Figure for Prop. XXX.
DesignetSSolem,TTerram,PLunam,NPnOrbem Lunæ,Npnvestigium Orbis in plano Eclipticæ;N,n, Nodos,nTNmlineam Nodorum infinitè productam,PI,PK; perpendicula demissa in lineasST,Qq;Ppperpendiculum demissum in planum Eclipticæ;Q,qQuadraturas Lunæ in plano Eclipticæ &pKperpendiculum in lineamQqQuadraturis intrajacentem. Et vis Solis ad perturbandum motum Lunæ (per Prop. XXV.) duplex erit, altera lineæ 2ITvel 2Kp, altera lineæPIproportionalis. Et Luna vi priore in Solem, posteriore in lineamSTtrahitur.Componitur autem vis posteriorPIex viribusIT&PT, quarumPTagit secundum planum orbis Lunaris, & propterea situm plani nil mutat. Hæc igitur negligenda est. Vis autemITcum vi 2ITcomponit vim totam 3IT, qua planum Orbis Lunaris perturbatur. Et hæc vis per Prop. XXV. est ad vim qua Luna in circulo circa Terram quiescentem tempore suo periodico revolvi posset, ut 3ITad Radium circuli multiplicatum per numerum 178,725, sive utITad Radium multiplicatum per 59,575. Cæterum in hoc calculo & eo omni qui sequitur, considero lineas omnes à Luna ad Solem ductas tanquam parallelas lineæ quæ à Terra ad Solem ducitur, propterea quod inclinatio tantum ferè minuit effectus omnes in aliquibus casibus, quantum auget in aliis; & Nodorum motus mediocres quærimus, neglectis istiusmodi minutiis, quæ calculum nimis impeditum redderent.
Designet jamPMarcum, quem Luna dato tempore quam minimo describit, &MLlineolam quam Luna, impellente vi præfata 3IT, eodem tempore describere posset. JunganturPL,MP, & producantur eæ adm&l, ubi secent planum Eclipticæ; inqueTmdemittatur perpendiculumPH. Et quoniamMLparallela est ipsiST, simlparallela sit ipsiML, eritmlin plano Eclipticæ, & contra. Ergoml, cum sit in plano Eclipticæ, parallela erit ipsiML, & similia erunt triangulaLMP,Lmp. Jam cumMPmsit in plano Orbis, in quo Luna in locoPmovebatur, incidet punctummin lineamNnper Orbis illius NodosN,n, ductam. Et quoniam vis qua lineolaLMgeneratur, si tota simul & semel in locoPimpressa esset, efficeret ut Luna moveretur in arcu, cujus Chorda essetLP, atque adeò transferret Lunam de planoMPmTin planumLPlT; motus Nodorum à vi illa genitus æqualis erit angulomTl. Est autemmladmPutMLadMP, adeoque cumMPob datum tempus data sit, estmlut rectangulumML×mP, id est ut rectangulumIT×mP. Et angulusmTl, si modo angulusTmlrectus sit, est utml÷Tm, & propterea utIT×Pm÷Tmid est (ob proportionalesTm&mP,TP&PH) utIT×PH÷TP, adeoque ob datamTP, utIT×PH. Quod si angulusTml, seuSTNobliquus sit, erit angulusmTladhuc minor, in ratione Sinus anguliSTNad Radium. Est igitur velocitas Nodorum utIT×PH& Sinus anguliSTNconjunctim, sive ut contentum sub sinubus trium angulorumTPI,PTN&STN.
Si anguli illi, Nodis in Quadraturis & Luna in Syzygia existentibus, recti sint, lineolamlabibit in infinitum, & angulusmTlevadet angulomPlæqualis. Hoc autem in casu, angulusmPlest ad angulumPTM, quem Luna eodem tempore motu suo apparente circa Terram describit ut 1 ad 59,575. Nam angulusmPlæqualis est anguloLPM, id est angulo deflexionis Lunæ à recto tramite, quam præfata vis Solaris 3ITdato illo tempore generare possit; & angulusPTMæqualis est angulo deflexionisLunæ à recto tramite, quem vis illa, qua Luna in Orbe suo retinetur, eodem tempore generat. Et hæ vires, uti supra diximus, sunt ad invicem ut 1 ad 59,575. Ergo cum motus medius horarius Lunæ (respectu fixarum) sit 32′. 56″. 27″′. 12iv½, motus horarius Nodi in hoc casu erit 33″. 10″′. 33iv. 12v. Aliis autem in casibus motus iste horarius erit ad 33″. 10″′. 33iv. 12v. ut contentum sub sinibus angulorum triumTPI,PTN, &STN(seu distantiarum Lunæ à Quadratura, Lunæ à Nodo & Nodi à Sole) ad cubum Radii. Et quoties signum anguli alicujus de affirmativo in negativum, deque negativo in affirmativum mutatur, debebit motus regressivus in progressivum & progressivus in regressivum mutari. Unde fit ut Nodi progrediantur quoties Luna inter Quadraturam alterutram & Nodum Quadraturæ proximum versatur. Aliis in casibus regrediuntur, & per excessum regressus supra progressum, singulis mensibus feruntur in antecedentia.
Figure for Corol. 1.
Corol. 1.Hinc si a dati arcus quam minimiPMterminisP&Mad lineam Quadraturas jungentemQqdemittantur perpendiculaPK,Mk, eademque producantur donec secent lineam NodorumNninD&d; erit motus horarius Nodorum ut areaMPDd& quadratum lineæAZconjunctim. Sunto enimPK,PH&AZprædicti tres Sinus. NempePKSinus distantiæ Lunæ à Quadratura,PHSinus distantiæ Lunæ à Nodo, &AZSinus distantiæ Nodi à Sole: & erit velocitas Nodi ut contentumPK×PH×AZ. EstautemPTadPKutPMadKk, adeoque ob datasPT&PMestKkipsiPKproportionalis. Est &ATadPDutAZadPH, & proptereaPHrectanguloPD×AZproportionalis, & conjunctis rationibus,PK×PHest ut contentumKk×PD×AZ, &PK×PH×AZutKk×PD×AZ qu.id est ut areaPDdM, &AZ qu.conjunctim.Q. E. D.
Corol. 2.In data quavis Nodorum positione, motus horarius mediocris est semissis motus horarii in Syzygiis Lunæ, ideoque est ad 16″. 35″′. 16iv. 36v. ut quadratum Sinus distantiæ Nodorum à Syzygiis ad quadratum Radii, sive utAZ qu.adAT qu.Nam si Luna uniformi cum motu perambulet semicirculumQAq, summa omnium arearumPDdM, quo tempore Luna pergit àQadM, erit areaQMdEquæ ad circuli tangentemQEterminatur; & quo tempore Luna attingit punctumn, summa illa erit area totaEQAnquam lineaPDdescribit; dein Luna pergente abnadq, lineaPDcadet extra circulum, & areamnqead circuli tangentemqeterminatam describet; quæ, quoniam Nodi prius regrediebantur, jam verò progrediuntur, subduci debet de area priore, & cum æqualis sit areæQEN, relinquet semicirculumNQAn. Igitur summa omnium arearumPDdM, quo tempore Luna semicirculum describit, est area semicirculi; & summa omnium quo tempore Luna circulum describit est area circuli totius. At areaPDdM, ubi Luna versatur in Syzygiis, est rectangulum sub arcuPM& radioMT; & summa omnium huic æqualium arearum, quo tempore Luna circulum describit, est rectangulum sub circumferentia tota & radio circuli; & hoc rectangulum, cum sit æquale duobus circulis, duplo majus est quàm rectangulum prius. Proinde Nodi, eâ cum velocitate uniformiter continuatâ quam habent in Syzygiis Lunaribus, spatium duplo majus describerent quàm revera describunt; & propterea motus mediocris quocum, si uniformiter continuaretur, spatium à se inæquabili cum motu revera confectum describere possent, est semissis motus quem habent in Syzygiis Lunæ. Unde cum motus orarius maximus, si Nodi in Quadraturis versantur, sit 33″. 10″′. 33iv. 12v, motus mediocris horarius in hoc casu erit16″. 35″′. 16iv. 36v. Et cum motus horarius Nodorum semper sit utAZ qu.& areaPDdMconjunctim, & propterea motus horarius Nodorum in Syzygiis Lunæ utAZ qu.& areaPDdMconjunctim, id est (ob datam areamPDdMin Syzygiis descriptam) utAZ qu.erit etiam motus mediocris utAZ qu.atque adeo hic motus, ubi Nodi extra Quadraturas versantur, erit ad 16″. 35″′. 16iv. 36v. utAZ qu.adAT qu.Q. E. D.
Invenire motum horarium Nodorum Lunæ in Orbe Elliptico.
Invenire motum horarium Nodorum Lunæ in Orbe Elliptico.
Figure for Prop. XXXI.
DesignetQpmaqEllipsim, axe majoreQq, minoreabdescriptam,QAqcirculum circumscriptum,TTerram in utriusque centro communi,SSolem,pLunam in Ellipsi moventem, &pmarcum quem data temporis particula quam minima describit,N&nNodos lineaNnjunctos,pK&mkperpendicula in axemQqdemissa & hinc inde producta, donec occurrant circulo inP&M, & lineæ Nodorum inD&d. Et si Luna, radio ad Terram ducto, aream describat tempori proportionalem, erit motus Nodi in Ellipsi ut areapDdm.
Nam siPFtangat circulum inP, & producta occurratTNinF, &pftangat Ellipsin inp& producta occurrat eidemTNinf, conveniant autem hæ Tangentes in axeTQadY; & siMLdesignet spatium quod Luna in circulo revolvens, interea dum describit arcumPM, urgente & impellente vi prædicta 3IT, motu transverso describere posset, &mldesignet spatium quod Luna in Ellipsi revolvens eodem tempore, urgente etiam vi 3IT, describere posset; & producanturLP&lpdonec occurrant plano Eclipticæ inG&g; & junganturFG&fg, quarumFGproducta secetpf,pg&TQinc,e&Rrespectivè, &fgproducta secetTQinr: Quoniam vis 3ITseu 3PKin circulo est ad vim 3ITseu 3pKin Ellipsi, utPKadpK, seuATadaT; erit spatiumMLvi priore genitum, ad spatiummlvi posteriore genitum, utPKadpK, id est ob similes figurasPYKp&FYRc, utFRadcR. Est autemMLadFG(ob similia triangulaPLM,PGF) utPLadPG, hoc est (ob parallelasLk,PK,GR) utpladpe, id est (ob similia triangulaplm,cpe) utlmadce; & inversè utLMest adlm, seuFRadcR, ita estFGadce. Et propterea sifgesset adceutfYadcY, id est utfradcR, (hoc est utfradFR&FRadcRconjunctim, id est utfTadFT&FGadceconjunctim,) quoniam ratioFGadceutrinque ablata relinquit rationesfgadFG&fTadFT, foretfgadFGutfTadFT; propterea quod anguli, quosFG&fgsubtenderent ad TerramT, æquarentur inter se. Sed anguli illi (per ea quæ in præcedente Propositione exposuimus) sunt motus Nodorum, quo tempore Luna in circulo arcumPM, in Ellipsi arcumpmpercurrit: & propterea motus Nodorum in Circulo & Ellipsi æquarentur inter se. Hæc ita se haberent, si modofgesset adceutfYadcY,id est sifgæqualis essetce×fY÷cY. Verum ob similia triangulafgp,cep, estfgadceutfpadcp; ideoquefgæqualis estce×fp÷cp, & propterea angulus, quemfgrevera subtendit, est ad angulum priorem, quemFGsubtendit, hoc est motus Nodorum in Ellipsi ad motum Nodorum in Circulo, ut hæcfgseuce×fp÷cpad prioremfgseuce×fY÷cY, id est utfp×cYadcp×fY, seufpadfY&cYadcp; hoc est, sipbipsiTNparallela occurratFPinb, utFbadFY&FYadFP; hoc est utFbadFPseuDpadDP, adeoque ut areaDpmdad areamDPMd. Et propterea, cum area posterior proportionalis sit motui Nodorum in Circulo, erit area prior proportionalis motui Nodorum in Ellipsi.Q. E. D.
Corol.Igitur cum, in data Nodorum positione, summa omnium arearumpDdm, quo tempore Luna pergit à Quadratura ad locum quemvism, sit areampQEd, quæ ad Ellipseos TangentemQEterminatur; & summa omnium arearum illarum, in revolutione integra, sit area Ellipseos totius: motus mediocris Nodorum in Ellipsi erit ad motum mediocrem Nodorum in circulo, ut Ellipsis ad circulum, id est utTaadTA, seu 6811/12ad 6911/12. Et propterea, cum motus mediocris horarius Nodorum in circulo sit ad 16″. 35″′. 16iv. 36v. utAZ qu.adAT qu.si capiatur angulus 16″. 21″′. 2iv. 36v. ad angulum 16″. 35″′. 16iv. 36v. ut 6811/12ad 6911/12, erit motus mediocris horarius Nodorum in Ellipsi ad 16″. 21″′. 2iv. 36v. utAZq.adATq.; hoc est ut quadratum Sinus distantiæ Nodi à Sole ad quadratum Radii.
Cæterum Luna, radio ad Terram ducto, aream velocius describit in Syzygiis quàm in Quadraturis, & eo nomine tempus in Syzygiis contrahitur, in Quadraturis producitur; & una cum tempore motus Nodorum augetur ac diminuitur. Erat autem momentum areæ in Quadraturis Lunæ ad ejus momentum in Syzygiis ut 10973 ad 11073; & propterea momentum mediocre in Octantibus est ad excessum in Syzygiis, defectumque in Quadraturis, ut numerorum semisumma 11023 ad eorundem semidifferentiam 50.Unde cum tempus Lunæ in singulis Orbis particulis æqualibus sit reciprocè ut ipsius velocitas, erit tempus mediocre in Octantibus ad excessum temporis in Quadrantibus, ac defectum in Syzygiis, ab hac causa oriundum, ut 11023 ad 50 quam proxime. Pergendo autem à Quadraturis ad Syzygias, invenio quod excessus momentorum areæ in locis singulis, supra momentum minimum in Quadraturis, sit ut quadratum Sinus distantiæ Lunæ à Quadrantibus quam proximè; & propterea differentia inter momentum in loco quocunque & momentum mediocre in Octantibus, est ut differentia inter quadratum Sinus distantiæ Lunæ à Quadraturis & quadratum Sinus graduum 45, seu semissem quadrati Radii; & incrementum temporis in locis singulis inter Octantes & Quadraturas, & decrementum ejus inter Octantes & Syzygias est in eadem ratione. Motus autem Nodorum, quo tempore Luna percurrit singulas Orbis particulas æquales, acceleratur vel retardatur in duplicata ratione temporis. Est enim motus iste, dum Luna percurritPM, (cæteris paribus) utML, &MLest in duplicata ratione temporis. Quare motus Nodorum in Syzygiis, eo tempore confectus quo Luna datas Orbis particulas percurrit, diminuitur in duplicata ratione numeri 11073 ad numerum 11023; estque decrementum ad motum reliquum ut 100 ad 10973, ad motum verò totum ut 100 ad 11073 quam proximè. Decrementum autem in locis inter Octantes & Syzygias, & incrementum in locis inter Octantes & Quadraturas, est quam proxime ad hoc decrementum, ut motus totus in locis illis ad motum totum in Syzygiis & differentia inter quadratum Sinus distantiæ Lunæ à Quadratura & semissem quadrati Radii ad semissem quadrati Radii, conjunctim. Unde si Nodi in Quadraturis versentur, & capiantur loca duo æqualiter ab Octante hinc inde distantia, & alia duo à Syzygiâ & Quadraturâ iisdem intervallis distantia, deque decrementis motuum in locis duabus inter Syzygiam & Octantem, subducantur incrementa motuum in locis reliquis duobus, quæ sunt inter Octantem & Quadraturam; decrementum reliquum æquale erit decremento in Syzygia: utirationem ineunti facilè constabit. Proindeque decrementum mediocre, quod de Nodorum motu mediocri subduci debet, est pars quarta decrementi in Syzygia. Motus totus horarius Nodorum in Syzygiis (ubi Luna radio ad Terram ducto aream tempori proportionalem describere supponebatur) erat 32″. 42″′. 5iv. 12v. Et decrementum motus Nodorum, quo tempore Luna jam velocior describit idem spatium, diximus esse ad hunc motum ut 100 ad 11073; adeoque decrementum illud est 17″′. 43iv. 10v, cujus pars quarta 4″′. 25iv. 48v, motui horario mediocri superius invento 16″. 21″′. 2iv. 36v. subducta, relinquit 16″. 16″′. 36iv. 48v. motum mediocrem horarium correctum.
Si Nodi versantur extra Quadraturas, & spectentur loca bina à Syzygiis hinc inde æqualiter distantia; summa motuum Nodorum, ubi Luna versatur in his locis, erit ad summam motuum, ubi Luna in iisdem locis & Nodi in Quadraturis versantur, utAZ qu.adAT qu.Et decrementa motuum, à causis jam expositis oriunda, erunt ad invicem ut ipsi motus, adeoque motus reliqui erunt ad invicem utAZ qu.adAT qu.& motus mediocres ut motus reliqui. Est itaque motus mediocris horarius correctus, in dato quocunque Nodorum situ, ad 16″. 16″′. 36iv. 48v. utAZ qu.adAT qu.; id est ut quadratum Sinus distantiæ Nodorum à Syzygiis ad quadratum Radii.
Invenire motum medium Nodorum Lunæ.
Invenire motum medium Nodorum Lunæ.
Motus medius annuus est summa motuum omnium horariorum mediocrium in anno. Concipe Nodum versari inN, & singulis horis completis retrahi in locum suum priorem, ut non obstante motu suo proprio, datum semper servet situm ad Stellas Fixas. Interea verò SolemS, per motum Terræ, progredi à Nodo, & cursum annuum apparentem uniformiter complere. Sit autemAaarcus datus quam minimus, quem rectaTSad Solem semper ducta,intersectione sua & circuliNAn, dato tempore quam minimo describit: & motus horarius mediocris (per jam ostensa) erit utAZq.id est (ob proportionalesAZ,ZY) ut rectangulum subAZ&ZY, hoc est ut areaAZYa. Et summa omnium horariorum motuum mediocrium ab initio, ut summa omnium arearumaYZA, id est ut areaNAZ. Est autem maximaAZYaæqualis rectangulo sub arcuAa& radio circuli; & propterea summa omnium rectangulorum in circulo toto ad summam totidem maximorum, ut area circuli totius ad rectangulum sub circumferentia tota & radio; id est ut 1 ad 2. Motus autem horarius, rectangulo maximo respondens, erat 16″. 16″′. 36iv. 48v. Et hic motus, anno toto sidereo dierum 365. 6hor.9min.fit 39gr.38′. 5″. 39″′. Ideoque hujus dimidium 19gr.49′. 2″. 49″′½ est motus medius Nodorum circulo toti respondens. Et motus Nodorum, quo tempore Sol pergit abNadA, est ad 19gr.49′. 2″. 49″′½ ut areaNAZad circulum totum.
Figure for Prop. XXXII.
Hæc ita se habent, ex Hypothesi quod Nodus horis singulis in locum priorem retrahitur, sic ut Sol anno toto completo ad Nodum eundem redeat à quo sub initio digressus fuerat. Verum per motum Nodi fit ut Sol citius ad Nodum revertatur, & computanda jam est abbreviatio temporis. Cum Sol anno toto conficiat 360 gradus, & Nodus motu maximo eodem tempore conficeret 39gr.38′. 5″. 39″′. seu 39,6349gradus; & motus mediocris Nodiin loco quovisNsit ad ipsius motum mediocrem in Quadraturis suis, utAZq.adATq.erit motus Solis ad motum Nodi inN, ut 360ATq.ad 39,6349AZq.; id est ut 9,0829032ATq.adAZq.Unde si circuli totius circumferentiaNAndividatur in particulas æqualesAa, tempus quo Sol percurrat particulamAa, si circulus quiesceret, erit ad tempus quo percurrit eandem particulam, si circulus una cum Nodis circa centrumTrevolvatur, reciprocè ut 9,0829032ATq.ad 9,0829032ATq.+AZq.Nam tempus est reciprocè ut velocitas qua particula percurritur, & hæc velocitas est summa velocitatum Solis & Nodi. Igitur si tempus, quo Sol absque motu Nodi percurreret arcumNA, exponatur per SectoremNTA, & particula temporis quo percurreret arcum quam minimumAa, exponatur per Sectoris particulamATa; & (perpendiculoaYinNndemisso) si inAZcapiaturdZ, ejus longitudinis ut sit rectangulumdZinZYad Sectoris particulamATautAZq.ad 9,0829032ATq.+AZq.id est ut sitdZad ½AZutATq.ad 9,0829032ATq.+AZq.; rectangulumdZinZYdesignabit decrementum temporis ex motu Nodi oriundum, tempore toto quo arcusAapercurritur. Et si punctumdtangit curvamNdGn, area curvilineaNdZerit decrementum totum, quo tempore arcus totusNApercurritur; & propterea excessus SectorisNATsupra areamNdZerit tempus illud totum. Et quoniam motus Nodi tempore minore minor est in ratione temporis, debebit etiam areaAaYZdiminui in eadem ratione. Id quod fiet si capiatur inAZlongitudoeZ, quæ sit ad longitudinemAZutAZq.ad 9,08299032ATq.+AZq.Sic enim rectangulumeZinZYerit ad areamAZYaut decrementum temporis, quo arcusAapercurritur, ad tempus totum, quo percurreretur si Nodus quiesceret: Et propterea rectangulum illud respondebit decremento motus Nodi. Et si punctumetangat curvamNeFn, area totaNeZ, quæ summa est omnium decrementorum, respondebit decremento toti, quo tempore arcusANpercurritur; & area reliquaNAerespondebit motui reliquo, qui verus est Nodi motus quo tempore arcustotusNA, per Solis & Nodi conjunctos motus, percurritur. Jam verò si circuli radiusATponatur 1, erit area semicirculi 1,570796; & area figuræNeFnT, per methodum Serierum infinitarum quæsita, prodibit 0,1188478. Motus autem qui respondet circulo toti erat 19gr.49′. 2″. 49″′½; & propterea motus, qui figuræNeFnTduplicatæ respondet, est 1gr.29′. 57″. 51″′½. Qui de motu priore subductus relinquit 18gr.19′. 4″. 58″′. motum totum Nodi inter sui ipsius Conjunctiones cum Sole; & hic motus de Solis motu annuo graduum 360 subductus, relinquit 341gr.40′. 55″. 2″′. motum Solis inter easdem Conjunctiones. Iste autem motus est ad motum annuum 360gr.ut Nodi motus jam inventus 18gr.19′. 4″. 58″′. ad ipsius motum annuum, qui propterea erit 19gr.18′. 0″. 22″′. Hic est motus medius Nodorum in anno sidereo. Idem per Tabulas Astronomicas est 19gr.20′. 31″. 1″′. Differentia minor est parte quadringentesima motus totius, & ab Orbis Lunaris Excentricitate & Inclinatione ad planum Eclipticæ oriri videtur. Per Excentricitatem Orbis motus Nodorum nimis acceleratur, & per ejus Inclinationem vicissim retardatur aliquantulum, & ad justam velocitatem reducitur.
Invenire motum verum Nodorum Lunæ.
Invenire motum verum Nodorum Lunæ.
Figure for Prop. XXXIII.
In tempore quod est ut areaNTA-NdZ, (in Fig. præced.) motus iste est ut areaNAeN, & inde datur. Verum ob nimiam calculi difficultatem, præstat sequentem Problematis constructionem adhibere. CentroC, intervallo quovisCD, describatur circulusBEFD. ProducaturDCadA, ut sitABadACut motus medius ad semissem motus veri mediocris, ubi Nodi sunt in Quadraturis: (id est ut 19gr.18′. 0″. 22″′. ad 19gr.49′. 2″. 49″′½, atque adeoBCadACut motuum differentia 0gr.31′. 2″. 27″′½, ad motumposteriorem19gr.49′. 2″. 49″′½, hoc est, ut 1.ad 38⅓) dein per punctumDducatur infinitaGg, quæ tangat circulum inD; & si capiatur angulusBCEvelBCFæqualis semissi distantiæ Solis à loco Nodi, per motum medium invento; & agaturAEvelAFsecans perpendiculumDGinG; & capiatur angulus qui sit ad motum Nodi inter ipsius Syzygias (id est ad 9gr.10′. 40″.) ut tangensDGad circuliBEDcircumferentiam totam, atque angulus iste ad motum medium Nodorum addatur; habebitur eorum motus verus. Nam motus verus sic inventus congruet quam proximè cum motu vero qui prodit exponendo tempus per areamNTA-NdZ, & motum Nodi per areamNAeN; ut rem perpendenti constabit. Hæc est æquatio annua motus Nodorum. Est & æquatio menstrua, sed quæ ad inventionem Latitudinis Lunæ minimè necessaria est. Nam cum Variatio inclinationis Orbis Lunaris ad planum Eclipticæ duplici inæqualitati obnoxia sit, alteri annuæ, alteri autem menstruæ; hujus menstrua inæqualitas & æquatio menstrua Nodorum ita se mutuò contemperant & corrigunt, ut ambæ in determinanda Latitudine Lunæ negligi possint.
Corol.Ex hac & præcedente Propositione liquet quod Nodi in Syzygiis suis quiescunt, in Quadraturis autem regrediuntur motu horario 16″. 18″′. 41iv½. Et quod æquatio motus Nodorum in Octantibus sit 1gr.30′. Quæ omnia cum Phænomenis cœlestibus probè quadrant.
Invenire Variationem horariam inclinationis Orbis Lunaris ad planum Eclipticæ.
Invenire Variationem horariam inclinationis Orbis Lunaris ad planum Eclipticæ.
Figure for Prop. XXXIV.
DesignentA&aSyzygias;Q&qQuadraturas;N&nNodos;Plocum Lunæ in Orbe suo;pvestigium loci illius in plano Eclipticæ, &mTlmotum momentaneum Nodorum ut supra. Et si ad lineamTmdemittatur perpendiculumPG, jungaturpG, & producatur ea donec occurratTling, & jungatur etiamPg: erit angulusPGpinclinatio orbis Lunaris ad planum Eclipticæ, ubi Luna versatur inP; & angulusPgpinclinatio ejusdem post momentum temporis completum, adeoque angulusGPgVariatiomomentanea inclinationis. Est autem hic angulusGPgad angulumGTgutTGadPG&PpadPGconjunctim. Et propterea si pro momento temporis substituatur hora; cum angulusGTg(per Prop. XXX.) sit ad angulum 33″. 10″′. 33iv. utIT×PG×AZadAT cub.erit angulusGPg(seu inclinationis horaria Variatio) ad angulum 33″. 10″′. 33iv. utIT×AZ×TG×Pp÷PGadAT cub.Q. E. I.
Hæc ita se habent ex Hypothesi quod Luna in Orbe circulari uniformiter gyratur. Quod si orbis ille Ellipticus sit, motus mediocris Nodorum minuetur in ratione axis minoris ad axem majorem; uti supra expositum est. Et in eadem ratione minuetur etiam SinusIT. Inclinationis autem Variatio tantum augebitur per decrementum SinusIT, quantum diminuitur per decrementum motus Nodorum; & propterea idem manebit atque prius.
Corol. 1.Si adNnerigatur perpendiculumTF, sitquepMmotus horarius Lunæ in plano Eclipticæ; & perpendiculapK,MkinQTdemissa & utrinque producta occurrantTFinH&h: eritKkadMputpKseuITadAT, &TZadATutTGadHp; ideoqueIT×TGæqualeKk×Hp×TZ÷Mp, hoc est æquale areæHpMhductæ in rationemTZ÷Mp: & propterea inclinationis Variatio horaria ad 33″. 10″′. 33iv. utHpMhducta inAZ× {TZ÷Mp} × {Pp÷PG} adAT cub.
Corol. 2.Ideoque si Terra & Nodi singulis horis completis retraherentur à locis suis novis, & in loca priora in instanti semper reducerentur, ut situs eorum, per mensem integrum periodicum, datus maneret; tota Inclinationis Variatio tempore mensis illius foret ad 33″. 10″′. 33iv, ut aggregatum omnium arearumHpMh, in revolutione punctipgeneratarum, & sub signis propriis + & - conjunctarum, ductum inAZ×TZ×Pp÷PG, adMp×AT cub.id est ut circulus totusQAqaductus inAZ×TZ×Pp÷PGadMp×ATcub.hoc est ut circumferentiaQAqaducta inAZ×TZ×Pp÷PGad2MP×AT quad.
Corol. 3.Proinde in dato Nodorum situ, Variatio mediocris horaria, ex quâ per mensem uniformiter continuatâ Variatio illa menstrua generari posset, est ad 33″. 10″′. 33iv. utAZ×TZ×Pp÷PGad 2ATq.id est (cumPpsit adPGut Sinus Inclinationis prædictæ ad Radium, &AZ×TZ÷ATsit ad ½ATut sinus duplicati anguliATnad Radium) ut inclinationis ejusdem Sinus ductus in Sinum duplicatæ distantiæ Nodorum à Sole, ad quadruplum quadratum Radii.
Corol. 4.Quoniam inclinationis horaria Variatio, ubi Nodi in Quadraturis versantur, est (per Propositionem superiorem) ad angulum 33″. 10″′. 33iv. utIT×AZ×TG×Pp÷PGadAT cub.id est ut {IT×TG÷AT} × {Pp÷PG} adAT; hoc est ut Sinus duplicatæ distantiæ Lunæ à Quadraturis ductus inPp÷PGad radium duplicatum: summa omnium Variationum horariarum, quo tempore Luna in hoc situ Nodorum transit à Quadratura ad Syzygiam, (id est spatio horarum 1771/6,) erit ad summam totidem angulorum 33″. 10″′. 33iv. seu 5878″½, ut summa omnium sinuum duplicatæ distantiæ Lunæ à Quadraturis ducta inPp÷PGad summam totidem diametrorum; hoc est ut diameter ducta inPp÷PG, ad circumferentiam; id est si inclinatio sit 5gr.2′, ut 7 ×876/10000ad 22, seu 279 ad 10000. Proindeque Variatio tota, ex summa omnium horariarum Variationum tempore prædicto conflata, est 164″, seu 2′. 44″.
Dato tempore invenire Inclinationem Orbis Lunaris ad planum Eclipticæ.
Dato tempore invenire Inclinationem Orbis Lunaris ad planum Eclipticæ.
Figure for Prop. XXXIV.
SitADSinus inclinationis maximæ, &ABSinus Inclinationis minimæ. BiseceturBDinC, & centroC, intervalloBC, describatur CirculusBGD. InACcapiaturCEin ea ratione adEBquamEBhabet ad 2BA: Et si dato tempore constituatur angulusAEGæqualis duplicatæ distantiæ Nodorum à Quadraturis, & adADdemittatur perpendiculumGH: eritAHSinus inclinationis quæsitæ.
NamGEq.æquale estGHq.+HEq.=BHD+HEq.=HBD+HEq.-BHq.=HBD+BEq.- 2BH×BE=BEq.+ 2EC×BH= 2EC×AB+ 2EC×BH= 2EC×AH. Ideoque cum 2ECdetur, estGEq.utAH. Designet jamAEgdistantiam Nodorum à Quadraturis post datum aliquod momentum temporis completum, & arcusGg, ob datum angulumGEg, erit ut distantiaGE. Est autemHhadGgutGHadGC, & proptereaHhest ut contentumGH×GgseuGH×GE; id est ut {GH÷GE} ×GE qu.seu {GH÷GE} ×AH, id est utAH& sinus anguliAEGconjunctim. Igitur siAHin casu aliquo sit Sinus inclinationis, augebitur ea iisdem incrementis cum sinu inclinationis, per Corol. 3. Propositionis superioris, & propterea sinui illi æqualis semper manebit. SedAHubi punctumGincidit in punctum alterutrumBvelDhuic Sinui æqualis est, & propterea eidem semper æqualis manet.Q. E. D.
In hac demonstratione supposui angulumBEG, qui distantia est Nodorum à Quadraturis, uniformiter augeri. Nam omnes inæqualitatum minutias expendere non vacat. Concipe jam angulumBEGrectum esse, &Ggesse augmentum horarium distantiæ Nodorum & Solis ab invicem; & inclinationis Variatio horaria (per Corol. 3. Prop. novissimæ) erit ad 33″. 10″′. 33iv. ut contentum sub inclinationis SinuAH& Sinu anguli rectiBEG, qui est duplicata distantia Nodorum à Sole, ad quadruplum quadratum Radii; id est ut mediocris inclinationis SinusAHad radium quadruplicatum; hoc est (cum inclinatio illa mediocris sit quasi 5gr.8′½.) ut ejus Sinus 896 ad radium quadruplicatum 40000, sive ut 224 ad 10000. Est autem Variatio tota, Sinuum differentiæBDrespondens, ad variationem illam horariam ut diameterBDad arcumGg; id est ut diameterBDad semicircumferentiamBGD& tempus horarum 2080, quo Nodus pergit à Quadraturis ad Syzygias, ad horam unam conjunctim; hoc est ut 7 ad 11 & 2080 ad 1. Quare si rationes omnes conjungantur, fiet Variatio totaBDad 33″. 10″′. 33iv. ut 224 × 7 × 2080 ad 110000, id est ut 2965 ad 100, & inde Variatio illaBDprodibit 16′. 24″.
Hæc est inclinationis Variatio maxima quatenus locus Lunæ in Orbe suo non consideratur. Nam inclinatio, si Nodi in Syzygiis versantur, nil mutatur ex vario situ Lunæ. At si Nodi in Quadraturis consistunt, inclinatio major est ubi Luna versatur in Syzygiis, quàm ubi ea versatur in Quadraturis, excessu 2′. 44″; uti in Propositionis superioris Corollario quarto indicavimus. Et hujus excessus dimidio 1′. 22″ Variatio tota mediocrisBDin Quadraturis Lunaribus diminuta fit 15′. 2″, in ipsius autem Syzygiis aucta fit 17′. 46″. Si Luna igitur in Syzygiis constituatur, Variatio tota, in transitu Nodorum à Quadraturis ad Syzygias, erit 17′. 46″. adeoque si Inclinatio, ubi Nodi in Syzygiis versantur, sit 5gr.17′. 46″. eadem, ubi Nodi sunt in Quadraturis, & Luna in Syzygiis, erit 5gr.Atque hæc ita se habere confirmatur ex Observationibus. Nam statuunt Astronomi Inclinationem Orbis Lunaris ad planumEclipticæ, ubi Nodi sunt in Quadraturis & Luna in oppositione Solis, esse quasi 5gr.Ubi verò Nodi sunt in Syzygiis, eandem docent esse 5gr.17′½ vel 5gr.18′.
Si jam desideretur Orbis Inclinatio illa, ubi Luna in Syzygiis & Nodi ubivis versantur; fiatABadADut Sinus 5gr.ad Sinum 5gr.17′. 46″, & capiatur angulusAEGæqualis duplicatæ distantiæ Nodorum à Quadraturis; & eritAHSinus Inclinationis quæsitæ. Huic Orbis Inclinationi æqualis est ejusdem Inclinatio, ubi Luna distat 90gr.à Nodis. Aliis in Lunæ locis inæqualitas menstrua, quam Inclinationis variatio admittit, in calculo Latitudinis Lunæ compensatur & quodammodo tollitur per inæqualitatem menstruam motus Nodorum, (ut supra diximus) adeoque in calculo Latitudinis illius negligi potest.
Hactenus de motibus Lunæ quatenus Excentricitas Orbis non consideratur. Similibus computationibus inveni, quod Apogæum ubi in Conjunctione vel Oppositione Solis versatur, progreditur singulis diebus 23′ respectu Fixarum; ubi verò in Quadraturis est, regreditur singulis diebus 16⅓ circiter: quodque ipsius motus medius annuus sit quasi 40gr.Per Tabulas Astronomicas àCl. Flamstedioad HypothesinHorroxiiaccommodatas, Apogæum in ipsius Syzygiis progreditur cum motu diurno 24′. 28″, in Quadraturis autem regreditur cum motu diurno 20′. 12″, & motu medio annuo 40gr.41′ fertur in consequentia. Quod differentia inter motum diurnum progressivum Apogæi in ipsius Syzygiis, & motum diurnum regressivum in ipsius Quadraturis, per Tabulas sit 4′. 16″, per computationem verò nostram 6′⅔, vitio Tabularum tribuendum essesuspicamur. Sed neque computationem nostram satis accuratam esse putamus. Nam rationem quandam ineundo prodiere Apogæi motus diurnus progressivus in ipsius Syzygiis, & motus diurnus regressivus in ipsius Quadraturis, paulo majores. Computationes autem, ut nimis perplexas & approximationibus impeditas, neque satis accuratas, apponere non lubet.
Invenire vim Solis ad Mare movendum.
Invenire vim Solis ad Mare movendum.
Figure for Prop. XXXVI.
Solis visMLseuPS, in Quadraturis Lunaribus, ad perturbandos motus Lunares, erat (per Prop. XXV. hujus) ad vim gravitatis apud nos ut 1 ad 638092,6. Et visSM-LMseu 2PKin Syzygiis Lunaribus est duplo major. Hæ autem vires, si descendatur ad superficiem Terræ, diminuuntur in ratione distantiarum à centro Terræ, id est in ratione 60½ ad 1; adeoque vis prior in superficie Terræ est ad vim gravitatis ut 1 ad 38604600. Hac vi Mare deprimitur in locis quæ 90gr.distant à Sole. Vi alterâ quæ duplo major est Mare elevatur, & sub Sole & in regione Soli opposita. Summa virium est ad vim gravitatis ut 1 ad 12868200. Et quoniam vis eadem eundem ciet motum, sive ea deprimat Aquam in regionibus quæ 90gr.distant à Sole, sive elevet eandem in regionibus sub Sole & Soli oppositis, hæc summa erit tota Solis vis ad Mare agitandum; & eundem habebit effectum ac si tota in regionibus sub Sole & Soli oppositis mare elevaret, in regionibus autem quæ 90gr.distant à Sole nil ageret.
Corol.Hinc cum vis centrifuga partium Terræ à diurno Terræ motu oriunda, quæ est ad vim gravitatis ut 1 ad 291, efficiat ut altitudo Aquæ sub Æquatore superet ejus altitudinem sub polis mensura pedum Parisiensium 85200, vis Solaris, de qua egimus, cum sit ad vim gravitatis ut 1 ad 12868200, atque adeo ad vim illam centrifugam ut 291 ad 12868200 seu 1 ad 44221, efficiet ut altitudo aquæ in regionibus sub Sole & Soli oppositis superet altitudinem ejus in locis quæ 90 gradibus distant à Sole, mensura tantum pedis unius Parisiensis & digitorum undecim. Est enim hæc mensura ad mensuram pedum 85200 ut 1 ad 44221.
Invenire vim Lunæ ad Mare movendum.
Invenire vim Lunæ ad Mare movendum.
Vis Lunæ ad mare movendum colligenda est ex ejus proportione ad vim Solis, & hæc proportio colligenda est ex proportione motuum maris, qui ab his viribus oriuntur. Ante ostium fluviiAvonæ, ad lapidem tertium infraBristoliam, tempore verno & autumnali totus aquæ ascensus in Conjunctione & Oppositione Luminarium (observanteSamuele Sturmio) est pedum plus minus 45, in Quadraturis autem est pedum tantum 25: Altitudo prior ex summa virium, posterior ex earundem differentia oritur. Solis igitur & Lunæ in Æquatore versantium & mediocriter à Terra distantium, sunto viresS&L. Et quoniam Luna in Quadraturis, tempore verno & autumnali extra Æquatorem in declinatione graduum plus minus 23½ versatur, & Luminaris ab Æquatore declinantis vis ad mare movendum minor sit, idque (quantum sentio) in duplicata ratione Sinus complementi declinationis quam proximè, vis Lunæ in Quadraturis, (cum sinus ille sit ad radium ut 91706 ad 100000) erit841/1000L, & summa virium in Syzygiis eritL+S, ac differentia in Quadraturis841/1000L-S, adeoqueL+Serit ad841/1000L-Sut 45 ad 25 seu 9 ad 5, & inde 5L+ 5Sæqualis erit7569/1000L- 9S, &14Sæqualis2569/1000L, & proptereaLadSut 14000 ad 2569 seu 57/15ad 1. In PortuPlymuthiæstus maris (ex observationeSamuelis Colepressi) ad pedes plus minus sexdecim, altitudine mediocri attollitur, ac tempore verno & autumnali altitudo æstus in Syzygiis Lunæ superare potest altitudinem ejus in Quadraturis pedibus septem vel octo. Si excessus mediocris his temporibus sit pedum septem cum dimidio; æstus in Syzygiis ascendet ad pedes 19¾, in Quadraturis ad pedes 12¼, & sicL+Serit ad841/1000L-Sut 19¾ ad 12¼, & indeLadSut 734 ad 100 seu 7⅓ ad 1. Est igitur vis Lunæ ad vim Solis per computationem priorem ut 57/15ad 1, per posteriorem ut 7⅓ ad 1. Donec aliquid certius ex Observationibus accuratius institutis constiterit, usurpabimus proportionem mediocrem 6⅓ ad 1. Unde cum vis Solis sit ad vim gravitatis ut 1 ad 12868200, vis Lunæ erit ad vim gravitatis ut 1 ad 2031821.
Corol. 1.Igitur cum aqua vi Solis agitata ad altitudinem pedis unius & undecim digitorum ascendat, eadem vi Lunæ ascendet ad altitudinem pedum duodecim. Tanta autem vis ad omnes maris motus excitandos abunde sufficit, & quantitati motuum probe respondet. Nam in maribus quæ ab Oriente in Occidentem latè patent, uti in MariPacifico, & MarisAtlantici&Æthiopicipartibus extra Tropicos, aqua attolli solet ad altitudinem pedum sex, novem duodecim vel quindecim. In mari autemPacifico, quod profundius est & latius patet, æstus dicuntur esse majores quàm inAtlantico&Æthiopico. Etenim ut plenus sit æstus, latitudo Maris ab Oriente in Occidentem non minor esse debet quàm graduum nonaginta. In MariÆthiopico, ascensus aquæ intra Tropicos minor est quàm in Zonis temperatis, propter angustiam Maris interAfricam& Australem partemAmericæ. In medio Mari aqua nequit ascendere nisi ad littus utrumque & orientale & occidentale simul descendat: cum tamen vicibus alternis ad littora illa in Maribus nostris angustis descendere debeat. Ea de causa fluxus & refluxus in Insulis, quæ à littoribus longissimè absunt, perexiguus esset solet. In Portubus quibusdam, ubi aqua cum impetu magno per locavadosa, ad Sinus alternis vicibus implendos & evacuandos, influere & effluere cogitur, fluxus & refluxus sunt solito majores, uti adPlymuthum& pontemChepstowæinAnglia; ad montesS. Michaelis& urbemAbrincatuorum(vulgoAuranches) inNormania; adCambaiam&PeguinIndiaorientali. His in locis mare, magna cum velocitate accedendo & recedendo, littora nunc inundat nunc arida relinquit ad multa Milliaria. Neque impetus influendi & remeandi prius frangi potest, quam aqua attollitur vel deprimitur ad pedes 30, 40 vel 50 & amplius. Et par est ratio fretorum oblongorum & vadosorum, utiMagellanici& ejus quoAngliacircundatur. Æstus in hujusmodi portubus & fretis per impetum cursus & recursus supra modum augetur. Ad littora verò quæ descensu præcipiti ad mare profundum & apertum spectant, ubi aqua sine impetu effluendi & remeandi attolli & subsidere potest, magnitudo æstus respondet viribus Solis & Lunæ.
Corol. 2.Cum vis Lunæ ad mare movendum sit ad vim gravitatis ut 1 ad 2031821, perspicuum est quod vis illa sit longè minor quàm quæ vel in experimentis Pendulorum, vel in Staticis aut Hydrostaticis quibuscunque sentiri possit. In æstu solo marino hæc vis sensibilem edit effectum.
Corol. 3.Quoniam vis Lunæ ad mare movendum est ad Solis vim consimilem ut 6⅓ ad 1, & vires illæ sunt ut densitates corporum Lunæ & Solis & cubi diametrorum apparentium conjunctim; erit densitas Lunæ ad densitatem Solis ut 6⅓ ad 1 directè & cubus diametri Solis ad cubum diametri Lunæ inversè, id est (cum diametri mediocres apparentes Solis & Lunæ sint 31′. 27″. & 32′. 12″.) ut 34 ad 5. Densitas autem Solis erat ad densitatem Terræ ut 100 ad 387, & propterea densitas Lunæ est ad densitatem Terræ ut 600 ad 387, seu 9 ad 5 quam proximè. Est igitur corpus Lunæ densius & magis terrestre quàm Terra nostra.
Corol. 4.Unde cum vera diameter Lunæ sit ad veram diametrum Terræ ut 1 ad 3,6½, erit massa Lunæ ad massam Terræ ut 1 ad 26 quam proximè.
Corol. 5.Et gravitas acceleratrix in superficie Lunæ, erit quasi duplo minor quàm gravitas acceleratrix in superficie Terræ.
Invenire figuram corporis Lunæ.
Invenire figuram corporis Lunæ.
Si corpus Lunare fluidum esset ad instar maris nostri, vis Terræ ad fluidum illud in partibus & citimis & ultimis elevandum, esset ad vim Lunæ, qua mare nostrum in partibus & sub Luna & Lunæ oppositis attollitur, ut gravitas acceleratrix Lunæ in Terram ad gravitatem acceleratricem Terræ in Lunam & diameter Lunæ ad diametrum Terræ conjunctim; id est ut 26 ad 1 & 5 ad 18 conjunctim seu 65 ad 9. Unde cum mare nostrum vi Lunæ attollatur ad pedes duodecim, fluidum Lunare vi Terræ attolli deberet ad pedes fere nonaginta. Eaque de causa figura Lunæ Sphærois esset, cujus maxima diameter producta transiret per centrum Terræ, & superaret diametros perpendiculares excessu pedum 180. Talem igitur figuram Luna affectat, eamque sub initio induere debuit.Q. E. I.
Corol.Inde verò fit ut eadem semper Lunæ facies in Terram obvertatur. In alio enim situ corpus Lunare quiescere non potest, sed ad hunc situm oscillando semper redibit. Attamen oscillationes ob parvitatem virium agitantium essent longè tardissimæ: adeò ut facies illa, quæ Terram semper respicere deberet, possit alterum orbis Lunaris umbilicum, ob rationem superius allatam respicere, neque statim abinde retrahi & in Terram converti.