine temporum illorum semper sunt similes: puta si particulæ unius Systematis cum alterius particulis correspondentibus conferantur. Unde tempora erunt proportionalia, in quibus similes & proportionales figurarum similium partes a particulis correspondentibus describuntur. Igitur si duo sint ejusmodi Systemata, particulæ correspondentes, ob similitudinem incæptorum motuum, pergent similiter moveri usque donec sibi mutuo occurrant. Nam si nullis agitantur viribus, progredientur uniformiter in lineis rectis per motus Leg. I. Si viribus aliquibus se mutuo agitant, & vires illæ sint ut particularum correspondentium diametri inverse & quadrata velocitatum directe; quoniam particularum situs sunt similes & vires proportionales, vires totæ quibus particulæ correspondentesagitantur, ex viribus singulis agitantibus (per Legum Corollarium secundum) compositæ, similes habebunt determinationes, perinde ac si centra inter particulas similiter sita respicerent; & erunt vires illæ totæ ad invicem ut vires singulæ componentes, hoc est ut correspondentium particularum diametri inverse, & quadrata velocitatum directe: & propterea efficient ut correspondentes particulæ figuras similes describere pergant. Hæc ita se habebunt per Corol. 1. 2, & 7. Prop. IV. si modo centra illa quiescant. Sin moveantur, quoniam ob translationum similitudinem, similes manent eorum situs inter Systematum particulas; similes inducentur mutationes in figuris quas particulæ describunt. Similes igitur erunt correspondentium & similium particularum motus usque ad occursus suos primos, & propterea similes occursus, & similes reflexiones, & subinde (per jam ostensa) similes motus inter se, donec iterum in se mutuo inciderint, & sic deinceps in infinitum.Q. E. D.
Corol. 1.Hinc si corpora duo quævis, quæ similia sint & ad Systematum particulas correspondentes similiter sita, inter ipsas temporibus proportionalibus similiter moveri incipiant, sintque eorum densitates ad invicem ut densitates correspondentium particularum: hæc pergent temporibus proportionalibus similiter moveri. Est enim eadem ratio partium majorum Systematis utriusque atque particularum.
Corol. 2.Et si similes & similiter positæ Systematum partes omnes quiescant inter se: & earum duæ, quæ cæteris majores sint, & sibi mutuo in utroque Systemate correspondeant, secundum lineas similiter sitas simili cum motu utcunque moveri incipiant: hæ similes in reliquis systematum partibus excitabunt motus, & pergent inter ipsas temporibus proportionalibus similiter moveri; atque adeo spatia diametris suis proportionalia describere.
Iisdem positis, dico quod Systematum partes majores resistuntur in ratione composita ex duplicata ratione velocitatum suarum & duplicata ratione diametrorum & ratione densitatis partium Systematum.
Iisdem positis, dico quod Systematum partes majores resistuntur in ratione composita ex duplicata ratione velocitatum suarum & duplicata ratione diametrorum & ratione densitatis partium Systematum.
Nam resistentia oritur partim ex viribus centripetis vel centrifugis quibus particulæ systematum se mutuo agitant, partim ex occursibus & reflexionibus particularum & partium majorum. Prioris autem generis resistentiæ sunt ad invicem ut vires totæ motrices a quibus oriuntur, id est ut vires totæ acceleratrices & quantitates materiæ in partibus correspondentibus; hoc est (per Hypothesin) ut quadrata velocitatum directe & distantiæ particularum correspondentium inverse & quantitates materiæ in partibus correspondentibus directe: ideoque (cum distantiæ particularum systematis unius sint ad distantias correspondentes particularum alterius, ut diameter particulæ vel partis in systemate priore ad diametrum particulæ vel partis correspondentis in altero, & quantitates materiæ sint ut densitates partium & cubi diametrorum) resistentiæ sunt ad invicem ut quadrata velocitatum & quadrata diametrorum & densitates partium Systematum.Q. E. D.Posterioris generis resistentiæ sunt ut reflexionum correspondentium numeri & vires conjunctim. Numeri autem reflexionum sunt ad invicem ut velocitates partium correspondentium directe, & spatia inter eorum reflexiones inverse. Et vires reflexionum sunt ut velocitates & magnitudines & densitates partium correspondentium conjunctim; id est ut velocitates & diametrorum cubi & densitates partium. Et conjunctis his omnibus rationibus, resistentiæ partium correspondentium sunt ad invicem ut quadrata velocitatum & quadrata diametrorum & densitates partium conjunctim.Q. E. D.
Corol. 1.Igitur si systemata illa sint Fluida duo Elastica ad modum Aeris, & partes eorum quiescant inter se: corporaautem duo similia & partibus fluidorum quoad magnitudinem & densitatem proportionalia, & inter partes illas similiter posita, secundum lineas similiter positas utcunque projiciantur; vires autem motrices, quibus particulæ Fluidorum se mutuo agitant, sint ut corporum projectorum diametri inverse, & quadrata velocitatum directe: corpora illa temporibus proportionalibus similes excitabunt motus in Fluidis, & spatia similia ac diametris suis proportionalia describent.
Corol. 2.Proinde in eodem Fluido projectile velox resistitur in duplicata ratione velocitatis quam proxime. Nam si vires, quibus particulæ distantes se mutuo agitant,augerenturin duplicata ratione velocitatis, projectile resisteretur in eadem ratione duplicata accurate; ideoque in Medio, cujus partes ab invicem distantes sese viribus nullis agitant, resistentia est in duplicata ratione velocitatis accurate. Sunto igitur Media triaA,B,Cex partibus similibus & æqualibus & secundum distantias æquales regulariter dispositis constantia. Partes MediorumA&Bfugiant se mutuo viribus quæ sint ad invicem utT&V, illæ MediiCejusmodi viribus omnino destituantur. Et si corpora quatuor æqualiaD,E,F,Gin his Mediis moveantur, priora duoD&Ein prioribus duobusA&B, & altera duoF&Gin tertioC; sitque velocitas corporisDad velocitatem corporisE, & velocitas corporisFad velocitatem corporisG, in dimidiata ratione viriumTad viresV; resistentia corporisDerit ad resistentiam corporisE, & resistentia corporisFad resistentiam corporisGin velocitatum ratione duplicata; & propterea resistentia corporisDerit ad resistentiam corporisFut resistentia corporisEad resistentiam corporisG. Sunto corporaD&Fæquivelocia ut & corporaE&G; & augendo velocitates corporumD&Fin ratione quacunque, ac diminuendo vires particularum MediiBin eadem ratione duplicata, accedet MediumBad formam & conditionem MediiCpro lubitu, & idcirco resistentiæ corporum æqualium & æquivelociumE&Gin his Mediis, perpetuo accedent adæqualitatem, ita ut earum differentia evadat tandem minor quam data quævis. Proinde cum resistentiæ corporumD&Fsint ad invicem ut resistentiæ corporumE&G, accedent etiam hæ similiter ad rationem æqualitatis. Corporum igiturD&F, ubi velocissime moventur, resistentiæ sunt æquales quam proxime: & propterea cum resistentia corporisFsit in duplicata ratione velocitatis, erit resistentia corporisDin eadem ratione quamproxime.Q. E. D.
Corol. 3.Igitur corporis in Fluido quovis Elastico velocissime moventis eadem fere est resistentia ac si partes Fluidi viribus suis centrifugis destituerentur, seque mutuo non fugerent: si modo Fluidi vis Elastica ex particularum viribus centrifugis oriatur.
Corol. 4.Proinde cum resistentiæ similium & æquivelocium corporum, in Medio cujus partes distantes se mutuo non fugiunt, sint ut quadrata diametrorum, sunt etiam æquivelocium & celerrime moventium corporum resistentiæ in Fluido Elastico ut quadrata diametrorum quam proxime.
Corol. 5.Et cum corpora similia, æqualia & æquivelocia, in Mediis ejusdem densitatis, quorum particulæ se mutuo non fugiunt, sive particulæ illæ sint plures & minores, sive pauciores & majores, in æqualem materiæ quantitatem temporibus æqualibus inpingant, eique æqualem motus quantitatem imprimant, & vicissim (per motus Legem tertiam) æqualem ab eadem reactionem patiantur, hoc est, æqualiter resistantur: manifestum est etiam quod in ejusdem densitatis Fluidis Elasticis, ubi velocissime moventur, æquales sint eorum resistentiæ quam proxime; sive Fluida illa ex particulis crassioribus constent, sive ex omnium subtilissimis constituantur. Ex Medii subtilitate resistentia projectilium celerrime motorum non multum diminuitur.
Corol. 6.Cum autem particulæ Fluidorum, propter vires quibus se mutuo fugiunt, moveri nequeant quin simul agitent particulas alias in circuitu, atque adeo difficilius moveantur inter se quam si viribus istis destituerentur; & quo majores sint earumvires centrifugæ, eo difficilius moveantur inter se: manifestum esse videtur quod projectile in tali Fluido eo difficilius movebitur, quo vires illæ sunt intensiores; & propterea si corporis velocissimi in superioribus Corollariis velocitas diminuatur, quoniam resistentia diminueretur in duplicata ratione velocitatis, si modo vires particularum in eadem ratione duplicata diminuerentur; vires autem nullatenus diminuantur, manifestum est quod resistentia diminuetur in ratione minore quam duplicata velocitatis.
Corol. 7.Porro cum vires centrifugæ eo nomine ad augendam resistentiam conducant, quod particulæ motus suos per Fluidum ad majorem a se distantiam per vires illas propagent; & cum distantia illa minorem habeat rationem ad majora corpora: manifestum est quod augmentum resistentiæ ex viribus illis oriundum in corporibus majoribus minoris sit momenti; & propterea, quo corpora sint majora eo magis accurate resistentia tardescentium decrescet in duplicata ratione velocitatis.
Corol. 8.Unde etiam ratio illa duplicata magis accurate obtinebit in Fluidis quæ, pari densitate & vi Elastica, ex particulis minoribus constant. Nam si corpora illa majora diminuantur, & particulæ Fluidi, manente ejus densitate & vi Elastica, diminuantur in eadem ratione; manebit eadem ratio resistentiæ quæ prius: ut ex præcedentibus facile colligitur.
Corol. 9.Hæc omnia ita se habent in Fluidis, quorum vis Elastica ex particularum viribus centrifugis originem ducit. Quod si vis illa aliunde oriatur, veluti ex particularum expansione ad instar Lanæ vel ramorum arborum, aut ex alia quavis causa, qua motus particularum inter se redduntur minus liberi: resistentia, ob minorem Medii fluiditatem, erit major quam in superioribus Corollariis.
Quæ in præcedentibus duabus Propositionibus demonstrata sunt, obtinent ubi particulæ Systematum se mutuo contingunt, si modo particulæ illæ sint summe lubricæ.
Quæ in præcedentibus duabus Propositionibus demonstrata sunt, obtinent ubi particulæ Systematum se mutuo contingunt, si modo particulæ illæ sint summe lubricæ.
Concipe particulas viribus quibusdam se mutuo fugere, & vires illas in accessu ad superficies particularum augeri in infinitum, & contra, in recessu ab iisdem celerrime diminui & statim evanescere. Concipe etiam systemata comprimi, ita ut partes eorum se mutuo contingant, nisi quatenus vires illæ contactum impediunt. Sint autem spatia per quæ vires particularum diffunduntur quam angustissima, ita ut particulæ se mutuo quam proxime contingant: & motus particularum inter se iidem erunt quam proxime ac si se mutuo contingerent. Eadem facilitate labentur inter se ac si essent summe lubricæ, & si impingant in se mutuo reflectentur ab invicem ope virium præfatarum, perinde ac si essent Elasticæ. Itaque motus erunt iidem in utroque casu, nisi quatenus perexigua particularum sese non contingentium intervalla diversitatem efficiant: quæ quidem diversitas diminuendo particularum intervalla diminui potest in infinitum. Jam vero quæ in præcedentibus duabus Propositionibus demonstrata sunt, obtinent in particulis sese non contingentibus, idque licet intervalla particularum, diminuendo spatia per quæ vires diffunduntur, diminuantur in infinitum. Et propterea eadem obtinent in particulis sese contingentibus, exceptis solum differentiis quæ tandem differentiis quibusvis datis minores evadant. Dico igitur quod accurate obtinent. Si negas, assigna differentiam in casu quocunque. Atqui jam probatum est quod differentia minor sit quam data quævis. Ergo differentia falso assignatur, & propterea nulla est.Q. E. D.
Corol. 1.Igitur si Systematum duorum partes omnes quiescant inter se, exceptis duabus, quæ cæteris majores sint & sibimutuo correspondeant inter cæteras similiter sitæ. Hæ secundum lineas similiter positas utcunque projectæ similes excitabunt motus in Systematibus, & temporibus proportionalibus pergent spatia similia & diametris suis proportionalia describere; & resistentur in ratione composita ex duplicata ratione velocitatum & duplicata ratione diametrorum & ratione densitatis Systematum.
Corol. 2.Unde si Systemata illa sint Fluida duo similia, & eorum partes duæ majores sint corpora in iisdem projecta: sint autem Fluidorum particulæ summe lubricæ, & quoad magnitudinem & densitatem proportionales corporibus: pergent corpora temporibus proportionalibus spatia similia & diametris suis proportionalia describere, & resistentur in ratione Corollario superiore definita.
Corol. 3.Proinde in eodem Fluido Projectile magnitudine datum resistitur in duplicata ratione velocitatis.
Corol. 4.At si particulæ Fluidi non sint summe lubricæ, vel si viribus quibuscunque se mutuo agitant, quibus motuum libertas diminuitur: Projectilia tardiora difficilius superabunt resistentiam, & propterea magis resistentur quam in velocitatis ratione duplicata.
Si Globus & Cylindrus æqualibus diametris descripti, in Medio raro & Elastico, secundum plagam axis Cylindri, æquali cum velocitate celerrime moveantur: erit resistentia Globi duplo minor quam resistentia Cylindri.
Si Globus & Cylindrus æqualibus diametris descripti, in Medio raro & Elastico, secundum plagam axis Cylindri, æquali cum velocitate celerrime moveantur: erit resistentia Globi duplo minor quam resistentia Cylindri.
Figure for Prop. XXXV.
Nam quoniam resistentia (per Corol. 3. Prop. XXXIII.) eadem est quam proxime ac si partes Fluidi viribus nullis se mutuo fugerent, supponamus partes Fluidi ejusmodi viribus destitutas per spatia omnia uniformiter dispergi. Et quoniam actio Medii in corpus eadem est (per Legum Corol. 5.) sive corpus in Medio quiescente moveatur, sive Medii particulæ eadem cumvelocitate impingant in corpus quiescens: consideremus corpus tanquam quiescens, & videamus quo impetu urgebitur a Medio movente. Designet igiturABKIcorpus Sphæricum centroCsemidiametroCAdescriptum, & incidant particulæ Medii data cum velocitate in corpus illud Sphæricum, secundum rectas ipsiACparallelas: SitqueFBejusmodi recta. In ea capiaturLBsemidiametroCBæqualis, & ducaturBDquæ Sphæram tangat inB. InAC&BDdemittantur perpendicularesBE,DL, & vis qua particula Medii, secundum rectamFBoblique incidendo, Globum ferit inB, erit ad vim qua particula eadem CylindrumONGQaxeACIcirca Globum descriptum perpendiculariter feriret inb, utLDadLBvelBEadBC. Rursus efficacia hujus vis ad movendum globum secundum incidentiæ suæ plagamFBvelAC, est ad ejusdem efficaciam ad movendum globum secundum plagam determinationis suæ, id est secundum plagam rectæBCqua globum directe urget, utBEadBC. Et conjunctis rationibus, efficacia particulæ, in globum secundum rectamFBoblique incidentis, ad movendum eundem secundum plagam incidentiæ suæ, est ad efficaciam particulæ ejusdem secundum eandem rectam in cylindrum perpendiculariter incidentis, ad ipsum movendum in plagam eandem, utBEquadratum adBCquadratum. Quare si ad cylindri basem circularemNAOerigatur perpendiculumbHE, & sitbEæqualis radioAC, &bHæqualisBEquad.÷CB, eritbHadbEut effectus particulæ in globum ad effectum particulæ in cylindrum. Et propterea Solidum quod a rectis omnibusbHoccupatur erit ad solidum quod a rectis omnibusbEoccupatur, ut effectus particularum omnium in globum ad effectum particularum omnium in Cylindrum. Sed solidum prius est Parabolois verticeV, axeCA& latere rectoCAdescriptum, & solidum posterius est cylindrus Paraboloidi circumscriptus: & notum est quod Parabolois sit semissis cylindri circumscripti. Ergo vis tota Medii in globum est duplo minor quam ejusdem vis tota in cylindrum. Et propterea si particulæ Medii quiescerent, & cylindrus ac globus æquali cum velocitate moverentur, foret resistentia globi duplo minor quam resistentia cylindri.Q. E. D.
Figure for Scholium.
Eadem methodo figuræ aliæ inter se quoad resistentiam comparari possunt, eæque inveniri quæ ad motus suos in Mediis resistentibus continuandos aptiores sunt. Ut si base circulariCEBH, quæ centroO, radioOCdescribitur, & altitudineOD, construendum sit frustum coniCBGF, quod omnium eadem basi & altitudine constructorum & secundum plagam axis sui versusDprogredientium frustorum minime resistatur: biseca altitudinemODinQ& produc,OQadSut sitQSæqualisQC, & eritSvertex coni cujus frustum quæritur.
Unde obiter cum angulusCSBsemper sit acutus, consequens est, quod si solidumADBEconvolutione figuræ Ellipticæ vel OvalisADBEcirca axemABfacta generetur, & tangatur figura generans a rectis tribusFG,GH,HIin punctisF,B&I, ea lege utGHsit perpendicularis ad axem in puncto contactusB, &FG,HIcum eademGHcontineant angulosFGB,BHIgraduum 135: solidum, quod convolutione figuræADFGHIEcircaaxem eundemCBgeneratur, minus resistitur quam solidum prius; si modo utrumque secundum plagam axis suiABprogrediatur, & utriusque terminusBpræcedat. Quam quidem propositionem in construendis Navibus non inutilem futuram esse censeo.
Figure for Scholium.
Quod si figuraDNFBejusmodi sit ut, si ab ejus puncto quovisNad axemABdemittatur perpendiculumNM, & a puncto datoGducatur rectaGRquæ parallela sit rectæ figuram tangenti inN, & axem productum secet inR, fueritMNadGRutGR cub.ad 4BR×GBq.: Solidum quod figuræ hujus revolutione circa axemABfacta describitur, in Medio raro & Elastico abAversusBvelocissime movendo, minus resistetur quam aliud quodvis eadem longitudine & latitudine descriptum Solidum circulare.
Invenire resistentiam corporis Sphærici in Fluido raro & Elastico velocissime progredientis.(Vide Fig. Pag. 325.)
Invenire resistentiam corporis Sphærici in Fluido raro & Elastico velocissime progredientis.(Vide Fig. Pag. 325.)
DesignetABKIcorpus Sphæricum centroCsemidiametroCAdescriptum. ProducaturCAprimo adSdeinde adR, ut sitASpars tertia ipsiusCA, &CRsit adCSut densitas corporis Sphærici ad densitatem Medii. AdCRerigantur perpendiculaPC,RX, centroqueR& AsymptotisCR,RXdescribatur Hyperbola quævisPVY. InCRcapiaturCTlongitudinis cujusvis, & erigatur perpendiculumTVabscindens aream HyperbolicamPCTV, & sitCZlatus hujus areæ applicatæ ad rectamPC. Dico quod motus quem globus, describendo spatiumCZ, ex resistentia Medii amittet, erit ad ejus motum totum sub initio ut longitudoCTad longitudinemCRquamproxime.
Nam (per motuum Legem tertiam) motus quem cylindrusGNOQcirca globum descriptus impingendo in Medii particulas amitteret, æqualis est motui quem imprimeret in easdem particulas. Ponamus quod particulæ singulæ reflectantur a cylindro, & ab eodem ea cum velocitate resiliant, quacum cylindrus ad ipsas accedebat. Nam talis erit reflexio, per Legum Corol. 3. si modo particulæ quam minime sint, & vi Elastica quam maxima reflectantur. Velocitas igitur quacum a cylindro resiliunt, addita velocitati cylindri componet totam velocitatem duplo majorem quam velocitas cylindri, & propterea motus quem cylindrus ex reflexione particulæ cujusque amittit, erit ad motum totum cylindri, ut particula duplicata ad cylindrum. Proinde cum densitas Medii sit ad densitatem cylindri utCSadCR; siCtsit longitudo tempore quam minimo a cylindro descripta, erit motus eo tempore amissus ad motum totum cylindri ut 2Ct×CSadAI×CR. Ea enim est ratio materiæ Medii, a cylindro protrusæ & reflexæ, ad massam cylindri. Unde cum globus sit duæ tertiæ partes cylindri, & resistentia globi (per Propositionem superiorem) sit duplo minor quam resistentia cylindri: erit motus, quem globus describendo longitudinemLamittit, ad motum totum globi, utCt×CSad ⅔AI×CR, sive utCtadCR. Erigatur perpendiculumtvHyperbolæ occurrens inv, & (per Corol. 1. Prop. V. Lib. II.) si corpus describendo longitudinem areæCtvPproportionalem, amittit motus sui totiusCRpartem quamvisCt, idem describendo longitudinem areæCTVPproportionalem, amittet motus sui partemCT. Sed longitudoCtæqualis estCPvt÷CP, & longitudoCZ(per Hypothesin) æqualis estCPTV÷CP, adeoque longitudoCtest ad longitudinemCZut areaCPvtad areamCPVT. Et propterea cum globus describendo longitudinem quam minimamCtamittat motus sui partem, quæ sit ad totum utCtadCR, isdescribendo longitudinem aliam quamvisCZ, amittet motus sui partem quæ sit ad totum utCTadCR.Q. E. D.
Corol. 1.Si detur corporis velocitas sub initio, dabitur tempus quo corpus, describendo spatiumCt, amittet motus sui partemCt: & inde, dicendo quod resistentia sit ad vim gravitatis ut ista motus pars amissa ad motum, quem gravitas Globi eodem tempore generaret; dabitur proportio resistentiæ ad gravitatem Globi.
Corol. 2.Quoniam in his determinandis supposui quod particulæ Fluidi per vim suam Elasticam quam maxime a Globo reflectantur, & particularum sic reflexarum impetus in Globum duplo major sit quam si non reflecterentur: manifestum est quod in Fluido, cujus particulæ vi omni Elastica aliaque omni vi reflexiva destituuntur, corpus Sphæricum resistentiam duplo minorem patietur; adeoque eandem velocitatis partem amittendo, duplo longius progredietur quam pro constructione Problematis hujus superius allata.
Corol. 3.Et si particularum vis reflexiva neque maxima sit neque omnino nulla, sed mediocrem aliquam rationem teneat: resistentia pariter, inter limites in constructione Problematis & Corollario superiore positos, mediocrem rationem tenebit.
Corol. 4.Cum corpora tarda paulo magis resistantur quam pro ratione duplicata velocitatis: hæc describendo longitudinem quamvisCZamittent majorem motus sui partem, quam quæ sit ad motum suum totum utCTadCR.
Corol. 5.Cognita autem resistentia corporum celerrimorum, innotescet etiam resistentia tardorum; si modo lex decrementi resistentiæ pro ratione velocitatis inveniri potest.
Aquæ de vase dato per foramen effluentis definire motum.
Aquæ de vase dato per foramen effluentis definire motum.
Si vas impleatur aqua, & in fundo perforetur ut aqua per foramen defluat, manifestum est quod vas sustinebit pondus aquæ totius, dempto pondere partis illius quod foramini perpendiculariter imminet. Nam si foramen obstaculo aliquo occluderetur, obstaculum sustineret pondus aquæ sibi perpendiculariter incumbentis, & fundum vasis sustineret pondus aquæ reliquæ. Sublato autem obstaculo, fundum vasis eadem aquæ pressione eodemve ipsius pondere urgebitur ac prius; & pondus quod obstaculum sustinebat, cum jam non sustineatur, faciet ut aqua descendat & per foramen defluat.
Unde consequens est, quod motus aquæ totius effluentis is erit quem pondus aquæ foramini perpendiculariter incumbentis generare possit. Nam aquæ particula unaquæque pondere suo, quatenus non impeditur, descendit, idque motu uniformiter accelerato; & quatenus impeditur, urgebit obstaculum. Obstaculum illud vel vasis est fundum, vel aqua inferior defluens; & propterea ponderis pars illa, quam vasis fundum non sustinet, urgebit aquam defluentem & motum sibi proportionalem generabit.
Designet igiturFaream foraminis,Aaltitudinem aquæ foramini perpendiculariter incumbentis,Ppondus ejus,AFquantitatem ejus,Sspatium quod dato quovis temporeTin vacuo libere cadendo describeret, &Vvelocitatem quam in fine temporis illius cadendo acquisierit: & motus ejus acquisitusAF×Væqualis erit motui aquæ totius eodem tempore effluentis. Sit velocitas quacum effluendo exit de foramine, ad velocitatemVutdade; & cum aqua velocitateVdescribere posset spatium 2S, aqua effluens eodem tempore, velocitate sua {d÷e}Vdescribere posset spatium {2d÷e}S. Et propterea columna aquæ cujus longitudosit {2d÷e}S& latitudo eadem quæ foraminis, posset eo tempore defluendo egredi de vase, hoc est columna {2d÷e}SF. Quare motus {2dd÷ee}SFV, qui fiet ducendo quantitatem aquæ effluentis in velocitatem suam, hoc est motus omnis tempore effluxus illius genitus, æquabitur motuiAF×V. Et si æquales illi motusapplicenturadFV; fiet {2dd÷ee}SæqualisA. Unde estddadeeutAad 2S, &dadein dimidiata ratione ½AadS. Est igitur velocitas quacum aqua exit e foramine, ad velocitatem quam aqua cadens, & temporeTcadendo describens spatiumSacquireret, ut altitudo aquæ foramini perpendiculariter incumbentis, ad medium proportionale inter altitudinem illam duplicatam & spatium illudS, quod corpus temporeTcadendo describeret.
Igitur si motus illi sursum vertantur; quoniam aqua velocitateVascenderet ad altitudinem illamSde qua deciderat; & altitudines (uti notum est) sint in duplicata ratione velocitatum: aqua effluens ascenderet ad altitudinem ½A. Et propterea quantitas aquæ effluentis; quo tempore corpus cadendo describere posset altitudinem ½A, æqualis erit columnæ aquæ totiusAFforamini perpendiculariter imminentis.
Cum autem aqua effluens, motu suo sursum verso, perpendiculariter surgeret ad dimidiam altitudinem aquæ foramini incumbentis; consequens est quod si egrediatur oblique per canalem in latus vasis, describet in spatiis non resistentibus Parabolam cujus latus rectum est altitudo aquæ in vase supra canalis orificium, & cujus diameter horizonti perpendicularis ab orificio illo ducitur, atque ordinatim applicatæ parallelæ sunt axi canalis.
Hæc omnia de Fluido subtilissimo intelligenda sunt. Nam si aqua ex partibus crassioribus constet, hæc tardius effluet quam pro ratione superius assignata, præsertim si foramen angustum sit per quod effluit.
Denique si aqua per canalem horizonti parallelum egrediatur; quoniam fundum vasis integrum est, & eadem aquæ incumbentis pressione ubique urgetur ac si aqua non efflueret; vas sustinebit pondus aquæ totius, non obstante effluxu, sed latus vasis de quo effluit non sustinebit pressionem illam omnem, quam sustineret si aqua non efflueret. Tolletur enim pressio partis illius ubi perforatur: quæ quidem pressio æqualis est ponderi columnæ aquæ, cujus basis foramini æquatur & altitudo eadem est quæ aquæ totius supra foramen. Et propterea si vas, ad modum corporis penduli, filo prælongo a clavo suspendatur, hoc, si aqua in plagam quamvis secundum lineam horizontalem effluit, recedet semper a perpendiculo in plagam contrariam. Et par est ratio motus pilarum, quæ Pulvere tormentario madefacto implentur, &, materia in flammam per foramen paulatim expirante, recedunt a regione flammæ & in partem contrariam cum impetu feruntur.
Corporum Sphæricorum in Mediis quibusque Fluidissimis resistentiam in anteriore superficie definire.
Corporum Sphæricorum in Mediis quibusque Fluidissimis resistentiam in anteriore superficie definire.