Figure for Exempl. 3.
Exempl. 3.Sit lineaAGKHyperbola, Asymptoton habensNXplano horizontaliAKperpendicularem; & quæratur Medii densitas quæ faciat ut Projectile moveatur in hac linea.
SitMXAsymptotos altera, ordinatim applicatæDGproductæ occurrens inV, & ex natura Hyperbolæ, rectangulumXVinVGdabitur. Datur autem ratioDNadVX, & propterea datur etiam rectangulumDNinVG. Sit illudbb; & completo parallelogrammoDNXZ, dicaturBNa,BDo,NXc, & ratio dataVZadZXvelDNponatur essem÷n. Et eritDNæqualisa-o,VGæqualisbb÷ {a-o},VZæqualism÷na-o, &GDseuNX-VZ-VGæqualisc- {m÷n}a+ {m÷n}o-bb÷ {a-o}. Resolvatur terminusbb÷ {a-o} in seriem convergentembb÷a+ {bb÷aa}o+ {bb÷a3}oo+ {bb÷a4}o3etc. & fietGDæqualisc- {m÷n}a-bb÷a+ {m÷n}o- {bb÷aa}o- {bb÷a3}o2- {bb÷a4}o3&c. Hujus seriei terminus secundus {m÷n}o- {bb÷aa}ousurpandus est proQo, tertius cum signo mutato {bb÷a3}o2proRo2, & quartus cum signo etiam mutato {bb÷a4}o3proSo3, eorumq; coefficientesm÷n-bb÷aa,bb÷a3&bb÷a4scribendæ sunt,in Regula superiore, proQ,R&S. Quo facto prodit medii densitas ut
seu
est, si inVZsumaturVYæqualisVG, ut 1 ÷XY. Namq;aa& {mm÷nn}aa- 2mbb÷n+b4÷aasunt ipsarumXZ&ZYquadrata. Resistentia autem invenitur in ratione ad Gravitatem quam habetXYadYG, & velocitas ea est quacum corpus in Parabola pergeret verticemGdiametrumDG& latus rectumYX quad.÷VGhabente. Ponatur itaq; quod Medii densitates in locis singulisGsint reciproce ut distantiæXY, quodq; resistentia in loco aliquoGsit ad gravitatem utXYadYG; & corpus de locoAjusta cum velocitate emissum describet Hyperbolam illamAGK. Q. E. I.
Exempl. 4.Ponatur indefinite, quod lineaAGKHyperbola sit, centroXAsymptotisMX,NX, ea lege descripta, ut constructo rectanguloXZDNcujus latusZDsecet Hyperbolam inG& Asymptoton ejus inV, fueritVGreciproce ut ipsiusZXvelDNdignitas aliquaNDn, cujus index est numerusn: & quæratur Medii densitas, qua Projectile progrediatur in hac curva.
ProDN,BD,NXscribanturA,O,Crespective, sitq;VZadZXvelDNutdade, &VGæqualisbb÷DNn, & eritDNæqualisA-O,VG=bb÷ {A-O}n,VZ=d÷einA-O, &GDseuNX-VZ-VGæqualisC- {d÷e}A+ {d÷e}O-bb÷ {A-O}n. Resolvatur terminus illebb÷ {A-O}nin seriam infinitam
ac fietGDæqualis
Hujus seriei terminus secundus {d÷e}O- {nbb÷An+1}Ousurpandus est proQo, tertius {{nn+n} ÷ 2An+2}bbO2proRo2, quartus {{n3+ 3nn+ 2n} ÷ 6An+3}bbO3proSo3. Et inde Medii densitasS÷ {R× √1 +QQ}, in loco quovisG, fit
adeoq; si inVZcapiaturVYæqualisn×VG, est reciproce utXY. Sunt enimA2& {dd÷ee}A2- 2dnbb÷eAninA+nnb4÷A2nipsarumXZ&ZYquadrata. Resistentia autem in eodem locoGfit ad Gravitatem utSinXY÷Aad 2RR, id estXYad {{3nn+ 3n} ÷ {n+ 2}}VG. Et velocitas ibidem ea ipsa est quacum corpus projectum in Parabola pergeret, verticemG, diametrumGD& Latus rectum {1 +QQ} ÷Rseu 2XY quad.÷ {nn+ninVG} habente.Q. E. I.
Quoniam motus non fit in Parabola nisi in Medio non resistente, in Hyperbolis vero hic descriptis fit per resistentiam perpetuam; perspicuum est quod linea, quam Projectile in Medio uniformiter resistente describit, propius accedit ad Hyperbolas hasce quam ad Parabolam. Est utiq; linea illa Hyperbolici generis, sed quæ circa verticem magis distat ab Asymptotis; in partibus a vertice remotioribus propius ad ipsas accedit quam pro ratione Hyperbolarum quas hic descripsi. Tanta vero nonest inter has & illam differentia, quin illius loco possint hæ in rebus practicis non incommode adhiberi. Et utiliores forsan futuræ sunt hæ, quam Hyperbola magis accurata & simul magis composita. Ipsæ vero in usum sic deducentur.
Compleatur parallelogrammumXYGT, & ex natura harum Hyperbolarum facile colligitur quod rectaGTtangit Hyperbolam inG, ideoq; densitas Medii inGest reciproce ut tangensGT, & velocitas ibidem ut √{GTq.÷GV}, resistentia autem ad vim gravitatis utGTad {{3nn+ 3n} ÷ {n+ 2}}GV.
Proinde si corpus de locoAsecundum rectamAHprojectum describat HyperbolamAGK, &AHproducta occurrat AsymptotoNXinH, actaq;AIoccurrat alteri AsymptotoMXinI: erit Medii densitas inAreciproce utAH, & corporis velocitas ut √{AHq.÷AI}, ac resistentia ibidem ad Gravitatem utAHad {3nn+ 3n} ÷ {n+ 2} inAI. Unde prodeunt sequentes Regulæ.
Reg. 1.Si servetur Medii densitas inA& mutetur angulusNAH, manebunt longitudinesAH,AI,HX. Ideoq; si longitudines illæ in aliquo casu inveniantur, Hyperbola deinceps ex dato quovis anguloNAHexpedite determinari potest.
Reg. 2.Si servetur tum angulusNAHtum Medii densitas inA, & mutetur velocitas quacum corpus projicitur; servabitur longitudoAH, & mutabiturAIin duplicata ratione velocitatis reciproce.
Reg. 3.Si tam angulusNAHquam corporis velocitas inA, gravitasq; acceleratrix servetur, & proportio resistentiæ inAad gravitatem motricem augeatur in ratione, quacunque: augebitur proportioAHadAIeadem ratione, manente Parabolæ latere recto, eiq; proportionali longitudineAHq.÷AI; & propterea minueturAHin eadem ratione, &AIminuetur in ratione illaduplicata. Augetur vero proportio resistentiæ ad pondus, ubi vel gravitas specifica sub æquali magnitudine fit minor, vel Medii densitas major, vel resistentia, ex magnitudine diminuta, diminuitur in minore ratione quam pondus.
Reg. 4.Quoniam densitas Medii prope verticem Hyperbolæ major est quam in locoA, ut servetur densitas mediocris, debet ratio minimæ tangentiumGTad TangentemAHinveniri, & densitas inA, per Regulam tertiam, diminui in ratione paulo minore quam semisummæ Tangentium ad TangentiumAH.
Reg. 5.Si dantur longitudinesAH,AI, & describenda sit figuraAGK: producHNadX, ut sitHXæqualis facto subn+ 1 &AI; centroq;X& AsymptotisMX,NXper punctumAdescribatur Hyperbola, ea lege ut sitAIad quamvisVGutXVnadXIn.
Figure for Reg. 7.
Reg. 6.Quo major est numerusn, eo magis accuratæ sunt hæ Hyperbolæ in ascensu corporis abA, & minus accuratæ in ejus descensu adG; & contra. Hyperbola Conica mediocrem rationem tenet, estq; cæteris simplicior. Igitur si Hyperbola sit hujus generis, & punctumK, ubi corpus projectum incidet in rectam quamvisANper punctumAtranseuntem, quæratur: occurrat productaANAsymptotisMX,NXinM&N, & sumaturNKipsiAMæqualis.
Reg. 7.Et hinc liquet methodus expedita determinandi hanc Hyperbolam exPhænomenis. Projiciantur corpora duo similia & æqualia eadem velocitate, in angulis diversisHAK,hAk, incidentq; in planum Horizontis inK&k; & notetur proportioAKadAk. Sit eadade. Tum erecto cujusvis longitudinis perpendiculoAI, assume utcunq; longitudinemAHvelAh, & inde collige graphice longitudinesAK,Ak, per Reg. 6. Si ratioAKadAksit eadem cum rationedade, longitudoAHrecte assumpta fuit. Sin minus cape in recta infinitaSMlongitudinemSMæqualem assumptæAH, & erige perpendiculumMNæquale rationum differentiæAK÷Ak-d÷eductæ in rectam quamvis datam. Simili methodo ex assumptis pluribus longitudinibusAHinvenienda sunt plura punctaN: & tum demum si per omnia agatur Curva linea regularisNNXN, hæc abscindetSXquæsitæ longitudiniAHæqualem. Ad usus Mechanicos sufficit longitudinesAH,AIeasdem in angulis omnibusHAKretinere. Sin figura ad inveniendam resistentiam Medij accuratius determinanda sit, corrigendæ sunt semper hæ longitudines per Regulam quartam.
Figure for Reg. 8.
Reg. 8.Inventis longitudinibusAH,HX; si jam desideretur positio rectæAH, secundum quam Projectile data illa cum velocitate emissum incidit in punctum quodvisK: ad punctaA&Kerigantur rectæAC,KFhorizonti perpendiculares, quarumACdeorsumtendat, & æquetur ipsiAIseu ½HX. AsymptotisAK,KFdescribatur Hyperbola, cujus Conjugata transeat per punctumC, centroq;A& intervalloAHdescribatur Circulus secans Hyperbolam illam inpunctoH; & projectile secundum rectamAHemissum incidet in punctumK.Q. E. I.Nam punctumH, ob datam longitudinemAH, locatur alicubi in circulo descripto. AgaturCHoccurrens ipsisAK&KF, illi inC, huic inF, & ob parallelasCH,MX& æqualesAC,AI, eritAEæqualisAM, & propterea etiam æqualisKN. SedCEest adAEutFHadKN, & proptereaCE&FHæquantur. Incidit ergo punctumHin Hyperbolam AsymptotisAK,KFdescriptam, cujus conjugata transit per punctumC, atq; adeo reperitur in communi intersectione Hyperbolæ hujus & circuli descripti.Q. E. D.Notandum est autem quod hæc operatio perinde se habet, sive rectaAKNhorizonti parallela sit, sive ad horizontem in angulo quovis inclinata: quodq; ex duabus intersectionibusH,Hduo prodeunt anguliNAH,NAH, quorum minor eligendus est; & quod in Praxi mechanica sufficit circulum semel describere, deinde regulam interminatamCHita applicare ad punctumC, ut ejus parsFH, circulo & rectæFKinterjecta, æqualis sit ejus partiCEinter punctumC& rectamHKsitæ.
Figure for Reg. 8.
Quæ de Hyperbolis dicta sunt facile applicantur ad Parabolas. Nam siXAGKParabolam designet quam rectaXVtangat in verticeX, sintq; ordinatim applicatæIA,VGut quælibet abscissarumXI,XVdignitatesXIn,XVn; aganturXT,TG,HA, quarumXTparallela sitVG, &TG,HAparabolam tangant inG&A: & corpus de loco quovisA, secundum rectamAHproductam, justa cum velocitate projectum, describet hanc Parabolam, si modo densitas Medij, in locis singulisG, sit reciproce ut tangensGT. Velocitas autem inGea erit quacum Projectile pergeret,in spatio non resistente, in Parabola Conica, verticemG, diametrumVGdeorsum productam, & latus rectum √{2TGq.÷ {nn-nXVG}} habente. Et resistentia inGerit ad vim Gravitatis utTGad {{3nn- 3n} ÷ {n- 2}}VG. Vnde siNAKlineam horizontalem designet, & manente tum densitate Medij inA, tum velocitate quacum corpus projicitur, mutetur utcunq; angulusNAH; manebunt longitudinesAH,AI,HX, & inde datur Parabolæ vertexX, & positio rectæXI, & sumendoVGadIAutXVnadXIn, dantur omnia Parabolæ punctaG, per quæ Projectile transibit.
De motu corporum quæ resistuntur partim in ratione velocitatis, partim in ejusdem ratione duplicata.
Si corpus resistitur partim in ratione velocitatis, partim in velocitatis ratione duplicata, & sola vi insita in Medio similari movetur, sumantur autem tempora in progressione Arithmetica: quantitates velocitatibus reciproce proportionales,dataquadam quantitate auctæ, erunt in progressione Geometrica.
Si corpus resistitur partim in ratione velocitatis, partim in velocitatis ratione duplicata, & sola vi insita in Medio similari movetur, sumantur autem tempora in progressione Arithmetica: quantitates velocitatibus reciproce proportionales,dataquadam quantitate auctæ, erunt in progressione Geometrica.
Figure for Prop. XI.
CentroC, Asymptotis rectangulisCADd&CHdescribatur HyperbolaBEeS, & AsymptotoCHparallelæ sintAB,DE,de. In AsymptotoCDdentur punctaA,G: Et si tempus exponatur per aream HyperbolicamABEDuniformiter crescentem; dico quod velocitas exponi potest per longitudinemDF, cujus reciprocaGDuna cum dataCGcomponat longitudinemCDin progressione Geometrica crescentem.
Sit enim areolaDEeddatum temporis incrementum quam minimum, & eritDdreciproce utDE, adeoque directe utCD. Ipsius autem 1 ÷GDdecrementum, quod (per hujus Lem. II.) estDd÷GDq.erit utCD÷GDq.seu {CG+GD} ÷GDq., id est, ut {1 ÷GD} + {CG÷GDq.}. Igitur temporeABEDper additionem datarum particularumEDdeuniformiter crescente, decrescit 1 ÷GDin eadem ratione cum velocitate. Nam decrementum velocitatis est ut resistentia, hoc est (per Hypothesin) ut summa duarum quantitatum, quarum una est ut velocitas, altera ut quadratum velocitatis; & ipsius 1 ÷GDdecrementum est ut summa quantitatum 1 ÷GD&CG÷GDq., quarum prior est ipsa 1 ÷GD, & posteriorCG÷GDq.est ut 1 ÷GDq.. Proinde 1 ÷GD, ob analogum decrementum, est ut velocitas. Et si quantitasGDipsi 1 ÷GDreciproce proportionalis quantitate dataCGaugeatur, summaCD, temporeABEDuniformiter crescente, crescet in progressione Geometrica.Q. E. D.
Corol. 1.Igitur si datis punctisA,G, exponatur tempus per aream HyperbolicamABED, exponi potest velocitas per ipsiusGDreciprocam 1 ÷GD.
Corol. 2.Sumendo autemGAadGDut velocitatis reciproca sub initio, ad velocitatis reciprocam in fine temporiscujusvisABED, invenietur punctumG. Eo autem invento, velocitas ex dato quovis alio tempore inveniri potest.
Iisdem positis, dico quod si spatia descripta sumantur in progressione Arithmetica, velocitates data quadam quantitate auctæ erunt in progressione Geometrica.
Iisdem positis, dico quod si spatia descripta sumantur in progressione Arithmetica, velocitates data quadam quantitate auctæ erunt in progressione Geometrica.
In AsymptotoCDdetur punctumR, & erecto perpendiculoRS, quod occurrat Hyperbolæ inS, exponatur descriptum spatium per aream HyperbolicamRSED; & velocitas erit ut longitudoGD, quæ cum dataCGcomponit longitudinemCD, in Progressione Geometrica decrescentem, interea dum spatiumRSEDaugetur in Arithmetica.
Etenim ob datum spatii incrementumEDde, lineolaDd, quæ decrementum est ipsiusGD, erit reciproce utED, adeoq; directe utCD, hoc est ut summa ejusdemGD& longitudinis datæCG. Sed velocitatis decrementum, tempore sibi reciproce proportionali, quo data spatii particulaDdeEdescribitur, est ut resistentia & tempus conjunctim, id est directe ut summa duarum quantitatum, quarum una est velocitas, altera ut velocitatis quadratum, & inverse ut velocitas; adeoque directe ut summa dearum quantitatum, quarum una datur, altera est ut velocitas. Igitur decrementum tam velocitatis quam lineæGD, est ut quantitas data & quantitas decrescens conjunctim, & propter analoga decrementa, analogæ semper erunt quantitates decrescentes: nimirum velocitas & lineaGD.Q. E. D.
Corol. 1.Igitur si velocitas exponatur per longitudinemGD, spatium descriptum erit ut area HyperbolicaDESR.
Corol. 2.Et si utcunque assumatur punctumR, invenietur punctumG, capiendoGDadGRut est velocitas sub initio ad velocitatem post spatium quodvisABEDdescriptum. Invento autem punctoG, datur spatium ex data velocitate, & contra.
Corol. 3.Unde cum, per Prop. XI. detur velocitas ex dato tempore, & per hanc Propositionem detur spatium ex data velocitate; dabitur spatium ex dato tempore: & contra.
Figure for Prop. XIII.
Posito quod corpus ab uniformi gravitate deorsum attractum recta ascendit vel descendit, & resistitur partim in ratione velocitatis, partim in ejusdem ratione duplicata: dico quod si Circuli & Hyperbolæ diametris parallelæ rectæ per conjugatarum diametrorum terminos ducantur, & velocitates sint ut segmenta quædam parallelarum a dato puncto ducta, Tempora erunt ut arearum Sectores, rectis a centro ad segmentorum terminos ductis abscissi: & contra.
Posito quod corpus ab uniformi gravitate deorsum attractum recta ascendit vel descendit, & resistitur partim in ratione velocitatis, partim in ejusdem ratione duplicata: dico quod si Circuli & Hyperbolæ diametris parallelæ rectæ per conjugatarum diametrorum terminos ducantur, & velocitates sint ut segmenta quædam parallelarum a dato puncto ducta, Tempora erunt ut arearum Sectores, rectis a centro ad segmentorum terminos ductis abscissi: & contra.
Cas. 1.Ponamus primo quod corpus ascendit, centroqueD& semidiametro quovisDBdescribatur circuli quadransBETF, & per semidiametriDBterminumBagatur infinitaBAP, semidiametroDFparallela. In ea detur punctumA, & capiatur segmentumAPvelocitati proportionale. Et cum resistentiæ pars aliqua sit ut velocitas & pars altera ut velocitatis quadratum, fit resistentia tota inPutAP quad.+ 2PAB. JunganturDA,DPcirculum secantes inEacT, & exponatur gravitas perDAquadratum, ita ut sit gravitas ad resistentiam inPutDAq.adAPq.+ 2PAB: & tempus ascensus omnis futuri erit ut circuli sectorEDTE.
Agatur enimDVQ, abscindens & velocitatisAPmomentumPQ, & SectorisDETmomentumDTVdato temporismomento respondens: & velocitatis decrementum illudPQerit ut summa virium gravitatisDBq.& resistentiæAPq.+ 2BAP, id est (perProp. 12. Lib. II.Elem.) utDP quad.Proinde areaDPQ, ipsiPQproportionalis, est utDP quad.; & areaDTV, (quæ est ad areamDPQutDTq.adDPq.) est ut datumDTq.Decrescit igitur areaEDTuniformiter ad modum temporis futuri, per subductionem datarum particularumDTV, & propterea tempori ascensus futuri proportionalis est.Q. E. D.
Figure for Cas. 2.
Cas. 2.Si velocitas in ascensu corporis exponatur per longitudinemAPut prius, & resistentia ponatur esse utAPq.+ 2BAP, & si vis gravitatis minor sit quam quæ perDAq.exponi possit; capiaturBDejus longitudinis, ut sitABq.-BDq.gravitati proportionale, sitqueDFipsiDBperpendicularis & æqualis, & per verticemFdescribatur HyperbolaFTVEcujus semidiametri conjugatæ sintDB&DF, quæq; secetDAinE, &DP,DQinT&V; & erit tempus ascensus futuri ut Hyperbolæ sectorTDE.
Nam velocitatis decrementumPQ, in data temporis particula factum, est ut summa resistentiæAPq.+ 2ABP& gravitatisABq.-BDq.id est utBPq.-BDq.Est autem areaDTVad areamDPQutDTq.adDPq.adeoque, si adDFdemittatur perpendiculumGT, utGTq.seuGDq.-DFq.adBDq.utqueGDq.adPBq.& divisim utDFq.adBPq.-DBq.Quare cum areaDPQsit utPQ, id est utBPq.-BDq.erit areaDTVut datumDFq. Decrescit igitur areaEDTuniformiter singulis temporis particulis æqualibus, per subductionem particularum totidem datarumDTV, & propterea tempori proportionalis est.Q. E. D.
Cas. 3.SitAPvelocitas in descensu corporis, &APq.+ 2ABPresistentia, &DBq.-ABq.vis gravitatis, existente anguloDABrecto. Et si centroD, vertice principaliB, describatur Hyperbola rectangulaBETVsecans productasDA,DP&DQinE,T&V; erit Hyperbolæ hujus sectorDETut tempus descensus.
Figure for Cas. 3.
Nam velocitatis incrementumPQ, eiq; proportionalis areaDPQ, est ut excessus gravitatis supra resistentiam, id est, utDBq.-ABq.- 2ABP-APq.seuDBq.-BPq.Et areaDTVest ad areamDPQutDTq.adDPq.adeoq; utGTq.seuGDq.-BDq.adBPq.utqueGDq.adBDq.& divisim utBDq.adBDq.-BPq.Quare cum areaDPQsit utBDq.-BPq.erit areaDTVut datumBDq.Crescit igitur areaEDTuniformiter singulis temporis particulis æqualibus, per additionem totidem datarum particularumDTV, & propterea tempori descensus proportionalis est.Q. E. D.
Corol.Igitur velocitasAPest ad velocitatem quam corpus temporeEDT, in spatio non resistente, ascendendo amittere vel descendendo acquirere posset, ut area trianguliDAPad aream sectoris centroD, radioDA, anguloADTdescripti; ideoque ex dato tempore datur. Nam velocitas in Medio non resistente, tempori atque adeo Sectori huic proportionalis est; in Medio resistente est ut triangulum; & in Medio utroq; ubi quam minima est, accedit ad rationem æqualitatis, pro more Sectoris & Trianguli.
Iisdem positis, dico quod spatium ascensu vel descensu descriptum, est ut summa vel differentia areæ per quam tempus exponitur, & areæ cujusdam alterius quæ augetur vel diminuitur in progressione Arithmetica; si vires ex resistentia & gravitate compositæ sumantur in progressione Geometrica.
Iisdem positis, dico quod spatium ascensu vel descensu descriptum, est ut summa vel differentia areæ per quam tempus exponitur, & areæ cujusdam alterius quæ augetur vel diminuitur in progressione Arithmetica; si vires ex resistentia & gravitate compositæ sumantur in progressione Geometrica.
CapiaturAC(in Fig. tribus ultimis,) gravitati, &AKresistentiæ proportionalis. Capiantur autem ad easdem partes punctiAsi corpus ascendit, aliter ad contrarias. ErigaturAbquæ sit adDButDBq.ad 4BAC: & areaAbNKaugebitur vel diminuetur in progressione Arithmetica, dum viresCKin progressione Geometrica sumuntur. Dico igitur quod distantia corporis ab ejus altitudine maxima sit ut excessus areæAbNKsupra areamDET.
Nam cumAKsit ut resistentia, id est utAPq.+ 2BAP; assumatur data quævis quantitasZ, & ponaturAKæqualis {APq.+ 2BAP} ÷Z; & (per hujus Lem. II.) erit ipsiusAKmomentumKLæquale {2APQ+ 2BA×PB} ÷Zseu 2BPQ÷Z, & areæAbNKmomentumKLONæquale 2BPQ×LO÷Zseu {BPQ×BD cub.} ÷ {2Z×CK×AB}.
Cas. 1.Jam si corpus ascendit, sitque gravitas utABq.+BDq.existenteBETcirculo, (in Fig. Cas. 1. Prop. XIII.) lineaAC, quæ gravitati proportionalis est, erit {ABq.+BDq.} ÷Z&DPq.seuAPq.+ 2BAP+ABq.+BDq.eritAK×Z+AC×ZseuCK×Z; ideoque areaDTVerit ad areamDPQutDTq.velDBq.adCK×Z.
Cas. 2.Sin corpus ascendit, & gravitas sit utABq.-BDq.lineaAC(Fig. Cas. 2. Prop. XIII.) erit {ABq.-BDq.} ÷Z, &DTq.erit adDPq.utDFq.seuDBq.adBPq.-BDq.seuAPq.+ 2BAP+ABq.-BDq.id est adAK×Z+AC×ZseuCK×Z. Ideoque areaDTVerit ad areamDPQutDBq.adCK×Z.
Cas. 3.Et eodem argumento, si corpus descendit, & propterea gravitas sit utBDq.-ABq.& lineaAC(Fig. Cas. 3. Prop. præced.) æquetur {BDq.-ABq.} ÷Zerit areaDTVad areamDPQutDBq.adCK×Z: ut supra.
Cum igitur areæ illæ semper sint in hac ratione; si pro areaDTV, qua momentum temporis sibimet ipsi semper æquale exponitur, scribatur determinatum quodvis rectangulum, putaBD×m, erit areaDPQ, id est, ½BD×PQ; adBD×mutCKinZadBDq.Atq; inde fitPQinBD cub.æquale 2BD×m×CK×Z, & areæAbNKmomentumKLONsuperius inventum, fitBP×BD×m÷AB. Auferatur areæDETmomentumDTVseuBD×m, & restabitAP×BD×m÷AB. Est igitur differentia momentorum, id est, momentum differentiæ arearum, æqualisAP×BD×m÷AB; & propterea (ob datumBD×m÷AB) ut velocitasAP, id est ut momentum spatii quod corpus ascendendo vel descendendo describit. Ideoque differentia arearum & spatium illud proportionalibus momentis crescentia vel decrescentia, & simul incipientia vel simul evanescentia, sunt proportionalia.Q. E. D.
Corol.Igitur si longitudo aliquaVsumatur in ea ratione ad arcumET, quam habet lineaDAad lineamDE; spatium quod corpus ascensu vel descensu toto in Medio resistente describit, erit ad spatium quod in Medio non resistente eodemtempore describere posset, ut arearum illarum differentia adBD×V2÷ 4AB, ideoque ex dato tempore datur. Nam spatium in Medio non resistente est in duplicata ratione temporis, sive utV2, & ob datasBD&AB, utBD×V2÷ 4AB. Tempus autem est utDETseu ½BD×ET, & harum arearum momenta sunt utBD×V÷ 2ABductum in momentum ipsiusV& ½BDductum in momentum ipsiusET, id est, utBD×V÷ 2ABinDAq.× 2m÷DEq.& ½BD× 2m, sive ut {BD×V×DAq.×m} ÷ {AB×DEq.} &BD×m. Et propterea momentum areæV2est ad momentum differentiæ arearumDET&AKNb, ut {BD×V×DA×m} ÷ {AB×DE} adAP×BD×m÷ABsive utV×DA÷DEadAP; adeoque, ubiV&APquam minimæ sunt, in ratione æqualitatis. Æqualis igitur est area quam minimaBD×V2÷ 4ABdifferentiæ quam minimæ arearumDET&AKNb. Unde cum spatia in Medio utroque, in principio descensus vel fine ascensus simul descripta accedunt ad æqualitatem, adeoque tunc sunt ad invicem ut areaBD×V2÷ 4AB& arearumDET&AKNbdifferentia; ob eorum analoga incrementa necesse est ut in æqualibus quibuscunque temporibus sint ad invicem ut area illaBD×V2÷ 4AB& arearumDET&AKNbdifferentia.Q. E. D.
De Corporum circulari Motu in Mediis resistentibus.
SitPQRrSpiralis quæ secet radios omnesSP,SQ,SR, &c. in æqualibus angulis. Agatur rectaPTquæ tangat eandem in puncto quovisP, secetque radiumSQinT; & ad Spiralem erectis perpendiculisPO,QOconcurrentibus inO, jungaturSO. Dico quod si punctaP&Qaccedant ad invicem & coeant, angulusPSOevadet rectus, & ultima ratio rectanguliTQ×PSadPQquad. erit ratio æqualitatis.
SitPQRrSpiralis quæ secet radios omnesSP,SQ,SR, &c. in æqualibus angulis. Agatur rectaPTquæ tangat eandem in puncto quovisP, secetque radiumSQinT; & ad Spiralem erectis perpendiculisPO,QOconcurrentibus inO, jungaturSO. Dico quod si punctaP&Qaccedant ad invicem & coeant, angulusPSOevadet rectus, & ultima ratio rectanguliTQ×PSadPQquad. erit ratio æqualitatis.
Figure for Lemma III. and Prop. XV.
Etenim de angulis rectisOPQ,OQRsubducantur anguli æqualesSPQ,SQR, & manebunt anguli æqualesOPS,OQS. Ergo circulus qui transit per punctaO,S,Ptransibit etiam per punctumQ. Coeant punctaP&Q, & hic circulus in loco coitusPQtanget Spiralem, adeoque perpendiculariter secabit rectamOP. Fiet igiturOPdiameter circuli hujus, & angulusOSPin semicirculo rectus.Q. E. D.
AdOPdemittantur perpendiculaQD,SE, & linearum rationes ultimæ erunt hujusmodi:TQadPDutTSvelPSadPE, seuPOadPS. ItemPDadPQutPQadPO. Et ex æquo perturbateTQadPQutPQadPS. Unde fitPQq.æqualisTQ×PS.Q. E. D.
Si Medii densitas in locis singulis sit reciproce ut distantia locorum a centro immobili, sitque vis centripeta in duplicata ratione densitatis: dico quod corpus gyrari potest in Spirali, quæ radios omnes a centro illo ductos intersecat in angulo dato.
Si Medii densitas in locis singulis sit reciproce ut distantia locorum a centro immobili, sitque vis centripeta in duplicata ratione densitatis: dico quod corpus gyrari potest in Spirali, quæ radios omnes a centro illo ductos intersecat in angulo dato.
Ponantur quæ in superiore Lemmate, & producaturSQadV, ut sitSVæqualisSP. Temporibus æqualibus describat corpus arcus quam minimosPQ&QR, sintque areæPSQ,QSræquales. Et quoniam vis centripeta, qua corpus urgetur in P est reciproce utSPq.& (per Lem. X. Lib. I.) lineolaTQ, quæ vi illa generatur, est in ratione composita ex ratione hujus vis & ratione duplicata temporis quo arcusPQdescribitur, (Nam resistentiam in hoc casu, ut infinite minorem quam vis centripeta negligo) eritTQ×SPq.id est (per Lemma novissimum)PQq.×SP, in ratione duplicata temporis, adeoque tempus est utPQ× √SP, & corporis velocitas qua arcusPQillo tempore describitur utPQ÷ {PQ× √SP} seu 1 ÷ √SP, hoc est in dimidiata ratione ipsiusSPreciproce. Et simili argumento velocitas, qua arcusQRdescribitur, est in dimidiata ratione ipsiusSQreciproce. Sunt autem arcus illiPQ&QRut velocitates descriptrices ad invicem, id est in dimidiata rationeSQadSP, sive utSQad √SP× √SQ; & ob æquales angulosSPQ,SQr& æquales areasPSQ,QSr, est arcusPQad arcumQrutSQadSP. Sumantur proportionalium consequentium differentiæ, & fiet arcusPQad arcumRrutSQadSP-SP½×SQ½, seu ½VQ; nam punctisP&Qcoeuntibus, ratio ultimaSP-SP½×SQ½ad ½VQfit æqualitatis. In Medio non resistente areæ æqualesPSQ,QSr(Theor. I. Lib. I.) temporibus æqualibus describi deberent. Ex resistentia oritur arearum differentiaRSr, & propterea resistentia est ut lineolæQrdecrementumRrcollatum cum quadrato temporis quo generatur. Nam lineolaRr(per Lem. X. Lib. I.) est in duplicata ratione temporis. Est igitur resistentia utRr÷ {PQq.×SP}. Erat autemPQadRrutSQad ½VQ, & indeRr÷ {PQq.×SP} fit ut ½VQ÷ {PQ×SP×SQ} sive ut ½OS÷ {OP×SPq.}. Namque punctisP&Qcoeuntibus,SP&SQcoincidunt; & ob similia triangulaPVQ,PSO, fitPQad ½VQutOPad ½OS. Est igiturOS÷ {OP×SPq.} ut resistentia, id est in ratione densitatis Medii inP& ratione duplicata velocitatis conjunctim. Auferatur duplicata ratio velocitatis, nempe ratio 1 ÷SP, & manebit Medii densitas inPutOS÷ {OP×SP}. Detur Spiralis, & ob datam rationemOSadOP, densitas Medii inPerit ut 1 ÷SP. In Medio igitur cujus densitas est reciproce ut distantia a centroSP, corpus gyrari potest in hac Spirali.Q. E. D.
Corol. 1.Velocitas in loco quovisPea semper est quacum corpus in Medio non resistente gyrari potest in circulo, ad eandem a centro distantiamSP.
Corol. 2.Medii densitas, si datur distantiaSP, est utOS÷OP,sin distantia illa non datur, utOS÷ {OP×SP}. Et inde Spiralis ad quamlibet Medii densitatem aptari potest.
Corol. 3.Vis resistentiæ in loco quovisP, est ad vim centripetam in eodem loco ut ½OSadOP. Nam vires illæ sunt ut lineæRr&TQseu ut ½VQ×PQ÷SQ&PQq.÷SPquas simul generant, hoc est, ut ½VQ&PQ, seu ½OS&OP. Data igitur Spirali datur proportio resistentiæ ad vim centripetam, & viceversa ex data illa proportione datur Spiralis.
Corol. 4.Corpus itaque gyrari nequit in hac spirali, nisi ubi vis resistentiæ minor est quam dimidium vis centripetæ. Fiat resistentia æqualis dimidio vis centripetæ & Spiralis conveniet cum linea rectaPS, inque hac recta corpus descendet ad centrum, dimidia semper cum velocitate qua probavimus in superioribus in casu Parabolæ (Theor. X. Lib. I.) descensum in Medio non resistente fieri. Unde tempora descensus hic erunt dupla majora temporibus illis atque adeo dantur.
Corol. 5.Et quoniam in æqualibus a centro distantiis velocitas eadem est in SpiraliPQRatque in rectaSP, & longitudo Spiralis ad longitudinem rectæPSest in data ratione, nempe in rationeOPadOS; tempus descensus in Spirali erit ad tempus descensus in rectaSPin eadem illa data ratione, proindeque datur.
Corol. 6.Si centroSintervallis duobus describantur duo circuli; numerus revolutionum quas corpus intra circulorum circumferentias complere potest, est utPS÷OS, sive ut Tangens anguli quem Spiralis continet cum radioPS; tempus vero revolutionum earundem utOP÷OS, id est reciproce ut Medii densitas.