De Motu Corporum in Superficiebus datis, deq; Funipendulorum Motu reciproco.
Posita cujuscunq; generis vi centripeta, datoq; tum virium centro tum plano quocunq; in quo corpus revolvitur, & concessis Figurarum curvilinearum quadraturis: requiritur motus corporis de loco dato data cum velocitate secundum Rectam in Plano illo datam egressi.
Posita cujuscunq; generis vi centripeta, datoq; tum virium centro tum plano quocunq; in quo corpus revolvitur, & concessis Figurarum curvilinearum quadraturis: requiritur motus corporis de loco dato data cum velocitate secundum Rectam in Plano illo datam egressi.
Figure for Prop. XLVI. and XLVII.
SitScentrum virium,SCdistantia minima centri hujus a plano dato,Pcorpus de locoPsecundum rectamPZegrediens,Qcorpus idem in Trajectoria sua revolvens, &PQRTrajectoria illa in plano dato descripta, quam invenire oportet. JunganturCQ,QS, & si inQScapiaturSVproportionalis vi centripetæ qua corpus trahitur versus centrumS, & agaturVTquæ sit parallelaCQ& occurratSCinT: VisSVresolvetur (per Legum Corol. 2.) in viresST,TV; quarumSTtrahendo corpus secundum lineam plano perpendicularem, nil mutat motum ejus in hoc plano. Vis autem alteraTV, agendo secundum positionem plani, trahit corpus directe versus punctumCin planodatum, adeoq; facit illud in hoc plano perinde moveri ac si visSTtolleretur, & corpus vi solaTVrevolveretur circa centrumCin spatio libero. Data autem vi centripetaTVqua corpusQin spatio libero circa centrum datumCrevolvitur, datur per Prop. XLII. tum TrajectoriaPQRquam corpus describit, tum locusQin quo corpus ad datum quodvis tempus versabitur, tum deniq; velocitas corporis in loco illoQ; & contra.  Q. E. I.
Posito quod vis centripeta proportionalis sit distantiæ corporis a centro; corpora omnia in planis quibuscunq; revolventia describent Ellipses, & revolutiones temporibus æqualibus peragent; quæq; moventur in lineis rectis ultro citroq; discurrendo, singulas eundi & redeundi periodos iisdem temporibus absolvent.
Posito quod vis centripeta proportionalis sit distantiæ corporis a centro; corpora omnia in planis quibuscunq; revolventia describent Ellipses, & revolutiones temporibus æqualibus peragent; quæq; moventur in lineis rectis ultro citroq; discurrendo, singulas eundi & redeundi periodos iisdem temporibus absolvent.
Nam stantibus quæ in superiore Propositione; visSVqua corpusQin plano quovisPQRrevolvens trahitur versus centrumSest ut distantiaSQ; atq; adeo ob proportionalesSV&SQ,TV&CQ, visTVqua corpus trahitur versus punctumCin Orbis plano datum, est ut distantiaCQ. Vires igitur, quibus corpora in planoPQRversantia trahuntur versus punctumC, sunt pro ratione distantiarum æquales viribus quibus corporaunaquaq;trahuntur versus centrumS; & propterea corpora movebuntur iisdem temporibus in iisdem figuris in planoquovisPQRcirca punctumC, atq; in spatiis liberis circa centrumS, adeoq; (per Corol. 2. Prop. X. & Corol. 2. Prop. XXXVIII.) temporibus semper æqualibus, vel describent Ellipses in plano illo circa centrumC, vel periodos movendi ultro citroq; in lineis rectis per centrumCin plano illo ductis, complebunt.  Q. E. D.
His affines sunt ascensus ac descensus corporum in superficiebus curvis. Concipe lineas curvas in plano describi, dein circa axes quosvis datos per centrum virium transeuntes revolvi, & ea revolutione superficies curvas describere; tum corpora ita moveri ut eorum centra in his superficiebus perpetuo reperiantur. Si corpora illa oblique ascendendo & descendendo currant ultro citroq; peragentur eorum motus in planis per axem transeuntibus, atq; adeo in lineis curvis quarum revolutione curvæ illæ superficies genitæ sunt. Istis igitur in casibus sufficit motum in his lineis curvis considerare.
Si rota globo extrinsecus ad angulos rectos insistat, & more rotarum revolvendo progrediatur in circulo maximo; longitudo itineris curvilinei, quod punctum quodvis in rotæ perimetro datum, ex quo globum tetigit, confecit, erit ad duplicatum sinum versum arcus dimidii qui globum ex eo tempore inter eundem tetigit, ut summa diametrorum globi & rotæ ad semidiametrum globi.
Si rota globo extrinsecus ad angulos rectos insistat, & more rotarum revolvendo progrediatur in circulo maximo; longitudo itineris curvilinei, quod punctum quodvis in rotæ perimetro datum, ex quo globum tetigit, confecit, erit ad duplicatum sinum versum arcus dimidii qui globum ex eo tempore inter eundem tetigit, ut summa diametrorum globi & rotæ ad semidiametrum globi.
Si rota globo concavo ad rectos angulos intrinsecus insistat & revolvendo progrediatur in circulo maximo; longitudo itineris curvilineiquod punctum quodvis in Rotæ Perimetro datum, ex quo globum tetigit, confecit, erit ad duplicatum sinum versum arcus dimidii qui globum toto hoc tempore inter eundum tetigit, ut differentia diametrorum globi & rotæ ad semidiametrum globi.
Si rota globo concavo ad rectos angulos intrinsecus insistat & revolvendo progrediatur in circulo maximo; longitudo itineris curvilineiquod punctum quodvis in Rotæ Perimetro datum, ex quo globum tetigit, confecit, erit ad duplicatum sinum versum arcus dimidii qui globum toto hoc tempore inter eundum tetigit, ut differentia diametrorum globi & rotæ ad semidiametrum globi.
Figure for Prop. XLIX.
SitABLglobus,Ccentrum ejus,BPVrota ei insistens,Ecentrum rotæ,Bpunctum contactus, &Ppunctum datum in perimetro rotæ. Concipe hanc Rotam pergere in circulo maximoABLabAperBversusL, & inter eundum ita revolvi ut arcusAB,PBsibi invicem semper æquentur, atq; punctum illudPin Perimetro rotæ datum interea describere viam curvilineamAP. Sit autemAPvia tota curvilinea descripta ex quo Rota globum tetigit inA, & erit viæ hujus longitudoAPad duplum sinum versum arcus ½PB, ut 2CEadCB. Nam rectaCE(siopus est producta) occurrat Rotæ inV, junganturq;CP,BP,EP,VP, & inCPproductam demittatur NormalisVF. TangantPH,VHcirculum inP&Vconcurrentes inH, secetq;PHipsamVFinG, & adVPdemittantur NormalesGI,HK. Centro itemC& intervallo quovis describatur circulusnomsecans rectamCPinn, Rotæ perimetrumBpino& viam curvilineamAPinm, centroq;V& intervalloVodescribatur circulus secansVPproductam inq.
Quoniam Rota eundo semper revolvitur circa punctum contactusB, manifestum est quod rectaBPperpendicularis est ad lineam illam curvamAP, quam Rotæ punctumPdescribit, atq; adeo quod rectaVPtanget hanc curvam in punctoP. Circulinomradius sensim auctus æquetur tandem distantiæCP, & ob similitudinem figuræ evanescentisPnomq& figuræPFGVI, ratio ultima lineolarum evanescentiumPm,Pn,Po,Pq, id est ratio incrementorum momentaneorum curvæAP, rectæCP& arcus circularisBP, ac decrementi rectæVP, eadem erit quæ linearumPV,PF,PG,PIrespective. Cum autemVFadCF&VHadCVperpendiculares sunt, anguliq;HVG,VCFpropterea æquales; & angulusVHP, (ob angulos quadrilateriHVEPadV&Prectos,) complet angulumVEPad duos rectos, adeoq; anguloCEPæqualis est, similia erunt triangulaVHG,CEP; & inde fiet utEPadCEitaHGadHVseuHP, & itaKIadKP, & divisim utCBadCEitaPIadPK, & duplicatis consequentibus utCBad 2CEitaPIadPV. Est igitur decrementum lineæVP, id est incrementum lineæBV-VP, ad incrementum lineæ curvæAPin data rationeCBad 2CE, & propterea (per Corol. Lem. IV.) longitudinesBV-VP&APincrementis illis genitæ sunt in eadem ratione. Sed existenteBVradio, estVPcosinus anguliVPBseu ½BEP, adeoq;BV-VPsinus versus ejusdem anguli, & propterea in hac Rota cujus radius est ½BV, eritBV-VPduplus sinus versus arcus ½BP. ErgoAPest ad duplum sinum versum arcus ½BPut 2CEadCB.  Q. E. D.
Lineam autemAPin Propositione priore Cycloidem extra Globum, alteram in posteriore Cycloidem intra Globum distinctionis gratia nominabimus.
Corol. 1.Hinc si describatur Cyclois integraASL& bisecetur ea inS, erit longitudo partisPSad longitudinemVP(quæ duplus est sinus anguliVBP, existenteEBradio) ut 2CEadCBatq; adeo in ratione data.
Corol. 2.Et longitudo semiperimetri CycloidisASæquabitur lineæ rectæ, quæ est ad Rotæ diametrumBVut 2CEadCB.
Corol. 3.Ideoq; longitudo illa est ut rectangulumBEC, si modo Globi detur semidiameter.
Figure for Prop. L.
Facere ut Corpus pendulum oscilletur in Cycloide data.
Facere ut Corpus pendulum oscilletur in Cycloide data.
Intra GlobumQVScentroCdescriptum detur CycloisQRSbisecta inR& punctis suis extremisQ&Ssuperficiei Globi hinc inde occurrens. AgaturCRbisecans arcumQSinO, & producatur ea adA, ut sitCAadCOutCOadCR. CentroCintervalloCAdescribatur Globus exteriorABD, & intra hunc globum Rota, cujus diameter sitAO, describantur duæ semicycloidesAQ,AS, quæ globum interiorem tangant inQ&S& globo exteriori occurrant inA. A puncto illoA, filoAPTlongitudinemARæquante, pendeat corpusT, & ita intra semicycloidesAQ,ASoscilletur, ut quoties pendulum digreditur a perpendiculoAR, filum parte sui superioreAPapplicetur ad semicycloidem illamAPS, versus quam peragitur motus, & circum eam ceu obstaculum flectatur, parteq; reliquaPTcui semicyclois nondum objicitur, protendatur in lineam rectam; & pondusToscillabitur in Cycloide dataQRS.  Q. E. F.
Occurrat enim filumPTtum CycloidiQRSinT, tum circuloQOSinV, agaturq;CVoccurrens circuloABDinB; & ad fili partem rectamPT, e punctis extremisPacT, eriganturperpendiculaPB,TW, occurrentia rectæCVinB&W. Patet enim ex genesi Cycloidis, quod perpendicula illaPB,TW, abscindent deCVlongitudinesVB,VWrotarum diametrisOA,ORæquales, atq; adeo quod punctumBincidet in circulumABD. Est igiturTPadVP(duplum sinum anguliVBPexistente ½BVradio) utBWadBV, seuAO+ORadAO, id est (cum sintCAadCO,COadCR& divisimAOadORproportionales,) utCA+COseu 2CEadCA. Proinde per Corol. 1. Prop. XLIX. longitudoPTæquatur Cycloidis arcuiPS, & filum totumAPTæquatur Cycloidis arcui dimidioAPS, hoc est (per Corollar. 2. Prop. XLIX) longitudiniAR. Et propterea vicissim si filum manet semper æquale longitudiniARmovebitur punctumTin CycloideQRS. Q. E. D.
Corol.FilumARæquatur Cycloidis arcui dimidioAPS.
Si vis centripeta tendens undiq; ad Globi centrumCsit in locis singulis ut distantia loci cujusq; a centro, & hac sola vi agente CorpusToscilletur (modo jam descripto) in perimetro CycloidisQRS: dico quod oscillationum utcunq; inæqualium æqualia erunt Tempora.
Si vis centripeta tendens undiq; ad Globi centrumCsit in locis singulis ut distantia loci cujusq; a centro, & hac sola vi agente CorpusToscilletur (modo jam descripto) in perimetro CycloidisQRS: dico quod oscillationum utcunq; inæqualium æqualia erunt Tempora.
Nam in Cycloidis tangentemTWinfinite productam cadat perpendiculumCX& jungaturCT. Quoniam vis centripeta qua corpusTimpellitur versusCest ut distantiaCT, (per Legum Corol. 2.) resolvitur in partesCX,TX, quarumCXimpellendo corpus directe aPdistendit filumPT& per cujus resistentiam tota cessat, nullum alium edens effectum; pars autem alteraTXurgendo corpus transversim seu versusX, directe accelerat motum ejus in Cycloide; manifestum est quod corporis acceleratio huic vi acceleratrici proportionalis sit singulis momentis ut longitudoTX, id est, ob datasCV,WViisq; proportionalesTX,TW, ut longitudoTW, hoc est (per Corol. 1. Prop. XLIX.) ut longitudo arcus CycloidisTR. Pendulis igitur duabusAPT,Aptde perpendiculoARinæqualiter deductis & simul dimissis, accelerationes eorum semper erunt ut arcus describendiTR,tR. Sunt autem partes sub initio descriptæ ut accelerationes, hoc est ut totæ sub initio describendæ, & propterea partes quæ manent describendæ & accelerationes subsequentes his partibus proportionales sunt etiam ut totæ; & sic deinceps. Sunt igitur accelerationes atq; adeo velocitates genitæ & partes his velocitatibus descriptæ partesq; describendæ, semper ut totæ; & propterea partes describendæ datam servantes rationem ad invicem simul evanescent, id est corpora duo oscillantia simul pervenient ad perpendiculumAR. Cumq; vicissim ascensus perpendiculorum de loco infimoR, per eosdem arcus Trochoidales motu retrogrado facti, retardentur in locis singulis a viribus iisdem a quibus descensus accelerabantur, patet velocitates ascensuum ac descensuum per eosdem arcus factorum æquales esse, atq; adeo temporibus æqualibus fieri; & propterea, cum Cycloidis partes duæRS&RQad utrumq; perpendiculi latus jacentes sint similes & æquales, pendula duo oscillationes suas tam totas quam dimidias iisdem temporibus semper peragent.  Q. E. D.
Definire & velocitates Pendulorum in locis singulis, & Tempora quibus tum oscillationes totæ, tum singulæ oscillationum partes peraguntur.
Definire & velocitates Pendulorum in locis singulis, & Tempora quibus tum oscillationes totæ, tum singulæ oscillationum partes peraguntur.
Figure for Prop. LII.
Centro quovisG, intervalloGHCycloidis arcumRSæquante, describe semicirculumHKMGsemidiametroGKbisectum. Et si vis centripeta distantiis locorum a centro proportionalis tendat ad centrumG, sitq; ea in perimetroHIKæqualis vi centripetæ in perimetro globiQOS(Vide Fig. Prop. L. & LI.) ad ipsius centrum tendente; & eodem tempore quo pendulumTdimittitur e loco supremoS, cadat corpus aliquodLabHadG: quoniam vires quibus corpora urgentur sunt æquales sub initio & spatiis describendisTR,GLsemper proportionales, atq; adeo, si æquanturTR&LG, æquales in locisT&L; patet corpora illa describere spatiaST,HLæqualia sub initio, adeoq; subinde pergere æqualiter urgeri, & æqualia spatia describere. Quare, per Prop. XXXVIII., tempus quo corpus describit arcumSTest ad tempus oscillationis unius, ut arcusHI(tempus quo corpusHperveniet adL) ad semicirculumHKM(tempus quo corpusHperveniet adM.) Et velocitas corporis penduli in locoTest ad velocitatem ipsius in loco infimoR, (hoc est velocitas corporisHin locoLad velocitatem ejus in locoG, seu incrementum momentaneum lineæHLad incrementum momentaneum lineæHG, arcubusHI,HKæquabili fluxu crescentibus) ut ordinatim applicataLIad radiumGK, sive ut √SRq.-TRq.adSR. Unde cum in Oscillationibus inæqualibus describantur æqualibus temporibus arcus totis Oscillationum arcubus proportionales, habentur ex datistemporibus & velocitates & arcus descripti in Oscillationibus universis. Quæ erant primo invenienda.
Figures for Prop. LII.
Oscillentur jam funipendula duo corpora in Cycloidibus inæqualibus & earum semiarcubus æquales capiantur rectæGH,gh, centrisq;G,g& intervallisGH,ghdescribantur semicirculiHZKM,hzkm. In eorum diametrisHM,hmcapiantur lineolæ æqualesHY,hy, & erigantur normaliterYZ,yzcircumferentiis occurrentes inZ&z. Quoniam corpora pendula sub initio motus versantur in circumferentia globiQOS, adeoq; a viribus æqualibus urgentur in centrum, incipiuntq; directe versus centrum moveri, spatia simul consecta æqualia erunt sub initio. Urgeantur igitur corporaH,ha viribus iisdem inH&h, sintq;HY,hyspatia æqualia ipso motus initio descripta, & arcusHZ,hzdenotabunt æqualia tempora. Horum arcuum nascentium ratio prima duplicata est eadem quæ rectangulorumGHY,ghy, id est, eadem quæ linearumGH,ghadeoq; arcus capti in dimidiata ratione semidiametrorum denotant æqualia tempora. Est ergo tempus totum in circuloHKM, Oscillationi in una Cycloide respondens, ad tempus totum in circulohkmOscillationi in altera Cycloide respondens, ut semiperiferiaHKMad medium proportionale inter hanc semiperiferiam & semiperiferiam circuli alteriushkm, id est in dimidiata ratione diametriHMad diametrumhm, hoc est in dimidiata ratione perimetri Cycloidis primæ ad perimetrum Cycloidis alterius, adeoq; tempus illud inCycloide quavis est (per Corol. 3. Prop. XLIX.) ut latus quadratum rectanguliBECcontenti sub semidiametro Rotæ, qua Cyclois descripta fuit, & differentia inter semidiametrum illam & semidiametrum globi.  Q. E. I.  Est & idem tempus (per Corol. Prop. L.) in dimidiata ratione longitudinis filiAR.  Q. E. I.
Porro si in globis concentricis describantur similes Cycloides: quoniam earum perimetri sunt ut semidiametri globorum & vires in analogis perimetrorum locis sunt ut distantiæ locorum a communi globorum centro, hoc est ut globorum semidiametri, atq; adeo ut Cycloidum perimetri & perimetrorum partes similes, æqualia erunt tempora quibus perimetrorum partes similes Oscillationibus similibus describuntur, & propterea Oscillationes omnes erunt Isochronæ. Cum igitur Oscillationum tempora in Globo dato sint in dimidiata ratione longitudinisAR, atq; adeo (ob datamAC) in dimidiata ratione numeriAR÷AC, id est in ratione integra numeri √{AR÷AC}; & hic numerus √{AR÷AC} servata rationeARadAC(ut fit in Cycloidibus similibus) idem semper maneat, & propterea in globis diversis, ubi Cycloides sunt similes, sit ut tempus: manifestum est quod Oscillationum tempora in alio quovis globo dato, atq; adeo in globis omnibus concentricis sunt ut numerus √{AR÷AC}, id est, in ratione composita ex dimidiata ratione longitudinis filiARdirecte & dimidiata ratione semidiametri globiACinverse.  Q. E. I.
Deniq; si vires absolutæ diversorum globorum ponantur inæquales, accelerationes temporibus æqualibus factæ, erunt ut vires. Unde si tempora capiantur in dimidiata ratione virium inverse, velocitates erunt in eadem dimidiata ratione directe, & propterea spatia erunt æqualia quæ his temporibus describuntur. Ergo Oscillationes in globis & Cycloidibus omnibus, quibuscunq; cum viribus absolutis factæ, sunt in ratione quæ componitur exdimidiata ratione longitudinis Penduli directe, & dimidiata ratione distantiæ inter centrum Penduli & centrum globi inverse, & dimidiata ratione vis absolutæ etiam inverse, id est, si vis illa dicaturV, in ratione numeri √{AR÷ {AC×V}}.  Q. E. I.
Corol. 1.Hinc etiam Oscillantium, cadentium & revolventium corporum tempora possunt inter se conferri. Nam si Rotæ, qua Cyclois intra globum describitur, diameter constituatur æqualis semidiametro globi, Cyclois evadet linea recta per centrum globi transiens, & Oscillatio jam erit descensus & subsequens ascensus in hac recta. Unde datur tum tempus descensus de loco quovis ad centrum, tum tempus huic æquale quo corpus uniformiter circa centrum globi ad distantiam quamvis revolvendo arcum quadrantalem describit. Est enim hoc tempus (per Casum secundum) ad tempus semioscillationis in Trochoide quavisAPSut ½BCad √BEC.
Corol. 2.Hinc etiam consectantur quæD. C. Wrennus&D. C. Hugeniusde Cycloide vulgari adinvenerunt. Nam si globi diameter augeatur in infinitum, mutabitur ejus superficies Sphærica in planum, visq; centripeta aget uniformiter secundum lineas huic plano perpendiculares, & Cyclois nostra abibit in Cycloidem vulgi. Isto autem in casu, longitudo arcus Cycloidis, inter planum illud & punctum describens, æqualis evadet quadruplicato sinui verso dimidii arcus Rotæ inter idem planum & punctum describens; ut invenitD. C. Wrennus: Et pendulum inter duas ejusmodi Cycloides in simili & æquali Cycloide temporibus æqualibus Oscillabitur, ut demonstravitHugenius. Sed & descensus gravium, tempore Oscillationis unius, is erit quemHugeniusindicavit.
Aptantur autem Propositiones a nobis demonstratæ ad veram constitutionem Terræ, quatenus Rotæ eundo in ejus circulis maximis describunt motu clavorum Cycloides extra globum; & Pendula inferius in fodinis & cavernis Terra suspensa, in Cycloidibusintra globos Oscillari debent, ut Oscillationes omnes evadant Isochronæ. Nam Gravitas (ut in Libro tertio docebitur) decrescit in progressu a superficie Terræ, sursum quidem in duplicata ratione distantiarum a centro ejus, deorsum vero in ratione simplici.
Concessis figurarum curvilinearum Quadraturis, invenire vires quibus corpora in datis curvis lineis Oscillationes semper Isochronas peragent.
Concessis figurarum curvilinearum Quadraturis, invenire vires quibus corpora in datis curvis lineis Oscillationes semper Isochronas peragent.
Figure for Prop. LIII.
Oscilletur corpusTin curva quavis lineaSTRQ, cujus axis sitORtransiens per virium centrumC. AgaturTXquæ curvam illam in corporis loco quovisTcontingat, inq; hac TangenteTXcapiaturTYæqualis arcuiTR. Nam longitudo arcus illius ex figurarum Quadraturis per Methodos vulgares innotescit. De punctoYeducatur rectaYZTangenti perpendicularis. AgaturCTperpendiculari illi occurrens inZ, & erit vis centripeta proportionalis rectæTZ.  Q. E. I.
Nam si vis, qua corpus trahitur deTversusC, exponatur per rectamTZcaptam ipsi proportionalem, resolvetur hæc in viresTY,YZ; quarumYZtrahendo corpus secundum longitudinem filiPT, motum ejus nil mutat, vis autem alteraTYmotum ejus in curvaSTRQdirecte accelerat vel directe retardat. Proinde cum hæc sit ut via describendaTR, accelerationes corporis vel retardationes in Oscillationum duarum (majoris & minoris) partibus proportionalibus describendis, erunt semper ut partes illæ, & propterea facient ut partes illæ simul describantur. Corpora autem quæ partes totis semper proportionales simul describunt, simul describent totas.  Q. E. D.
Corol. 1.Hinc si corpusTfilo rectilineoATa centroApendens, describat arcum circularemSTRQ, & interea urgeatur secundum lineas parallelas deorsum a vi aliqua, quæ sit ad vim uniformem gravitatis, ut arcusTRad ejus sinumTN: æqualia erunt Oscillationum singularum tempora. Etenim ob parallelasTZ,AR, similia erunt triangulaANT,TYZ; & proptereaTZerit adATutTYadTN; hoc est, si gravitatis vis uniformis exponatur per longitudinem datamAT, visTZ, qua Oscillationes evadent Isochronæ, erit ad vim gravitatisAT, ut arcusTRipsiTYæqualis ad arcus illius sinumTN.
Corol. 2.Igitur in Horologiis, si vires a Machina in Pendulum ad motum conservandum impressæ ita cum vi gravitatis componi possint, ut vis tota deorsum semper sit ut linea quæ oritur applicando rectangulum sub arcuTR& radioAR, ad sinumTN, Oscillationes omnes erunt Isochronæ.
Concessis figurarum curvilinearum quadraturis, invenire tempora quibus corpora vi qualibet centripeta in lineis quibuscunq; curvis in plano per centrum virium transeunte descriptis, descendent & ascendent.
Concessis figurarum curvilinearum quadraturis, invenire tempora quibus corpora vi qualibet centripeta in lineis quibuscunq; curvis in plano per centrum virium transeunte descriptis, descendent & ascendent.
Figure for Prop. LIV.
Descendat enim corpus de loco quovisSper lineam quamvis curvamSTtRin plano per virium centrumCtranseunte datam. JungaturCS& dividatur eadem in partes innumeras æquales,sitq;Ddpartium illarum aliqua. CentroC, intervallisCD,Cddescribantur circuliDT,dt, Lineæ curvæSTtRoccurrentes inT&t. Et ex data tum lege vis centripetæ, tum altitudineCSde qua corpus cecidit; dabitur velocitas corporis in alia quavis altitudineCT, per Prop. XXXIX. Tempus autem, quo corpus describit lineolamTt, est ut lineolæ hujus longitudo (id est ut secans angulitTC) directe, & velocitas inverse. Tempori huic proportionalis sit ordinatim applicataDNad rectamCSper punctumDperpendicularis, & ob datamDderit rectangulumDd×DN, hoc est areaDNnd, eidem tempori proportionale. Ergo siSNnsit curva illa linea quam punctumNperpetuo tangit, erit areaSNDSproportionalis tempori quo corpus descendendo descripsit lineamST; proindeq; ex inventa illa area dabitur tempus.  Q. E. I.
Si corpus movetur in superficie quacunq; curva, cujus axis per centrum virium transit, & a corpore in axem demittatur perpendicularis, eiq; parallela & æqualis ab axis puncto quovis ducatur: dico quod parallela illa aream tempori proportionalem describet.
Si corpus movetur in superficie quacunq; curva, cujus axis per centrum virium transit, & a corpore in axem demittatur perpendicularis, eiq; parallela & æqualis ab axis puncto quovis ducatur: dico quod parallela illa aream tempori proportionalem describet.
Figure for Prop. LV.
SitBSKLsuperficies curva,Tcorpus in ea revolvens,STtRTrajectoria quam corpus in eadem describit,Sinitium Trajectoriæ,OMNKaxis superficiei curvæ,TNrecta a corpore in axem perpendicularis,OPhuic parallela & æqualis a punctoOquod in axe datur educta,APvestigium Trajectoriæ a punctoPin lineæ volubilisOPplanoAOPdescriptum,Avestigii initium punctoSrespondens,TCrecta a corpore ad centrum ducta;TGpars ejus vi centripetæ qua corpus urgetur in centrumCproportionalis;TMrecta ad superficiem curvam perpendicularis;TIpars ejus vi pressionis qua corpus urget superficiem, vicissimq; urgetur versusMa superficie, proportionalis;PHTFrecta axi parallela per corpus transiens, &GF,IHrectæ a punctisG&Iin parallelam illamPHTFperpendiculariter demissæ. Dico jam quod areaAOP, radioOPab initio motus descripta, sit tempori proportionalis. Nam visTG(per Legum Corol. 2.) resolvitur in viresTF,FG; & visTIin viresTH,HI: Vires autemTF,THagendo secundum lineamPFplanoAOPperpendicularem mutant solummodo motum corporis quatenus huic plano perpendicularem. Ideoq; motus ejus quatenus secundum positionem plani factus, hoc est motus punctiP, quo Trajectoriæ vestigiumAPin hoc plano describitur, idem est ac si viresTF,THtollerentur, & corpus solis viribusFG,HIagitaretur, hoc est idem ac si corpus in planoAOPvi centripeta ad centrumOtendente & summam viriumFG&HIæquante, describeret curvamAP. Sed vi tali describetur areaAOP(per Prop. I.) tempori proportionalis.  Q. E. D.
Corol.Eodem argumento si corpus a viribus agitatum ad centraduo vel plura in eadem quavis rectaCOdata tendentibus, describeret in spatio libero lineam quamcunq; curvamST, foret areaAOPtempori semper proportionalis.
Concessis figurarum curvilinearum Quadraturis, datisq; tum lege vis centripetæ ad centrum datum tendentis, tum superficie curva cujus axis per centrum illud transit; invenienda est Trajectoria quam corpus in eadem superficie describet, de loco dato, data cum velocitate versus plagam in superficie illa datam egressum.
Concessis figurarum curvilinearum Quadraturis, datisq; tum lege vis centripetæ ad centrum datum tendentis, tum superficie curva cujus axis per centrum illud transit; invenienda est Trajectoria quam corpus in eadem superficie describet, de loco dato, data cum velocitate versus plagam in superficie illa datam egressum.
Stantibus quæ in superiore Propositione constructa sunt, exeat corpus de locoSin Trajectoriam inveniendamSTtR& ex data ejus velocitate in altitudineSCdabitur ejus velocitas in alia quavis altitudineTC. Ea cum velocitate, dato tempore quam minimo, describat corpus Trajectoriæ suæ particulamTt, sitq;Ppvestigium ejus planoAOPdescriptum. JungaturOp, & circelli centroTintervalloTtin superficie curva descripti sitPpQvestigium Ellipticum in eodem planoOAPpdescriptum. Et ob datum magnitudine & positione circellum, dabitur Ellipsis illaPpQ. Cumq; areaPOpsit tempori proportionalis, atq; adeo ex dato tempore detur, dabiturOppositione, & inde dabitur communis ejus & Ellipseos intersectiop, una cum anguloOPp, in quo Trajectoriæ vestigiumAPpsecat lineamOP. Inde autem invenietur Trajectoriæ vestigium illudAPp, eadem methodo qua curva lineaVIKkin Propositione XLI. ex similibus datis inventa fuit. Tum ex singulis vestigii punctisPerigendo ad planumAOPperpendiculaPTsuperficiei curvæ occurrentia inT, dabuntur singula Trajectoriæ punctaT.  Q. E. I.
De Motu Corporum Sphæricorum viribus centripetis se mutuo petentium.
Hactenus exposui motus corporum attractorum ad centrum immobile, quale tamen vix extat in rerum natura. Attractiones enim fieri solent ad corpora; & corporum trahentium & attractorum actiones semper mutuæ sunt & æquales, per Legem tertiam: adeo ut neq; attrahens possit quiescere neq; attractum, si duo sint corpora, sed ambo (per Legum Corollarium quartum) quasi attractione mutua, circum gravitatis centrum commune revolvantur: & si plura sint corpora (quæ vel ab unico attrahantur vel omnia se mutuo attrahant) hæc ita inter se moveri debeant, ut gravitatis centrum commune vel quiescat vel uniformiter moveatur in directum. Qua de causa jam pergo motum exponere corporum se mutuo trahentium, considerando vires centripetas tanquam Attractiones, quamvis fortasse, si physice loquamur, verius dicantur Impulsus. In Mathematicis enim jam versamur, & propterea missis disputationibus Physicis, familiari utimur sermone, quo possimus a Lectoribus Mathematicis facilius intelligi.
Corpora duo se invicem trahentia describunt, & circum commune centrum gravitatis, & circum se mutuo, figuras similes.
Corpora duo se invicem trahentia describunt, & circum commune centrum gravitatis, & circum se mutuo, figuras similes.
Sunt enim distantiæ a communi gravitatis centro reciproce proportionales corporibus, atq; adeo in data ratione ad invicem, & componendo, in data ratione ad distantiam totam inter corpora. Feruntur autem hæ distantiæ circum terminos suos communimotu angulari, propterea quod in directum semper jacentes non mutant inclinationem ad se mutuo. Lineæ autem rectæ, quæ sunt in data ratione ad invicem, & æquali motu angulari circum terminos suos feruntur, figuras circum eosdem terminos (in planis quæ una cum his terminis vel quiescunt vel motu quovis non angulari moventur) describunt omnino similes. Proinde similes sunt figuræ quæ his distantiis circumactis describuntur.  Q. E. D.
Si corpora duo viribus quibusvis se mutuo trahunt, & interea revolvuntur circa gravitatis centrum commune: dico quod figuris, quas corpora sic mota describunt circum se mutuo, potest figura similis & æqualis, circum corpus alterutrum immotum, viribus iisdem describi.
Si corpora duo viribus quibusvis se mutuo trahunt, & interea revolvuntur circa gravitatis centrum commune: dico quod figuris, quas corpora sic mota describunt circum se mutuo, potest figura similis & æqualis, circum corpus alterutrum immotum, viribus iisdem describi.
Revolvantur corporaS,Pcirca commune gravitatis centrumC, pergendo deSadTdeq;PadQ. A dato punctosipsisSP,TQæquales & parallelæ ducantur sempersp,sq; & curvapqvquam punctump, revolvendo circum punctum immotums, describit, erit similis & æqualis curvis quas corporaS,Pdescribunt circum se mutuo: proindeq; (per Theor. XX.) similis curvisST&PQV, quas eadem corpora describunt circum commune gravitatis centrumC: id adeo quia proportiones linearumSC,CP&SPvelspad invicem dantur.
Figure for Prop. LVIII.
Cas. 1.Commune illud gravitatis centrumC, per LegumCorollarium quartum, vel quiescit vel movetur uniformiter in directum. Ponamus primo quod id quiescit, inq;s&plocentur corpora duo, immobile ins, mobile inp, corporibusS&Psimilia & æqualia. Dein tangant rectæPR&prCurvasPQ&pqinP&p, & producanturCQ&sqadR&r. Et ob similitudinem figurarumCPRQ,sprq, eritRQadrqutCPadsp, adeoq; in data ratione. Proinde si vis qua CorpusPversus CorpusS, atq; adeo versus centrum intermediumCattrahitur, esset ad vim qua corpuspversus centrumsattrahitur in eadem illa ratione data, hæ vires æqualibus temporibus attraherent semper corpora de tangentibusPR,prad arcusPQ,pq, per intervalla ipsis proportionaliaRQ,rq; adeoq; vis posterior efficeret ut corpuspgyraretur in curvapqv, quæ similis esset curvæPQV, in qua vis prior efficit ut corpusPgyretur, & revolutiones iisdem temporibus complerentur. At quoniam vires illæ non sunt ad invicem in rationeCPadsp, sed (ob similitudinem & æqualitatem corporumS&s,P&p, & æqualitatem distantiarumSP,sp) sibi mutuo æquales, corpora æqualibus temporibus æqualiter trahentur de Tangentibus; & propterea ut corpus posteriusptrahatur per intervallum majusrq, requiritur tempus majus, idq; in dimidiata ratione intervallorum; propterea quod, per Lemma decimum, spatia ipso motus initio descripta sunt in duplicata ratione temporum. Ponatur igitur velocitas corporispesse ad velocitatem corporisPin dimidiata ratione distantiæspad distantiamCP, eo ut temporibus quæ sint in eadem dimidiata rationedescribantur arcusPQ,pq, qui sunt in ratione integra: Et corporaP,pviribus æqualibus semper attracta describent circum centra quiescentiaC&sfiguras similesPQV,pqv, quarum posteriorpqvsimilis est & æqualis figuræ quam corpusPcircum corpus mobileSdescribit.  Q. E. D.
Cas. 2.Ponamus jam quod commune gravitatis centrum, una cum spatio in quo corpora moventur inter se, progreditur uniformiter in directum; &, per Legum Corollarium sextum, motus omnes in hoc spatio peragentur ut prius, adeoq; corpora describent circum se mutuo figuras easdem ac prius, & propterea figuræpqvsimiles & æquales. Q. E. D.
Corol. 1.Hinc corpora duo viribus distantiæ suæ proportionalibus se mutuo trahentia, describunt (per Prop. X.) & circum commune gravitatis centrum, & circum se mutuo, Ellipses concentricas: & vice versa, si tales figuræ describuntur, sunt vires distantiæ proportionales.
Corol. 2.Et corpora duo viribus quadrato distantiæ suæ reciproce proportionalibus describunt (per Prop. XI, XII, XIII.) & circum commune gravitatis centrum, & circum se mutuo sectiones conicas umbilicos habentes in centro circum quod figuræ describuntur. Et vice versa, si tales figuræ describuntur, vires centripetæ sunt quadrato distantiæ reciproce proportionales.
Corol. 3.Corpora duo quævis circum gravitatis centrum commune gyrantia, radiis & ad centrum illud & ad se mutuo ductis, describunt areas temporibus proportionales.
Corporum duorumS&Pcirca commune gravitatis centrumCrevolventium tempus periodicum esse ad tempus periodicum corporis alterutriusP, circa alterum immotumSgyrantis & figuris quæ corpora circum se mutuo describunt figuram similem & æqualem describentis, in dimidiata ratione corporis alteriusS, ad summam corporumS+P.
Corporum duorumS&Pcirca commune gravitatis centrumCrevolventium tempus periodicum esse ad tempus periodicum corporis alterutriusP, circa alterum immotumSgyrantis & figuris quæ corpora circum se mutuo describunt figuram similem & æqualem describentis, in dimidiata ratione corporis alteriusS, ad summam corporumS+P.
Namq; ex demonstratione superioris Propositionis, tempora quibus arcus quivis similesPQ&pqdescribuntur, sunt in dimidiata ratione distantiarumCP&SPvelsp, hoc est, in dimidiata ratione corporisSad summam corporumS+P. Et componendo, summæ temporum quibus arcus omnes similesPQ&pqdescribuntur, hoc est tempora tota quibus figuræ totæ similes describuntur, sunt in eadem dimidiata ratione.  Q. E. D.
Si corpora duoS&P, viribus quadrato distantiæ suæ reciproce proportionalibus se mutuo trahentia, revolvuntur circa gravitatis centrum commune: dico quod Ellipseos, quam corpus alterutrumPhoc motu circa alterumSdescribit, Axis transversus erit ad axem transversum Ellipseos, quam corpus idemPcirca alterum quiescensSeodem tempore periodico describere posset, ut summa corporum duorumS+Pad primam duarum medie proportionalium inter hanc summam & corpus illud alterumS.
Si corpora duoS&P, viribus quadrato distantiæ suæ reciproce proportionalibus se mutuo trahentia, revolvuntur circa gravitatis centrum commune: dico quod Ellipseos, quam corpus alterutrumPhoc motu circa alterumSdescribit, Axis transversus erit ad axem transversum Ellipseos, quam corpus idemPcirca alterum quiescensSeodem tempore periodico describere posset, ut summa corporum duorumS+Pad primam duarum medie proportionalium inter hanc summam & corpus illud alterumS.
Nam si descriptæ Ellipses essent sibi invicem æquales, tempora periodica, per Theorema superius, forent in dimidiata ratione corporisSad summam corporumS+P. Minuatur in hac ratione tempus periodicum in Ellipsi posteriore, & tempora periodica evadent æqualia, Ellipseos autem axis transversus per Theorema VII. minuetur in ratione cujus hæc est sesquiplicata, id est in ratione, cujus ratioSadS+Pest triplicata; adeoq; ad axem transversum Ellipseos alterius, ut prima duarum medie proportionalium interS+P&SadS+P. Et inverse, axis transversus Ellipseos circa corpus mobile descriptæ erit ad axem transversum descriptæ circa immobile, utS+Pad primam duarum medie proportionalium interS+P&S.  Q. E. D.
Si corpora duo viribus quibusvis se mutuo trahentia, neq; alias agitata vel impedita, quomodocunq; moveantur; motus eorum perinde se habebunt ac si non traherent se mutuo, sed utrumq; a corpore tertio in communi gravitatis centro constituto viribus iisdem traheretur: Et Virium trahentium eadem erit Lex respectu distantiæ corporum a centro illo communi atq; respectu distantiæ totius inter corpora.
Si corpora duo viribus quibusvis se mutuo trahentia, neq; alias agitata vel impedita, quomodocunq; moveantur; motus eorum perinde se habebunt ac si non traherent se mutuo, sed utrumq; a corpore tertio in communi gravitatis centro constituto viribus iisdem traheretur: Et Virium trahentium eadem erit Lex respectu distantiæ corporum a centro illo communi atq; respectu distantiæ totius inter corpora.
Nam vires illæ, quibus corpora se mutuo trahunt, tendendo ad corpora, tendunt ad commune gravitatis centrum intermedium, adeoq; eædem sunt ac si a corpore intermedio manarent.  Q. E. D.
Et quoniam data est ratio distantiæ corporis utriusvis a centro illo communi ad distantiam corporis ejusdem a corpore altero, dabitur ratio cujusvis potestatis distantiæ unius ad eandem potestatem distantiæ alterius; ut & ratio quantitatis cujusvis, quæ ex una distantia & quantitatibus datis utcunq; derivatur, ad quantitatem aliam, quæ ex altera distantia & quantitatibus totidem datis datamq; illam distantiarum rationem ad priores habentibus similiter derivatur. Proinde si vis, qua corpus unum ab altero trahitur, sit directe vel inverse ut distantia corporum ab invicem; vel ut quælibet hujus distantiæ potestas; vel deniq; ut quantitas quævis ex hac distantia & quantitatibus datis quomodocunq; derivata: erit eadem vis, qua corpus idem ad commune gravitatis centrum trahitur, directe itidem vel inverse ut corporis attracti distantia a centro illo communi, vel ut eadem distantiæ hujus potestas, vel deniq; ut quantitas ex hac distantia & analogis quantitatibus datis similiter derivata. Hoc est Vis trahentis eadem erit Lex respectu distantiæ utriusq;.  Q. E. D.
Corporum duorum quæ viribus quadrato distantiæ suæ reciproce proportionalibus se mutuo trahunt, ac de locis datis demittuntur, determinare motus.
Corporum duorum quæ viribus quadrato distantiæ suæ reciproce proportionalibus se mutuo trahunt, ac de locis datis demittuntur, determinare motus.
Corpora, per Theorema novissimum, perinde movebuntur, ac si a corpore tertio in communi gravitatis centro constituto traherentur; & centrum illud ipso motus initio quiescet (per Hypothesin) & propterea (per Legum Corol. 4.) semper quiescet. Determinandi sunt igitur motus Corporum (per Probl. XXV.) perinde ac si a viribus ad centrum illud tendentibus urgerentur, & habebuntur motus corporum se mutuo trahentium.  Q. E. I.
Corporum duorum quæ viribus quadrato distantiæ suæ reciproce proportionalibus se mutuo trahunt, deq; locis datis, secundum datas rectas, datis cum velocitatibus exeunt, determinare motus.
Corporum duorum quæ viribus quadrato distantiæ suæ reciproce proportionalibus se mutuo trahunt, deq; locis datis, secundum datas rectas, datis cum velocitatibus exeunt, determinare motus.
Ex datis corporum motibus sub initio, datur uniformis motus centri communis gravitatis, ut & motus spatii quod una cum hoc centro movetur uniformiter in directum, nec non corporum motus initiales respectu hujus spatii. Motus autem subsequentes (per Legum Corollarium quintum & Theorema novissimum) perinde fiunt in hoc spatio, ac si spatium ipsum una cum communi illo gravitatis centro quiesceret, & corpora non traherent se mutuo, sed a corpore tertio sito in centro illo traherentur. Corporis igitur alterutrius in hoc spatio mobili de loco dato, secundum datam rectam, data cum velocitate exeuntis, & vi centripeta ad centrum illud tendente correpti, determinandus est motus per Problema nonum & vicesimum sextum: & habebitur simul motus corporis alterius e regione. Cum hoc motu componendus est uniformis ille Systematis spatii & corporum in eo gyrantiummotus progressivus supra inventus, & habebitur motus absolutus corporum in spatio immobili.  Q. E. I.
Viribus quibus Corpora se mutuo trahunt crescentibus in simplici ratione distantiarum a centris: requiruntur motus plurium Corporum inter se.
Viribus quibus Corpora se mutuo trahunt crescentibus in simplici ratione distantiarum a centris: requiruntur motus plurium Corporum inter se.
Ponantur imprimis corpora duoT&Lcommune habentia gravitatis centrumD. Describent hæc per Corollarium primum Theorematis XXI. Ellipses centra habentes inD, quarum magnitudo ex Problemate V. innotescit.